ÁP DỤNG CÁC CÔNG THỨC GIẢI PT LƯỢNG GIÁC THẦY LÊ ANH TUẤN

Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

CÔNG TH C L

ây là tài li u tóm l

L

NG GIÁC – PH
NG TRÌNH C
ÁP ÁN BÀI T P T LUY N
Giáo viên: LÊ ANH TU N

c các ki n th c đi kèm v i bài gi ng Công th c l

ng giác – PT l

B N

ng giác c b n thu c khóa

h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Nguy n Thanh Tùng) t i website Hocmai.vn.
v ng ki n th c ph n này, b n c n k t h p xem tài li u cùng v i bài gi ng này.

Bài t p 1: Gi i các ph
a )sin x  sin

ng giác – S ph c

có th n m

ng trình sau:



c)sin 3x 

b)sin 2 x   sin 360

12

1
2

d )sin x 

2
3

Gi i






2
x
k
x




 k 2



12
12
a )sin x  sin  

k 
12
 x      k 2
 x  11  k 2


12
12



 2 x  360  k3600
 2 x  360  k3600
b) sin 2 x   sin 36  sin 2 x  sin 36  


0
0
0

0
0
 2 x  180  36  k360
 2 x  216  k360
 x  180  k1800

k 
0
0
 x  108  k180


2


3x   k 2
x k


1

6
18
3
c)sin 3x   sin 3x  sin  

k  
2
6
3x  5  k 2

 x  5  k 2
6
18
3


2

x  arcsin  k 2

2
3
d )sin x   
k  
3
 x    arcsin 2  k 2

3
Bài t p 2: Gi i các ph ng trình sau:

3
2
2
;
b) cos x  450 
a ) cos x  cos
d ) cos x 
c)cos4 x  
2
4

4
2
Gi i



0

0





a ) cos x  cos





4



 x

b) cos x  450 



4

 k2  k 









 x  450  450  k3600
 x  450  k3600
2
 cos x  450  cos450  

k 

0
0
0
0
0
2
 x  45  45  k360
 x  90  k360





2
3
3
3

 cos4 x  cos
 4x  
 k 2  x  
 k , k 
2
4
4
16
2
3
3
d ) cos x   x   arccos  k2 , k 
4
4
Bài t p 3: Gi i các ph ng trình sau:
c)cos4 x  

Hocmai.vn – Ngôi tr



ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12





- Trang | 1 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

a ) cot 3x  cot

3
7

L

ng giác – S ph c

 1

c) cot  2 x   
6
3


b) cot 4 x  3

Gi i

3
3


 3x 
 k  x   k ,  k  
7
7
7
3
1

b) cot 4 x  3  4 x  arctan  3  k  x  arctan  3  k ,  k  
4
4

1












 cot  2 x    cot  2 x    k  2 x   k  x   k ,  k 
c) cot  2 x   
6
6
6
6 6
3
6
2
3


Bài t p 4: Gi i ph ng trình:
a) sin 2 x  3cos 2 x  3 (1)
b) 2 2(sin x  cos x) cos x  3  cos 2 x
 2
a ) cot 3x  cot



Gi i :
Chia c hai v ph

ng trình (1) cho 12  32  10 ta đ

c:

1
3
3

sin 2 x 
cos 2 x 
10
10
10

3
1
 sin  ,
 cos  . Lúc đó ph ng trình (1) vi t đ
10
10
cos  sin 2 x  sin  cos 2 x  sin   sin(2 x   )  sin x
t

 x    k
 2 x      k 2


 x    k








2
2

x
k


2
b) 2 2(sin x  cos x) cos x  3  cos 2 x
 2
Ta bi n đ i ph ng trình (2)
 2 sin 2 x  2(1  cos 2 x)  3  cos 2 x

cd

i d ng:

k

 2 sin 2 x  ( 2  1) cos 2 x  3  2
a 2 ;

b  2 1 ; c  3  2

a 2  b 2  2  ( 2  1) 2  5  2 2
c 2  (3  2) 2  11  6 2
Suy ra a 2  b2  c2
Bài t p 5: Gi i ph ng trình
a) (1  3)sin x  (1  3) cos x  2 (3)
Th c hi n phép bi n đ i
1 3
1 3
2

