Bất đẳng thức AM-GM (Cauchy)

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (122.2 KB, 5 trang )

Lê Thanh Bình Giáo viên Trờng THPT Tĩnh Gia 1

bất đẳng thức cauchy
A.Bất đẳng thức Cauchy
1.Bất đẳng thức Cauchy cho 2 số không âm :
Cho
0,

ba
Khi đó
ba
ba
.
2

+
Đẳng thức xảy ra
ba
=
Chứng minh:
Cách1: (Phơng pháp biến đổi tơng đơng)
ba
ba
.
2

+
0)(
2
2
2

+

baab
ba
Bđt hiển nhiên đúng.
Đẳng thức xảy ra
ba
=
.
Cách 2: (Phơng pháp hình học)
+ Nếu a =0 hoặc b=0 thì Bđt hiển nhiên đúng.
+ Nếu a>0 và b>0 thì ta đặt: HA=a, HB = b ( Hình vẽ )
baHBHAHCOI
ba
..
===
+

2
Đẳng thức xảy ra
baOHOIHC
==
2.Bất đẳng thức Cauchy cho 3 số không âm:

Cho
0,,

cba
Khi đó
3
3
abc
cba

++
Đẳng thức xảy ra
cba ==
Chứng minh: áp dụng Bđt Cauchy cho 2 số không âm, ta có
3333
4422)()( abcabcabcabccababccba
=++++
3
3 abccba
++
3.Bất đẳng thức Cauchy tổng quát
Cho
0,...,,
21

n
aaa
.Khi đó
n
n

i
i
n
i
i
aa
n

=
=

1
1
1

)(

Đẳng thức xảy ra
n
aaa
===
...
21
Chứng minh:
Cách 1: (Phơng pháp quy nạp)
Ta có Bđt
)(

đúng với n=2. (Bđt Cauchy cho hai số không âm !)

Giới thiệu các Bất đẳng thức cổ điển
1
C
I
B
A
H
O
Lê Thanh Bình Giáo viên Trờng THPT Tĩnh Gia 1
Giả sử Bđt
)(

đúng với n=k ,
)2(

k
Ta chứng minh Bđt
)(

đúng với n=k+1. Thật vậy:
Không mất tổng quát ,giả sử
121
....
+

kk
aaaa
yxachosaoyx
k
aaa

a
k
k
k
+==
+++

++
1
21
1
00
...
Theo giả thiết quy nạp ,ta có :
k
k
aaax .....
21

( ) ( )
.......
1
...
........
1
..1
11
.
1

...
1
121
121
121
11
11
1
121
+
+
+
+
++
++
+
+

+
++++

=+=+=
+
++

+
+=

+
++
=

+
+++

k
kk
kk
kk
kkkkk
kk
k
kk
aaaa

k
aaaa
aaaayxxyxx
k
y
xkx
k
y
x
k
yxxk
k
aaaa
Vậy Bđt
)(

đúng với
*
Nn

.
Cách 2: (Phơng pháp hàm số )
Đặt
n
n
i
in
n
i
in

aBa
n
A

=
=
==
1
1
,
1
Xét hàm số
.0,
1
)(
1

=

=
x

B
a
B
n
xf
x
n
i
n
i
n

==

=

=

n
i
n
i
x
n
i
n
n
i
n
i
x
n
i
n
B
a

B
a
B
n
xf
B
a
B
a
B
n
xf
1
2
1
ln
1
)(,ln
1
)(
)(00)( xfxxf

đồng biến trên
[
)
+
,0

.
.001ln
1
ln
1
)0()(
1
==

=

=
xB

n
B
a
B
n
fxf
n
n
n
n
i
i
n
)(xf

đồng biến trên
[
)
+
,0
.

=

n
i
n
n
i
n

nB
nB
a
B
n
ff
1
.
11
)0()1(
n
n
i
in
n
i
i
aBa
n

=
=
=
1
1
1
.
Dấu = xảy ra
.......2,11)0()1(

21 n
n
aaani
B
a
ff
i
======
Cách 3 : (Phơng pháp hàm lồi -Bất đẳng thức Jensen)
Giới thiệu các Bất đẳng thức cổ điển
2
Lê Thanh Bình Giáo viên Trờng THPT Tĩnh Gia 1
a. Nếu
0
=
i
a
thì Bđt
)(

hiển nhiên đúng.
b. Nếu
nia
i
...2,10
=>
,Xét hàm số
.0,ln)(
>=
xxxf

)(00
1
)(,
1
)(
2
xfx
x
xf
x
xf
>>=

=

là hàm lồi trên
( )
+
,0
.
( )

====

n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
a
n
a
n

af
n
a
n
f
1111
ln
11
ln)(
11

=
=
n
i
i
n
i
i
a
n
a
n
1
1
ln
11
ln
n
n
i
i
n
i
i
aa
n

=

=

1
1
1
.
Đẳng thức xảy ra
n
aaa
===
...
21
.
Cách 4: (Polya)
Đặt
( )
n
aaa
n
A
+++=
...
1
21
. Bđt Cauchy
)(....
21
=
BaaaA
n

n
a)Nếu
Aaaa
n
====
...
21
thì
n
n
Aaaa
=
....
21
,khi đó dấu = trong
)(

xảy ra.
b)Nếu tồn tại ít nhất một số bé hơn A thì sẽ tồn tại ít nhất một số lớn hơn A.
Do vai trò bình đẳng,ta có thể giả sử
21
aAa
<<
.
Khi đó thay
1
a
bởi
Aa =

