Phương pháp tìm điểm qua sơ đồ tư duy 1

Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)

Hình oxyz

TÌM ĐIỂM LOẠI 1
ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: NGUYỄN THANH TÙNG
Đây là tài liệu tóm lược các kiến thức đi kèm với bài giảng Tìm điểm loại 1 thuộc khóa học Luyện thi THPT quốc gia
Pen - C: Môn Toán (GV: Nguyễn Thanh Tùng) tại website Hocmai.vn. Để có thể nắm vững kiến thức phần này, bạn cần
kết hợp xem tài liệu cùng với bài giảng này.

Bài 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  P  : x  y  z  3  0 và đường thẳng
d:

x  2 y 1 z

 . Tìm tọa độ giao điểm của  P  và d ; tìm tọa độ điểm A thuộc d sao cho khoảng
1
2
1

cách từ A đến  P  bằng 2 3 .
Giải
Giả sử M  d   P  . Vì M  d nên M  t  2; 2t  1; t  .
Mặt khác M   P  nên suy ra  t  2   2t  1   t   3  0  t  1 , suy ra M 1;1;1 .
Ta có A  d nên A  a  2; 2a  1; a  .
Khi đó d  A;  P    2 3 

 a  2    2a  1   a   3
12  12  12

a  2
 2 3  a 1  3  
 a  4

Suy ra A  4; 5; 2  hoặc A  2;7;4  .
Bài 2.1 (A,A1 – 2013). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng  :

x  6 y 1 z  2


3
2
1

và điểm A(1;7;3) . Tìm tọa độ điểm M thuộc  sao cho AM  2 30 .
Giải
Do M   , suy ra M (6  3t; 1  2t; 2  t ) . Khi đó:
AM  2 30  AM 2  120  (3t  5)2  (2t  8)2  (t  5)2  120

 M (3; 3; 1)
t  1
 7t  4t  3  0  
   51 1 17  .
3
M  ;  ;  
t  
  7
7
7

7

2

 51 1 17 
Vậy M (3; 3; 1) hoặc M  ;  ;   .
7
7
7
Bài 2.2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A  4;1;3 và đường thẳng

d:

x  1 y 1 z  3


. Tìm tọa độ điểm B thuộc d sao cho AB  27.
2
1
3
Giải

Vì B  d nên B  1  2t;1  t; 3  3t 

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -

Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)

AB  27  AB  27   3  2t   t   6  3t 
2

2

2

2

Hình oxyz

t  3
 27  7t  24t  9  0   3
t 
 7
2

 13 10 12 
Vậy B  7;4;6  hoặc B   ; ;   .
7
 7 7

Bài 3. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng 1  : 3x  4 y  8  0 và  2  : 4 x  3z  32  0 và
x y 1 z  2
. Xác định tọa độ điểm A thuộc  d  và cách đều hai mặt phẳng 1  và  2  .



1
2
1
Giải
Gọi điểm cần tìm A  d  A  t; 1  2t; 2  t  . Điểm A cách đều hai mặt phẳng 1  và  2 

d  :

d  A, 1    d  A,  2   

3t  4  1  2t   8
32  42



4t  3  2  t   32
42  32

 19
t  3
 12  5t  t  26  
t   7

2

11 
 19 35 13 
 7
Suy ra A  ; ;   , A   ; 8;  .

3
2
 3 3
 2

x  2 y 1 z  5


và hai
1
3
2
điểm A(2;1;1) , B(3; 1; 2) . Tìm tọa độ điểm M thuộc  sao cho tam giác MAB có diện tích bằng
Bài 4 ( B – 2011). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng  :

3 5.
Giải
Do M   M (2  t;1  3t; 5  2t )  AM  (t;3t; 6  2t )
Ta có AB  (1; 2;1) , suy ra:  AM , AB   (t  12; t  6; t )
Khi đó: SMAB

(t  12)2  (t  6)2  t 2
1


 3 5   AM , AB   3 5 
3 5
2
2
t  0

 M (2;1; 5)
 t 2  12t  0  

t  12  M (14; 35;19)

Vậy M (2;1; 5) hoặc M (14; 35;19) .

x 1 y z  2
 
và mặt phẳng
2
1
1
( P) : x  2 y  z  0 . Gọi C là giao của  với ( P) , M là điểm thuộc  . Tính khoảng cách từ M đến ( P)

Bài 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng  :

, biết MC  6 .
Giải
Do C   C (1  2c; c; 2  c) . Mặt khác, C  ( P)  1  2c  2c  2  c  0  c  1  C(1; 1; 1) .
Do M   M (1  2t; t; 2  t ) .

