Một số phương pháp giải bài toán cực trị đại số cho học sinh trung học cở sở

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

Sáng kiến kinh nghiệm:
"MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ ĐẠI SỐ CHO
HỌC SINH THCS".

Lệ Thủy, tháng 5 năm 2014.
1


CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

Sáng kiến kinh nghiệm:
"MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ ĐẠI SỐ CHO
HỌC SINH THCS".

Họ và tên: Phan Thúc Bảy
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: Trường THCS Sơn Thủy

Lệ Thủy, tháng 5 năm 2014.
2


1. PHẦN MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài.
Toán học là một trong những môn khoa học cơ bản, mang tính trừu tượng
nhưng mô hình ứng dụng của nó rất rộng rãi và gần gũi trong mọi lĩnh vực của đời
sống xã hội, trong khoa học lí thuyết và khoa học ứng dụng.

Dạy học sinh học Toán không chỉ là cung cấp kiến thức cơ bản, dạy học sinh
giải bài tập sách giáo khoa, sách tham khảo, mà quan trọng là hình thành cho học
sinh phương pháp chung để giải các dạng Toán từ đó giúp các em tích cực hoạt
động, độc lập sáng tạo để dần hoàn thiện kỹ năng, kĩ xảo, hoàn thiện nhân cách.
Trong Toán học, cực trị là một khái niệm rất hẹp nhưng kiến thức liên quan
đến nó thì vô cùng rộng rãi. Trong chương trình Toán THCS những bài toán cực trị
có mặt rải rác và hầu khắp các phân môn Số học, Đại số và Hình học. Học sinh từ
lớp 6 đến lớp 9 đều đã gặp những bài toán cực trị với những yêu cầu như: “Tìm số
x lớn nhất sao cho...” , “Tìm giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của biểu thức...". Nhưng
khi giải có thể giáo viên không dạy phương pháp tổng quát hoặc có dạy nhưng học
sinh không được tiếp thu theo hệ thống dạng toán.
Trong những năm thực tế giảng dạy học sinh từ lớp 6 đến lớp 9, dạy học
sinh ôn tập, luyện thi HSG và ôn thi tuyển sinh THPT tôi nhận thấy: khi gặp toán
cực trị thì đa phần học sinh THCS còn e ngại và lúng túng trong cách giải dạng
toán này.
Do vậy, tôi nghĩ rằng cần phải hình thành một cách có hệ thống các dạng
bài toán cực trị đại số và phương pháp giải để dạy học sinh. Giúp học sinh nắm
được phương pháp giải một số dạng toán cực trị đại số thường gặp trong trường
THCS, nâng cao dần kỹ năng, kỹ xảo giải các dạng toán trên. Từ đó phục vụ tốt
cho việc giảng dạy của giáo viên và gạt bỏ tư tưởng e ngại của học sinh khi giải
toán cực trị đại số.
Tôi đã dành nhiều thời gian nghiên cứu tài liệu, học hỏi đồng nghiệp, tìm tòi
thử nghiệm với các đối tượng học sinh đại trà và ôn thi. Được sự khuyến khích,
giúp đỡ nhiệt tình của bạn bè đồng nghiệp trong trường, ở trường bạn vậy nên tôi
đã mạnh dạn nghiên cứu bước đầu đề tài: “Phương pháp giải bài toán cực trị Đại
số cho học sinh THCS”.
1.2. Điểm mới của đề tài.
Trong những năm gần đây bản thân tôi được nhà trường phân công dạy bồi
dưỡng đội tuyển học sinh giỏi Toán 7, giải toán qua mạng lớp 9, luyện thi môn
toán 9. Trong việc xây dựng kế hoạch dạy bồi dưỡng ngay từ đầu năm học bản

3


thân tôi luôn đưa vào chương trình dạy chuyên đề về cực trị đại số song hiệu quả
dạy học chuyên đề này vẫn chưa cao. Chính vì vậy điểm mới trong đề tài này là
đưa ra các phương pháp giải bài toán cực trị Đại số cho học sinh THCS. Trong mỗi
phương pháp đó tôi đưa ra 3 nội dung là phần lý thuyết cơ bản, bài tập áp dụng và
bài tập tự luyện nhằm khắc sâu kiến thức cho các em.
1. 3. Phạm vi áp dụng đề tài.
Vì đề tài đang ở bước đầu nghiên cứu nên tôi chỉ xây dựng phương pháp cho
một số dạng toán cực trị đại số thường gặp và cũng giới hạn trong đối tượng học
sinh tại một trường THCS ở huyện Lệ Thủy – Quảng Bình.

