Chuyên đề: Bất đẳng thức AM-GM (HSG)

Tr ường THPT Hùng Vương GV: Nguyễn Hữu Hiếu
"Đã 10 năm xa quê nhưng những kỷ niệm về tuổi thơ vẫn trường tồn".
Tự nhiên mò mò thấy trang WEB của THPT Đặng Thúc
Hứa, tui thấy có thằng bạn của tui hồi học Thanh Chương
1- Thầy NPK (Phân bón tốt cho lúa)- Dạy Hoá, tui gửi
tặng các bác Tổ Toán bài viết này. Các Bác Tổ Toán có
chuyên đề nào về "Phương trình hàm", "dãy số" không thì
cho tui với. Các bác muốn tìm chuyên đề nào tui có thể
chia sẻ. Tui cũng có khá nhiều.
E.mail:
Thân chào !
CHUYÊN ĐỀ : BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM
I. Bổ túc kiến thức về bất đẳng thức
a) Tính chất cơ bản của bất đẳng thức
Định nghĩa:
0a b a b≥ ⇔ − ≥
•
a b
a c
b c
≥

⇒ ≥

≥

•
a b a c b c≥ ⇔ + ≥ +
•
a b
a c b d

c d
≥

⇒ + ≥ +

≥

•
1 1
0a b
a b
≥ > ⇒ ≤
b) Một số bất đẳng thức cơ bản
•
Bất đẳng thức AM-GM.
Cho
n
số thực không âm
1 2
, ,..., ( 2)
n
a a a n ≥
ta luôn có
1 2
1 2
...
n
n
n
a a a

a a a
n
+ + +
≥
L
. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
1 2 n
a a a= = =L
.
•
Một vài hệ quả quan trọng: (t/c này quan trọng)
2
1 2
1 2
1 1 1
( ) vôùi 0, 1,
n i
n
a a a n a i n
a a a
 
+ + + + + + ≥ ∀ > =
 ÷
 
L L
2
1 2 1 2
1 1 1
vôùi 0, 1,
i

n n
n
a i n
a a a a a a
+ + + ≥ ∀ > =
+ + +
L
L
•
Bất đẳng thức BCS
Cho
2n
số dương (
, 2n Z n∈ ≥
):
1 2 1 2
, ,..., , , ,...,
n n
a a a b b b
ta có:
Tui ngài Đồng Văn Gửi lời thăm thầy Kháng 1
Tr ng THPT Hựng Vng GV: Nguyn Hu Hiu
"ó 10 nm xa quờ nhng nhng k nim v tui th vn trng tn".

2 2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2
( ) ( )( )
n n n n
a b a b a b a a a b b b+ + + + + + + + +L L L
Du = xy ra

1 2
1 2
(quy ửụực neỏu 0 0)
n
i i
n
aa a
b a
b b b
= = = = =L
II. Giỏ tr ln nht, giỏ tr nh nht
Cho
1 2
( , ,..., )
n
f x x x
l mt hm
n
bin thc trờn
: :
n n
D f D Ă Ă Ă

1 2 1 2
0 0 0 0 0 0
1 2 1 2
( , ,..., ) ( , ,..., )
Max
( , ,..., ) : ( , ,..., )
n n

D
n n
f x x x M x x x D
f M
x x x D f x x x M



=

=



1 2 1 2
0 0 0 0 0 0
1 2 1 2
( , ,..., ) ( , ,..., )
Min
( , ,..., ) : ( , ,..., )
n n
D
n n
f x x x m x x x D
f m
x x x D f x x x M



=

=


Tìm đợc lời giải cho một bài toán là một phát minh (Polya). Sẽ thông minh hơn nếu ta biết
vận dụng nó để sáng tạo và tìm lời giải cho các bài toán mới.
III. B i t p:
Bài tập 1:
1. Với hai số dơng x và y ta có:
)
11
(
4
11
yxyx
+
+
. Đẳng thức xảy ra khi x=y.
2. Cho ba số dơng a, b, c, ta có:
)
111
(
2
1111
cbaaccbba
++
+
+
+
+