t  0
 M (1;0; 2)

Khi đó MC  6  MC 2  6  (2t  2)2  (t  1)2  (t  1)2  6  (t  1)2  1  
t  2  M (3; 2;0)
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)

+) Với M (1;0; 2) , suy ra d ( M , ( P)) 

1 2
6

+) Với M (3; 2;0) , suy ra d ( M , ( P)) 
Vậy khoảng cách từ M đến ( P) bằng



3  4
6

Hình oxyz

1
.
6



1
6

1
.
6

Bài 6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz , cho đường thẳng  :

x y 1 z

 . Xác định tọa độ điểm M trên
2
1
2

trục hoành sao cho khoảng cách từ M đến  bằng OM .
Giải
Do M  Ox  M (t;0;0)
Đường thẳng  đi qua điểm A(0;1;0) và có vecto chỉ phương u  (2;1; 2) .
Do đó AM  (t; 1;0) , suy ra u , AM   (2; 2t; t  2)
Khi đó d ( M , ) 

u , AM 
4  4t 2  (t  2) 2
5t 2  4t  8


.


3

u
22  12  22

t  1  M (1;0;0)
5t 2  4t  8
 t  t2  t  2  0  

Ta có d ( M , )  OM 
.
3
t  2
 M (2;0;0)
Vậy M (1;0;0) hoặc M (2;0;0) .

x  3  t
x  2 y 1 z


 .
Bài 7. Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng 1 :  y  t
và  2 :
2
1
2
z  t

Xác định tọa độ điểm M thuộc 1 sao cho khoảng cách từ M tới  2 bằng 1.
Giải
Do M  1 , nên M (3  t; t; t )
Đường thẳng  2 đi qua điểm A(2;1;0) và có vecto chỉ phương u  (2;1; 2) .

Do đó AM  (t  1; t  1; t ) , suy ra u, AM   (2  t; 2; t  3) .
Khi đó d ( M ,  2 ) 

u, AM 
2t 2  10t  17



.
3
u

Suy ra d ( M ,  2 )  1 

t  1
 M (4;1;1)
2t 2  10t  17
 1  t 2  5t  4  0  

.
3
t  4  M (7; 4; 4)

Vậy M (4;1;1) hoặc M (7;4;4) .
Bài 8. Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz , cho điểm A(2;5;3) và đường thẳng d:

x 1 y z  2
 
. Tìm tọa
2

1
2

độ hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng d.
Giải
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)

Hình oxyz

Đường thẳng d có vecto chỉ phương u  (2;1; 2) .
Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng d.
Khi đó H  d  H (1  2t; t;2  2t ) và AH  (2t  1; t  5; 2t  1) .
Vì AH  d nên AH .u  0  2(2t  1)  t  5  2(2t  1)  0  t  1  H (3;1; 4) .
Vậy H (3;1;4) .
Bài 9. Cho hai điểm A(1; 4; 2),B(-1; 2; 4) và đường thẳng :  :

x 1 y  2 z


. Tìm tọa độ điểm M
1
1

2

thuộc  sao cho MA2  MB2 nhỏ nhất.
Giải
Do M   M (1  t; 2  t;2t ) , khi đó:
MA2  MB2  t 2  (t  6)2  (2t  2)2   (t  2)2  (t  4)2  (2t  4)2 

 12t 2  48t  76  12(t  2)2  28  28 với t  .

Suy ra MA2  MB2 nhỏ nhất khi và chỉ khi t  2  M (1;0;4) .
Vậy M (1;0;4) .

x  1 t
x y 1 z  1


Bài 10. Cho điểm A(0;1; 2) và hai đường thẳng : d1 : 
, d 2 :  y  1  2t
2
1
1
z  2  t

Tìm tọa độ điểm M thuộc d1 , N thuộc d 2 sao cho 3 điểm A, M , N thẳng hàng.
Giải


 M  d1  M (2m;1  m; 1  m)
 AM  (2m; m; 3  m)
Vì 



 N (1  n; 1  2n; 2  n) 
 N  d2
 AN  (1  n; 2  2n; n)

  AM , AN   (mn  2m  6n  6; 3mn  m  3n  3; 5mn  5m)

mn  2m  6n  6  0
m  0
 M (0;1; 1)


Khi đó A, M , N thẳng hàng   AM , AN   0  3mn  m  3n  3  0  
n  1  N (0;1;1)
5mn  5m  0

Vậy M (0;1; 1) và N (0;1;1) .

