SỰ TRUYỀN của ÁNH SÁNG TRONG môi TRƯỜNG có CHIẾT SUẤT BIẾN THIÊN

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI


LUẬN ÁN THẠC SỸ VẬT LÝ
ĐỀ TÀI
SỰ TRUYỀN CỦA ÁNH SÁNG TRONG MÔI
TRƯỜNG CÓ CHIẾT SUẤT BIẾN THIÊN

Người thực hiện:..........................................................
Người hướng dẫn khoa học:.......................................

Hà Nội, 7/2015


PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ
- Cơ sở khoa học của đề tài:
+ Cơ sở lí luận: Đề tài được thực hiện trên cơ sở lý luận và phương pháp luận
của chủ nghĩa Mác-Lênin, tư tưởng Hồ Chí Minh về giáo dục, các văn kiện Đại hội
Đảng.Vai trò và nhiệm vụ của giáo dục và đào tạo đã được thể hiện trong các văn
kiện của Đại hội Đảng: “Giáo dục và đào tạo là quốc sách hàng đầu” phát triển
giáo dục là nhằm “nâng cao dân trí, bồi dưỡng nhân lực, đào tạo nhân tài”.
+ Cơ sở thực tiễn: Trong chương trình Vật lí chuyên phần quang hình học
học sinh được học ở cuối sách vật lí 11, phần này đề cập chủ yếu đến sự truyền
của ánh sáng qua các môi trường (Các hiện tượng khúc xạ và phản xạ toàn
phần), từ việc nắm bắt được các hiện tượng đó, học sinh có cơ sở vững chắc để
tìm hiểu tiếp về các dụng cụ quang như: Kính lúp, kính hiển vi, kính thiên văn...
Trong các phần này ta chủ yếu xét sự truyền của tia sáng qua các môi trường có
chiết suất không đổi (tức là môi trường trong suốt và đồng tính), như đã biết
trong môi trường như vậy thì đường đi của tia sáng luôn là thẳng.
Nhưng thực tế có trường hợp tia sáng truyền trong môi trường có chiết suất

thay đổi, ví dụ như ánh sáng mặt trời truyền trong các lớp không khí gần mặt
đường bị đốt nóng... Khi đó quỹ đạo của tia sáng không còn là đường thẳng nữa
và bài toán trở nên tương đối phức tạp.
Khi dạy bài toán ánh sáng truyền trong môi trường chiết suất biến thiên cho
học sinh, tôi nhận thấy phần lớn các em gặp khó khăn trong việc hiểu hiện
tượng, và vận dụng các phép toán về tích phân và giải phương trình vi phân.
Trước thực tế đó tôi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “ Sự truyền của
ánh sáng trong môi trường có chiết suất biến thiên”
Với phương pháp dùng tích phân, phương trình vi phân, kết hợp với các
định luật quang học, sẽ giúp các em học sinh, nắm bắt được các dạng bài tập khó
trong phần quang. Hy vọng rằng đề tài sẽ có ích đối với các em học sinh và đồng
nghiệp trong quá trình dạy và ôn luyện đội tuyển học sinh giỏi.
- Mục đích của đề tài: Nhằm đề xuất một số phương pháp hướng dẫn học
sinh giải bài tập về bài toán ánh sáng truyền trong môi trường chiết suất biến
1


thiên, có sử dụng các phép tính tích phân và giải phương trình vi phân, đồng thời
trang bị cho bản thân tác giả những kiến thức cơ bản trong công tác ôn luyện và
bồi dưỡng học sinh giỏi
- Đối tượng phạm vi nghiên cứu: Các bài tập vật lí đại cương, các tài liệu
ôn thi học sinh giỏi, phần quang hình, các phép toán cao cấp được áp dụng vào
vật lí. Thực hiện ở lớp chuyên lí 11 – trường THPT Chuyên Thái Nguyên.

2


PHẦN II: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
1. CÁC KIẾN THỨC LÍ THUYẾT CÓ LIÊN QUAN
1.1 Ánh sáng khúc xạ liên tiếp qua các bản mặt song song ghép sát

nhau.