4


2. PHẦN NỘI DUNG.
2.1. Thực trạng.
Trong những năm qua, thực tế giảng dạy môn Toán học sinh từ lớp 6 đến lớp
9, dạy học sinh ôn tập, luyện thi HSG và ôn thi tuyển sinh THPT tôi nhận thấy:
khi gặp toán cực trị thì đa phần học sinh THCS còn e ngại và lúng túng trong cách
giải. Học sinh thường không biết bắt đầu từ đâu và đi theo hướng nào vì thế số
đông học sinh thường bỏ qua, một số ít học sinh thì có làm nhưng thiên về biến
đổi, đơn giản biểu thức nên không đi đến kết quả hoặc cho kết quả sai.
Nguyên nhân của vấn đề trên là do toán cực trị không phải là dạng toán
thường gặp, muốn giải được nó thì cần phải tổng hợp được nhiều kiến thức, trong
đó có những kiến thức nâng cao, ít được đề cập đến trong chương trình, sách giáo
khoa bậc THCS. Do vậy học sinh không nắm được các dạng toán cực trị và
phương pháp giải tổng quát cho từng dạng toán, dẫn đến kết quả là bài kiểm tra
thường bị điểm thấp. Qua khảo sát năng lực học sinh đối với việc giải toán cực trị

đại số trước khi áp dụng đề tài cho thấy kết quả như sau:

Kết quả điểm kiểm tra

Năm học

Áp dụng đề tài

20011 -2012

Chưa áp dụng

Giỏi

Khá

Trung
bình

Yếu

Kém

3%

9%

30%

52%

6%

2.2. Các giải pháp:
Sau một thời gian dài nghiên cứu tôi đã tổng hợp và xây dựng được những
vấn đề về lí thuyết như sau :
* Đại cương về cực trị.
Bài toán cực trị là tên gọi chung cho những bài toán tìm giá trị lớn nhất
(GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN). Trong chương trình THCS chỉ xét giới hạn
trong trường số thực R đối với phân môn Đại số.
Theo lí thuyết Giải tích, xét tập hợp số thực x ∈ E ⊂ R, khi đó nếu E không
rỗng và bị chặn thì tồn tại cận trên đúng M của E ( M = supE ) hoặc cận dưới đúng
m của E ( m = infE ) hoặc cả hai. Tuy nhiên có thể cả M và m đều không thuộc E.
Khi M ∈ E (hoặc m ∈ E) ta viết M = maxE (hoặc m = minE) đây là cách viết tắt theo
5


chữ Latin (max = maximum, min = minimum ) mà trong trường phổ thông ta
thường gọi là giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN).
Theo quan điểm trên việc tìm maxE = M hoặc minE = m phải bao gồm đồng
thời cả hai điều kiện :
i) M = E hoặc m = E.
ii) ∃ x ∈ E để M = E hoặc m = E.
Sau đây là những dạng bài tập và phương pháp cụ thể xét theo quan điểm trên.
* Một số phương pháp tìm cực trị đại số.
2.2.1 Phương pháp tìm cực trị theo tính chất của luỹ thừa bậc hai.
A. Lí thuyết cơ bản.
Ta đã biết A2 ≥ 0 ( -A2 ≤ 0) với mọi giá trị của biến trên tập xác định E của
A.
Như vậy nếu biểu thức M (nguyên hoặc phân) đưa được về dạng M=A2 + k ( hoặc

M=m-A2) thì rõ ràng supM= m ( infM=k). Nếu tồn tại giá trị của biến để M = k
(hoặc M=m) thì maxM = m (min M = k).
B. Bài tập áp dụng.
Bài số 1.
Tìm max ( min) của các biểu thức sau :
a) A = 2x2 - 8x+1.
b) B = -5x2 - 4x +1.
Giải:
a) Ta có : A = 2x2 - 8x+1 = 2( x2 - 4x +4) -7 = 2(x-4)2 - 7 ≥ -7. Dấu = xảy ra khi
x=4. Vậy minA=-7 khi x=4.
4
5

b) Ta có : B = -5x2 - 4x +1 = − 5( x 2 + x +
2
5

khi x=- . Do đó maxB =

4
9
2
9 9
) + = −5( x + ) 2 + ≤ . Dấu = xảy ra
25 5
5
5 5

9
2

khi x=- .
5
5

Lưu ý : Khi chuyển biểu thức cần tìm max, min có thể học sinh mắc sai lầm.
Ví dụ : A = ( x-1)2 + (x-3)2 – 9 ≥ - 9 vì (x-1)2 ≥ 0 và (x-3)2 ≥ 0 ⇒ minA = -9
nhưng không tồn tại x thoả mãn điều đó. Ta cần làm như Bài 1a).
6


