LƯỠNG CHẤT cầu BỒI DƯỠNG HSG

CHUYÊN ĐỀ: LƯỠNG CHẤT CẦU
A- Đặt vấn đề:
I- Lý do chọn đề tài:
Ánh sáng được mô tả đúng đắn nhất như là một sóng điện từ mà vận tốc và
các tính chất khác của nó có thể suy ra từ các phương trình Maxwell. Quang Hình
học là một cách trình bày gần đúng về ánh sáng trong đó các sóng sáng là những
tia truyền thẳng. Sự trình bày này là đúng nếu sóng sáng không gặp những chướng
ngại (vật cản) có kích thước vào cỡ bước sóng của ánh sáng.
Trên thực tế có nhiều hiện tượng quang học, đặc biệt là hoạt động của các
dụng cụ quang học có thể được nghiên cứu xuất phát từ khái niệm về các tia sáng.
Dựa vào các định luật cơ bản về các tia sáng, quang hình học giúp chúng ta nghiên
cứu sự tạo thành ảnh trong các dụng cụ quang học một cách đơn giản. Và đặc biệt,
sự khúc xạ ánh sáng qua mặt cầu là một trong những hiện tượng cơ bản dẫn đến sự
tạo thành ảnh của các hệ quang học.
So với những quang cụ quen thuộc đã được đề cập đến ở chương trình
THPT, thì những kiến thức liên quan đến lưỡng chất cầu có phần mở rộng hơn,
chuyên sâu hơn và mới mẻ hơn. Đây có thể coi là một công cụ đắc lực giúp chúng
ta bình thường và đơn giản hóa những bài toán lạ, phức tạp, hóc búa; nắm chắc
hơn bản chất, gốc gác của những vấn đề mà trước nay ta mới chỉ nhìn nhận một
cách định tính, để rồi từ đó chủ động vươn lên nắm bắt tri thức…
Nhưng mặt khác, lưỡng chất cầu cũng chính là một thách thức không hề
nhỏtrong công tác học tập, giảng dạy, cũng như nghiên cứu - ứng dụng… đối với
những ai đam mê bộ môn Vật Lý.Vì thế chúng tôi muốn chọn đề tài này nhằm
giúp cho người học phần nào đó tích lũy được những chiếc chìa khóa quan trọng,
để có thể mở ra cánh cổng dẫn đến thế giới khoa học công nghệ đầy kì thú của
Quang Học nói riêng và Vật Lý Học nói chung.
II- Mục đích của đề tài:
Đối với bản thân học sinh học Vật Lý, thì những gì các em được tìm hiểu về
phần Quang (đặc biệt là Quang Hình) có phần yếu thế hơn so với ba mảng lớn còn
lại là Cơ – Nhiệt – Điện. Ấy vậy, các em lại thường xuyên phải bắt gặp và đối diện
với nó trong các kì thi (nhất là thi HSG). Các em vừa phải nắm chắc những kiến

thức cơ bản, vừa phải biết vận dụng chúng một cách linh hoạt, sáng tạo thì mới có
thể đáp ứng và theo kịp những xu hướng hiện nay. Bởi vậy riêng đối với các học
sinh học Vật Lý, chúng tôi rất mong chuyên đề này có thể giúp cho các em có
1


được sự chủ động, chắc chắn, tự tin, bản lĩnh để có thể qua được các kì “vượt vũ
môn” một cách thành công nhất! Các em sẽ được củng cố lí thuyết đã học và trau
dồi kĩ năng thực hành, để rồi từ đó tự rút ra kinh nghiệm và tìm ra con đường đi
cho riêng mình.
Còn đối với các quý thầy cô dạy Vật Lý, chúng tôi mong đây sẽ là một
nguồn tài liệu tham khảo bổ ích, quý giá, đa dạng, phong phú để phục vụ cho các
quý thầy cô trong sự nghiệp trồng người cho đất nước. Vật Lý là một bộ môn luôn
luôn vận động, vì vậy chúng tôi mong sẽ có thể phần nào đó giúp cho các quý thầy
cô truyền được niềm đam mê, hứng khởi cho các em học sinh, tạo ra phong cách
riêng độc đáo, sinh động trong mỗi bài giảng.
Chúng tôi cũng hy vọng qua chuyên đề lần này có thể nhận được sự phản
hồi, góp ý từ mọi người để có thể tự hoàn thiện bản thân, cùng chung sức củng cố
mối liên kết chặt chẽ giữa các trường chuyên khu vực Duyên hải và Đồng bằng
Bắc Bộ.
B- Nội dung của đề tài:
I- Tóm tắt lý thuyết:
1- Định nghĩa:
Lưỡng chất cầu là một tập hợp hai môi trường trong suốt, ngăn cách nhau
bởi một phần (hoặc toàn bộ) mặt cầu.
2- Đường đi của một tia
sáng qua lưỡng chất cầu:
Tuân theo định luật khúc
xạ ánh sáng
3- Lưỡng chất cầu khẩu

