Cách sử dụng bất đẳng thức AM – GM dưới dạng cộng mẫu (dạng cơ bản)

Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

B T

BDT- GTLN - NN

NG TH C AM – GM D NG C NG M U
ÁP ÁN BÀI T P T LUYÊN
Giáo viên: NGUY N THANH TÙNG

ây là tài li u tóm l c các ki n th c đi kèm v i bài gi ng D ng c ng m u thu c khóa h c Luy n thi THPT qu c gia
Pen - C: Môn Toán (GV: Nguy n Thanh Tùng) t i website Hocmai.vn.
có th n m v ng ki n th c ph n này, b n c n
k t h p xem tài li u cùng v i bài gi ng này.

Bài 1. Cho a , b, c là các s th c l n h n 
bi u th c: P 

1
1
1
1
th a mãn:


 2 . Tìm giá tr nh nh t c a
a 1 b 1 c 1
4

1

1
1


4a  1 4b  1 4c  1

Gi i
1 1
4
Áp d ng b t đ ng th c d ng  
, ta có:
x y x y
1  1
1  1
1
4
4
4
1
1
1
 1
P 1  
 
 
 






 2  P 1
 4a  1 3   4b  1 3   4c  1 3  4a  4 4b  4 4c  4 a  1 b  1 c  1

Khi a  b  c 

1
thì P  1 . V y giá tr nh nh t c a P là 1 .
2

Bài 2. Cho a , b, c là các s th c d

ng và a 2  b2  c2  1 . Ch ng minh r ng:

Gi i
1 1 1
9
Áp d ng b t đ ng th c d ng   
, ta đ
x y z x y z

1 1 1
   a  b  c  2 3
a b c

c:

1 1 1
9
1 1 1

9
    a  b  c 
 a  b  c
  
a b c
a bc
a b c a bc

t t  a bc  0
Áp d ng b t đ ng th c d ng 3(a 2  b2  c2 )  (a  b  c)2 hay a  b  c  3(a 2  b2  c 2 ) , ta đ

c:

t  a  b  c  3  a 2  b2  c 2   0  t  3
1 1 1
9
    a  b  c    t  f t 
a b c
t
9
9
Xét: f  t    t , t  0; 3   f   t    2  1  0
t
t

Khi đó





 



V y hàm s ngh ch bi n trên 0; 3   f  t   f 3  2 3, t  0; 3  .
1
1 1 1
Suy ra     a  b  c   2 3 . D u “=” x y ra khi a  b  c 
(đpcm).
a b c
3

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Bài 3. Cho x, y là các s th c d

P

ng th a mãn đi u ki n x  y 

BDT- GTLN - NN

4
. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c
3

3 1

x 3y

Gi i:
1 1 1 1
16
Áp d ng b t đ ng th c d ng    
, ta đ c:
a b c d a bcd
3 1 1 1 1 1
16
16
16
P 
   


4

x 3 y x x x 3 y x  x  x  3 y 3( x  y) 3. 4
3
1

Khi x  1, y  thì P  4 . V y giá tr nh nh t c a P là 4 .
3
Bài 4. Cho x, y, z là các s th c d

P

ng th a mãn x  y  z  3 . Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c:

1
1
1


 xy  yz  zx
x y y z z x
Gi i:

(a  b  c) 2
1 1 1
9
Áp d ng b t đ ng th c d ng   
và ab  bc  ca 
, ta đ
3
a b c a bc

c:

1
1

1
9
( x  y  z) 2
9 32 9


 xy  yz  zx 


 
x y y z z x
2( x  y  z)
2.3 3 2
3
9
9
Khi x  y  z  1 thì P  . V y giá tr l n nh t c a P là .
2
2
1 1 1
Bài 5 (A – 2005). Cho x, y, z là các s th c d ng th a mãn    4 . Ch ng minh r ng :
x y z
1
1
1


1
2x  y  z x  2 y  z x  y  2z
Gi i:

1
11 1
Áp d ng b t đ ng th c d ng
    , ta đ c:
a b 4 a b 
P

1
1
1 1
1  1  1  1 1  1  1 1  1  2 1 1 
 


  .             
2 x  y  z ( x  y)  ( x  z) 4  x  y x  z  4  4  x y  4  x z   16  x y z 
T

ng t ta có:

Suy ra

1
1 1 2 1
1
1 1 1 2
     và
    
x  2 y  z 16  x y z 
x  y  2 z 16  x y z 

1
1
1
1 1 1 1


 .4.      1
2 x  y  z x  2 y  z x  y  2 z 16  x y z 

3
.
4
Bài 6. Cho x, y là các s th c d ng th a mãn đi u ki n x  y  1 . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c
D u “=” x y ra khi x  y  z 

P

x2
y2
1


 x y
1 x 1 y x  y

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

BDT- GTLN - NN

Gi i:
( x  1)( x  1)  1 ( y  1)( y  1)  1
1
Ta có P 


 x y
1 x
1 y
x y

 ( x  1) 

1
1
1
1
1
1
 ( y  1) 


 x y 


2
1 x
1 y x  y
1 x 1 y x  y

1 1 1
9
, ta có:
  
a b c a bc
1
1
1
9
9
5

P

2
2  2 
1 x 1 y x  y
1 x 1 y  x  y
2
2

Áp d ng b t đ ng th c d ng

1
5
5
thì P  . V y giá tr nh nh t c a P là .
3
2
2
1 1 1
Bài 7. Cho a , b, c là các s th c d ng th a mãn đi u ki n    1 . Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c
a b c
1
8
P

(a  1)(b  1)(c  1) (a  1)(b  1)(c  1)
Gi i:
T gi thi t ta có ab  bc  ca  abc , suy ra:
(a  1)(b  1)(c  1)  abc  (ab  bc  ca )  a  b  c  1  a  b  c  1

(a  1)(b  1)(c  1)  abc  (ab  bc  ca )  a  b  c  1  2abc  a  b  c  1
1
8
Khi đó P 

a  b  c  1 2abc  a  b  c  1

Khi x  y 

1 1 1
Áp d ng b t đ ng th c d ng ( x  y  z)      9 , ta đ
 x y z

 1 1 1
c: a  b  c  (a  b  c)      9
a b c

Áp d ng b t đ ng th c AM – GM d ng x  y  z  3 3 xyz , ta đ

c:

abc  ab  bc  ca  3 3 ab.bc.ca  3 3 (abc)2  (abc)3  27(abc)2  abc  27

1
8
1


9  1 2.27  9  1 4
D u “=” x y ra khi a  b  c  3 .
Bài 8. Cho a , b, c là các s th c d

Suy ra P 

ng. Ch ng minh r ng:

9
1
1  1 1 1

 1
 2


  
a bc
 a b bc ca  a b c
Gi i:
1 1 1
9
Áp d ng b t đ ng th c AM – GM d ng c b n   
, ta đ
x y z x y z

c:

1
1
1
9
9
9
1
1 
 1






 2


 (1)
a  b b  c c  a a  b  b  c  c  a 2(a  b  c)
a bc
 a b bc ca 

M t khác, c ng theo b t đ ng th c AM – GM d ng c b n

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

1 1
4
, ta đ
 
x y x y

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

c:

- Trang | 3 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

BDT- GTLN - NN

1 1 1 11 1 1 1 1 1 1  4
4
4 
1
1 
 1
           .




  2

a b c 2 a b b c c a  2  a b bc c a 
 a b bc ca 

T (1) và (2) suy ra :

(2)

9
1
1  1 1 1
 1
 2


  

a bc
 a b bc ca  a b c

D th y đ ng th c trong c hai đ ng th c x y ra khi a  b  c .
Bài 9. Cho a , b, c là các s th c d ng th a mãn a 2  b2  c2  3 . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c:
1
1
1


1  ab 1  bc 1  ca
Gi i:
1 1 1
9
Áp d ng b t đ ng th c d ng   
và d ng x2  y2  z2  xy  yz  zx , ta đ
x y z x y z
P

c:

1
1
1
9
9
9
3







2
2
2
1  ab 1  bc 1  ca 1  ab  1  bc  1  ca 3  ab  bc  ca 3  a  b  c
2
3
3
Khi a  b  c  1 thì P  . V y giá tr nh nh t c a P b ng .
2
2
2
2
2
Bài 10. Cho a , b, c là các s th c d ng th a mãn a  b  c  3 . Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c:
P

P

Áp d ng b t đ ng th c d ng

ab
bc
ca


a  b  2c b  c  2a c  a  2b

Gi i:

1
11 1
    , ta đ
x y 4  x y 

c:

ab
ab 
1
1 1
1  1  ab

 ab.
 ab. 


