Giáo trình hướng dẫn cách sử dụng bất đẳng thức cauchy và điều kiện để thỏa đẵng thức cauchy phần 6 docx

Chơng 5. Biến Đổi Fourier Và Biến Đổi Laplace
Trang 80 Giáo Trình Toán Chuyên Đề
(t) =



<

0 t 0
0t 1
gọi là hàm nhảy đơn vị
(t, h) =
h
1
[

(t) -

(t - h)] =





>
<
ht ,0t 0
ht 0
h
1

gọi là hàm xung
(t) =
0h
lim


(t, h) =




=+
0t 0
0 t
gọi là hàm xung Dirac (5.1.2)

Định lý
Hàm xung Dirac có các tính chất sau đây.
1.

+

dt)t( = 1
2. Với mọi hàm f liên tục tại 0

+

dt)t()t(f = f(0)
3. t 3, (t) =

t
d)( =

+

0
d)t( và (t) = (t)
Chứng minh
1.

+

dt)t( =

+


dt)h,t(lim
0h
=
0h
lim



h
0
dt)h,t( = 1

2.

+

dt)t()t(f =

+


dt)h,t(lim)t(f
0h
=
0h
lim


h
0
dt)t(f
h
1
= f(0)
3. Xét tích phân (t, h) =



t
d)h,( =

<<

ht 1
ht0
h
t

0t 0

Chuyển qua giới hạn (t) =
0h
lim

(t, h)
Từ đó suy ra các hệ thức khác.

Cho các hàm f, g F(3, ). Tích phân
t 3, (fg)(t) =

+

d)t(g)(f (5.1.3)
gọi là tích chập của hàm f và hàm g.

Định lý Tích chập có các tính chất sau đây.
1. f, g L

1
f g L
1
và || f g ||
1
|| f ||
1
|| g ||
1
2. f, g L
1
f g = g f
3. f L
1
C(3, ) f = f = f
4. f, g, h L
1
, (f + g) h = f h + g h
Chứng minh
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g

e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F

-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.

c
o
m
Chơng 5. Biến Đổi Fourier Và Biến Đổi Laplace
Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 81
1. Do hàm g khả tích tuyệt đối nên bị chặn trên 3
(t, ) 3
2
, | f()g(t - ) | || g ||

| f() |
Do f khả tích tuyệt đối nên tích phân suy rộng (fg)(t) hội tụ tuyệt đối và bị chặn đều
|| f g ||
1
=

+

+

dtd)t(g)(f


+

+

ddt|)t(g||)(f|
= || f ||
1
|| g ||
1
2. t 3, (fg)(t) =

+

d)t(g)(f =

+

d)(g)t(f = (gf)(t)
3. t 3, (f)(t) =

+


d)h,(lim)t(f
0h
=

h
0
0h
d)t(f
h
1
lim = f(t)
4. Suy ra từ tính tuyến tính của tích phân




Đ2. Các bổ đề Fourier

Bổ đề 1 Cho hàm f L
1
. Với mỗi f 3 cố định kí hiệu f
x
(t) = f(t - x) với mọi t 3
Khi đó ánh xạ : 3 L
1
, f f
x
là liên tục theo chuẩn.
Chứng minh
Ta chứng minh rằng
> 0, > 0 : x, y 3, | x - y | < || (x) - (y) ||
1
<

Thật vậy
Do hàm f khả tích tuyệt đối nên
> 0, N > 0 :

N|t|
dt|)t(f| <
4
1


Trong khoảng [-N, N] hàm f có hữu hạn điểm gián đoạn loại một
a
1
= - N < a
2
< < a
m
= N với

= Max{
|
a
k
- a
k-1

|
: k = 1 m}
và trên mỗi khoảng con [a
k-1

, a
k
] hàm có thể thác triển thành hàm liên tục đều




> 0,



> 0 :
|
x - y
|
<




|
f(x) - f(y)
|
<


m
2

Từ đó suy ra ớc lợng

|| (x) - (y) ||
1
=

+

dt)yt(f)xt(f




N|t|
dt)yt(f)xt(f
+


=


m
1k
a
a
k
1k
dt)yt(f)xt(f
<

Với mọi (, t, x) 3
*
+
ì 3 ì 3 kí hiệu
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c

u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r

w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Chơng 5. Biến Đổi Fourier Và Biến Đổi Laplace
Trang 82 Giáo Trình Toán Chuyên Đề
H(t) = e
-|t|
và h

(x) =

+

dte)t(H
2
1
ixt
(5.2.1)

Bổ đề 2 Các hàm H(t) và h

(x) có các tính chất sau đây

1. t 3, 0 < H(t) 1
0
lim

H(

t) = 1
+
lim H(

t) = 0

2.