độ nhỏ:
4.1- Định nghĩa:Lưỡng chất cầu đỉnh bị giới hạn ở một chỏm cầu nhỏ, có
đáy là một đường tròn tâm , bán kính , được gọi là có khẩu độ nhỏ, khi nửa góc
ở đỉnh của hình nón đỉnh , đáy là đường tròn , có độ lớn không quá vài độ.

2


4.2- Điều kiện tương điểm gần đúng:
Các tia sáng gửi tới mặt lưỡng chất phải là các tia không xa và nghiêng ít so
với quang trục.
4.3- Các công thức:
Xét sơ đồ tạo ảnh của một vật nhỏ, phẳng mỏng
đặt vuông góc với trục
chính của lưỡng chất cầu ( nằm trên trục lưỡng chất cầu):
→
a) Công thức xác định vị trí ảnh, vật:

Lưu ý:Quy ước dấu:
- Đối với các khoảng cách
+ Vật thật:
+ Ảnh thật:
- Đối với bán kính

và

:

; vật ảo:
; ảnh ảo:

của mặt cầu khúc xạ:

+

nếu tia sáng chiếu tới lưỡng chất gặp mặt lồi.

+

nếu tia sáng chiếu tới lưỡng chất gặp mặt lõm.

b) Độ phóng đại của ảnh:
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅

3


Độ dài đại số của ảnh và vật được quy ước theo chiều dương

như hình

vẽ.
c) Hệ thức giữa các tiêu cự:
Khi

thì:

Khi

thì:

Từ đó ta suy ra hệ thức giữa các tiêu cự:

d) Công thức La-grăng – Hem-hôn:
Tích của chiết suất môi trường với độ lớn của vật (hoặc ảnh) và với góc
nghiêng trên trục của một tia sáng qua chân của vật (hoặc ảnh) có một giá trị
không đổi, đối với hai môi trường.

5- Những điểm thỏa mãn điều kiện tương điểm hoàn toàn đối với lưỡng
chất cầu:
Lưỡng chất cầu thỏa mãn điều kiện tương điểm hoàn toàn đối với:
- Tâm của nó.
- Mọi điểm trên mặt cầu.
4


- Cặp điểm Vai-e-xtra-xơ

.

Cặp điểm này:
+ Cùng nằm trên một đường kính.
+ Cùng nằm một phía đối với tâm
+ Cách tâm mặt cầu những khoảng:

II- Một số bài tập ứng dụng:
1- Bài tập về lưỡng chất cầu
khẩu độ nhỏ:
1.1- Chứng minh công thức
lưỡng chất cầu:

Bài tập: Hãy dùng nguyên lí
Fermat hoặc định lý Malus để chứng
minh công thức lưỡng chất cầu khẩu độ
nhỏ.
Giải:
Cách 1: Dùng nguyên lí Fermat:
Từ hình vẽ ta có:
√
√
Quang trình của tia

Theo nguyên lí Fermat:

Mặt khác do
5

:


Suy ra:

Cách 2: Dùng định lý Malus:
Chọn hệ trục tọa độ
định được tọa độ điểm

. Từ phương trình của mặt cầu khúc xạ giúp ta xác
:

√

*

+

Tương tự:

Theo định lý Malus quang trình của hai tia

và

phải bằng nhau

nên:

Từ đó ta dễ dàng chứng minh được:

1.2- Áp dụng công thức lưỡng chất cầu để giải bài tập:
Bài 1: Một thấu kính mỏng hai mặt lồi có bán kính bằng nhau. Khoảng
cách giữa hai tiêu điểm chính khi đặt thấu kính trong không khí và đặt trong nước
lần lượt là
và
. Cho chiết suất tuyện đối của không khí bằng , chiết suất
tuyệt đối của nước bằng .
a) Tìm chiết suất tuyệt đối

của chất làm thấu kính.

b) Đặt thấu kính ngập một nửa trong nước sao cho trục chính vuông góc với
mặt phẳng phân cách giữa nước và không khí. Tìm khoảng cách giữa hai tiêu điểm
chính.