+
. Đẳng thức xảy ra khi a =
b = c.
3. Cho ba số dơng a, b, c, ta có:
)
111
(
2
1
2
1
2
1
2
1
accbbabacacbcba
+
+
+
+
+

++
+
++
+
++
. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
a=b=c.
4. Với a, b, c là các số dơng:

)
111
(
4
1
2
1
2
1
2
1
cbabacacbcba
++
++
+
++
+
++
. Đẳng thức xảy ra
khi a = b = c. Chú ý: Nếu thêm giả thiết
4
111
=++
cba
thì bài toán là nội dung
câu V, Đề thi Đại học và Cao đẳng khối A, năm 2005.
5. Chứng minh rằng với a, b, c dơng:
accbbabacacbcba 3
1
3

1
3
1
2
1
2
1
2
1
+
+
+
+
+

++
+
++
+
++
.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : a=b=c.
6. Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn điều kiện x + y + z = 0,x + 1>0, y + 1 > 0, z + 4 > 0.
Hãy tìm giá trị lớn nhất của
1 1 4
x y z
Q
x y z
= + +
+ + +

7. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
x t t y y z z x
A
t y y z z x x t

= + + +
+ + + +
. Với x, y, z, t là các số
dơng.
8. Cho a, b, c là các số thực dơng. Chứng minh các bất đẳng thức:







+
+
+
+
+

++
+
++
+
++

+
+
+
+
+

++
+
++
+
++
bcabcabacacbcba
accbbabacacbcba
2
1
2
1
2
1
2
1
32
1
32
1
32

1
/2
4
1
.
111
)(32
1
)(32
1
)(32
1
/1
Tui ngi ng Vn Gi li thm thy Khỏng2
Tr ường THPT Hùng Vương GV: Nguyễn Hữu Hiếu
"Đã 10 năm xa q nhưng những kỷ niệm về tuổi thơ vẫn trường tồn".
9. Chøng minh r»ng nÕu a, b, c lµ c¸c sè thùc d¬ng tháa m·n ®iỊu kiƯn abc = ab + bc + ca
th×:
96
17
32
1
32
1
32
1
<
++
+
++

+
++
bacacbcba
10. Cho x > 0, y > 0 tháa m·n x + y
1
≤
. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa:
xy
xy
yx
A 4
21
22
++
+
=
11. Cho tam gi¸c ABC cã chu vi 2p=a+b+c (a,b,c lµ ®é dµi 3 c¹nh). Chøng minh r»ng:







++≥
−
+
−
+
− cbacpbpap

111
2
111
12. Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức A =
x
xx
2
562
2
+−
trong đó x > 0.
13. Cho
0
≥
x
, tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức Q =
( )
12
172
2
+
++
x
xx
14. Cho x > 0, tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức N =
x
x 2000
3
+
15. Cho x > 0 ; y > 0 và

6
≥+
yx
. Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức:
yx
yxP
1612
35
+++=
16. Cho x > 1, tìm giá trò lớn nhất của biểu thức A =
1
25
4
−
+
x
x
17. Cho
10
<<
x
, tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức B =
xx
4
1
3
+
−
18. Cho x, y, z
≥

0 thỏa mãn điều kiện
azyx
=++
a) Tìm giá trò lớn nhất của biểu thức A =
zxyzxy
++
b) Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức B =
222
zyx
++
19. Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn điều kiện
12
≥++
zyx
. Tìm giá trò nhỏ nhất
của biểu thức P =
x
z
z
y
y
x
++
20. Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn điều kiện
azyx
=++
. Tìm giá trò nhỏ nhất của
biểu thức Q =







+








+






+
z
a
y
a
x
a
111
21. Cho a, b, c là các số dương thoả mãn điều kiện
1=++ cba

. Tìm giá trò nhỏ nhất của
biểu thức A =
( )( )( )
( )( )( )
cba
cba
−−−
+++
111
111
22. Cho x, y thỏa mãn điều kiện
1
=+
yx
và x > 0. Tìm giá trò lớn nhất của biểu thức: B
=
32
yx
.
23. Tìm GTNN của
2
2
16
y x
x
= +
;
2
1
y x

x
= +
−
với x>1;
2
2
2
1
x
y
x
+
=
+
24. Tìm GTNN của hàm số a )
1 1
1
y
x x
= +
−
với
0 1x
< <