Bài số 2.
Tìm min của C = x − x − 2006 .
Giải :
Để C tồn tại thì ta phải có : x ≥ 2006 (*).
Ta có :
C = x − x − 2006 = x - 2006 - x − 2006 +

1
8023
+
=
4
4

1
8023 8023
( x − 2006 − ) 2 +
≥
2
4

4

Vậy min C =

8023
⇔
4

x − 2006 =

1
8027
⇔x=
. ( thoả (*)).
2
4

Bài số 3.
Tìm min của D = (x+1)(x+2)(x+3)(x+4).
Giải :
Tập xác định của D là IR.
Ta có : D = ( x2 + 5x + 4)( x2 + 5x + 6) = ( x2 + 5x + 5)2 – 1 ≥ - 1.
−5+ 5
Dấu = xảy ra khi : ( x2 + 5x + 5)2 = 0 ⇔ ( x2 + 5x + 5) = 0 ⇔ x =
2

hoặc x =

−5− 5
−5+ 5

−5− 5
. Vậy minD = - 1 ⇔ x =
hoặc. x =
2
2
2

Bài số 4.
Tìm min của E = x2 +2y2 -2xy - 4y + 5.
Giải :
Tập xác định của E là IR2.
Ta có : E = x2 +2y2 -2xy - 4y + 5 = ( x-y)2 + (y-2)2 + 1.
Vì ( x-y)2 ≥ 0 ∀ x,y và (y-2)2 ≥ 0 ∀ y nên E ≥ 1 ∀ x,y.
x − y = 0
x = y
⇔
⇒ x = y = 2.
y − 2 = 0
y = 2

Dấu = xảy ra khi 

Vậy minE = 1 khi x=y=2.
Bài số 5.
Tìm min của F = x2 + 2y2 + 3z2 -2xy + 2xz -2x -2y – 8z + 2012.
7


Giải :
Tập xác định của F là IR3.

Ta có : F = ( x-y+z-1)2 + ( x+z-2)2 + ( z-1)2 + 2006.
Vì : ( x-y+z-1)2 ≥ 0 ∀ x,y,z, ( x+z-2)2 ≥ 0 ∀ x,z và ( z-1)2 ≥ 0 ∀ z nên F ≥ 2006 ∀
x,y,z.
x − y + z − 1 = 0
x = 1


Dấu = xảy ra khi  x + z − 2 = 0 ⇔  y = 1 .
z − 1 = 0
z = 1



Vậy min F = 2006 ⇔ x=y=z=1.
Bài số 6.
Tìm min của G =

2
.
6x − 5 − 9x 2

Giải :
2

−2

−2

Ta có : G = 6 x − 5 − 9 x 2 = 9 x 2 − 6 x + 5 = (3x − 1) 2 + 4 . Do (3x-1)2 ≥ 0 ∀ x
⇒ ( 3x-1)2+4 ≥ 4 ∀ x ⇒

min G =

1
1
−2
− 2 −1
−1
≤ ⇒
≥
=
⇒G ≥
.
2
2
4
2
(3x − 1) + 4 4
(3 x − 1) + 4
2

−1
1
⇔ 3x – 1 = 0 ⇔ x = .
2
3

Bài số 7.
Tìm min của H =

3x 2 − 8 x + 6
.
x 2 − 2x + 1

Giải :
Tập xác định của H là R\ {1}.
(2 x 2 − 4 x + 2) + ( x 2 − 4 x + 4)
( x − 2) 2
=
2
+
≥ 2 ⇒ min H = 2 ⇔ x= 2.
Ta có : H =
x 2 − 2x + 1
( x − 1) 2

Bài số 8.
Tìm max, min của I =

3 − 4x
.
x2 +1

Giải :
* Tìm min I.