Giải: a) Gọi

là bán kính hai mặt cong của thấu kính. Xét:

Khi thấu kính đặt trong không khí, ta có:
6


Khi thấu kính đặt trong nước, ta có:
(
Từ

)

suy ra:

b) Xét sơ đồ tạo ảnh:

Với

→

→

→

→

thì:

Xét tiếp sơ đồ tạo ảnh:

Với

thì:

Vậy khoảng cách giữa hai tiêu điểm chính:
7


Kết hợp với các kết quả ở câu a) ta được:

Bài 2: Một thấu kính mỏng hai mặt cầu lồi làm từ thủy tinh, bề dày
, đường kính
. Đặt thấu kính sao cho trục chính thẳng đứng, một
phần thấu kính ngập trong nước với quang tâm nằm ngay trên mặt nước.Khi Mặt
Trời lên đến đỉnh đầu thì ảnh của nó cho bởi thấu kính xuất hiện ở độ sâu
so với mặt nước. Nếu đảo ngược thấu kính sao cho phần trên ngập chìm
trong nước thì ảnh của Mặt Trời lại xuất hiện ở độ sâu
. Cho biết
chiết suất của nước là
. Hãy tính chiết suất của thủy tinh làm thấu kính cũng
như bán kính của hai mặt cầu.
Giải:
.
Đặt
Từ hình vẽ ta có:

Do

nên:

Tương tự ta có:

Mặt khác:
Suy ra:

8


Coi thấu kính như một hệ gồm hai lưỡng chất cầu không khí – thủy tinh và
thủy tinh – nước. Ta dễ dàng tính được:
Khi mặt cong

quay xuống:

Tương tự khi mặt cong

Cộng vế với vế
Tiếp tục thế

quay xuống:

rồi thế
vào

vào cho ta:
rồi giải hệ hai phương trình ta được:

1.3- Các bài toán về sự dịch chuyển ảnh vật:

→
Gọi vận tốc của vật và ảnh lần lượt là và
*

. Ta có:

Vật dịch chuyển theo phương vuông góc với trục chính:

KL:Ảnh dịch chuyển vuông góc với trục chính với
*

Vật dịch chuyển dọc theo trục chính:

KL: Ảnh vật chuyển động cùng chiều (do chiều dương của ảnh và chiều
dương của vật ngược hướng với
nhau)
Bài 1: Một vật sáng có
khối lượng , coi như một chất
điểm, được gắn dưới một lò xo
9


có độ cứng và có khối lượng không đáng kể. Khi dao động, vật có vị trí cân bằng
nằm trên đường thẳng kéo dài của đường kính
của một quả cầu bằng thủy
tinh. Quả cầu có bán kính , chiết suất
. Khoảng cách từ vị trí cân bằng của
vật sáng tới là . Mặt sau quả cầu được tráng bạc (hình vẽ). Ta chỉ xét ảnh của
vật sáng tạo bởi các tia đi từ vật đến quả cầu với góc tới nhỏ. Coi chiết suất của
không khí bằng .

a) Xác định vị trí ảnh của vật sáng khi vật ở vị trí cân bằng.
b) Khi vật sáng dao động với biên độ
động với vận tốc cực đại bằng bao nhiêu?