25.
1 2
1
y
x x

= +
−
( Viết
( )
2 1
1 2 1 1 2
3
1 1 1
x x
x x x x
x x x x x x
− +
− + −
+ = + = + +
− − −
)
26.
4 9
1
y
x x
= +
−
: ( Viết
( ) ( ) ( )
4 1 9 1 4 1
4 9 9
4 9
1 1 1
x x x x x

x
x x x x x x
− + − + −
+ = + = + + +
− − −
)
27. Chứng minh: a)
3
2
+ + ≥
+ + +
a b c
b c c a a b
với a, b, c > 0
Tui ngài Đồng Văn Gửi lời thăm thầy Kháng 3
Tr ường THPT Hùng Vương GV: Nguyễn Hữu Hiếu
"Đã 10 năm xa quê nhưng những kỷ niệm về tuổi thơ vẫn trường tồn".
b)
2 2 2
2
+ +
+ + ≥
+ + +
a b c a b c
b c c a a b
28.Cho a, b, c > 0 . Chứnng minh:
a)
( )
1 1
4

 
+ + ≥
 ÷
 
a b
a b
b)
( )
1 1 1
9
 
+ + + + ≥
 ÷
 
a b c
a b c
c)
2 2 2
+ + ≥ + +a b c ab bc ca
d)
( )
( )
2 2 2
9+ + + + ≥a b c a b c abc
e)
+ + ≥ + +
bc ca ab
a b c
a b c
f)

4 4 4 9
2 2 2
+ + ≥
+ + + + + + + +a b c a b c a b c a b c
g)
1 1 1
+ + ≥ + +
a b c
bc ca ab a b c
29. Cho
1 2
, ,...,
n
a a a
là các số thực dương thoả
1 2
. ... 1=
n
a a a
. Chứng minh:
( ) ( )
( )
1 2
1 1 ... 1 2+ + + ≥
n
n
a a a
30. Cho x, y, z > 0. Chứng minh
2 2 2
2 2 2

+ + ≥ + +
x y z x y z
y z x
y z x
31. Cho ba số dương x, y, z thoả x + y + z =1 . Chứng minh:
( ) ( ) ( )
8
.
729
x y y z z x xyz+ + + ≤
32. Cho a > 0, b > 0, c > 0 thoả a + b + c = 1. Chứng minh:
6+ + + + + ≤a b b c c a
33. Cho các số dương x, y, z thoả xyz=1 và n là 1 số nguyên dương. Chứng minh
1 1 1
3
2 2 2
+ + +
     
+ + ≥
 ÷  ÷  ÷
     
n n n
x y z
34. Cho x, y, z là 3 số dương. Chứng minh
3 2 4 3 5+ + ≥ + +x y z xy yz zx
35. Cho a, b, c là 3 số thực bất kỳ thoả a+b+c = 0. Chứng minh
8 8 8 2 2 2+ + ≥ + +
a b c a b c
36. Cho a, b, c, d > 0 . Chứng minh
2 2 2 2

5 5 5 5 3 3 3 3
1 1 1 1
+ + + ≥ + + +
a b c d
b c d a a b c d
37. Cho x, y, z tuỳ ý khác không. Chứng minh
2 2 2 2 2 2
1 1 1 9
+ + ≥
+ +x y z x y z
38. Chứng minh với x, y là 2 số không âm tuỳ ý, ta luôn có:
3 3 2
3 17 18+ ≥x y xy
39. Chứng minh
( ) ( ) ( ) ( )
4
5 4 3 6
1
4
+ + − −
≤
+ + +
a b c d
a b c d
với
5, 4, 3, 6a b c d> − > − > >
40. Cho a, b, c > 0. Chứng minh
( )
( )
2 2 2