8


x 2 − 4 x + 4 − x 2 − 1 ( x − 2) 2

= 2
− 1 ≥ −1 . Min I = -1 ⇔ x=2.
Ta có : I =
x2 +1
x +1

* Tìm max I.
1
4x 2 + 4 − 4x 2 − 4x − 1
(2 x + 1) 2
=
4
−
≤ 4 .Max I = 4 ⇔ x = − .
Ta có : I =
2
2
2
x +1
x +1

Bài số 9.
Tìm min của K = x3 + y3 + xy biết rằng x+y=1.
Giải :
Ta có : K = (x+y)(x2-xy+y2) + xy = x2 –xy + y2 + xy = x2 + y2.
Có nhiều cách giải ở đây, ví dụ :
1
2

1

2

1
2

K = x2 + (1-x)2 = 2( x − ) 2 + ≥ . Min K =

1
1
1
khi x = ⇒ y = .
2
2
2

Bài số 10.
Tìm min của L = x2 + y2 + z2 biết rằng x + y + z = 3.
Giải:
Ta có : x + y + z = 3 ⇒ ( x+ y + z)2 ≥ 9 ⇔ x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx ) = 9
⇒ L + 2(xy + yz + zx ) = 9 (*).

Ta luôn có : x2 + y2 + z2 ≥ xy + yz + zx ∀ x,y,z, dấu = khi x=y=z nên từ (*) suy ra
:
3L ≥ 9 ⇒ L ≥ 3 ⇒ min L = 3 khi x=y=z = 1.

C. Bài tập tự luyện.
Bài số 1.
Tìm max ( min ) của mỗi biểu thức sau :
a) A = x2 -5x + 1.
b) B = 1 – x2 + 3x.

Bài số 2.
Tìm min của mỗi biểu thức sau :
a) C = ( x-1)(x- 3)(x2 - 4x + 5).
b) D = x2 – 2xy + 2y2 + 2x -10y + 17.
9


Bài số 3.
Tìm max của biểu thức sau :
E = xy + yz + xz biết x+y+z=12.
Bài số 4.
Tìm max ( min ) của mỗi biểu thức sau :
a) F =

27 − 12 x
8x + 3
3 x 2 − 6 x + 17
; b) G = 2
; c) H = 2 .
2
x +9
4x + 1
x − 2x + 5

2.2.2- Phương pháp tìm cực trị theo tính chất giá trị tuyệt đối.
A. Lí thuyết cơ bản.
Ta biết rằng : với A, B là những biểu thức đại số thì :
i) A + B ≤ A + B
Dấu bằng xảy ra khi A.B ≥ 0 .
ii) A − B ≥ A − B

Dấu bằng xảy ra khi A ≥ B ≥ 0 hoặc A ≤ B ≤ 0 .
B. Bài tập áp dụng.
Bài số 1.
Tìm min của A = x − 2 + x + 8 .
Giải :
Ta có : A = x − 2 + x + 8 = 2 − x + x + 8 ≥ 2 − x + x + 8 = 10 .
Suy ra minA = 10 khi (2-x)(x+8) ≥ 0 ⇔ − 8 ≤ x ≤ 2 .

Bài số 2.
Tìm max của B = x + 2(1 + x + 1) − x + 2(1 − x + 1) .
Giải :
Tập xác định của B là x ≥ -1 (*).
Ta có : B =
2

( x + 1 + 1) − ( x + 1 − 1) 2 =

x +1 +1 −

x +1 −1 ≤

x +1 +1− x +1 +1 = 2

Suy ra max B = 2 khi ( ( x + 1 + 1)( x + 1 − 1) ≥ 0 ⇔ x ≥ 0 (thoả(*)).
10


C. Bài tập tự luyện.
Bài số 1.
Tìm max của biểu thức :

a) C = a + 3 − 4 a − 1 − a + 3 + 4 a − 1
b) D = x 2 − 4012 x + 2006 2 − x 2 + 4014 x + 2007 2
Bài số 2.
Tìm min của biểu thức :
a) E = x 2 + 64 − 16 x + x 2
1
4

b) F = x 2 − 4 x + 4 + x 2 − x + .