( có giá trị nhỏ) thì ảnh của vật dao

Giải:
a) Sơ đồ tạo ảnh:
→
Với

→

→

ta có:

Vậy ảnh tạo bởi hệ là ảnh ảo.
b) Khi vật có li độ và vận tốc
Ta có:

Với:

10

thì ảnh có li độ

và vận tốc

(

) (

) (

)

Vậy:

Mặt khác:
|

|

√

|

|

√

Bài 2: Một bể cá hình cầu làm bằng thủy tinh mỏng chứa đầy nước, đặt
trước một gương phẳng thẳng đứng. Bán kính của bể là . Khoảng cách từ tâm cầu
đến gương là . Quan sát viên ở khoảng cách lớn nhìn theo đường kính hình cầu
vuông góc với gương. Ở một điểm trên đường kính ngược với phía quan sát viên
có một con cá bắt đầu bơi theo thành bể với vận tốc ⃗ vuông góc với đường kính
(kích thước của con cá rất nhỏ so với bể). Những ảnh của con cá mà quan sát viên
trông thấy sẽ ra xa nhau với vận tốc tương đối bằng bao nhiêu? Cho chiết suất của

nước
.

Giải:
*Xét các tia sáng từ con cá về phía quan sát viên:
→
Với

Mặt khác:
11

ta có:


Vậy

chuyển động cùng chiều với : ⃗

⃗

*Ảnh thứ hai:
→

→

→

Áp dụng công thức lưỡng chất cầu khẩu độ nhỏ:

Suy ra:

Vậy:

Nên:
(

) (

) (

chuyển động ngược chiều với : ⃗

)
⃗

*Vậy vận tốc tương đối giữa hai ảnh:
⃗

⃗

⃗

⃗

Bài 3: Một bể cá hình cầu, bán kính làm bằng thủy tinh mỏng, trong suốt,
chứa đầy nước. Người quan sát đặt mắt tại
ở khoảng cách khá xa bể cá, nhìn
theo một đường kính
của hình cầu. Phía sau bể cá đặt một gương phẳng vuông
góc với đường kính
và cách tâm cầu một khoảng bằng

. Trên đường kính
có một con cá nhỏ (xem như điểm sáng ), bơi dọc theo
từ đến với vận
tốc 0 không đổi. Cho chiết suất của không khí bằng , chiết suất của nước
.
12


a) Hãy giải thích
vì sao người này nhìn
thấy hai ảnh của con cá.
b) Đúng lúc con
cá đi qua tâm hãy tính
vận tốc của hai ảnh nói
trên từ đó suy ra tốc độ
tương đối giữa chúng.
Giải:
Xét quá trình tạo ảnh thứ nhất:
→
Với

thì:

Xét quá trình tạo ảnh thứ hai:
→
Với

→

→

→

thì:

{

{
Vậy: Vận tốc của ảnh thứ nhất:
Vận tốc của ảnh cuối cùng trong quá trình tạo ảnh thứ hai:
13


Mặt khác ta lại có:
Suy ra hai ảnh chuyển động ngược chiều nhau nên vận tốc tương đối giữa
chúng có độ lớn bằng
1.4- Các bài toán liên quan tới công thức thấu kính cầu:
Bài 1: Xét một khối cầu trong
suốt có bán kính , chiết suất , đặt
trong không khí. Ta có thể coi khối
cầu trong suốt này như một thấu
kính cầu. Một điểm sáng nằm trên
trục chính của thấu kính cách tâm
của thấu kính một khoảng là , cho
ảnh
cách tâm thấu kính một
khoảng là . Hãy tìm công thức của
thấu kính cầu.
Giải:
Sơ đồ tạo ảnh:

Ta có:

Mặt khác:

Lại có:

Đặt:

Thì:

14

→

→


Suy ra:

Công thức
Khi

được gọi là công thức thấu kính cầu.
ta được tiêu cự của thấu kính:

Bài 2: Một quả cầu nước có
bán kính , chiết suất . Vật đặt ở
vị trí sao cho ảnh qua quả cầu
ngược chiều với vật.Ảnh hiện lên
trên một màn chắn. Trong bài toán

này ta chỉ xét trường hợp tạo ảnh
bởi các tia sáng đi gần trục.
Khoảng cách
giữa vật và màn
chắn là cố định.
a) Gọi là khoảng cách từ vật tới tâm hình cầu, có hai giá trị
để cho ảnh
| và tỷ số độ lớn của hai ảnh tương ứng với hai vị trí.
rõ nét. Tìm hiệu |
b) Khoảng cách

phải thỏa mãn những điều kiện gì để có thể tạo được ảnh.