 
a cbc
4ca bc 4ca bc
a  b  2c

T

ng t ta đ

c:

bc
1  bc
bc 
ca
1  ca
ca 
 

 

 và

b  c  2a 4  a  b c  a 
c  a  2b 4  b  c a  b 

C ng v các b t đ ng th c trên ta đ

1  ab
ab
bc
bc
ca
ca  a  b  c
c: P  







4 c a bc a b c a bc a b 
4

M t khác, áp d ng b t đ ng th c d ng: 3( x2  y2  z2 )  ( x  y  z)2 , ta đ

c:

9  3(a 2  b2  c2 )  (a  b  c)2  a  b  c  3
3
a bc 3
 . D u “=” x y ra khi a  b  c  1 . V y giá tr l n nh t c a P b ng .
4
4
4
Bài 11. Cho x, y, z là các s th c d ng th a mãn xyz  1 . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c:

Khi đó P 

P

1
1
1


xy  x yz  y zx  z

Gi i:

a

b
c
v i a , b, c  0
x ; y ; z
b
c
a
1
1
1
bc
ca
ab





Khi đó P 
a b a b c b c a c ab  ac bc  ba ca  cb
. 
. 
. 
b c b c a c a b a
1
1 
 bc
  ca
  ab


 1

 1  
 1  
 1  3  (ab  bc  ca ) 


3
 ab  ac   bc  ba   ca  cb 
 ab  ca bc  ab ca  bc 
Do

xyz  1

nên

Hocmai.vn – Ngôi tr

ta

th c

hi n

phép

ng chung c a h c trò Vi t

đ t

sau:

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 4 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Áp d ng b t đ ng th c d ng

1 1 1
9
ta đ
  
x y z x y z

BDT- GTLN - NN

c:

1
1 
9
3
 1
P  (ab  bc  ca ) 



3
  3  (ab  bc  ca ).
2
2(ab  bc  ca )
 ab  ca bc  ab ca  bc 
3
3
Khi x  y  z  1 thì P  . V y giá tr nh nh t c a P là .
2
2
Bài 12. Cho x, y, z là các s th c d ng th a mãn x  y  z  3 . Ch ng minh r ng:

1
1
1
1
1
1





x  3 y y  3z z  3x x  3 y  3 z  3
Gi i:
1 1
4
Áp d ng b t đ ng th c AM – GM d ng  
, ta đ c:
a b a b

1
1
4
4
2
1
1
2
hay
(1)






x  3y z  3 y  3
x  3y z  3 x  3y  z  3 3  2 y  3 y  3
T

ng t ta đ

c

1
1
2
1
1
2

(2) và
(3)




y  3z x  3 z  3
z  3x y  3 x  3

C ng theo v (1), (2) và (3) ta đ

c:

1
1
1
1
1
1





x  3 y y  3z z  3x x  3 y  3 z  3

D u “=” x y ra khi x  y  z  1.
Bài 13. Cho x, y, z là các s th c d

ng th a mãn xy  yz  zx  xyz . Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c:

1
1
1


x  3 y  2 z y  3z  2 x z  3x  2 y
Gi i:
1 1 1
Ta có xy  yz  zx  xyz     1
x y z
P

Áp d ng b t đ ng th c AM – GM d ng

1
11 1
1
11 1 1
     , ta đ
    và
a b 4 a b 
a bc 9 a b c 

c:

1
1
1 1
1  1

1
1
1 11 1 1 1
1 1 1 2

 

 .    
    
  .
x  3 y  2 z ( x  2 z)  3 y 4  x  2 z 3 y  4 x  z  z 12 y 4 9  x z z  12 y 12  3x y 3z 
T

ng t ta có:

1
1 1 1 2 
1
1 1 1 2 
     và
    
y  3z  2 x 12  3 y z 3x 
z  3x  2 y 12  3z x 3 y 

Khi đó ta có: P 

1  1 1 2 1 1 2 1 1 2  11 1 1 1
         
   
12  3x y 3z 3 y z 3x 3z x 3 y  6  x y z  6

Bài 14. Cho a , b, c, d là các s th c d
3

ng th a mãn

1 1 1 1
    4 . Ch ng minh r ng:
a b c d

a 3  b3 3 b3  c 3 3 c 3  d 3 3 d 3  a 3



 2(a  b  c  d )  4
2
2
2
2
Gi i:

x3  y3  z3
Áp d ng b t đ ng th c AM – GM d ng xyz 
, ta đ
3
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

c:

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 5 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

3
3
 a b  a b a b



 

a 3  b3
4
4
a 2  b2
a  b a  b 3 a 3  b3
2
 2   2 

.