2.2.3 Phương pháp tìm cực trị dựa vào điều kiện tồn tại nghiệm của phương
trình bậc hai ( phương pháp miền giá trị hàm số ).
A. Lí thuyết cơ bản.
Ta đã biết : phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có nghiệm nếu ∆ = b 2 − 4ac ≥ 0 .
f ( x)

Nếu biểu thức A = g ( x) xác định trên miền D có thể qui về dạng :
f(A)x2 + g(A)x + k = 0 (1) ( k là một số thực ) thì rõ ràng với mỗi x thuộc tập
nguồn D thoả (1) sẽ cho một ảnh h(A) của tập đích E của A. Vì vậy bằng cách gián
tiếp dựa vào điều kiện có nghiệm của phương trình (1) ta sẽ xác định được tập
đích E và do đó
chỉ ra giới hạn miền giá trị của A hay chỉ ra maxA, minA.
B. Bài tập vận dụng.
Bài số 1.
x2 − x +1
Tìm max, min của A = 2
.
x + x +1

Giải :

Biểu thức A nhận giá trị a khi và chỉ khi phương trình sau có nghiệm :
a=

x2 − x +1
(1).
x2 + x +1
11


⇔ (a-1)x2 + (a+1)x + (a-1) = 0 ( Do x2 +x +1 > 0 ∀ x ). (2)

* Nếu a = 1 thì (2) có nghiệm x = 0.
* Nếu a ≠ 1 thì để (2) có nghiệm ta cần có
∆ ≥ 0 ⇒ (a + 1) 2 − 4(a − 1) 2 ≥ 0 ⇔ (3a − 1)(a − 3) ≤ 0 ⇔

1
≤ a ≤ 3(a ≠ 1) .
3

Với a =

− (a + 1)
a +1
1
hoặc a=3 thì nghiệm (2) là : x = 2(a − 1) = 2(1 − a) .
3

Với a =

1

thì x = 1, với a=3 thì x = -1.
3
1
3

Kết hợp hai trường hợp trên ta có : min A = ⇔ x = 1 ; maxA = 3 ⇔ x=-1.
Bài số 2.
Tìm max, min của B =

x 2 − 3x + 5
.
x2 − x

Giải :
Điều kiện để B có nghĩa là x ≠ 0; x ≠ 1 (*).
x 2 − 3x + 5
B nhận giá trị m ⇔ phương trình m = 2
(1) có nghiệm.
x −x

(1) ⇒ (m-1)x2 – (m-3)x – 5 = 0 (2).
*Nếu m=1 ⇒ x = 2,5.
*Nếu m ≠ 1 thì để (2) có nghiệm ta cần có :
∆ ≥ 0 ⇒ (m − 3) 2 + 20(m − 1) = m 2 + 14m − 11 ≥ 0
⇒ m ≤ −7 − 2 15 hoặc m ≥ −7 + 2 15 .

Với m = − 7 − 2 15 thì x=

5 − 15
5 + 15

; với m = − 7 + 2 15 thì x=
.
2
2

Kết hợp hai trường hợp trên và điều kiện (*) ta có :
maxB = 1 khi x = 2,5 ; min B = − 7 − 2 15 khi x=

5 − 15
.
2

C. Bài tập tự luyện.
Tìm max, min của những biểu thức sau :
x
4x 2 − 6x + 1
2 x 2 − 16 x + 41
a) C = 2
; b) D =
; c) E = ( x + 10) 2 .
2
(2 x − 1)
x − 8 x + 22
12


2.2.4 Phương pháp tìm cực trị dựa vào bất đẳng thức Cô- si ( Cauchy).
A. Lí thuyết cơ bản.
Cho n số không âm : a1, a2, a3,..., an thì ta luôn có :
Dạng 1 :

a1 + a 2 + a3 + ... + a n n
≥ a1 a 2 a3 ..a n .
n

Dạng 2 : a1 + a 2 + a3 + .... + a n ≥ n n a1 a 2 a3 ....a n
Dạng 3 : (

a1 + a 2 + a3 + .. + a n n
) ≥ a1 a 2 a3 ...a n .
n

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = a3 =...= an.
Từ đây ta dễ dàng suy ra :
i) Nếu a1. a2. a3.... an = A không đổi thì a1 + a 2 + a3 + ... + a n ≥ n n A và do đó :
min a1 + a 2 + a3 + ... + a n = nn A khi a1 = a2 = a3 =...= an.
ii) Nếu a1 + a2 + a3 +...+ an = B không đổi thì n a1a 2 a3 ...a n ≤
max n a1a 2 a3 ...a n =

B
và do đó :
n

B
khi a1 = a2 = a3 =...= an.
n

B. Bài tập áp dụng.
Bài số 1.
Cho a.b.c = 1. Tìm min của A = (a2+b2)(b2+c2)(c2+a2).

Giải :
Theo BĐT Cô- si ta có :
a 2 + b 2 ≥ 2 ab ≥ 0
 2
2
b + c ≥ 2 bc ≥ 0 dấu bằng xảy ra khi a=b=c.
 2
2
c + a ≥ 2 ca ≥ 0
2 2 2
Suy ra A = (a2+b2)(b2+c2)(c2+a2) ≥ 8 a b c = 8

