Nghiên cứu các thuật toán về cây khung và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG

TRẦN THỊ PHƯƠNG THẢO

NGHIÊN CỨU CÁC THUẬT TOÁN VỀ CÂY KHUNG
VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH

Thái Nguyên, 2015


LỜI CAM ĐOAN
Tên em là Trần Thị Phương Thảo, học viên lớp Cao học K12E, chuyên
ngành Khoa học máy tính, khóa học 2013 – 2015. Em xin cam đoan luận văn:
“NGHIÊN CỨU CÁC THUẬT TOÁN VỀ CÂY KHUNG VÀ ỨNG DỤNG ”

Dưới sự hướng dẫn của PGS TSKH. Nguyễn Xuân Huy - Trường Đại học
Công nghệ thông tin và Truyền thông, Đại học Thái Nguyên , với các nội
dung trình bày được trích dẫn đầy đủ từ các nguồn tài liệu tham khảo chính
thống (báo khoa học, các sách có bản quyền), các nội dung trình bày trong
luận văn hoàn toàn trung thực. Và đây là công trình nghiên cứu của bản thân
kết hợp với sự hướng dẫn của PGS TSKH.Nguyễn Xuân Huy tạo lập ra.
Nếu có nội dung nào sao chụp lại hoặc không phải do chính bản thân
tạo ra, em xin hoàn toàn chịu tránh nhiệm và chịu các hình thức kỷ luật.

Phú Thọ, ngày 4 tháng 10 năm 2015
HỌC VIÊN
Trần Thị Phương Thảo

LỜI CẢM ƠN
Điều đầu tiên em xin gửi lời cảm ơn tới các Thầy, Cô Trường Đại học
Công nghệ thông tin và Truyền thông Thái Nguyên trong thời gian vừa qua đã
cung cấp và truyền đạt chương trình học với các môn học có nội dung bổ ích.
Thông qua chương trình học, em được lĩnh hội nhiều về kiến thức chuyên
môn, các phương pháp tiếp cận bài toán trong tin học.
Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới PGS TSKH. Nguyễn Xuân Huy,
người Thầy đã hướng dẫn, chỉ bảo, giám sát, theo dõi, cung cấp phương pháp,
nguồn dữ liệu tiếp cận bài toán để em có thể hoàn thành được luận văn của
mình.
Em xin cảm ơn Ban Giám hiệu trường THPT Trần Phú cùng các đồng
nghiệp trong Trường, xin cảm ơn Trường Đại học Công nghệ thông tin và
Truyền thông, Đại học Thái Nguyên đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ để em hoàn
thành chương trình học tập và luận văn tốt nghiệp.
Điều cuối cùng em xin cảm ơn gia đình, bạn bè luôn nhiệt tình ủng
hộ, động viên, giúp đỡ cả về vật chất lẫn tinh thần trong thời gian học tập
và nghiên cứu.
Trong quá trình thực hiện luận văn, mặc dù đã có rất nhiều cố gắng
nhưng cũng không tránh khỏi những thiếu sót. Kính mong nhận được sự cảm
thông và tận tình chỉ bảo của các Thầy, Cô và các bạn.
Em xin trân trọng cảm ơn!.
Phú Thọ, ngày 4 tháng 10 năm 2015.
HỌC VIÊN
Trần Thị Phương Thảo


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU........................................................................................................1
1. Tính cấp thiết của đề tài.............................................................................1

2. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu..............................................................2
3. Phương pháp nghiên cứu............................................................................2
4. Hướng nghiên cứu của đề tài......................................................................3
5. Những nội dung nghiên cứu chính.............................................................3
CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ CÂY KHUNG..........................................4
1.1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM LIÊN QUAN TỚI ĐỒ THỊ...............................4
1.1.1 Định nghĩa đồ thị .................................................................................4
1.1.2. Các loại đồ thị ....................................................................................5
1.1.3. Bậc của đồ thị ...................................................................................6
1.2. ĐỒ THỊ CON, ĐỒ THỊ BỘ PHẬN.................................................8
1.2.1. Đồ thị con, đồ thị bộ phận .................................................................8
1.2.2. Đường đi, chu trình trong đồ thị..........................................................8
1.3 TỔNG QUAN VỀ CÂY KHUNG........................................................10
1.3.1 Định nghĩa về cây...............................................................................10
1.3.2 Cây khung ..........................................................................................11
1.3.3 Cây khung cực tiểu.............................................................................12
1.3.4 Rừng khung, rừng khung cực tiểu......................................................13
1.3.4.1 Rừng khung.....................................................................................13
1.3.4.2 Rừng khung cực tiểu.......................................................................14
1.3.5 Cầu, cạnh trọng yếu...........................................................................15
1.3.6 Khớp...................................................................................................16
1.3.7 Liên thông hóa...................................................................................16
1.4 BIỂU DIỄN ĐỒ THỊ TRÊN MÁY TÍNH.............................................20


1.4.1 Ma trận kề và ma trận trọng số...........................................................21
1.4.2 Ma trận liên thuộc..............................................................................22
1.4.3 Danh sách kề......................................................................................23
CHƯƠNG 2: TÌM HIỂU MỘT SỐ THUẬT TOÁN VỀ CÂY KHUNG....25
2.1 GIỚI THIỆU KỸ THUẬT FIND UNION............................................25

2.2 THUẬT TOÁN TÌM CÂY KHUNG, CÂY KHUNG CỰC TIỂU.......31
2.2.1 Thuật toán tìm cây khung....................................................................31
2.2.2 Thuật toán tìm cây khung cực tiểu.....................................................33
2.3 THUẬT TOÁN LIỆT KÊ CÁC CÂY KHUNG THÀNH PHẦN CỦA
RỪNG KHUNG...........................................................................................40
2.4 THUẬT TOÁN LIỆT KÊ CÁC CÂY KHUNG THÀNH PHẦN CỦA
RỪNG KHUNG CỰC TIỂU.......................................................................44
2.5 THUẬT TOÁN LIỆT KÊ CÁC CẦU...................................................48
2.6 THUẬT TOÁN LIỆT KÊ CÁC KHỚP................................................50
CHƯƠNG 3: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA BÀI TOÁN CÂY KHUNG GIẢI
QUYẾT VẤN ĐỀ THỰC TẾ.............................................................54
3.1 BÀI TOÁN CÁP MẠNG.......................................................................54
3.2 BÀI TOÁN TUYẾN ĐƯỜNG QUAN TRỌNG TRONG QUÂN SỰ..59
3.3 CÀI ĐẶT CHƯƠNG TRÌNH................................................................64
KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN...................................................64
Tài liệu tham khảo:......................................................................................66


1

MỞ ĐẦU
1. Tính cấp thiết của đề tài
Khái niệm về cây khung được CayLey đưa ra năm 1857 [4].
Cây là đồ thị vô hướng, liên thông, không có chu trình.
Trong tin học, cây được dùng để xây dựng các thuật toán, tổ chức các thư
mục, các thuật toán tìm kiếm, lưu trữ và nén dữ liệu,…[3,5]. Có rất nhiều bài
toán vận dụng khái niệm về cây như: Sửa chữa đường, định chiều các đường
đi trong thành phố, tìm cây khung có nhiều lá nhất…
Cây khung của một đồ thị hữu hạn, vô hướng và liên thông là đồ thị con
liên thông chứa mọi đỉnh và ít cạnh nhất [1,2,3,4,5,6,7]. Nếu đồ thị ban đầu có

n đỉnh thì cây khung của đồ thị này có n đỉnh và n - 1 cạnh. Nhiều bài toán
trong thực tiễn đòi hỏi phải xây dựng cây khung với các biến thể khác nhau,
thí dụ: Bài toán du lịch, bài toán kết nối mạng máy tính, bài toán quản lý vốn
vay của địa phương.
Một số biến thể của cây khung cũng được vận dụng nhiều trong thực tiễn
[3] Thí dụ: Một mạng giao thông có nhiều cầu. Khi một cầu bị phá thì mạng
vẫn có thể liên thông. Một cầu được gọi là trọng yếu nếu như khi bỏ cầu đó
thì mạng mất liên thông [3]. Trong chiến tranh đối phương thường quan tâm
phá những cầu trọng yếu. Trong một mạng máy tính đường nối giữa hai máy
được xem là trọng yếu nếu đường nối đó bị đứt thì mạng mất tính liên thông.
Một đỉnh trong đồ thị liên thông được gọi là trọng yếu hay đỉnh khớp nếu
bỏ đỉnh đó và những cạnh liên thuộc thì đồ thị mất tính liên thông [3].