1
(3)  (
)sin x  (
) cos x 

2 2
2 2
2 2
2
t
Ph

1 3
 cos x;
2 2
ng trình (3) s đ

1 3
 sin x
2 2
c vi t thành sin x.cos   sin  .cos x 





 x    4  k 2
 x  4    k 2



 x        k 2
 x  3    k 2
4
4


V y ph ng trình có hai h nghi m
b) cos 7 x  sin 5x  3(cos5 x  sin 7 x) (4)
Hocmai.vn – Ngôi tr

b) cos 7 x  sin 5x  3(cos5 x  sin 7 x)

ng chung c a h c trò Vi t

(4)

1

 sin( x   )  sin
4
2

,k

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam

Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

L

ng giác – S ph c

cos 7 x  3 sin 7 x  3 cos 5 x  sin 5 x


1
3
3
1
cos 7 x 
sin 7 x 
cos 5 x  sin 5 x
2
2
2
2

 cos



3

cos 7 x  sin



3

sin 7 x  cos



6

cos 5 x  sin


6

sin 5 x








7 x   5 x   k 2
x   k
2 x   k 2






3
6
6
12
 cos(7 x  )  cos(5 x  )  


3
6
7 x      (5 x   )  k 2
12 x  3  k 2
 x    k


8 6
3
6
2

V y ph

kZ

ng trình có hai h nghi m.

Bài t p 6: Gi i các ph ng trình sau:
a )3sin 2 2 x  7 cos 2 x  3  0
b)7 tan x  4cot x  12
Gi i

a )3sin 2 2 x  7 cos 2 x  3  0  3 1  cos 2 2 x  7 cos 2 x  3  0





 3cos 2 2 x  7 cos 2 x  0  cos 2 x  3cos 2 x  7   0
cos 2 x  0

3cos 2 x  7  0



 k  x 

*) Gi i ph

ng trình: cos 2 x  0  2 x 

*) Gi i ph

ng trình: 3cos 2 x  7  0  cos 2 x 

Vì

7
 1 nên ph
3

2


4

k


2

,k 



7
3

ng trình 3cos 2 x 7  0 vô nghi m.

K t lu n: v y nghi m c a ph

ng trình đã cho là x 

b)7 tan x  4cot x  12 1


4

k



2

,k 



i u ki n: sin x  0 và cos x  0
Khi đó:
1
 12  0  7 tan 2 x  12 tan x  4  0
1  7 tan x  4.
tan x
t t  tan x , ta gi i ph ng trình b c hai theo t: 7t 2  4t  12  0
Bài t p 7: Gi i ph ng trình
a) sin x  cos x  2sin x cos x  1  0 (1)
b) tan x  3cot x  4(sin x  3 cos x) (2)
c) tan x  3 cot x  sin x  3 cos x  1  3  0 (3)
Gi i:
a)

t sin x  cos x  t đi u ki n | t | 2 . Lúc đó sin x cos x 

t 2 1
2

 t 2 1 
ng trình (1) s có d ng t  2 
 1  0
2



t  1
 t2  t  2  0  
(*)
t  2
V i t  2 không tho mãn đi u ki n nên

Khi đó ph

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

L

ng giác – S ph c

 t  1  sin x  cos x  1



x    k 2

1

k
 2 sin( x  )  1  sin( x  )  

2

4
4
2
 x    k 2
b) tan x  3cot x  4(sin x  3 cos x) (2)
k
i u ki n: sin x.cos x  0  x 
k
2
1

(sin 2 x  3cos 2 x)  4(sin x  3 cos x)
sin x.cos x


(*)



 (sin x  3 cos x)(sin x  3 cos x)  4(sin x  3 cos x) sin x.cos x
Ta có (2)  (sin x  3 cos x). (sin x  3 cos x) sin 2 x  0



sin x  3 cos x  0

sin x  3 cos x  sin 2 x  0
Ta có (3)  tan x   3  x  



3

(4)
(3)

 k

(5)