Vậy min A = 8 ⇔ a=b=c=1.
Bài số 2.
a, b, c, d > 0

Cho  1
1
1
1
tìm max a.b.c.d ?
1 + a + 1 + b + 1 + c + 1 + d ≥ 3

Giải :
13


Từ giả thiết và theo BĐT Cô-si ta có :

1

1
1
1
b
c
d
bcd
≥ 33
≥ (1 −
) + (1 −
) + (1 −
)=
+
+
(1 + b)(1 + c)(1 + d )
1+ a
1+ b
1+ c
1+ d 1+ b 1+ c 1+ d

Tương tự :

1
acd
1
abd
≥ 33
≥0 ;
≥ 33
≥0

1+ b
(1 + c)(1 + d )(1 + a )
1+ c
(1 + b)(1 + d )(1 + a )

1
abc
≥ 33
≥ 0 . Nhân vế với vế 4 BĐT trên ta được :
1+ d
(1 + a )(1 + b)(1 + c)
1
81
1
≥
⇒ abcd ≤ .
(1 + a )(1 + b)(1 + c)(1 + d ) (1 + a)(1 + b)(1 + c )(1 + d )
81

Vậy maxabcd =

1
khi a=c=b=d.
81

Bài số 3.
4

Với ∀ a>b ≥ 0, tìm min của B = a + (a − b)(b + 1) 2 .
Giải :

b +1

4

b +1

4

Ta có : B = a + (a − b)(b + 1) 2 = (a − b) + 2 + 2 + (a − b)(b + 1) 2 − 1 ≥
4 4 ( a − b)

b +1 b +1
4
−1 = 4 −1 = 3 .
2
2 (a − b)(b + 1) 2

Vậy minB = 3 khi a = 2; b = 1.
Bài số 4.
a ≥ 3

ab c − 2 + bc a − 3 + ca b − 4
Cho b ≥ 4 . Tìm max C =
.
2 2
c ≥ 2


Giải :
Ta có :

ab c − 2 =
bc a − 3 =
ca b − 4 =

ab
2
bc
2
ca
4

(c − 2)2 ≤

ab (c − 2) + 2 abc
=
2
2
2 2

(a − 3)3 ≤

bc (a − 3) + 3 abc
=
2
3
2 3

(b − 4)4 ≤

ca (b − 4) + 4 abc

=
2
4
2 4
14


Từ các BĐT trên suy ra : C ≤

1
2 2

+

1
2 3

+

1
2 4

.

c − 2 = 2
c = 4
1
1
1



+
+ .
Dấu bằng khi a − 3 = 3 ⇔ a = 6 . Vậy max C =
2 2 2 3 4
b − 4 = 4
b = 8



Bài số 5.
Cho a,b,c là 3 số dương bất kỳ. Tìm min của D =

a
b
c
+
+
b+c c+a a+b

Giải :
Ta có : D + 3 = (1 +

a
b
c
a+b+c a+b+c a+b+c
) + (1 +
) + (1 +
)=

+
+
b+c
c+a
a+b
b+c
c+a
a+b

⇒ 2D + 6 =
2(a + b + c)(

1
1
1
1
1 
 1
+
+
) = [ (b + c) + (c + a ) + (a + b)] 
+
+
b+c c+a a+b
 b + c c + a a + b 

≥ 9 ( theo Cô-si) ⇒ 2D + 6 ≥ 9 ⇒ D ≥

3
3

. Vậy min D = khi a=b=c.
2
2

C. Bài tập tự luyện.
Bài số 1.
Cho a,b là những số không âm và a.b = 1.
Tìm min của A= (1+a+b)(a+b+ab).
Bài số 2.
Cho a là số thực bất kỳ. Tìm min của B =

a2 + 2
a2 +1

.