(

, x)


3

*
+
ì

3
h

(x) =
22
x
1
+





+


dx)x(h = 1
3. f L
1
(f h

)(x) =

+

+

dte)t(Hdse)s(f
2
1
ixtist

4. g L

liên tục tại x 3
0
lim

(g h

)(f) = g(x)
5. f L
1

0
lim

|| f h

- f ||
1
= 0
Chứng minh
1. Suy ra từ định nghĩa hàm H(t)
2. Tính trực tiếp tích phân (5.2.1)
h

(x) =








+


+
+

+
0
t)ix(
0

t)ix(
dtedte
2
1
=






+

+ ix
1
ix
1
2
1
=
22
x
1
+




3. Theo định nghĩa tích chập và hàm h

(f h

)(x) =

+


dy)y(h)yx(f =

+

+













dte)t(Hdye)yx(f
2
1
ixtt)yx(i

Đổi biến s = x - y ở tích phân bên trong nhận đợc kết quả.
4. Theo định nghĩa tích chập và hàm h


(g h

)(x) =

+


dy)y(h)yx(g =

+

ds)s(h)sx(g
1
với y = s
Ước lợng trực tiếp
(x, s) 3
2
, | g(x - s)h
1
(s) | || g ||

| h
1
(s) |
Suy ra tích phân trên bị chặn đều. Do hàm g liên tục nên có thể chuyển giới hạn qua dấu

tích phân.
(g h

)(x)




0


+

ds)s(h)x(g
1
= g(x)
5. Kí hiệu
y 3, g(y) = || f
y
- f ||
1
=

+

dx|)x(f)yx(f| 2|| f ||
1
Theo bổ đề 1. hàm g liên tục tại y = 0 với g(0) = 0 và bị chặn trên toàn 3
Từ định nghĩa chuẩn, tích chập và hàm h

Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-

t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w

w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Chơng 5. Biến Đổi Fourier Và Biến Đổi Laplace
Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 83
|| fh

- f ||
1
=

+


dx|)x(f)x)(hf(| =

+

+


dxdy)y(h))x(f)yx(f(



+


+









dy)y(hdx|)x(f)yx(f|
= (gh

)(0)




0

g(0) = 0
Suy ra từ tính chất 4. của bổ đề 2.






Đ3. Biến đổi Fourier

Cho các hàm f, F L
1
kí hiệu
3,
f
)
(
) =

+


dte)t(f
ti
(5.3.1)
t 3,
F
(
(t) =

+




de)(F
2
1
it
(5.3.2)
Ngoài ra hàm f và hàm g gọi là bằng nhau hầu khắp nơi trên 3 nếu


R
dx|)x(g)x(f|
= 0

Định lý Với các kí hiệu nh trên
1. f L
1

f
)
C
0
L
1
và ||
f
)

||

|| f ||
1

2. F L
1

F
(
C
0
L
1
và ||
F
(
||

|| f ||
1

3. Nếu
f
)
= F thì
F
(

n.k.h

=
f
Chứng minh
1. Theo giả thiết hàm f khả tích tuyệt đối và ta có
(, t) 3
2
, | f(t)e
-i

t
| = | f(t) |
Suy ra tích phân (5.3.1) bị chặn đều. Do hàm f(t)e
-i

t
liên tục nên hàm
f
)
() liên tục.
Biến đổi tích phân

f
)
() =

+



+

dte)t(f
)t(i
= -

+




dte)t(f
ti

Cộng hai vế với công thức (5.3.1) suy ra
2|
f
)
() |

+




dt|e||)t(f)t(f|
ti
= || f -


f
||

1





+
0
Do ánh xạ

liên tục theo chuẩn theo bổ đề 1.
Ngoài ra, ta có
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e

r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g

e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Chơng 5. Biến Đổi Fourier Và Biến Đổi Laplace
Trang 84 Giáo Trình Toán Chuyên Đề
||
f

)
||

= sup
R
|
f
)
() | sup
R

+


dt|e||)t(f|
ti
= || f ||
1

2. Kí hiệu F
-
(t) = F(- t) với t 3. Biến đổi công thức (5.3.2)
)t(F
(
=

+

de)-(F
2
1
it
=
)t(F
2
1
-
)

với = -
Do hàm F L
1
nên hàm F
-
L
1
và kết quả đợc suy ra từ tính chất 1. của định lý.
3. Theo tính chất 3. của bổ đề 2 và tính chất của tích phân bị chặn đều
(f h

)(t) =

+

de)(H)(f
2
1
it
)
=

+




de)(H)(F
2
1
it





0
)t(F
(

Mặt khác theo tính chất 5. của theo bổ đề 2
|| fh

- f ||
1

0
0
Do tính chất của sự hội tụ theo chuẩn
t 3, (fh

)(t)
n.k.h
0


f(t)
Do tính duy nhất của giới hạn suy ra
F
(

n.k.h
=
f



Cặp ánh xạ
F : L
1
C

0
, f
f
)
và F
-1
: L
1
C
0
, F
F
(
(5.3.3)
xác định theo cặp công thức (5.3.1) và (5.3.2) gọi là cặp
biến đổi Fourier
thuận nghịch.
Do tính chất 3. của định lý sau này chúng ta lấy F =
f
)
và đồng nhất f
F
(
. Hàm f gọi là
hàm gốc
, hàm F gọi là
hàm ảnh
và kí hiệu là f F.

Ví dụ

1. f(t) = e
-at
(t)
f
)
() =

+

+
dte)t(
t)ia(
=
+ ia
1
với Re a > 0
f(t) = e
-

|t|
( > 0)
f
)
() =



0
t)i(
dte +

+
+
0
t)i(
dte =



i
1
+

+

i
1
=
22
2
+


2. (t) u() =

+


dte)t(
ti

= 1 và u(t) =

+


de)(
it
= 1 F() = 2()
3. f(t) =



>

T |t|0
T |t|1

f
)
() =



T
T
ti
dte = 2


Tsin

F() = 2


Tsin

F
(
(t) =




+


de
Tsin
2
2
1
ti
f(t) ngoại trừ các điểm t = T
F() =



>

T ||0

T ||1

F
(
(t) =





T
T
it
de
2
1
=
t
Ttsin



2
1
f
)
(t)
Click to buy NOW!
P
D

F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k

.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c

u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m