Cách sử dụng bất đẳng thức AM – GM dưới dạng đồng cấp bậc 3

Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

D NG

BDT- GTLN - NN

NG C P B C 3

TÀI LI U BÀI GI NG
Giáo viên: NGUY N THANH TÙNG
ây là tài li u tóm l

c các ki n th c đi kèm v i bài gi ng D ng đ ng c p b c 3 thu c khóa h c Luy n thi THPT qu c

gia Pen - C: Môn Toán (GV: Nguy n Thanh Tùng) t i website Hocmai.vn.
c n k t h p xem tài li u cùng v i bài gi ng này.

Bài 1. Cho a , b, c, d là các s th c d

M

có th n m v ng ki n th c ph n này, b n

ng. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c

a3
b3
c3
d3




a 3  3bcd b3  3cda c3  3dab d 3  3abc

Gi i:
S d ng B t đ ng th c AM – GM d ng : 3xyz  x3  y3  z3 , ta đ

c:

a3
b3
c3
d3
a 3  b3  c 3  d 3




1
a 3  b3  c 3  d 3 b3  c 3  d 3  a 3 c 3  d 3  a 3  b 3 d 3  a 3  b 3  c 3 a 3  b 3  c 3  d 3
D u “=” x y ra khi a  b  c .
V y M đ t giá tr nh nh t b ng 1 khi a  b  c .
M

Bài 2 . Cho a , b, c là các s th c d

ng . Ch ng minh r ng:

1
1

1
1
.
 3 3
 3

3
3
a  b  abc b  c  abc c  a  abc abc
Gi i:
2
3
3
Ta luôn có (a  b) (a  b)  0  a  b  ab(a  b)
3

Suy ra

1
1
1
c



3
a  b  abc a b(a  b)  abc ab(a  b  c) abc(a  b  c)
3

a

1
b
và 3

3
b  c  abc abc(a  b  c)
c  a  abc abc(a  b  c)
Khi đó c ng các v b t đ ng th c trên ta đ c:
1
1
1
a bc
1
 3 3
 3


3
3
3
a  b  abc b  c  abc c  a  abc abc(a  b  c) abc
D u “=” x y ra khi a  b  c .
Bài 3. Cho a , b, c là các s th c d ng. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c :
T

ng t ta đ

c:

1

3

P

3



8abc
a b c
  2 
(a  b)(b  c)(c  a )
b c a
Gi i:

 x y z 
Áp d ng b t đ ng th c AM – GM d ng xyz  
 , ta đ c:
3


8abc
8
27
216

 8.

3

3
(a  b)(b  c)(c  a )  a  b  c 
b
c 
a
a b c




1
1
1




  1   1   1
    3
 b  c  a 
c
a 
b
b c a

3

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

BDT- GTLN - NN

a b c
a b c
216
   3  3 3 . .  3  6 . Khi đó P  t  5  3  f (t )
b c a
b c a
t
216
Xét hàm s f (t )  t  5  3 v i t  6 .
t
t t

1
646 t 4  1296 t  5
 4 
 0 v i t  6
2 t 5 t
2t 4 t  5
Suy ra f (t ) đ ng bi n v i t  6  P  f (t )  f (6)  2

Ta có f '(t ) 

Khi a  b  c thì P  2 . V y giá tr nh nh t c a P là 2 .
Bài 4 (D – 2005). Cho các s th c d

ng x, y, z th a mãn xyz  1 . Ch ng minh r ng:

1  x3  y3
1  y3  z3
1  z3  x3


3 3
xy
yz
zx
Gi i:
3
3
3
Áp d ng b t đ ng th c d ng a  b  c  3abc , ta đ c:
1  x3  y3
3xy


xy
xy
T

1  y3  z3


yz

ng t ta có:

3
và
yz

3
xy

1  z3  x3

zx

Áp d ng b t đ ng th c d ng a  b  c  3 3 abc , ta đ
1  x3  y3
1  y3  z3
1  z3  x3



zx
xy
yz

3

xy

3
zx
c:
3
3

 33
yz
zx

3
3
3
.
.
3 3
xy yz zx

D u “=” x y ra khi x  y  z  1.
Bài 5 . Cho x, y, z là các s th c d

ng th a mãn đi u ki n

1
1
1
1
 2
 2

 .
x 1 y 1 z 1 2
2

1
1
1
1
 3
 3
 .
x 2 y 2 z 2 3
Gi i:
3
Áp d ng b t đ ng AM – GM d ng a  b3  c3  3abc , ta đ c:
1
2
2
2
2 1
 3
 3 3
 2
 . 2
3
x  2 2 x  4 ( x  x  1)  3 3x  3 3 x  1
Ch ng minh r ng:

T

ng t ta có

Suy ra

3

1
2 1
1
2 1
và 3
 . 2
 . 2
z  2 3 z 1
y  2 3 y 1
3

1
1
1
2  1
1
1  2 1 1
 3
 3
 . 2
 2
 2  . 
x  2 y  2 z  2 3  x 1 y 1 z 1  3 2 3
3

x  y  z  1

D u “=” x y ra khi  1
1
1
1 (h vô nghi m)



2
2
2
 x 1 y 1 z 1 2


Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Suy ra đ ng th c không x y ra . V y

1
1
1
1
(đpcm).
 3
 3

x 2 y 2 z 2 3

Bài 6 . Cho x, y, z là các s th c d

ng th a mãn x2  y2  z2  1 .

BDT- GTLN - NN

3

Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c : P  x  y  z 

1
xyz

Gi i:
 a bc
4
Áp d ng chu i các b t đ ng th c AM – GM d ng abc  
 ; a  b  c  d  4 abcd
3



3

và 3(a 2  b2  c2 )  (a  b  c)2 ta đ

P  x y z

c:

1
1
27
 x y z
 x y z
M
3
xyz
( x  y  z)3
 x y z 


3


3



9
9

9
9
93
4 ( x  y  z).
4

4
4



M  ( x  y  z) 
=N

3
( x  y  z)3 ( x  y  z)3 ( x  y  z)3
( x  y  z)8
 ( x  y  z) 
N

4 4 36
4 4 36
4 4 36


4 3
( x  y  z)2 3( x2  y2  z2 )
3

1

thì P  4 3 .
3

Suy ra P  4 3 . D th y x  y  z 
V y giá tr nh nh t c a P b ng 4 3 .
Nh n xét: Th c ra

bài toán trên do ta d đoán đ

c đi m r i (giá tr c a a , b, c khi d u “=” x y

27
9
1
. Nên ta nh n th y
.
 3 3  3( x  y  z)  x  y  z 
3
( x  y  z)
( x  y  z)3
3
i u đó g i ý ta s d ng AM - GM cho 4 s nh cách gi i trên. Các b n s có đ c cái nhìn đ y
đ h n v “K thu t ch n đi m r i” khi tìm hiêu bài h c ti p theo c a th y.
ra) là x  y  z 

Bài 7. Cho x, y, z là các s th c không âm th a mãn x  y  z  0
Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c P 

16 x3  y3  z3
.

( x  y  z)3
Gi i:

( a  b)3
t k  a  b  c  0 . Áp d ng b t đ ng th c AM – GM d ng a  b 
, ta đ
4
3

P

16 x  y  z

( x  y  z)3
3

3

Xét hàm s

3

c:

( y  z)3
(k  x)3
3
3
16 x3 
(1  t )3

x
 x 1 x
3
4
4
v i t    0;1
t
16
1
16






 


3
3
( x  y  z)
4
k
k
k 4 k

16 x3 

f (t )  16t 3 

Hocmai.vn – Ngôi tr

3

(1  t )3
v i t   0;1
4

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Ta có f '(t )  48t 2 

BDT- GTLN - NN

3(1  t )2 3(9t  1)(7t  1)
1
; f '(t )  0  t  do t   0;1

4
4
9

B ng bi n thiên

T b ng bi n thiên, suy ra P  f (t ) 

16
. D u “=” x y ra khi
81

y  z

x
x
1  4x  y  z  0




t
x y z k
9

V y P đ t giá tr nh nh t b ng

16
khi 4 x  y  z  0 .
81

Bài 8 . Cho x, y, z là các s th c d

ng th a mãn x  y  z  xyz .

Ch ng minh r ng : x2  y2  z2  3xyz
Gi i:
Áp d ng b t đ ng th c AM – GM d ng a 2  b2  c 2 

x

2

y z
2



2 2

( a  b  c) 2
và (a  b  c)3  27abc , ta đ
3

c:

2

 ( x  y  z)2 
x y z
xyz

 ( x  y  z)3 .