1
3


sin x 
cos x  sin 2 x  cos sin x  sin cos x  sin 2 x
2
2
3
3





x    l 2
2 x  x   l 2



3
3
 sin( x  )  sin 2 x  

l   6
3
 2 x    x    l 2
 x  4  l 2
3
3


Các giá tr c a x trong (5) và (6) đ u tho mãn đi u ki n c a ph ng trình
V y theo ph ng trình có hai h nghi m.
c) tan x  3 cot x  sin x  3 cos x  1  3  0 (3)
k
i u ki n sin 2 x  0  x 
k
2
 3  tan x  sin x  3(cot x  cos x)  1  3  0

 4 



1
3
(sin x  sin x cos x  cos x) 
(sin x  sin x.cos x  cos x)  0
cos x
sin x

(

1
3

)(sin x  sin x.cos x  cos x)  0
cos x sin x

 1
3

0

  cos x sin x
sin x  sin x.cos x  cos x  0

Gi i (4)  tan x  3  x 
Gi i (5):

(4)

5


3

 k

k



t t  sin x  cos x  2 cos(  x)
4
2
t 1
Suy ra sin x. cos x 
.
2

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

| t | 2

(*)

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 4 -

Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Ph

ng trình (5) tr thành t 

L

ng giác – S ph c

t  1  2
t 2 1
 0  t 2  t 1  0  
2
t  1  2

K t h p v i đi u ki n (*) thì t  1  2 b lo i
V i t  1  2 ta có







2 cos(  x)  1  2  cos(  x) 
4
4



   l 2
 , l
4
4
Các nghi m c a ph ng trình (4) và (5) đ u tho mãn đi u ki n c a ph ng trình
V y ph ng trình có ba h nghi m
Bài t p 8: Gi i ph ng trình:
sin 6 x  cos6 x
x
x
a) cos 4  sin 4  sin 2 x
b) 8
 tan 2 x  cot 2 x  2 
(1)
sin 2 x
2
2
Gi i :
x
x
x
x
x
x
a)Ta có: cos4  sin 4  (cos 2  sin 2 )(cos2  sin 2 )  cos x
2
2

2
2
2
2
Ph ng trình (1) có d ng
cos x  sin 2 x  cos x  2sin x.cos x  cos x(1  2sin x)  0


 x    l 2  x  

1 2
 cos 
2



 x  6  k 2

1

sin 2 x 
5


 k 2 k 
2   x 

6

cos x  0

 x    k 2

2
V y ph ng trình có 3 h nghi m
sin 6 x  cos6 x
 tan 2 x  cot 2 x  2 
b) 8
sin 2 x
i u ki n: sin 2 x  0
3
sin 2 x cos 2 x
)
Ph ng trình (2)  8(1  sin 2 2 x)  2sin 2 x( 2 
4
cos x sin 2 x
1
1  sin 2 2 x
 8  6sin 2 2 x  4sin 2 x. 2 2
 (8  6sin 2 2 x) sin 2 x  4  2sin 2 2 x
sin 2 x
3
2
 3sin 2 x  sin 2 x  4sin 2 x  2  0  (sin 2 x  1)(3sin 2 2 x  2sin 2 x  2)  0



sin 2 x  1
x   k



4
sin 2 x  1  0

1  7


 sin 2 x 
 L   x    k
2
3
3sin 2 x  2sin 2 x  2  0
 x      k


7 1

x
sin
2
sin





3
Các nghi m đ u tho mãn đi u ki n sin 2 x  0
V y ph ng trình có 3 h nghi m
Bài t p 9: Gi i ph ng trình :
a) 2 3 cos2 x  6sin x.cos x  3  3 1

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t



b) sin3 ( x  )  2 sin x  2
4
T ng đài t v n: 1900 58-58-12

k

(2)

- Trang | 5 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

L

ng giác – S ph c

1  tan x
 1  sin 2 x (3)
1  tan x
Gi i:
a)Ph ng trình (1)  3(1  cos 2 x)  3sin 2 x  3  3  cos 2 x  3 sin 2 x  3

c)