Giải: Áp dụng công thức vừa chứng minh ở bài 1 ta có:

Mặt khác:
Từ

suy ra:

Để phương trình

có hai nghiệm phân biệt

|
15

|

√

√ (

(giả sử

)

) thì:


Do tính thuận nghịch của chiều truyền ánh sáng cho nên:
Gọi độ cao của vật là . Độ cao

Độ cao

của ảnh thứ nhất có độ lớn:

của ảnh thứ hai có độ lớn:

Suy ra tỉ số độ lớn giữa hai ảnh :
√

(

[

(

√

√

)

) ]

Bài 3: Hai khối cầu trong suốt có cùng bán kính , chiết suất . Khoảng
cách hai tâm
. Hãy tìm mối liên hệ giữa
để chùm sáng song song và
đi gần với đường thẳng nối tâm hai quả cầu sau khi qua hệ lại trở thành chùm song
song.
Giải: Mỗi khối cầu trong suốt tương đương với một thấu kính cầu có tiêu
cự:

Để thỏa mãn yêu cầu của đề bài thì hệ này phải là hệ vô tiêu, suy ra:

Mặt khác:

1.5- Giải bài toán về lưỡng chất cầu bằng phép vẽ:

16


Bài 1: Một chỏm cầu bằng thạch anh bị
nhúng một phần vào chất lỏng có chiết suất
(như hình vẽ). Mặt phẳng bán cầu song song và
cách mặt thoáng chất lỏng đoạn , độ dày của
chỏm cầu là . Một chùm sáng song song được
chiếu thẳng đứng vào chỏm cầu. Tại độ sâu và

trong chất lỏng quan sát được hai ảnh có độ
sáng như nhau. Bỏ qua sự hấp thụ ánh sáng của
thạch anh và chất lỏng, sự phản xạ ánh sáng tại các
mặt phân cách. Hãy xác định bán kính của chỏm
cầu, chiết suất của thạch anh và .
Giải:
Hai ảnh được tạo ra như sau: Ảnh thứ nhất được tạo nên từ chùm sáng
đến phần hở của chỏm cầu, khúc xạ ở đó, rồi khúc xạ trên mặt phẳng ra chất lỏng;
ảnh thứ hai
được tạo nên từ phần chùm sáng đến mặt chất lỏng, đến phần
chìm của chỏm cầu, rồi khúc xạ qua chỏm cầu ra chất lỏng.Do ảnh rõ nét (quan sát
được) nên hệ phải thoả mãn điều kiên tương điểm, tức là chỉ xét các tia tới với các
góc nhỏ (hình vẽ).
Tia tới mặt cầu dưới góc
và góc khúc xạ
nên góc
lệch:
(

)

Suy ra góc tới ở mặt phẳng của
chỏm cầu là và góc khúc xạ ra chất
lỏng là:
(

)

Theo điều kiện tương điểm: Độ dày của chỏm cầu phải nhỏ nên
ta có:

Tương tự: Đối với những tia sáng đi từ chất lỏng vào chỏm cầu:
17

nên


Từ hệ thức

và

ta có:

Mặt khác theo giả thiết hai ảnh có độ sáng như nhau nên năng lượng đến hai
ảnh phải như nhau, tức là phần tiết diện của chỏm cầu hở phải bằng tiết diện phần
chìm:

Lại có:
[

Từ

]

ta dễ dàng tính được:
√

1.6- Một số ứng dụng thực tế của lưỡng chất cầu:
Bài 1: Gương phản xạ lùi là một thiết bị quang học phản xạ ánh sáng quay
ngược trở lại so với chiều mà nó tới. Loại quen thuộc nhất là hình lập phương có

góc phản xạ, nhưng gần đây nhất là những hình cầu Scotchlite do công ty
sáng
chế.
a) Hãy tính chiết suất
phản xạ lùi ánh sáng.

và các thông số liên quan khác để đảm bảo hình cầu

b) Hãy vẽ phác sơ đồ làm việc của Scotchlite và thảo luận một cách định
tính những yếu tố quyết định đến hiệu suất phản xạ của nó.