2

Để xác định được các cầu trọng yếu hoặc đỉnh khớp ta cần dựa vào khái
niệm cây khung. Thí dụ, mọi cầu trọng yếu đều phải thuộc một cây khung nào
đó.
Với những lí do trên học viên chọn đề tài nghiên cứu các thuật toán về cây
khung và ứng dụng nhằm các mục đích sau:
- Tìm hiểu các khái niệm về đồ thị nói chung và đồ thị liên thông nói riêng.
- Tìm hiểu sâu về cây khung và các thuật toán liên quan đến cây khung và các
biến thể của cây khung.
- Xây dựng một số ứng dụng cây khung giải quyết một số vấn đề thực tiễn:
Bài toán kết nối mạng, bài toán quản lý giao thông, bài toán quản lý cụm hải
đảo và các quần thể động thực vật.
2. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
a. Đối tượng nghiên cứu:
Tổng quan lý thuyết về cây khung.

Tìm hiểu một số thuật toán về cây khung điển hình như: Tìm cây khung, tìm
cây khung cực tiểu, các bài toán về rừng khung, liệt kê các cây khung, cầu
trọng yếu, đỉnh khớp…
Các ứng dụng của việc giải quyết các bài toán cây khung vào trong thực tế.
b. Phạm vi nghiên cứu:
Khảo sát, đánh giá tổng quan về lý thuyết cũng như các bài toán và các biến
thể của cây khung trong lớp các đồ thị hữu hạn.
3. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng các phương pháp nghiên cứu chính sau:


3

- Phương pháp nghiên cứu lý thuyết: Tổng hợp tài liệu, hệ thống lại các kiến
thức, tìm hiểu các khái niệm, thuật toán sử dụng trong đề tài.
- Phương pháp thống kê:
- Phương pháp thực nghiệm: Điều tra chọn mẫu, xử lý thông tin,...
- Phương pháp trao đổi khoa học, lấy ý kiến chuyên gia.
4. Hướng nghiên cứu của đề tài
- Tổng quan về lý thuyết đồ thị và cây khung.
- Nghiên cứu các thuật toán về cây khung.
- Ứng dụng của các bài toán cây khung trong thực tế.
- Cài đặt thử nghiệm chương trình.
5. Những nội dung nghiên cứu chính
Nội dung chính của luận văn được chia thành ba chương, cụ thể như sau:


4

CHƯƠNG 1

TỔNG QUAN VỀ CÂY KHUNG
1.1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM LIÊN QUAN TỚI ĐỒ THỊ
( Các khái niệm cơ bản liên quan đến đồ thị được trình bày chi tiết trong tài
liệu [1,2,6])
1.1.1 Định nghĩa đồ thị
Đồ thị là một cấu trúc rời rạc bao gồm các đỉnh và các cạnh nối các đỉnh của
đồ thị. Các loại đồ thị khác nhau được phân biệt dựa trên kiểu và số lượng
cạnh nối hai đỉnh nào đó của đồ thị.
u
y

x

- Nếu cạnh u = (x,y) mà x và y là hai đỉnh phân biệt thì ta nói x, y là hai đỉnh
kề nhau.
- Nếu u = (x,x) thì u là cạnh có hai đỉnh trùng nhau ta gọi đó là một khuyên.
u
x
- Nếu u = (x,y) mà x,y là cặp đỉnh có phân biệt thứ tự hay có hướng từ x đến
y thì u là một cung, khi đó x là gốc còn y là ngọn hoặc x là đỉnh ra, y là đỉnh
vào.

xX

y


5

- Khi giữa cặp đỉnh (x, y) có nhiều hơn một cạnh thì ta nói những cạnh cùng

cặp đỉnh là những cạnh song song hay là cạnh bội.

y

x

1.1.2. Các loại đồ thị
a. Đồ thị vô hướng
- Đồ thị G=<V,E> được gọi là đồ thị vô hướng nếu tất cả các cạnh u  E
mà cặp đỉnh thuộc nó u = (x,y) (trong đó x,y  V) không phân biệt thứ tự.