HÌNH VẼ 1

Các bản mặt song song ghép sát nhau, chiết suất của các bản tương ứng là
n0 ; n1 ; n2 ;..... như hình vẽ 1. Áp dụng ĐL khúc xạ ánh sáng ta được:

n0 sin i0 = n1 sin i1 = .... = nk sin ik
Có hai trường hợp xảy ra:
TH1: Chiết suất tăng dần theo thứ tự trên, khi đó góc tới ở lớp kế tiếp sẽ
giảm dần. Trường hợp này không thể có phản xạ toàn phần ở bất cứ lớp nào.
TH2: Chiết suất giảm dần theo thứ tự trên, khi đó góc tới ở các lớp kế tiếp
sẽ tăng dần, dẫn đến tới một lớp nào đó tia sáng hướng đến mặt phân cách trong
điều kiện thỏa mãn điều kiện phản xạ toàn phần (Trong hình vẽ giả sử là tia sáng
hướng tới mặt phân cách từ lớp thứ 3) thì tia sáng sẽ bị phản xạ toàn phần. Ta dễ
chứng minh được đường đi của tia sáng đối xứng qua pháp tuyến tại điểm xảy ra
phản xạ toàn phần.
1.2 Nguyên lí Fec-ma
* Khái niệm quang trình của tia sáng

3


Một tia sáng đi từ A đến B, theo một con đường có độ dài s, chiết suất của
môi trường truyền sáng là n.
Quang trình của tia sáng ứng với đường đi s là:
l = n.s
* Nguyên lí Fec-ma
Trong vô số các con đường khả dĩ đi từ điểm A đến điểm B thì ánh sáng sẽ
đi theo con đường có quang trình ngắn nhất.

( Trong môi trường đồng tính thì quang trình ngắn nhất ứng với đường
truyền là đoạn thẳng )
Trường hợp tổng quát nguyên lí Fec-ma phát biểu như sau:
Tia sáng là đường truyền của ánh sáng có quang trình cực trị.
1.3 Nguyên lí Huy-ghen
Mỗi điểm của môi trường mà mặt đầu
sóng đạt tới sẽ trở thành một tâm phát sóng
nguyên tố. Mặt đầu sóng ở thời điểm sau sẽ là
mặt bao của các mặt đầu sóng nguyên tố đó.

HÌNH VẼ 2

2. HỆ THỐNG BÀI TẬP VÍ DỤ
Phần này tác giả phân loại các bài tập thường gặp thành ba dạng bài toán,
trong mỗi dạng bài toán đều có phần lời giải chi tiết và phân tích tỉ mỉ cách làm
nhằm giúp các em có thể hình dung một cách tổng quát cách làm của mỗi dạng
bài toán.
Ngay sau mỗi dạng bài tập đặc trưng có hướng dẫn, tác giả đưa ra một số
bài tập vận dụng, đặc biệt các bài tập vận dụng này đều có lời giải chi tiết giúp

4


các em có thể tự kiểm tra và đối chiếu phương pháp giải, giúp ích nhiều cho
việc tự học của học sinh.
Bài toán 1: Biết phương trình đường đi của tia sáng, phải tìm hàm
chiết suất phụ thuộc vào tọa độ.
Bài toán 2: Biết hàm chiết suất của môi trường phụ thuộc tọa độ, tìm
phương trình quỹ đạo của tia sáng.
Bài toán 3: Vận dụng nguyên lí Fec-ma và nguyên lí Huy-ghen

Bài toán 4: Một số bài toán về ảo cảnh và phản xạ toàn phần

5


BÀI TOÁN 1: BIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ĐI CỦA TIA SÁNG
PHẢI TÌM HÀM CHIẾT SUẤT CỦA MÔI TRƯỜNG PHỤ THUỘC TỌA
ĐỘ.
Bài toán tổng quát
Bài toán cho một tia sáng truyền trong một môi trường trong suốt có chiết
suất n biến thiên theo tọa độ. Biết rõ quỹ đạo của tia sáng dưới dạng hàm số
y = f ( x ) . Yêu cầu lập phương trình thể hiện sự phụ thuộc của chiết suất môi
trường vào tọa độ.
Phương pháp giải chung

HÌNH VẼ 3

Giả sử rằng chiết suất của môi trường chỉ phụ thuộc vào tọa độ x. Như vậy
ta chia môi trường thành những lớp mỏng theo phương song song với trục Oy,
mỗi lớp mỏng đó có bề dày dx, và coi như chiết suất trong lớp mỏng đó có giá
trị không đổi và bằng n. Các lớp mỏng xếp liên tục liên tiếp nhau tạo thành hệ
thống nhiều bản mặt song song liên tiếp.
Như vậy ĐL khúc xạ ánh sáng được viết liên tiếp cho các lớp:
n0 sin i0 = n1 sin i1 = .... = nk sin ik
Xét tại lớp bất kì, có chiết suất n, góc tới của tia sáng tại lớp này là i 
n0 sin i0 = n sin i (1)
Trong đó n0 ; i0 là các giá trị chiết suất và góc tới tại lớp biên.