18


Giải:
a) Hình cầu Scotchlite là một quả cầu chiết suất , có nửa bán cầu sau là mặt
phản xạ. Tiêu cự trong không gian ảnh, , đối với mặt khúc xạ đơn cho bởi công
thức:

Trong đó là bán kính mặt cầu. Chiết suất của không khí là . Chiết suất
của thủy tinh được chọn sao cho tiêu điểm sau có nửa mặt cầu trước trùng với đỉnh
của nửa mặt cầu sau, tức là:

Vì thế
b) Nửa mặt cầu sau của hình cầu Scotchlite phản xạ một phần ánh sáng tới,
hệ số phản xạ lùi η được cho bởi công thức:

Trong đó là độ trong suốt của nửa mặt cầu trước tại đó ánh sáng khúc xạ
hai lần, được tính là:

Và là độ phản xạ của nửa mặt cầu sau.Giả thiết ở đây không có sự hấp
thụ. Đối với mặt tráng bạc
ta có:

Bài 2: Một nhiệt kế thủy ngân làm bằng thủy tinh có chiết suất
thành ngoài và thành trong là hai hình trụ đồng trục có bán kính lần lượt là
Một người quan sát đặt mắt khá xa để quan sát nhiệt kế.

có
.

a) Hãy tìm điều kiện về
để người quan sát có cảm giác như phần thủy
ngân chiếm hết cả nhiệt kế (không thấy phần thủy tinh).
b) Khi bầu của nhiệt kế nằm trong nước đá thì thủy ngân ở vạch
Khi bầu của nhiệt kế nằm trong nước sôi thì thủy ngân ở vạch

19

.


Hỏi khi thủy ngân trong nhiệt kế ở vạch (nhiệt độ biểu kiến) thì nhiệt độ
thực tế là bao nhiêu? Cho biết hệ số nở nhiệt của thủy tinh là
và của thủy
ngân là
c) Hãy đề xuất phương án đo với các dụng cụ sau đây:
- Một bút đánh dấu bằng mực xanh.
- Một thước kẹp.
- Một kính hiển vi.

- Một tấm thủy tinh mỏng, phẳng, hai mặt song song.
Giải:
a) Áp dụng định lí hàm sin:

Mặt khác theo định luật khúc xạ:

Từ

suy ra:

b) Khi đặt nhiệt kế trong nước đá thì thủy ngân ở
vạch . Vậy ở
nếu ta gọi thể tích của bầu là
thì thể
20


tích của thủy ngân cũng là

, còn thể tích của một đốt (giữa hai vạch) sẽ là

Xét tại
- Thể tích của bầu:
- Thể tích của thủy ngân:
- Thể tích của một đốt:
Mặt khác, khi đặt nhiệt kế trong nước sôi thì thủy ngân ở vạch

Ở nhiệt độ

:

- Thể tích của bầu:
- Thể tích của thủy ngân:
- Thể tích của một đốt:
Theo đề bài:

(
Từ

)

:

c) Xét sơ đồ tạo ảnh:
→
Áp dụng công thức lưỡng chất cầu ta có:

Vậy ảnh

21

là ảnh ảo, nằm trong khoảng

.

:

.

Từ công thức

để xác định ta tiến hành theo các bước sau:

* Dùng thước kẹp đo .
* Dùng kính hiển vi đo | |:
- Trên bề mặt thủy tinh sẽ có những vết xước rất nhỏ mà mắt thường không
quan sát được, vì vậy nếu quan sát qua kính hiển vi ta sẽ thấy là có dạng một vết
xước không màu còn có dạng một vết xước màu đỏ (màu của thủy ngân).
- Kính hiển vi chỉ nhìn được trên một mặt phẳng, chỉ cần thay đổi khoảng
thì ảnh ra khỏi trường nhìn.Vì thế khi ta nhìn thấy thì không thể thấy
được và ngược lại nếu thấy được thì sẽ không thể thấy được .
- Xét tấm thủy tinh mỏng:

+ Dùng thước kẹp xác định bề dày
+ Đánh dấu điểm
+ Khoảng cách
22

bằng mực xanh.

của tấm.