Bài số 3.
Cho a,b là những số không âm và a+b = 1.
Tìm max của C = 16ab(a-b)2.
2.2.5 Phương pháp tìm cực trị dựa vào bất đẳng thức Bunhiacôpxki .
A. Lí thuyết cơ bản.
Cho a1, a2, a3,..., an và b1,b2,b3,...., bn là 2n số thực tuỳ ý. Khi đó ta có :
Dạng 1 : (a12+a22+a32+....+an2)(b12+b22+b32+...+bn2) ≥ ( a1b1+ a2b2+a3b3+...+anbn)2
(1)
15


Dạng 2 : (a12 + a2 2 + .. + an 2 )(b12 + b2 2 + ... + bn 2 ) ≥ a1b1 + a2b2 + ....anbn
a

a

(2)

a

n
1
2
Dấu bằng xảy ra ở (1) và (2) khi b = b = ... = b .
1
2
n

Hệ quả :
2
1

2
2

2
n

i) Nếu a1x1+a2x2+.....+anxn= C = const thì min ( x +x +...+x ) =
x

x

C2

2

2

a1 + a 2 + ... + a n

2

x

n
1
2
Dấu bằng khi a = a = ... = a .
1
2
n

ii) Nếu x12+x22+...+xn2 = C2 thì
x

x

x

n
1
2
max (a1x1+a2x2+.....+anxn) = C a1 2 + a 2 2 + ... + a n 2 . Dấu bằng khi a = a = ... = a ≥ 0
1

2
n

.
min (a1x1+a2x2+.....+anxn) = - C a1 2 + a 2 2 + ... + a n 2 . Dấu bằng khi
x
x1 x 2
=
= ... = n ≤ 0 .
a1 a 2
an

B. Bài tập vận dụng.
Bài số 1.
Cho xy + yz + xz = 4. Tìm min A = x4+y4+z4.
Giải :
Ta có :
A=

1 2 2 2
1
1
( 1 +1 +1 )( x4+y4+z4) ≥ (x2+y2+z2)2 = ( x2+y2+z2)(y2+z2+x2) ≥
3
3
3

1
16
(xy+yz+xz)2 = .

3
3

Suy ra minA =

2
16
đạt được khi x=y=z= ± .
3
3

Bài số 2.
Cho a2 + b2 + c2 = 1. Tìm max B = a + 3b + 5c.
Giải :
Ta có :
B = a + 3b + 5c ≤ (11 + 3 2 + 5 2 )(a 2 + b 2 + c 2 ) = 35 .
16


Từ đó ta được minB = 35 khi a = ±

1
35

;b = ±

3
35

;c = ±

5
35

.

Bài số 3.
Tìm min C = (x-2y+1)2 + ( 2x+ay+5)2.
Giải :
Ta có :
C=
=

1
1
[(-2)2 + 12 ][(x-2y+1)2 + (2x+ay+5)2] ≥ [(-2)(x-2y+1) + 1.(2x+ay+5)]2
5
5

1
9
[(a+4)y +3 ]2 ≥ 0 nếu a ≠ - 4 hoặc ≥ nếu a =- 4.
5
5

Vậy : nếu a ≠ - 4 thì min C = 0 ; nếu a = - 4 thì max C =

9
.
5

Bài số 4.
1 2 3
 + + =1
Cho  a b c . Tìm min D = a2+b2+c2.
a, b, c > 0

Giải :
Theo BĐT B-C-S ta có :
2

1
1
1 2 3 
1
a 2 + b 2 + c 2 ≥ (a + b + c) 2 = (a + b + c)( + + ) ≥ (1 + 2 + 3 ) 4 .
3
3
a b c 
3
1
3

Vậy minD = (1 + 2 + 3 ) 4 khi a=b=c=6.
C. Bài tập tự luyện.
a , b > 0

Cho  4 9 . Tìm min A = a + b + a 2 + b 2 .
 a + b = 1

Bài số 2.
 x 2 + y 2 = 16
 2
2
Cho u + v = 25 . Tìm max (x+y).
 xu + yv ≥ 20


Bài số 3.
Cho x2+4y2 =1. Tìm max x − y .
17


Bài số 4.
Cho 3x-4y=7. Tìm min của 3x2+4y2.
Bài số 5.
Cho 36x2 + 16y2 = 9. Tìm max, min của y-2x.
Bài số 6.
 xy ≥ 0

Cho 

2
2
x + y = 1

. Tìm max, min của x 1 + y + y 1 + x .