1 1 1 3
2
 
+ + + + ≥ + +
 ÷
+ + +
 
a b c a b c
a b b c c a
41. Cho x, y, z > 0 Chứng minh
1 1 1 8
 
  
+ + + ≥
 ÷ ÷ ÷
  
 
x y z
y z x
42. Chứng minh
2
2
3
2
2
x
x
x
+
≥ ∀ ∈

+
¡
43. Chứng minh
8
6 >1
1
x
x
x
+
≥ ∀
−
Tui ngài Đồng Văn Gửi lời thăm thầy Kháng4
Tr ường THPT Hùng Vương GV: Nguyễn Hữu Hiếu
"Đã 10 năm xa quê nhưng những kỷ niệm về tuổi thơ vẫn trường tồn".
44. Cho n số
1 2
, ,...,
n
a a a
không âm thoả
1 2
... 1+ + + =
n
a a a
. Chứng minh
1 2 1 3 1
1
. . ... .
2

−
−
+ + + ≤
n n
n
a a a a a a
45. Cho 3 số thực x, y, z thỏa
3; y 4 ; z 2≥ ≥ ≥x
. Chứng minh
2 3 4
2 3 2 2 6
4 6
− + − + −
+ +
≤
xy z yz x zx y
xyz
46. Cho
( ) ( )
( ) 4 5= + −f x x x
với
4 5− ≤ ≤x
. Xác định x sao cho f(x) đạt GTLN
47.Tìm GTNN của các hàm số sau:
a)
3
( ) = +f x x
x
với x > 0 b)
1

( )
1
= +
−
f x x
x
với x > 1
48. Cho
0 4; 0 y 3≤ ≤ ≤ ≤x
. Tìm GTLN của
( ) ( ) ( )
3 4 2 3= − − +A y x y x
49. Tìm GTLN của biểu thức:
2 3 4− + − + −
=
ab c bc a ca b
F
abc
với
3; b 4; c 2≥ ≥ ≥a
50. Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1. Tìm GTLN của
1 1 1
= + +
+ + +
x y z
P
x y z
(ĐHNT-1999)
51. Cho 3 số dương a, b, c thỏa a.b.c=1. Tìm GTNN của biểu thức:
2 2 2 2 2 2

= + +
+ + +
bc ca ab
P
a b a c b c b a c a c b
(ĐHNN – 2000)
52. Chứng minh các bất đẳng thức sau với giả thiết
, , 0a b c >
:
a/
5 5 5
3 3 3
2 2 2
a b c
a b c
b c a
+ + ≥ + +
b/
5 5 5
3 3 3
a b c
a b c
bc ca ab
+ + ≥ + +
c/
5 5 5 3 3 3
3 3 3
a b c a b c
b c a
b c a

+ + ≥ + +
d/
4 4 4
2 2 2
a b c
a b c
bc ca ab
+ + ≥ + +
e/
3 3 3
2 2 2
1
( )
2 2 2 3
a b c
a b c
a b b c c a
+ + ≥ + +
+ + +
f/
3 3 3
2 2 2
1
( )
4
( ) ( ) ( )
a b c
a b c
b c c a a b
+ + ≥ + +

+ + +
g/
3 3 3
1
( )
( )( ) ( )( ) ( )( ) 4
a b c
a b c
a b b c b c c a c a a b
+ + ≥ + +
+ + + + + +
53. Cho
, ,x y z
là ba số dương thỏa mãn
1xyz =
.
Chứng minh rằng
2 2 2
3
1 1 1 2
x y z
y z x
+ + ≥
+ + +
(ĐH 2005)
54. Cho
, ,x y z
là các số dương. Chứng minh rằng
4 4 4
3 3 3

1
( )
2
x y z
x y z
y z z x x y
+ + ≥ + +
+ + +
(ĐH 2006)
55. Giả sử
,x y
là hai số dương thay đổi thỏa mãn điều kiện
5
4
x y+ =
. Tìm GTNN của biểu
thức
4 1
4
S
x y
= +
(ĐH 2002)
Tui ngài Đồng Văn Gửi lời thăm thầy Kháng 5