+ Đặt tấm thủy tinh lên mâm kính, xác định xem khoảng cách
ứng với
bao nhiêu vòng quay của đinh ốc vi cấp từ lúc nhìn thấy cho đến khi nhìn thấy
.
- Tương tự ta đặt ống mao dẫn trên mâm kính, xác định xem khoảng cách
ứng với bao nhiêu vòng quay.

- Lấy tỷ lệ số vòng quay ta sẽ xác định được tỉ lệ giữa
ra | |.
* Có

và

từ công thức

và

, từ đó suy

ta sẽ xác định được bán kính .

2- Lưỡng chất cầu khẩu độ lớn:
Bài 1: Khi một tia sáng đi từ một ngôi sao đến Trái Đất thì nó phải khúc xạ
qua nhiều lớp khí quyển hình vỏ cầu có chiết suất tăng dần từ trên cao xuống dưới
thấp trước khi vào mắt của người quan sát. Tuy nhiên, để giải quyết bài tập khúc
xạ trong khí quyển thì Kepler đưa ra một mô hình đơn giản là:
Coi lớp khí quyển như một lớp cầu đồng chất có chiết suất:
. Do
có sự khúc xạ của tia sáng trong khí quyển mà một ngôi sao sau khi đã lặn dưới
đường chân trời vẫn gửi được một tia sáng vào mắt người quan sát. Góc tạo bởi
phương của tia sáng khi chưa vào khí quyển và phương của tia sáng khi đi vào mắt
người quan sát gọi là độ khúc xạ thiên văn của ngôi sao khi ở trên trời.
Biết

.

a) Hãy tính bề dày

của lớp khí quyển trong mô hình của Kepler.

b) Kết quả thu được có phù hợp với thực tế hay không?
Giải:
a) Theo đề bài ta có:
Từ định luật khúc xạ ánh sáng:

Từ

23

và

suy ra:


(

)

Xét

b) Như ta đã biết, bề dày của khí quyển dao động trong khoảng từ
, trong đó tầng điện li đã chiếm cỡ hơn
còn tầng đối lưu chỉ có bề
dày xấp xỉ
. Do sự khúc xạ của ánh sáng trong khí quyển chỉ phụ thuộc chủ
yếu vào tính chất của tầng đối lưu, nên kết quả của mô hình khá phù hợp với thực
tế.

Bài 2: Cho một thấu kính hội
tụ lõm – lồi bằng thủy tinh có chiết
suất
(hình vẽ). Mặt lõm có
bán kính
và có đỉnh tại
. Mặt lồi có bán kính
và có
đỉnh tại
. Khoảng cách
. Điểm sáng
được đặt tại
đúng tâm của mặt lõm và chiếu một
chùm tia có góc mở rộng vào mặt
thấu kính.
a) Xét chùm sáng hình nón xuất phát từ chiếu vào thấu kính với góc giữa
đường sinh và trục hình nón là
. Với giá trị
, hãy xác định vị trí
điểm đầu và điểm cuối của dải các giao điểm của các phương tia sáng ló ra khỏi
thấu kính và trục chính.
b) Tìm

sao cho chùm tia ló ra khỏi thấu kính là một chùm tia đồng quy,

rộng.
Giải:
Gọi
là
tâm và đỉnh của các mặt cầu

tương ứng.Đường thẳng
là trục chính của thấu
kính. Do thấu kính hội tụ nên
và
nằm trong
khoảng
.
24


Xét một tia sáng bất kì phát ra từ và làm với trục chính một góc . Do
nguồn sáng đặt tại tâm của mặt lõm nên tia sáng sẽ truyền thẳng đến điểm trên
mặt cầu lồi rồi khúc xạ đi ra ngoài. Đường kéo dài của tia ló cắt trục chính tại ;
là ảnh của qua thấu kính.
Gọi
.

lần lượt là góc tới và góc khúc xạ tại :

. Đặt

a) Với các thông số đã cho, dễ dàng chứng minh được rằng tam giác
cân và
. Vì vậy theo định luật khúc xạ:

Ta có:
Áp dụng định lý hàm số sin cho tam giác

Thay
Thay

ta được:

ta tính được
ta tính được

Vậy dải điểm ảnh nằm trên trục chính, ở bên trái

b) Đối với tam giác

Đối với tam giác

Suy ra:

25

ta có:

ta có:

và có bề rộng:

và