6

Tiếp đó ta lập mối quan hệ giữa dy, dx và giá trị lượng giác của góc i. Ví
dụ trên hình 3 ta thấy tan i =

dy
= f ' ( x ) (2)
dx

Giải hệ (1) và (2) ta sẽ được hàm chiết suất phụ thuộc tọa độ
BÀI 1
Một tia sáng đi tới một môi trường trong
suốt có chiết suất n phụ thuộc vào biến y dưới
một góc vuông tại điểm y = 0 ( như hình vẽ 4)
Tìm dạng của hàm chiết suất n phụ thuộc vào
biến y. Cho n( y =0 ) = n0 và tia sáng truyền trong
môi trường này có dạng đường Parabol với

HÌNH VẼ 4

phương trình y = a.x 2
ĐS: n = n0 1 + 4ay
PHÂN TÍCH VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI
Vì chiết suất của môi trường chỉ biến thiên theo phương của trục Oy, nên ta
chia môi trường thành các lớp mỏng theo phương của trục Ox (tức là vuông góc
với Oy) như hình 5

HÌNH VẼ 5

Định luật khúc xạ ánh sáng viết liên tiếp cho từng lớp có dạng
n0 sin i0 = n1 sin i1 = n2 sin i2 = ..... = n.sin i

Áp dụng cho gốc tọa độ O và điểm khảo sát có tọa độ (x;y) ta được:
n0 sin 900 = n.sin i
7


CHÚ Ý: Khi viết định luật khúc xạ ánh sáng tại vị trí biên ( Tại O trong
trường hợp này ) ta phải hiểu rằng điểm đang xét là điểm rất gần O thuộc
phần chứa môi trường khảo sát
Bình phương hai vế phương trình trên ta được:
n02 = n 2 sin 2 i (1)
Từ hình vẽ trên ta có:

( dx )
1
θ=
=
2
2
2
( dy ) + ( dx )  dy  + 1 (2)
2

sin i = cos
2

2

 ÷
 dx 

Mặt khác

dy
= 2ax (3)
dx

Thay (3) vào (2) ta được:

sin 2 i =

1
2

 dy 
 ÷ +1
 dx 

=

1
1
=
4a 2 x 2 + 1 4ay + 1 Thay

vào phương trình (1) ta được:
n = n0 1 + 4ay
BÀI 2
Một tia sáng chiếu vuông góc vào
mặt phẳng ngăn cách hai môi trường
(như hình vẽ 6), môi trường có chiết

suất n chỉ phụ thuộc vào tọa độ y. Tìm
dạng của hàm n( y ) để bên trong môi
trường này tia sáng truyền theo đường
hình sin, với phương trình quỹ đạo là
HÌNH VẼ 6
y = a cos ω x .
Biết rằng chiết suất của môi trường tại điểm mà tia sáng bắt đầu đi vào là n0
ĐS: n = n0 ω 2 ( a 2 − y 2 ) + 1
PHÂN TÍCH VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI

8


HÌNH VẼ 7

Vì chiết suất của môi trường chỉ biến thiên theo trục Oy nên ta chia môi
trường trong suốt thành nhiều phần mỏng song song với trục Ox như hình vẽ 7.
Tại điểm J bất kì trong môi trường truyền ánh sáng ( điểm J phân cách bởi hai
lớp mỏng có chiết suất n và n + dn, góc tới tại môi trường chiết suất n là góc i).
Từ hình vẽ ta có:
cot i =

dy
= y'
dx

Áp dụng ĐL khúc xạ ánh sáng ta được:
n0 sin 900 = n.sin i hay n =
Ta có: cos i =

n0
sin i

n 2 − n02
n

n 2 − n02 dy
Từ đó: cot i =
(1)
=
n0
dx
Từ phương trình quỹ đạo: y = a cos ω x ta lấy đạo hàm y theo x được:
dy
= − aω sin ( ωt ) (2)
dx
Từ (1) và (2) ta được:

9

n 2 − n02
= − aω sin ( ωt )
n0


Bình phương hai vế để rút ra n: n = n0 1 + a 2ω 2 sin 2 ( ωt )
Hay: n = n0 1 + ω 2 ( a 2 − y 2 )
BÀI TOÁN 2: BIẾT HÀM CHIẾT SUẤT CỦA MÔI TRƯỜNG PHỤ
THUỘC TỌA ĐỘ, TÌM PHƯƠNG TRÌNH QUỸ ĐẠO CỦA TIA SÁNG
Bài toán tổng quát

Bài toán cho một tia sáng truyền trong một môi trường trong suốt có chiết
suất n biến thiên theo tọa độ. Biết rõ sự phụ thuộc của chiết suất của môi trường
vào tọa độ, chẳng hạn n = f ( x ) . Yêu cầu lập phương trình đường đi của tia
sáng.
Phương pháp giải chung
Các bước giải ban đầu hoàn toàn giống bài toán 1. Nhắc lại cụ thể như
sau

HÌNH VẼ 8

Giả sử rằng chiết suất của môi trường chỉ phụ thuộc vào tọa độ x. Như vậy
ta chia môi trường thành những lớp mỏng theo phương song song với trục Oy,
mỗi lớp mỏng đó có bề dày dx, và coi như chiết suất trong lớp mỏng đó có giá
trị không đổi và bằng n. Các lớp mỏng xếp liên tục liên tiếp nhau tạo thành hệ
thống nhiều bản mặt song song liên tiếp.
Như vậy ĐL khúc xạ ánh sáng được viết liên tiếp cho các lớp:
n0 sin i0 = n1 sin i1 = .... = nk sin ik
10


Xét tại lớp bất kì, có chiết suất n, góc tới của tia sáng tại lớp này là i 
n0 sin i0 = n sin i (1)
Trong đó n0 ; i0 là các giá trị chiết suất và góc tới tại lớp biên.
Tiếp đó ta lập mối quan hệ giữa dy, dx và giá trị lượng giác của góc i. Ví
dụ trên hình 8 ta thấy tan i =

dy
= f ' ( x ) (2)
dx

Ở đây vì đã biết rõ hàm chiết suất của môi trường phụ thuộc vào tọa độ x
nên ta thay hàm chiết suất vào (1), từ đó rút ra sini tiếp tục là tani rồi sau đó thế
vào (2).
Đến đây việc tìm phương trình quỹ đạo dẫn đến việc giải phương trình vi
phân, phương pháp chung là giải phương trình vi phân bằng phép phân li biến
số.
BÀI 3
Xét một bản trong suốt, song song,
có bề dày d và có giá trị chiết suất cho bởi
n=

n0
1−

x (Xem hình vẽ 9)
R

Một tia sáng đi vào từ không khí tới
điểm A, vuông góc với mặt bản ( x A = 0 )

HÌNH VẼ 9

và ló ra ở điểm B với góc ló là α
a) Tính chiết suất tại điểm B ( nB )
b) Tính xB
c) Lập phương trình quỹ đạo của tia sáng truyền trong bản
Dữ kiện: n0 = 1,2 ; R = 13cm; α = 300

n 
ĐS: nB = n02 + sin 2 α ; xB = R 1 − 0 ÷ ;

 nB 
Quỹ đạo là một cung tròn bán kính R
11


PHÂN TÍCH VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI
a) Trong bài toán này dữ kiện đề bài cho biết hàm chiết suất của môi
trường phụ thuộc tọa độ. Yêu cầu tìm phương trình quỹ đạo của đường truyền
ánh sáng.
Chiết suất của môi trường biến thiên theo trục Ox nên ta chia môi trường
thành nhiều lớp mỏng theo phương song song với Oy.
Chiết suất của bản tại điểm A là nA = n0 , góc tới tại điểm A là i0 = 900 (như
hình vẽ 10)

