Kĩ thuật truy ngược dấu trong bất đẳng thức AM – GM

/>
Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

K THU T TRUY NG

BDT- GTLN - NN

CD U

ÁP ÁN BÀI T P T LUY N

có th n m v ng ki n th c ph n này, b n c n k t h p xem tài li u cùng v i bài gi ng này.

Bài 1. Cho a , b, c là các s th c d

ng. Ch ng minh r ng:

a3
b3
c3
a bc



2
2
2
2
2
2

a b b c c a
2

nT
hi
D
ai

Hocmai.vn.

Gi i:

a3
b
a
a (a  b )  ab
ab
ab2
b
.
V
y







a

a
a
a
2
2
2
2
2
2
2
2
a b
2
a b
a b
2ab
a b
2
2

Ch ng minh t

2

ng t ta đ

2

c:

2

b3
c
c3
a
;

b

c
2
2
2
2
2 c a
2
b c

uO

3

Ta có

H
oc
0

ây h c li u đi kèm khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Nguy n Thanh Tùng) t i website

1

Giáo viên: NGUY N THANH TÙNG

ng a i v i i  1; n th a mãn

n

a

 k . Ch ng minh r ng:

s/

Cho các s th c d

Ta

Nh n xét: T đây ta có th t ng quát bài 1 nh sau:

iL

ie

a3
b3
c3
a bc a bc
(đpcm).

Khi đó 2
 2 2 2
 a bc

2
2
2
2
a b b c c a

i

up

1

ro

a nn
a1n
a 2n
k


...


n 1
n 1
n 1

n 1
n 1
n 1
a1  (n  2)a 2
a 2  (n  2)a3
a n  (n  2)a1
n
Bài 10 – Ph n bài t p).

ok
.c
om

/g

(xem cách ch ng minh
Bài 2. Cho a , b, c là các s th c d

ng. Ch ng minh r ng:

a3
b3
c3
a bc



2
2
2

2
2
2
a  ab  b b  bc  c c  ca  a
3
Gi i:

a3
ab(a  b)
ab(a  b)
a  b 2a  b
a3
2a  b
a
a
a








hay
2
2
2
2
2

2
3ab
3
3
a  ab  b
a  ab  b
a  ab  b
3

.fa
ce
bo

Ta có
T

ng t :

b3
2b  c
c3
2c  a


và
2
2
2
2
b  bc  c

3
c  ca  a
3

w

w

w

a3
b3
c3
2a  b  2b  c  2c  a a  b  c
 2
 2


Suy ra 2
2
2
2
a  ab  b b  bc  c c  ca  a
3
3
D u “=” x y ra khi a  b  c .
Chú ý: Ngoài cách gi i trên các b n có th s d ng k thu t ti p tuy n đ có đ c luôn:

a3
2a  b


2
2
a  ab  b
3

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

/>
- Trang | 1 -


/>
Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Bài 3. Cho x, y, z là các s th c d
th c:

BDT- GTLN - NN

ng th a mãn đi u ki n x  y  z  3 . Tìm giá tr nh nh t c a bi u

x2
x( x  2 y3 )  2 xy3
2 xy3

x



x  2 y3
x  2 y3
x  2 y3

H
oc
0

Ta có

1

x2
y2
z2
P


x  2 y3 y  2 z3 z  2 x3
Gi i:

Áp d ng AM – GM ta có: x  2 y3  x  y3  y3  3 3 xy6  3 y2 3 x

x2
2 xy3
2



 x  y 3 x2
x
3
23
x 2y
3
3y x

nT
hi
D
ai

Suy ra

y2
2 3 2
z2
2
 y z y ;
T ng t ta có:
 z  x 3 z2
3
3
3
z  2x
3
y  2z

2
2
Khi đó P  x  y  z  y 3 x2  z 3 y2  x 3 z2  3  y 3 x2  z 3 y2  x 3 z2
3
3







(1)

ie



Ta

 y  yx  yx  3 y 3 x2


M t khác, áp d ng AM – GM ta có:  z  zy  zy  3z 3 y2

3 2
 x  xz  xz  3x z

uO



iL



up

s/

 x  y  z  2( xy  yz  zx)  3 y 3 x2  z 3 y2  x 3 z2  y 3 x2  z 3 y2  x 3 z2 

x  y  z  2( xy  yz  zx)
3

Ap d ng b t đ ng th c d ng (a  b  c)2  3(ab  bc  ca ) ta có:

/g

x  y  z  2( xy  yz  zx) 3  2.3

 3 (2)
3
3

ok
.c
om

Suy ra y 3 x2  z 3 y2  x 3 z2 

ro

9  32  ( x  y  z)2  3( xy  yz  zx)  xy  yz  zx  3 (2)

2
T (1) và (2) suy ra P  3  .3  1
3
Khi x  y  z  1 thì P  1 . V y giá tr nh nh t c a P là 1 .

.fa
ce
bo

Bài 4. Cho x, y, z là các s th c d

P

ng th a mãn: x2  y2  z2  3 . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c:

1
1
1


2 x 2 y 2 z
Gi i:



Do x, y, z  0 và x2  y2  z2  3 , suy ra x, y, z thu c kho ng 0; 3



w

w

w

1
1
x2
x2 2  x
x2  1
 1 2
 1

0

Cách 1: Ta có 2
x 1
x 1
2x
2
2 x
2
T

ng t

1
y2  1
1
z2  1


và
2 y
2
2 z
2

x2  y2  z2  3 3  3

 3.
2
2
Khi x  y  z  1 thì P  3 . V y giá tr nh nh t c a P là 3.
C ng theo v các b t đ ng th c trên ta đ

Hocmai.vn – Ngôi tr

c: P 

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

/>

- Trang | 2 -


/>
Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

1
x2  1 x3  2 x2  x x( x  1)2
1
x2  1



 0 v i x  0; 3 

2 x
2
2(2  x)
2(2  x)
2 x
2
ng t nh Cách 1.



Cách 2: Xét hi u

Ch ng minh r ng:

ng th a mãn hai l n bình ph

ng c a m t s luôn l n h n hai s còn

1

Bài 5. Cho a , b, c là các s th c d
l i.



H
oc
0

Sau đó làm t

BDT- GTLN - NN

a6
b6
c6


 a 3  b3  c 3
2a 2  b 2b2  c 2c 2  a
Gi i:

nT
hi

D
ai

1
1
x2
x2 2  x
x2  1
Ta có luôn có Ta có 2
v i x  (0; 2) (*)
 1 2
 1

0

x 1
x 1
2x
2
2 x
2

ng t , ta đ

c:

c6
a 2  c4
b6
c 2  b4


;

2b 2  c
2
2c 2  a
2

ie

a6
b2  a 4
. Ch ng minh t

2a 2  b
2
Suy ra
V y

iL

Áp d ng (*), ta đ

uO

2

 b 
 2   1 b2  a 4
6

a
1
4
4 a 
a .
a .

c:
b
2a 2  b
2
2
2 2
a

ro

up

s/

Ta

a6
b6
c6
a 4  b4  c 4  a 2  b 2  c 2 a 4  a 2 b 4  b 2 c 4  c 2 AM GM 3 3 3







 a b c .
2a 2  b 2b2  c 2c 2  a
2
2
2
2
D u “=” x y ra khi a  b  c  1 .
a bc
1
1
1
Bài 6. Cho a , b, c là các s th c d ng. Ch ng minh r ng:


 3
1  ab 1  bc 1  ca
2
Gi i:

/g

1
1  ab  ab
ab AM GM
ab
ab


 1
 1
 1
1  ab
1  ab
1  ab
2
2 ab

ok
.c
om

Ta có

AM GM

 1

a b
1
a b
.V y
.
 1
4
1  ab
4

1

1
bc
ca
;
.
 1
 1
1  bc
4
1  ca
4
a bc
1
1
1
Suy ra
(đpcm). D u “=” x y ra khi a  b  c  1 .


 3
1  ab 1  bc 1  ca
2

ng t ta có:

.fa
ce
bo

T

Bài 7. Cho a , b, c là các s th c d
P

ng th a mãn a  b  c  3 . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c:

1
1
1


2
2
2  a b 2  b c 2  c2a
Gi i:

w

w

w

2
2  a 2b  a 2b
a 2b AM GM
a 2b
1

 1
 1

 1  3 a 4b 2
Ta có
2
2
2
3
2
2a b
2a b
11 a b
3
3 a b

V y

AM GM

1
 1  (a 2  ab  ab)
9

2
1
 1  (a 2  ab  ab) .
2
2a b
9

Ch ng minh t

ng t ta đ

c:

2
1
2
1
 1  (b2  bc  bc) ;
 1  (c 2  ca  ca )
2
2
2b c
9
2c a
9

Suy ra
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

/>
- Trang | 3 -


/>
Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam

Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

BDT- GTLN - NN

2
2
2
(a  b  c) 2
a 2  b2  c 2  2(ab  bc  ca )
3
3






 3 1  2  P  1
2  a 2b 2  b 2 c 2  c 2 a
9
9
Khi a  b  c  1 thì P  1 . V y giá tr nh nh t c a P là 1 .
Bài 8. Cho a , b, c là các s th c d ng và th a mãn a  b  c  3 . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c:
2P 