 27 xyz.
 3( xyz) 2 (do

9
9
3



x  y  z  xyz )
Do đó x2  y2  z2  3xyz . D u “=” x y ra khi x  y  z  3 .
11
.
12
Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c P  6(3xy  4 xz  2 yz)  6x  3 y  4z  72 xyz .
Gi i:

Bài 9 . Cho x, y, z là các s th c d

ng th a mãn đi u ki n x  2 y  3z 

 a bc
Phân tích P và áp d ng b t đ ng th c AM – GM d ng abc  
 , ta đ
3


1
3
2

4
3

 
 

P  (6 x  1)(3 y  1)(4 z  1)  1  6  x   .  2 y   .  3z    1
6 2
3 3
4

3
1
2
3

x
y
z





2
3

1 
2 
3


6
3
4  1=
 12  x   2 y   3z    1  12. 

6 
3
3 
4





3

3

c:

3

19 

 11 19 
 x  2 y  3z  
  
107
12 

12 12 

 12.
 1  12. 
1 
27
27
18
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 4 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

BDT- GTLN - NN

2
1
1
107
107
Khi x  , y  , z 
thì P 
. V y giá giá tr l n nh t c a P là

.
3
12
36
18
18

Bài 10. Cho a , b, c, d , e, f là các s th c d

ng có t ng b ng 1 th a mãn ace  bdf 

Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c P  abc  bcd  cde  def  efa  fab .
Gi i:
 a bc
Áp d ng b t đ ng th c AM – GM d ng abc  
 , ta đ
3


P  ace  bdf  abc  bcd  cde  def  efa  fab  ace  bdf

1
108

3

c:

 a d bec f  1
 (a  d )(b  e)(c  f )  

 
3

 3
1
1
1
1
Suy ra P 
  ace  bdf  


27
27 108 36
1
1
1
Khi a  b  c  d  e  f  thì P  . V y giá tr l n nh t c a P b ng
.
6
36
36
3

Bài 11. G i a , b, c là đ dài ba c nh c a tam giác có chu vi b ng 2. Ch ng minh r ng:
52
 a 2  b2  c 2  2abc  2
27
Gi i:
a bc

T gi thi t ta có n a chu vi p 
 1 và p  a  1  a; p  b  1  b; p  c  1  c là các s th c
2
d ng.
 a bc
Áp d ng b t đ ng th c AM – GM d ng abc  
 , ta đ
3


3

c:

1
 1  a  1  b  1  c   3  ( a  b  c) 
0  (1  a )(1  b)(1  c)  

 

3
3
27

 

28
 1  ab  bc  ca  abc 
(*)
27

4  (a 2  b 2  c 2 )
M t khác: 4  (a  b  c)2  a 2  b 2  c 2  2(ab  bc  ca )  ab  bc  ca 
2
2
2
2
4  (a  b  c )
28
 abc 
Khi đó (*)  1 
2
27
52

 a 2  b2  c 2  2abc  2 (đpcm).
27
3

3

Giáo viên
Ngu n

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

: Nguy n Thanh Tùng

:
Hocmai.vn

- Trang | 5 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam

5 L I ÍCH C A H C TR C TUY N






Ng i h c t i nhà v i giáo viên n i ti ng.
Ch đ ng l a ch n ch ng trình h c phù h p v i m c tiêu và n ng l c.
H c m i lúc, m i n i.
Ti t ki m th i gian đi l i.
Chi phí ch b ng 20% so v i h c tr c ti p t i các trung tâm.

4 LÍ DO NÊN H C T I HOCMAI





Ch

ng trình h c đ c xây d ng b i các chuyên gia giáo d c uy tín nh t.

i ng giáo viên hàng đ u Vi t Nam.
Thành tích n t ng nh t: đã có h n 300 th khoa, á khoa và h n 10.000 tân sinh viên.
Cam k t t v n h c t p trong su t quá trình h c.

CÁC CH

NG TRÌNH H C CÓ TH H U ÍCH CHO B N

Là các khoá h c trang b toàn
b ki n th c c b n theo
ch ng trình sách giáo khoa
(l p 10, 11, 12). T p trung
vào m t s ki n th c tr ng
tâm c a kì thi THPT qu c gia.

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

Là các khóa h c trang b toàn
di n ki n th c theo c u trúc c a
kì thi THPT qu c gia. Phù h p
v i h c sinh c n ôn luy n bài
b n.

Là các khóa h c t p trung vào
rèn ph ng pháp, luy n k
n ng tr c kì thi THPT qu c
gia cho các h c sinh đã tr i
qua quá trình ôn luy n t ng
th .

Là nhóm các khóa h c t ng
ôn nh m t i u đi m s d a
trên h c l c t i th i đi m
tr c kì thi THPT qu c gia
1, 2 tháng.

-