.

.

.
2
( a  b) 2 2
2
2
( a  b) 2
3
a b
3

3

T

BDT- GTLN - NN

ng t ta có:

3

b3  c 3 b 2  c 2

;
2
bc

V y ta c n ch ng minh:

3

c3  d 3 c 2  d 2

;
2
cd

3

3

d3  a3 d 2  a2

2
d a

a 2  b2 b2  c 2 c 2  d 2 d 2  a 2



 2(a  b  c  d )  4
a b
bc
cd
d a


a 2  b2  
b2  c 2  
c2  d 2 
 a b 







b
c
c
d
 
 

ab  
b c  
c d 

ab
bc
cd
da
1
1




2 

1 1 1

a  b b c c d d a


a b b
1 1
4
, ta đ c:
Áp d ng b t đ ng th c AM – GM d ng  
x y x y


 d a

1

1 1

c c

d 2 a 2 

 4
d a 
1

2
1 1 1

d d a





1
1




 4



1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
121 1 2 1 




  
  
a b b c c d d a a b b c c d d a
a b c c d a 
4
8
8
 4.

 2

1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 4
  
    
a b c c d a a b c d
D u “=” x y ra khi a  b  c  d  1.
1 1
1
Bài 15. Cho n  * và n s th c d ng x1 , x2 ,..., xn th a mãn
  ...   n . Tìm giá tr nh nh t
x1 x2
xn
1

1

1

1

4

4

xnn
x22 x33
c a bi u th c: P  x1    ... 
n
2 3
Gi i:
V i m i n  k  1 , áp d ng b t đ ng th c AM – GM cho k s ta đ

Giáo viên
c: Ngu n

xkk
k 1
 xkk 
x  (k  1)  x  1  1  ...  1  kxk 
(*) .
k
k
k 1
k
k

: Nguy n Thanh Tùng
:
Hocmai.vn

k
k

Áp d ng (*) cho k ch y t 1 đ n n ta thu đ c n đánh giá t
C ng theo v các b t đ ng th c này l i, ta đ c:

ng t .

xnn
x22 x33
n 1 

1 2
P  x1    ...   ( x1  x2  ...  xn )     ... 

2 3
n
n 
2 3
M t khác, áp d ng b t đ ng th c AM – GM d ng c b n: x1  x2  ...  xn 

n2
1 1
1
  ... 
x1 x2
xn



n2
n
n

n 1 
1 1
1
1 2
Suy ra P  n     ... 
  1    ... 
n 
n

2 3
2 3
1 1
1
1 1
1
Khi x1  x2  ...  xn  1 thì P  1    ...  V y giá tr nh nh t c a P b ng 1    ...  .
2 3
n
2 3
n
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 6 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam

5 L I ÍCH C A H C TR C TUY N






Ng i h c t i nhà v i giáo viên n i ti ng.

Ch đ ng l a ch n ch ng trình h c phù h p v i m c tiêu và n ng l c.
H c m i lúc, m i n i.
Ti t ki m th i gian đi l i.
Chi phí ch b ng 20% so v i h c tr c ti p t i các trung tâm.

4 LÍ DO NÊN H C T I HOCMAI





Ch

ng trình h c đ c xây d ng b i các chuyên gia giáo d c uy tín nh t.
i ng giáo viên hàng đ u Vi t Nam.
Thành tích n t ng nh t: đã có h n 300 th khoa, á khoa và h n 10.000 tân sinh viên.
Cam k t t v n h c t p trong su t quá trình h c.

CÁC CH

NG TRÌNH H C CÓ TH H U ÍCH CHO B N

Là các khoá h c trang b toàn
b ki n th c c b n theo
ch ng trình sách giáo khoa
(l p 10, 11, 12). T p trung
vào m t s ki n th c tr ng
tâm c a kì thi THPT qu c gia.

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

Là các khóa h c trang b toàn
di n ki n th c theo c u trúc c a
kì thi THPT qu c gia. Phù h p
v i h c sinh c n ôn luy n bài
b n.

Là các khóa h c t p trung vào
rèn ph ng pháp, luy n k
n ng tr c kì thi THPT qu c
gia cho các h c sinh đã tr i
qua quá trình ôn luy n t ng
th .

Là nhóm các khóa h c t ng
ôn nh m t i u đi m s d a
trên h c l c t i th i đi m
tr c kì thi THPT qu c gia
1, 2 tháng.

-