Bài 11. Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng d1 :

x 1 y  2 z  1


;
3
1
2

 x  3t


d 2 :  y  4  t và mặt phẳng Oxz cắt d1 , d 2 lần lượt tại các điểm A, B . Tính diện tích tam giác OAB .
 z  2  2t

Giải
 A  d1
 A(1  3a; 2  a; 1  2a)

Do 
.
 B(3b; 4  b; 2  2b)
 B  d2
 A  Oxz 2  a  0
a  2  A(5;0; 5)



Mặt phẳng Oxz có phương trình y  0 , do đó 
 B  Oxz 4  b  0
b  4
 B(12;0;10)

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 4 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam

Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)

Hình oxyz


1
1
OA  (5;0; 5) 
Khi đó 
 OA, OB   (0; 10;0)  SOAB  OA, OB   .10  5 .
2
2

OB  (12;0;10)
Vậy SOAB  5 (đvdt).

x  1 t

Bài 12. Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz , cho đường thẳng  :  y  2  t và điểm M (2;1; 4) .
 z  1  2t

Tìm tọa độ điểm H thuộc đường thẳng  sao cho đoạn thẳng MH có độ dài nhỏ nhất.
Giải
Do H   H (1  t;2  t;1  2t )  MH  (t  1; t  1; 2t  3)
Cách 1: Ta có MH  (t  1)2  (t  1)2  (2t  3)2  6t 2  12t  11  6(t  1) 2  5  5
Khi đó MH có độ dài nhỏ nhất là

5 khi t  1  H (2;3;3) .

Cách 2: Ta có vecto chỉ phương của  là : u  (1;1; 2)

Khi đó MH nhỏ nhất  MH    MH .u  0  t 1  t  1  2(2t  3)  0  t  1  H (2;3;3) .

x y z
Bài 13. Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng : d1 :  
1 1 2

 x  1  2t

d2 :  y  t
z  1 t


Xác đinh tọa độ điểm M , N lần lượt thuộc d1 và d 2 sao cho đường thăng MN song song với mặt phẳng
( P) : x  y  z  0 và độ dài đoạn MN bằng 2 2 , biết M có hoành độ dương .

Giải
M  d1  M (m; m; 2m) (m  0)

 MN  (1  2n  m; n  m;1  n  2m)
Do 
 N (1  2n; n;1  n)
 N  d2
Vì MN / /( P)  MN .nP  0  1  2n  m  (n  m)  1  n  2m  0  n  m
Suy ra MN  (m  1; 2m;1  3m) , khi đó:
MN  2 2  MN 2  8  (m  1)2  4m2  (1  3m)2  8  7m2  4m  3  0  m  1 hoặc m  

3
(loại)
7

Suy ra n  1 . Vậy M (1;1;2) và N (1; 1;0) .

Giáo viên
Nguồn

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

: Nguyễn Thanh Tùng
:
Hocmai.vn

- Trang | 5 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam

5 LỢI ÍCH CỦA HỌC TRỰC TUYẾN






Ngồi học tại nhà với giáo viên nổi tiếng.
Chủ động lựa chọn chương trình học phù hợp với mục tiêu và năng lực.
Học mọi lúc, mọi nơi.
Tiết kiệm thời gian đi lại.
Chi phí chỉ bằng 20% so với học trực tiếp tại các trung tâm.

4 LÍ DO NÊN HỌC TẠI HOCMAI





Chương trình học được xây dựng bởi các chuyên gia giáo dục uy tín nhất.
Đội ngũ giáo viên hàng đầu Việt Nam.
Thành tích ấn tượng nhất: đã có hơn 300 thủ khoa, á khoa và hơn 10.000 tân sinh viên.
Cam kết tư vấn học tập trong suốt quá trình học.

CÁC CHƯƠNG TRÌNH HỌC CÓ THỂ HỮU ÍCH CHO BẠN

Là các khoá học trang bị toàn
bộ kiến thức cơ bản theo
chương trình sách giáo khoa
(lớp 10, 11, 12). Tập trung
vào một số kiến thức trọng
tâm của kì thi THPT quốc gia.

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

Là các khóa học trang bị toàn
diện kiến thức theo cấu trúc của
kì thi THPT quốc gia. Phù hợp
với học sinh cần ôn luyện bài
bản.

Là các khóa học tập trung vào

rèn phương pháp, luyện kỹ
năng trước kì thi THPT quốc
gia cho các học sinh đã trải
qua quá trình ôn luyện tổng
thể.

Là nhóm các khóa học tổng
ôn nhằm tối ưu điểm số dựa
trên học lực tại thời điểm
trước kì thi THPT quốc gia
1, 2 tháng.

-