FREE: KỸ THUẬT CÂN BẰNG ĐÁNH GIÁ TRONG GIẢI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC GTLN, GTNN

Kỹ thuật “Cân bằng đánh giá”
TÀI LIỆU ÔN THI
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA 2016

KỸ THUẬT
“Cân bằng đánh giá”
Trong giải toán Bất đẳng thức,
Giá trị lớn nhất, Giá trị nhỏ nhất.

Tác giả:

ĐOÀN TRÍ DŨNG

Giáo viên chuyên luyện thi THPT Quốc Gia tại Hà Nội
Điện thoại:

0902.920.389

1


Kỹ thuật “Cân bằng đánh giá”
ĐÔI LỜI ĐẦU VỀ KỸ THUẬT
“CÂN BẰNG ĐÁNH GIÁ”
Trong các dạng toán bất đẳng thức hiện nay, tôi xin phép
được chia làm hai dạng chính:


Dạng 1: Các bất đẳng thức ở dạng đối xứng, giả đối xứng,… sử
dụng các biến đổi bất đẳng thức, các đánh giá phụ, bất đẳng
thức phụ,… Các dạng bài toán bất đẳng thức này rất khó, bạn

đọc có thể tham khảo các tác phẩm đã được viết bởi Phạm
Kim Hùng, Võ Quốc Bá Cẩn,…



Dạng 2: Các bất đẳng thức ở dạng bất đối xứng, yêu cầu các
đánh giá cơ bản không quá khó và xây dựng chủ yếu chỉ cần
nền tảng là biến đổi tương đương. Các dạng bài toán này xuất
hiện rất nhiều ở các đề thi Trung học phổ thông quốc gia, đề
thi thử của các trường trung học phổ thông,…
Kỹ thuật cân bằng đánh giá được chia làm hai phần chính:



Phần 1: Đánh giá điểm rơi của bài toán bất đẳng thức.



Phần 2: Thay vào biểu thức cần đánh giá để nhận giá trị, từ
đó tìm ra quy luật.



Phần 3: Cân bằng đánh giá!
Để hiểu rõ hơn, xin mời bạn đọc xem từng ví dụ từ trang sau.
Kỹ thuật này có lẽ không có gì mới và nổi bật, nhưng tôi

muốn viết một cách chi tiết và cẩn thận để chia sẻ cho mọi người.
Mọi ý kiến đóng góp dù tốt hay xấu, xin vui lòng liên hệ mang tính
cá nhân với tác giả.

Xin chân thành cảm ơn.
2


Kỹ thuật “Cân bằng đánh giá”
Ví dụ 1: Cho các số thực x, y, z  1;2



thỏa mãn điều kiện



4x 4  y 4  z 4  4 x 2  2yz . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
P

x2  z2





x2  3 y  z

y2





x 2  y2  z 2  4

1
x 2  2yz

.

Đề luyện tập số 15 lớp toán offline thầy Đoàn Trí Dũng
Phần 1: Đánh giá điểm rơi: x  1, y  z  2 .





Phần 2: Với điểm rơi đó ta có: x 2  3 y  z  13  x 2  y 2  z 2  4
Phần 3: Cân bằng đánh giá: Ta tạo ra được đánh giá sau:





x 2  3 y  z  x 2  y2  z 2  4
Bài giải





Ta chứng minh: x 2  3 y  z  x 2  y 2  z 2  4





 





 y  1 y  2  z  1 z  2  0 (Luôn đúng).
Vậy ta có: P 

x 2  y2  z 2
x 2  y2  z 2  4



1
x 2  2yz

.

Tới đây ta có đánh giá cơ bản: x 2  2yz  x 2  y 2  z 2 .
Do đó: P 

x 2  y2  z 2



x 2  y2  z 2  4

1
x 2  y2  z 2

.

Tìm điều kiện của x 2  y 2  z 2 . Từ điều kiện ban đầu ta có:



 




9
9
9x 4  y 4  z 4  9 x 2  2yz  9 x 2  y 2  z 2
4
4

1  
1 
 9 x 2  y 2  z 2  x 4  y 4  z 4  y 4  z 4   4x 4  y 4    4x 4  z 4 
4  
4 




 9 x
 9 x

2

 y2

2

 y2



 z   x  y  z  2y z  2x y  2x z
 z   x  y  z   x  y  z  9 .
2

2

4

4

2

2

Do đó ta tìm được Max P là

4

2

2 2

2

2 2

2

2

2 2

2

62
tại x  1, y  z  2 .
117
3


Kỹ thuật “Cân bằng đánh giá”
Ví dụ 2: Cho a, b, c là các số thực thoả mãn a, b, c  [1;2] . Tìm giá trị
lớn nhất của biểu thức sau:

P

2(ab  bc  ca )

8
b c  4


2(2a  b  c)  abc 2a(b  c)  bc  4
bc  1
Thi thử Trƣờng THPT Anh Sơn 2 – Lần 2

Phần 1: Đánh giá điểm rơi: a  1,b  c  2 .
Phần 2: Với điểm rơi đó ta có:

2(2a  b  c)  abc  16  2a(b  c)  bc  4
Phần 3: Cân bằng đánh giá: Ta tạo ra được đánh giá sau:

2(2a  b  c)  abc  2a(b  c)  bc  4
Bài giải
Ta chứng minh: 2(2a  b  c)  abc  2a(b  c)  bc  4

 2(2a  b  c)  abc  2a(b  c)  bc  4



 



 abc  2ab  2ac  bc  4a  2b  2c  4  0
 (a  1)(b  2)(c  2)  0 (Luôn đúng).
Nhận xét: Rõ ràng đánh giá cuối cùng rất khó phát hiện .
Vậy: P 



2(ab  bc  ca)
8
b c  4


2a(b  c)  bc  4 2a(b  c)  bc  4
bc  1

2a(b  c)  bc  4  bc  4 b  c  4

2a(b  c)  bc  4
bc  1

1

bc  4
b c  4

2a(b  c)  bc  4
bc  1

Vì a  1 do đó: P  1 

bc  4



2 bc  4

bc  4 bc  4
bc  1
7
Vậy, giá trị lớn nhất của P   khi a  1,b  c  2 .
6
Bình luận: Thực chất phương pháp không có gì mới mẻ, nhưng nó
được diễn ra một cách hoàn toàn tự nhiên, hạn chế các bước “suy
đoán”.
4


Kỹ thuật “Cân bằng đánh giá”
a  2b  c
Ví dụ 3: Cho a, b, c  0 thỏa mãn  2
.
2
2
a  b  c  2  ab  bc  ca
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

P

a c  2
a b 1

a b  c  a  b  1 a  c a  2b  c











Thi thử Trƣờng THPT Hùng Vƣơng – Bình Phƣớc – Lần 2
Phần 1: Đánh giá điểm rơi:

a  b  0
b c   2
2
2  a b
a

2
b

2

2
ab

b






2

 2 a b  2.

2 2
2 2
 b  2,b  c 
.
2
2
Phần 2: Với điểm rơi đó ta có:
Các điểm rơi cần tìm: a 

a c  2
2b  2  2

a b  c  a  b  1 2b 2  2 2  2 b  1  2















2 2b  2  2
a c 2
2
2



a b
a b c a b 1
2b  2 2b  2  2
b b 2















Phần 3: Cân bằng đánh giá: Ta tạo ra được đánh giá sau:

a c 2
2

a b c a b 1 a b





Phần 4: Với điểm rơi đó ta có:
a b 1
2b  1  2
1
1



2
a  c a  2b  c
2b  2
2b  2
2b  2















2



1
1

a b
a b





2

Phần 3: Cân bằng đánh giá: Ta tạo ra được đánh giá sau:

a b 1
1

1


a b
a  c a  2b  c
a b











2

5


Kỹ thuật “Cân bằng đánh giá”
Bài giải
Đánh giá 1: Ta chứng minh:

a c 2
2

a b c a b 1 a b

 
 a  b a  c  2   2a b  c   2a  2b  2

 a2  ab  ac  bc  2a  2b  2ab  2ac  2a  2b  2
 a 2  bc  ab  ac  2
Mặt khác sử dụng phép thế: ab  ac  2  a 2  b2  c2  bc ta được:



a 2  bc  a 2  b2  c2  bc  b  c
Đánh giá 2: Ta chứng minh:



2

 0 (Luôn đúng).

a b 1
1
1


a b
a  c a  2b  c
a b










2
a b 1
a b 1


 a  b   a  c a  2b  c 
a  c a  2b  c  a  b2 

2

 a2  2ab  b2  a 2  ac  2ab  2bc  ac  c2  b  c   0 (Đúng).
2

Vậy ta có đánh giá: P 

Kết luận: MaxP 

2
1
1


a b a b a b





2



1
1

a b a b





2

.

1
2 2
2 2
, khi a 
,b  c 
.
4
2

2
BÀI TẬP TƢƠNG TỰ

Bài 1: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x 2  y 2  z 2  2x .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P 

x z
z
4x 2


x  2y  1 y  1 x  y





2

Trƣờng THPT Thực Hành Cao Nguyên – Tây Nguyên– Lần 1
Bài 2: (Trƣờng THPT Anh Sơn 2 – Nghệ An – Lần 1) Cho các số







thực a  0;1 ,b  0;2 ,c  0; 3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
2(2ab  ac  bc)

8 b
b
.
P


2
2
2
1  2a  b  3c b  c  b(a  c)  8
12a  3b  27c  8
6


Kỹ thuật “Cân bằng đánh giá”
THAY LỜI KẾT
Kỹ thuật trên không có tác dụng thay thế các bài toán chứng
minh bất đẳng thức mà chỉ đơn thuần bổ trợ và giúp các bạn có thêm
một hướng tư duy mới trong việc tiếp cận bất đẳng thức.
Trên đây là một trong số các kỹ thuật giải bất đẳng thức tôi sử
dụng trong giảng dạy offline xin được chia sẻ với các bạn đọc.

MỌI CHI TIẾT ĐÓNG GÓP Ý KIẾN XIN GỬI VỀ
Thày giáo:

Đoàn Trí Dũng.

Số điện thoại:

0902.920.389.

Email:



7