HÌNH VẼ 10

Tại điểm B, chiết suất của môi trường là nB, góc tới là θ .
Ta có:
n0 = nB .sin θ
n0 = nB .cos β (1)
CHÚ Ý: Đến đây học sinh hay nhầm lẫn rằng góc β = α . Thực tế điều
này không đúng vì tại điểm B chiết suất ở phía trên bằng 1 (trong môi trường
không khí), còn chiết suất ở phía dưới bằng n B (trong môi trường bản mỏng)
nên tia sáng khúc xạ ra không khí từ trong bản đã bị lệch.
Để tìm mối quan hệ giữa hai góc α và β ta xét sự khúc xạ ánh sáng tại
điểm B từ trong bản mỏng ra không khí, pháp tuyến là đường thẳng đứng qua B

12

sin α
nB

sin β =
Ta có: nB sin β = 1.sin α 

nB2 − sin 2 α
cos β = 1 − sin β =
nB
2

Thay biểu thức trên vào phương trình (1) ta được kết quả:
n0 = nB2 − sin 2 α
nB = n02 + sin 2 α

b) Thay biểu thức chiết suất nB vào phương trình tổng quát của chiết suất
n=

n0
1−

x
R

Ta sẽ tìm được tọa độ của điểm B:

n 
xB = R  1 − 0 ÷
 nB 
c) Lập phương trình quỹ đạo của đường đi của tia sáng.

Xét tại một điểm tới C bất kì trong bản như hình vẽ 11.

HÌNH VẼ 11

n0 R
 sin i = R − x
Ta có n0 = n.sini = R − x sin i
R

13


2
 cos i = 2 Rx − x . Từ đó ta có hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm đang
R

xét là:
tan i =

sin i
R−x
dy
=
=
cos i
2 Rx − x 2 dx

Rút ra: dy =
y

x

0

0

Lấy tích phân hai vế ta được: ∫ dy = ∫

R−x
2 Rx − x 2
R−x
2 Rx − x 2

dx
dx

Thực hiện phép tích phân bằng cách đặt u = 2 Rx − x 2  du = 2 ( R − x ) dx
Kết quả thu được: x 2 + y 2 − 2 Rx = 0
Kết luận phương trình đường đi của tia sáng là một cung tròn tâm I có
tọa độ ( R;0 ) bán kính R
BÀI 4
1) Một vỏ cầu có bán kính ngoài R 1 bán
kính trong R2 được làm bằng chất trong suốt có
chiết suất n2. Từ môi trường ngoài có chiết suất
n1, một tia sáng được chiếu tới vỏ cầu dưới góc
tới i1. Trước khi đi vào bên trong, tia sáng
chiếu tới mặt trong của vỏ cầu dưới góc tới i 2.
(Xem hình vẽ 12). Hãy thiết lập mối quan hệ
giữa các đại lượng i1; i2 ; n1; n 2 ; R1; R2
HÌNH VẼ 12

2) Một quả cầu tâm O bán kính R được làm bằng một chất trong suốt. Chiết
suất tại một điểm bên trong quả cầu biến thiên theo khoảng cách r từ điểm đó tới
tâm quả cầu theo hệ thức nr =

2R
. Từ không khí chiếu vào quả cầu một tia
R+r

sáng với góc tới i = 300. Xác định khoảng cách ngắn nhất từ tâm O đến quỹ đạo
của tia sáng.
14


ĐS: 1) n1R1 sin i1 = n2 R2 sin i2 ; 2) rmin =

R
3

PHÂN TÍCH VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI
1) Tại I tia sáng từ môi trường có chiết
suất n1 khúc xạ vào trong quả cầu với góc tới
i1; Tại J từ môi trường có chiết suất n2 tia sáng
khúc xạ tiếp vào trong quả cầu với góc tới i2
Áp dụng ĐL khúc xạ ánh sáng tại I ta có:
¶ )
n1 sin i1 = n2 sinr1 ( r1 = OIJ
Áp dụng định lí hàm số Sin cho tam giác
OIJ ta có:

HÌNH VẼ 12

R2
R
R sin i2
= 1 → sinr1 = 2
sinr1 sin i2
R1
Thay vào biểu thức của ĐL khúc xạ ánh sáng tại I ta được
n1 sin i1 = n2

R2 sin i2
. Biến đổi về dạng đối xứng ta được
R1
n1 R 1 sin i1 = n2 R2 sin i2

Nhận xét: Dạng của ĐL khúc xạ ánh sáng qua các lớp mỏng liên tiếp khác
với trường hợp lớp mỏng được chia thành nhiều bản mỏng song song. Đó là vì
góc khúc xạ tại lớp này không bằng góc tới của lớp kia.