1
thay
2
a
bởi
Aaaa
+=

212
( )

>=+=

+

=+

0)).((....
2121212121
2121
AaaAaaAaaAaaaa
aaaa
13232121
............... BaaaAaaaaaaaB
nnn
=

=

<=
Nh vậy trong
1
B
có thêm một thừa số bằng A .
Nếu trong
1
B
vẫn còn thừa số khác A ,thì ta lại tiếp tục thay thế nh trên. Sau tối đa n-2 lần ta sẽ
đổi đợc mọi thừa số
i
a
thành A .
Khi đó ta có :
n
Ason
n
AAAABBBaaa
=<<<<=

.............
2121
.
Vậy Bđt Cauchy đã đợc chứng minh.
Cách 5: (Sử dụng Bđt Bernoulli)
Nếu
0
=

j
a
thì Bđt Cauchy hiển nhiên đúng .
Do đó ta chỉ cần xét
nja
j
,...,3,2,1,0
=>
Đặt
nj
j
aaa
S
j
j
,...,2,1,
...
21
=
+++
=
.
Giới thiệu các Bất đẳng thức cổ điển
3
Lê Thanh Bình Giáo viên Trờng THPT Tĩnh Gia 1
Từ Bđt Bernoulli
.1,,,1)1(
*
++
aRaNnnaa

n
đặt 1+a=t ta đợc

+
Njttjt
j
,0)1(1

Njtjjtt
j
,0)1(
(1)
áp dụng (1) với
.,...,3,2,
1
nj
S
S
t
j
j
==

Ta đợc
[ ]
njSaSSjjSSj
S
S

j
S
S
j
j
j
j
j
jj
j
j
j
j
j
j
j
,...,3,2,)1()1(.
1
1
1
1
1
11
==

.
121
1
121
2
21
1
1
............ aaaaSaaaSaaSaS
nnnn
n
nnn
n
nn
n
n

=

.
Bđt Cauchy đợc chứng minh.
Cách 6:
Đặt
n
n
i
in
n
i
in
aBa
n
A

=
=
==
1
1
,
1
Sử dụng Bđt
xe
x
+
1
, Đẳng thức xảy ra
0

=
x
. Ta có:
n
n
n
n
i
i
n
n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
A
B
a
AA
a
A
a
A

a
e

==

=

==

===
=
111
1
0
1
1exp1exp1
nn
BA

. Đẳng thức xảy ra
n
n
i

aaani
A
a
=====
...,...,2,101
21
.
Cách 7: (Cách chứng minh của Kong-Ming-Chong @ Malaysia )
Đặt
)...(
1
21 nn
aaa
n
T
+++=
.Bđt Cauchy
n
n
n
aaaT ...
21

(1)
*) Nếu
n
aaa
===
...
21

thì (1) đúng và xảy ra đẳng thức.
*) Nếu
n
aaa ,...,,
21
không đồng thời bằng nhau ,ta sẽ chứng minh
n
n
n
aaaT ...
21
>
(2)
Với n=2 ,Bđt (2) hiển nhiên đúng.
Giả sử (2) đúng với n=k (
1

k
). Ta c/m (2) đúng với n=k+1 . Thật vậy :
Giả sử
121
,...,,
+
k
aaa
không đồng thời bằng nhau và
)...(
1
1
1211

++
+++
+
=
kk
aaa
k
T
jkiji
aTaaa
<<
+
1
chosao,
. Giả sử
211
aTa
k
<<
+
(Nếu cần có thể đánh lại thứ tự )
00))((
1
21
1212111
>+<
+
+++
k
kkk

T
aa
TaaaTaT
.
Xét k số không âm
)(,,...,,
121143
++
+
kk
Taaaaa
ta có
[ ]
1121143
)(...
1
+++
=+++++
kkk
TTaaaaa
k
Theo giả thiết quy nạp ta có
1
21
143121143
1
...)(...
+
+++
+

>+>
k
kkk
k
k
T
aa
aaaTaaaaaT
1321
1
1
....
+
+
+
>
k
k
k
aaaaT
(Đpcm).
Cách 8:
Giới thiệu các Bất đẳng thức cổ điển
4
Lê Thanh Bình Giáo viên Trờng THPT Tĩnh Gia 1
Đặt

=
=
n

i
in
a
n
A
1
1

n
n
i
in
aB

=
=
1
.Khi đó Bđt Cauchy trở thành
nn
BA

.
+) Với n=2 ,Bđt đúng.
+) Giả sử Bđt đúng với n=k , ta c/m Bđt đúng với n=k+1. Thật vậy
Ta có
BAa
k
Aka
A
k