1

a 1 b 1 c 1



b2  1 c 2  1 a 2  1
Gi i:

H
oc
0

P

Ta có

iL

9  32  (a  b  c)2  3(a b  bc  ca )  ab  bc  ca  3

ie

uO

nT
hi
D
ai

(a  1)b 2 AM GM
(a  1)b 2
a  1 (a  1)(b2  1)  (a  1)b2
ab  b 2a  ab  b

 a 1 2

 a 1
 a 1

1
2
2
2b
2
2
b 1
b 1
b 1
a  1 2a  ab  b
b  1 2b  bc  c
V y 2

 1 . Ch ng minh t ng t ta đ c: 2

1 ;
b 1
2
c 1
2
c  1 2c  ca  a

1
a 2 1
2
a  b  c  (ab  bc  ca )
Suy ra P 

3
2
M t khác, áp d ng b t đ ng th c d ng ( x  y  z)2  3( xy  yz  zx) ta có:

Ta

33
 3  3 . D u “=” x y ra khi a  b  c  1 . V y giá tr nh nh t c a P là 3.
2
Bài 9. Cho a , b, c là các s th c d ng, th a mãn a  b  c  3 .

up

s/

Khi đó P 

*

.

ro

a
b
c
3


 v i n 

n
n
n
(n  1)b  1 (n  1)c  1 (n  1)a  1 n
Gi i:

ok
.c
om

/g

a (n  1)bn  1  (n  1)ab n
a
(n  1)abn



a
Ta có
(1)
(n  1)b n  1
(n  1)b n  1
(n  1)b n  1
AM GM

M t khác áp d ng b t đ ng th c AM – GM, ta có: (n  1)bn  1  bn  bn  ...  bn  1 

.fa
ce

bo

T (1) và (2), suy ra:
T

ng t ta có:

Suy ra

nb n 1 (2)

n 1 so bn

a
(n  1)ab
a
.
n
(n  1)b  1
n

b
c
(n  1)bc
(n  1)ca
;
b
c
n
n

n
n
(n  1)c  1
(n  1)a  1

a
b
c
n 1


 (a  b  c) 
(ab  bc  ca )
n
n
n
n
(n  1)b  1 (n  1)c  1 (n  1)a  1

w

w

w

M t khác, áp d ng b t đ ng th c d ng ( x  y  z)2  3( xy  yz  zx) ta có:
9  32  (a  b  c)2  3(a b  bc  ca )  ab  bc  ca  3

a
b

c
n 1
3


 3
.3  .
n
n
n
n
n
(n  1)b  1 (n  1)c  1 (n  1)a  1
D u “=” x y ra khi a  b  c  1 .
Khi đó

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

/>
- Trang | 4 -


/>
Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Bài 10. Cho các s th c d

ng a i v i i  1; n th a mãn

n

a

i

BDT- GTLN - NN

 k . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c:

1

a nn
a1n
a 2n


...

a1n 1  (n  2)a 2n 1 a 2n 1  (n  2)a3n 1
a nn 1  (n  2)a1n 1

1

Gi i:
Áp d ng b t đ ng th c AM – GM v i n  1 s ta đ c:

a1n1  (n  2)a 2n1  a1n1  a 2n1  a 2n1  ...  a 2n1  (n  1)a1a 2n2
n2

a1n
(n  2)a1a 2n 1
(n  2)a1a 2n 1
(n  2)a 2

a


a

 a1 
1
1
n 1
n 1
n 1
n 1
n2
a1  (n  2)a 2
a1  (n  2)a 2
n 1
(n  1)a1a 2

Xây d ng các b t đ ng th c t

ng t và c ng v v i v ta đ
n

n

P   ai 

(n  2) a i
1

c:

n



a
1

i



k
n 1

n 1
n 1
k
k
D u “=” x y ra khi a1  a 2  ...a n  . V y giá tr nh nh t c a P là .
n

n

Giáo viên
Ngu n

: Nguy n Thanh Tùng
:
Hocmai.vn

w

w

w

.fa
ce
bo

ok
.c
om

/g

ro

up

s/

Ta

iL

ie

uO

1

nT
hi
D
ai

Khi đó

H
oc
0

P

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

/>
- Trang | 5 -