15


a) Chia quả cầu thành nhiều lớp mỏng
giới hạn bởi các mặt cầu bán kính r và r + dr.
Chiết suất của lớp mỏng này là n và coi như
không đổi (Xem hình vẽ 13)
Áp dụng ĐL khúc xạ ánh sáng cho các
lớp cầu mỏng liên tiếp ta được:
n.r.sin θ = 1.R.sin 300

Dễ thấy rằng khi khoảng cách giữa tâm
của quả cầu và tia sáng nhỏ nhất thì góc tới tại
điểm đó bằng 900.
Thay ĐK đó vào phương trình trên ta
HÌNH VẼ 13

được:

2R
R
R
.rmin = ; Dễ dàng giải được: rmin =
R + rmin
2
3
BÀI 5
Quỹ đạo của tia sáng truyền trong môi trường không không đồng nhất được
cho bởi phương trình x = A.sin

y
trong đó A và B là hai hằng số dương. Hãy
B

lập biểu thức của chiết suất n trong không gian giới hạn bởi hai mặt phẳng x = A
và x = -A. Giả sử rằng n chỉ phụ thuộc vào x và tại x = 0 thì giá trị n = n 0. Hãy
vẽ đồ thị n = n(x) trong đoạn [-A, A]
1/2

ĐS: n( x )


x2 
= n0 1 − 2
2
 A +B 

HƯỚNG DẪN GIẢI
Chiết suất của môi trường chỉ thay đổi theo phương của trục Ox, nên ta
chia môi trường thành các lớp mỏng song song với Oy (Xem hình 14)

16


HÌNH VẼ 14

Tại điểm tới C bất kì từ lớp mỏng có chiết suất n, góc tới của tia sáng từ lớp
này là i.
Ta có: cot i =

dx
y
dx A
y
= cos
, mặt khác x = A.sin ⇒
dy
B
dy B
B
Từ đó: cot i =

A
y
cos
B
B

Áp dụng ĐL khúc xạ ánh sáng liên tiếp cho các điểm từ gốc tọa độ O đến
điểm C ta có: n0 sin i0 = n sin i (1)
Góc i0 được cho bởi hệ thức: cot i0 =

A
y
A
cos 0 = ⇒ sin i0 =
B
B B

B
A2 + B 2

Góc i được cho bởi hệ thức:
A
y A
A
x2
2 y
cot i = cos = . 1 − sin
= . 1− 2 =
B

B B
B B
A
Từ (1) và (2) ta có: sin i =

A2 − x 2
(3)
B

n0 sin i0 n0
B
= .
(4)
n
n A2 + B 2

Từ (3) và (4) sử dụng hệ thức

1
= 1 + sin 2 i biến đổi ta thu được:
2
cot i

x2
n = n0 1 − 2
A + B2

17

(2)

Đồ thị chiết suất phụ thuộc tọa độ x như hình bên dưới

HÌNH VẼ 15

BÀI 6
Giữa hai môi trường trong suốt có chiết suất n 0 và n1 ( n0 > n1 > 1 ) có một
bản hai mặt song song bề dày e. Bản mặt được đặt dọc theo trục Ox của hệ trục
tọa độ Oxy như hình vẽ. Chiết suất của bản chỉ thay đổi theo phương vuông góc
n02 − n12
với mặt bản theo quy luật n = n0 1 − ky với k =
. Từ môi trường chiết
en02
suất n0 có một tia sáng đơn sắc được chiếu tới điểm O trên mặt bản theo phương
hợp với Oy một góc α (Xem hình 16)
a) lập phương trình đường truyền của tia sáng trong mặt bản
b) Xác định vị trí tia sáng ló ra khỏi mặt bản

18


HÌNH VẼ 16

ĐS: a) y = −

k
.x 2 + cot α .x ;
2
4sin α

 2sin 2α 
cos 2 α
;0 ÷
b) Nếu
< e thì tọa độ mà tia sáng ló ra khỏi bản là 
k
 k

Nếu

cos 2 α
>e
k

en02 sin 2α en02 sin α n12
− 2
− sin 2 α ; y2 = e
Thì tọa độ điểm ló là x2 = 2
2
2
2
n0 − n1
n0 − n1 n0
PHÂN TÍCH VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI
a) Lập phương trình quỹ đạo.