3. KẾT LUẬN

18


Đề tài “ Một số phương pháp giải bài toán cực trị đại số cho học sinh
THCS” theo cá nhân tôi là rất khó, nghiên cứu tổng hợp dạng toán đã là một vấn
đề nhưng dạy học sinh nắm được dạng toán và giải chúng là vấn đề không đơn
giản. Quá trình nghiên cứu đề tài này đã giúp tôi đã gặt hái được những thành quả
như sau:
3.1.1. Đối với học sinh.
-Lúc chưa áp dụng đề tài, học sinh còn rất bở ngỡ vì không biết phải xuất
phát từ đâu khi gặp một số bài mà tôi đã trình bày ở trên. Nguyên nhân chính ở đây
là các em chưa nắm phương pháp giải hoặc có biết một vài phương pháp thì cũng
chỉ mơ hồ, không biết cách vận dụng chúng như thế nào để giải bài tập dạng nêu
trên. Chính vì vậy phần lớn các em bỏ trống không làm hoặc làm nhưng không ra
đến kết quả cuối cùng.
- Sau khi áp dụng đề tài tại trường THCS đang công tác, tôi đã giúp các em
học sinh hiểu được bản chất vấn đề của dạng toán cực trị và các em đã bước đầu
biết giải các dạng toán cực trị đơn giản và quan trọng là đã gây được hứng thú học
toán nhất là toán cực trị cho các em, rèn luyện được tư duy logic sáng tạo cho các
em trong quá trình tự học.
Nhờ vậy tỉ lệ các em hiểu bài, làm được bài tăng lên rõ rệt. Sau đây là bảng
thống kê kết quả bài kiểm tra dạng toán cực trị ở học sinh sau khi đó áp dụng đề tài
vào giảng dạy :
Kết quả điểm kiểm tra
Năm học

Áp dụng đề tài

Giỏi

Khá

Trung
bb nh

Yếu

Kém

2012-2013

Đã áp dụng

15%

20%

45%

17%

3%

2013 -2014

Đã áp dụng

20%

30%

40%

10%

0%

3.1.2. Đối với bản thân :
Qua việc áp dụng đề tài tôi nhận thấy giáo viên đỡ vất vả rất nhiều trong
khâu phải giải thích dạng toán và hướng dẫn làm bài tập cho học sinh (phần lớn
các em giải không được) mà kết quả đem lại không được nhiều, giáo viên phải làm
việc nhiều hơn học sinh, học sinh chỉ biết thụ động tiếp thu kiến thức. Sau khi sử
dụng đề tài này tôi thấy học sinh có ý thức học tập hơn, biết tự mình phát hiện ra
19


dạng toán và biết áp dụng kiến thức, đúng với tinh thần lấy học sinh làm trung tâm,
phù hợp với việc đổi mới phương pháp dạy học hiện nay.
Trước nhu cầu chính đáng muốn vươn lên học tốt của học sinh và hòa vào
không khí thi đua dổi mới phương pháp dạy học hiện nay, tôi xin góp một số kinh
nghiệm của ḿnh để trao đổi với các đồng nghiệp, mục đích là nhằm nâng cao chất
lượng giảng dạy trong nhà trường. Bài viết chắc chắn không tránh khỏi thiếu sót.
Rất mong được sự giúp đỡ và góp ý của đồng nghiệp để đề tài được áp dụng rộng
rãi trong học sinh. Xin chân thành cảm ơn !

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
20

BẢN XÁC NHẬN CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC
TRƯỜNG THCS SƠN THỦY
Họ tên người viết: Phan Thúc Bảy
Tên đề tài: “Một số phương pháp giải bài toán cực trị Đại số cho học sinh
THCS”.
Nhận xét của HĐKH trường THCS Sơn Thủy:
Đề tài được cập nhật nhiều điểm mới, được áp dụng vào thực tiễn đạt hiệu
quả cao.
Xếp loại: A
Sơn Thuỷ, ngày 17 tháng 5 năm 2014
CT HĐKH

Nguyễn Đăng Sơn

21


22


ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC TRƯỜNG THCS QUẢNG LỘC
Điểm:…………………
Nhận xét:
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
Quảng Lộc, Ngày

tháng

năm 2012

ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC PHÒNG GD&ĐT QUẢNG TRẠCH
Điểm:…………………
Nhận xét:
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
Quảng Lộc, Ngày

tháng

năm 2012

Tài liệu tham khảo
Tên tài liệu

Chủ biên ( Tác giả )

23


1. Bất đẳng thức và toán cực trị

Trần Đức Huyên

2. 30 đề thi học sinh giỏi toán cấp II

Nguyễn Vũ Thanh

3. Nâng cao và phát triển toán 8 T1, 2

Vũ Hữu Bình

4. Nâng cao và phát triển toán 9 T1, 2

Vũ Hữu Bình

5. Các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

Phan Huy Khải

7. Bất đẳng thức chọn lọc cấp II

Nguyễn Vũ Thanh

8. Các bài viết liên quan trên mạng Internet

24


25