1
3
3

3
cos 2 x 
sin 2 x 
 cos(2 x  ) 
2
2
2
3
2
 



 2 x  3  6  k 2
 x  4  k 2
k


 x       k 2
 x    k 2


3

6
12



V y ph

ng trình có hai h nghi m.



b) sin 3 ( x  )  2 sin x  2 
4

(2)



Ta nh n th y sin( x  ) có th bi u di n đ c qua sin x  cos x . Lu th a b c ba bi u th c sin x  cos x
4
ta s đ a ph ng trình v d ng thu n nh t đã bi t cách gi i


 

ng trình (2)  2 2 sin 3 ( x  )  4sin x   2 sin( x  )   4sin x
4
4 

3

 (sin x  cos x)  4sin x
3

Ph

+) Xét v i cos x  0  x 






2

 k 2

k  . Khi đó ph

ng trình có d ng

 sin 3 (  k )  4sin(  k )  mâu thu n
2
2



 k 2 làm nghi m
2
+) V i cos x  0 . Chia c hai v c a ph ng trình (2) cho cos3 x ta đ
(tan x  1)3  4(1  tan 2 x) tan x  3tan 3 x  3tan 2 x  tan x 1  0 .

t t  tan x ph ng trình có đ c đ a v d ng:
V y ph

ng trình không nh n x 

3t 3  3t 2  t  1  0  (t  1)(3t 2  1)  0  t  1  x  
H nghi m trên tho mãn đi u ki n c a ph ng trình .
V y ph ng trình có duy nh t 1 h nghi m



4

c:

 k

k



 x  2  k
cos x  0
c)
(3)
i u ki n 
k

 tan x  1  x     k


4
cos x  sin x
2
3
  cos x  sin x  cos x  sin x   cos x  sin x
Bi n đ i ph ng trình v d ng :
cos x  sin x
3
Chia c hai v c a ph ng trình (3) cho cos x  0 ta đ c :
3
1  tan 2 x  1  tan 2 x tan x  1  tan x  tan 3 x  tan 2 x  2 tan x  0   tan 2 x  tan x  2  tan x  0 (*)
1  tan x
 1  sin 2 x
1  tan x

(do tan x  tan x  2  0 vô nghi m) nên: Ph
2

V y ph

ng trình có m t h nghi m

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

ng trình (*)  tan x  0  x  k
Giáo viên
Ngu n

k





: Lê Anh Tu n
:
Hocmai.vn

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 6 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam

5 L I ÍCH C A H C TR C TUY N






Ng i h c t i nhà v i giáo viên n i ti ng.
Ch đ ng l a ch n ch ng trình h c phù h p v i m c tiêu và n ng l c.
H c m i lúc, m i n i.
Ti t ki m th i gian đi l i.
Chi phí ch b ng 20% so v i h c tr c ti p t i các trung tâm.

4 LÍ DO NÊN H C T I HOCMAI.VN





Ch

ng trình h c đ c xây d ng b i các chuyên gia giáo d c uy tín nh t.
i ng giáo viên hàng đ u Vi t Nam.
Thành tích n t ng nh t: đã có h n 300 th khoa, á khoa và h n 10.000 tân sinh viên.
Cam k t t v n h c t p trong su t quá trình h c.

CÁC CH

NG TRÌNH H C CÓ TH H U ÍCH CHO B N

Là các khoá h c trang b toàn
b ki n th c c b n theo
ch ng trình sách giáo khoa
(l p 10, 11, 12). T p trung
vào m t s ki n th c tr ng
tâm c a kì thi THPT qu c gia.

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

Là các khóa h c trang b toàn
di n ki n th c theo c u trúc c a
kì thi THPT qu c gia. Phù h p
v i h c sinh c n ôn luy n bài

b n.

Là các khóa h c t p trung vào
rèn ph ng pháp, luy n k
n ng tr c kì thi THPT qu c
gia cho các h c sinh đã tr i
qua quá trình ôn luy n t ng
th .

Là nhóm các khóa h c t ng
ôn nh m t i u đi m s d a
trên h c l c t i th i đi m
tr c kì thi THPT qu c gia
1, 2 tháng.

-