HÌNH VẼ 17

19

Ta chia bản mặt song song thành nhiều lớp mỏng, mỗi lớp coi như có chiết
suất không đổi n. Xét một lớp bất kì như hình vẽ trên. Lớp này có chiết suất n,
góc tới của tia sáng từ lớp này tới mặt phân cách là i (Xem hình 17)
Áp dụng ĐL khúc xạ ánh sáng liên tiếp từ điểm O đến điểm đang xét ta có:
n sin i = n0 sin α với n = n0 1 − ky
Từ đó ta có: sin i =
Theo hình vẽ ta có: cot i =

sin α
cos 2 α − ky
 cos i =
1 − ky
1 − ky

cos i dy
=
sin i dx

Thay cosi và sini từ trên vào phương trình này ta được:
cos 2 α − ky dy
=
sin α
dx
dy

Thực hiện phân li biến số:

cos 2 α − ky

=

dx
sin α

Lấy tích phân hai vế (chú ý thế cận từ điểm gốc tọa độ (0,0) đến điểm khảo
sát (x,y) ta được
y

∫
0

dy
cos 2 α − ky

x

dx
sin α
0

=∫

2
y
x
−1 d ( cos α − ky )
dx
=∫

Thực hiện đổi biến:
∫
k 0 cos 2 α − ky
sin α
0

Sau khi thực hiện phép lấy tích phân và vài biến đổi đơn giản ta đi điến
biểu thức:
y=−

k
.x 2 + cot α .x
2
4sin α

Nhận xét: Đường truyền của tia sáng là một phần của Parabol đi qua gốc
tọa độ, bề lõm quay lên.
b) Xác định vị trí mà tia sáng ló ra khỏi bản.
Tùy thuộc vào mối quan hệ giữa tung độ đỉnh của Parabol và bề dày của
bản, có hai tình huống xảy ra:
20


TH1: ymax < e thì tia sáng sẽ ló ra khỏi mặt dưới của bản (mặt mà tia sáng
đã đi vào)
TH2: ymax ≥ e thì tia sáng sẽ ló ra khỏi mặt trên của bản.
Ta đi xác định ymax.
Biến đổi phương trình quỹ đạo về dạng: y = −
y=

k  2 2sin 2α 
x÷
x −
4sin 2 α 
k


−k  2
sin 2α sin 2 2α  cos 2 α
x
−
2.
x
.
+

÷+
4sin 2 α 
k
k2 
k
2

−k 
sin 2α  cos 2 α
y=
x−
÷ +
4sin 2 α 
k 

k
Ta thấy: ymax
TH1: Nếu

cos 2 α
=
k

cos 2 α
< e thì tia sáng sẽ ló ra khỏi bản ở mặt dưới. Tọa độ
k

 2sin 2α 
;0 ÷
điểm mà tia sáng ló ra là: 
k


TH2: Nếu

cos 2 α
≥ e thì tia sáng sẽ ló ra khỏi bản ở mặt trên. Dễ tính được
k

en02 sin 2α en02 sin α n12
− 2
− sin 2 α ; y2 = e
tọa độ điểm ló là x2 = 2
2
2

2
n0 − n1
n0 − n1 n0
BÀI 7

Một đoạn sợi quang thẳng hình trụ gồm lõi có bán kính a, được tạo thành từ
một chất liệu trong suốt có chiết suất thay đổi từ giá trị n = n 1 tại trục đến giá trị
n = n2 (Với 1 < n2 < n1 ) ở khoảng cách a tính từ trục theo quy luật:
21


n = n ( x ) = n1 1 − α 2 x 2 trong đó x là khoảng cách từ trục của lõi và α là
hằng số. Lõi được bao bọc bởi một lớp vỏ trong suốt có chiêt suất n 2. Bên ngoài
sợi quang là không khí có chiết suất n0
Đặt Oz là trục của sợi quang. O là tâm của một đầu sợi
Cho: n0 = 1,000 ; n1 = 1,500 ; n2 = 1,460 ; a = 25µ m
1) Một tia sáng đơn sắc chiếu tới điểm O với góc tới θi , mặt phẳng tới là
mặt xOz.
a) Chứng tỏ rằng tại mỗi điểm trên quỹ đạo của tia sáng trong sợi quang,
điểm có chiết suất n và tia sáng tới điểm đó hợp với trục Oz góc θ thỏa mãn mối
quan hệ n.cos θ = C trong đó C là hằng số.
Tìm giá trị hằng số C theo n1; θi
b) Sử dụng kết quả vừa tìm được trong phần 1.a và mối quan hệ lượng giác
1

cos θ = ( 1 + tan 2 θ ) 2 trong đó tan θ =

dx
= x ' là hệ số góc của quỹ đạo tại điểm
dz

có tọa độ (x,z) thu được một phương trình của x’.
c) Tìm phương trình tường minh của x phụ thuộc vào z. Đây là phương
trình quỹ đạo của tia sáng trong sợi quang.
d) Hãy vẽ quỹ đạo của tia sáng trong một chu kì, với hai góc θi khác nhau.
2) Tia sáng truyền đi trong sợi quang
a) Hãy tìm giá trị góc tới lớn nhất θiM để tia sáng có thể truyền đi được bên
trong lõi của sợi quang.
b) Hãy xác định tọa độ z, tại vị trí giao điểm của quỹ đạo và trục Oz. Trong
trường hợp θi ≠ 0
PHÂN TÍCH VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI
1)a). Xét tại điểm O. Áp dụng ĐL khúc xạ ánh sáng cho môi trường tới ở
bên ngoài sợi quang và môi trường khúc xạ ở bên trong sợi quang:
n0 sin θi = n1 sin θ1 (1)
22


Ở đây θ1 là giá trị của góc θ tại điểm O phía trong sợi quang
Vì chiết suất n chỉ phụ thuộc vào tọa độ x nên ta chia sợi quang thành
những lớp mỏng, mỗi lớp được giới hạn bởi các mặt trụ có bán kính x và x + dx.
Tại mỗi lớp này chiết suất n được coi như không đổi: n = n ( x ) = n1 1 − α 2 x 2
Áp dụng ĐL khúc xạ ánh sáng liên tiếp cho các lớp ta thu được:
n1 sin i1 = n2 sin i2 = .... = n sin i
Dễ thấy: sin i = cos θ
 n.cos θ = n1 cos θ1 (2)
n12 − n02 sin 2 θi
Từ pt (1) ta có: cos θ1 =
Thay vào (2) thu được:
n12
n.cos θ = C = n12 − n02 sin 2 θi

1)b) Từ kết quả vừa nhận được: n.cos θ = C = n12 − n02 sin 2 θi lại có:
n = n ( x ) = n1 1 − α 2 x 2

C2
C2
 cos θ = 2 = 2
n
n1 ( 1 − α 2 x 2 )
2

1

Dùng công thức lượng giác cos θ = ( 1 + tan 2 θ ) 2
Suy ra:

n12 ( 1 − α 2 x 2 )
C

2

= 1 + ( x ')

2

n12α 2
Đạo hàm hai vế và thu gọn ta được: x ''+ 2 x = 0
C
Giải điều kiện biên của n để tính giá trị α ( n = n ( x ) = n1 1 − α 2 x 2 )
n ( a ) = n2 = n1 1 − α 2 a 2

n12 − n22
Thu được: α = 2 2
n1 a
2

Thay biểu thức trên vào phương trình vi phân của x ta được :
23


n12 − n22
x ''+ 2 2
x=0
a ( n1 − sin 2 θi )
n12 − n22
x=0
1)c) Xét phương trình: x ''+ 2 2
a ( n1 − sin 2 θi )
n12 − n22
1
=
Đặt ω =
2
2
2
a ( n1 − sin θi ) a

n12 − n22
( n12 − sin 2 θi )

Ta thu được phương trình vi phân của dao động điều hòa: x ''+ ω 2 x = 0
Nghiệm của pt này có dạng: x = A.cos ( ω z + ϕ )
Dễ dàng xác định được : ϕ = −

π
2

Tại điểm z = 0 phía trong sợi quang ta có: tan θ1 =
Từ đó tính được: A =

dx
= A.ω .
dz

a.sin θi
n12 − n22

Vậy phương trình quỹ đạo của tia sáng là:
x=

1
.cos 
a
n12 − n22


a.sin θi

n12 − n22
π

÷
z
−
2
2
÷
2
n
−
sin
θ
( 1
i)


1)d) Hãy vẽ quỹ đạo của tia sáng trong một chu kì, với hai góc θi khác
nhau.

HÌNH VẼ 18

24