11

5

2
4

3

6

8

7

Hình 1.1: Đơn đồ thị vô hướng gồm 8 đỉnh 7 cạnh
b. Đồ thị có hướng
Đồ thị G = <V, E> được gọi là đồ thị có hướng nếu tất cả các cạnh u  E mà
cặp đỉnh thuộc nó u = (x, y) (trong đó x,y  V) có phân biệt thứ tự. Đồ thị có

hướng là đồ thị mà mọi u=(x, y)  V đều là cung.


6

5

2

4

3

6

8

1

7

Hình 1.2: Đơn đồ thị có hướng gồm 8 đỉnh và 7 cạnh
c. Đồ thị hỗn hợp
Đồ thị G=<V,E> được gọi là đồ thị hỗn hợp nếu tất cả các cạnh u  E mà
cặp đỉnh thuộc nó u = (x,y) có nhiều hơn một đường đi.

1

3

2

5

4

1.1.3. Bậc của đồ thị
a. Bậc của đồ thị vô hướng
6

4

5
1

3

Hình 1.3: Đơn đồ thị

2


7

Hình 1.3 là một đồ thị đơn với tập đỉnh V = {1, 2, 3, 4, 5, 6} và tập
cạnh E = 1,2, {1,5}, {2,3}, {2,5}, {3,4}, {4,5},4,6
Bậc của đỉnh v trong đồ thị G, ký hiệu dG(v), là số cạnh liên thuộc với v, trong
đó, khuyên được tính hai lần. Một đỉnh có bậc 0 là đỉnh cô lập. Đỉnh có bậc 1
là một đỉnh treo hay lá. Trong đồ thị ví dụ, các đỉnh 1 và 3 có bậc là 2, các
đỉnh 2, 4 và 5 có bậc bằng 3, đỉnh 6 có bậc 1.

Nếu tập cạnh E là hữu hạn thì tổng giá trị bậc của các đỉnh gọi là bậc của đồ
thị. Bậc của đồ thị bằng hai lần số cạnh. Số các đỉnh bậc lẻ luôn là số chẵn.
Bậc cực đại của đồ thị G, ký hiệu Δ(G), là bậc lớn nhất của các đỉnh trong đồ
thị; bậc cực tiểu, δ(G), là bậc nhỏ nhất của các đỉnh trong đồ thị.
b. Bậc của đồ thị có hướng

A

B

E

D

C

Hình 1.4: Đồ thị có hướng
Xét đồ thị cho trong hình 1.4 Ta có:
deg - (a)=1, deg - (b)=2, deg - (c)=2, deg - (d)=2, deg - (e) = 2.
deg + (a)=3, deg + (b)=1, deg + (c)=1, deg + (d)=2, deg + (e)=2.


8

Bậc của một đỉnh v là số cạnh liên thuộc với v (trong đó, khuyên được tính
hai lần). Bậc của v được ký hiệu là

.

Trong một đồ thị có hướng, bậc trong của đỉnh v là số cung kết thúc tại v,

còn bậc ngoài là số cung xuất phát từ v. Bậc trong và bậc ngoài của v được ký
hiệu là
Đỉnh với

và

. Do đó,
được gọi là đỉnh cô lập. Đỉnh có

.
được gọi

là lá. Nếu mỗi đỉnh của đồ thị đều có bậc bằng nhau và bằng k thì đồ thị được
gọi là đồ thị chính quy bậc k và đồ thị được coi là có bậc bằng k.
Đỉnh có

được gọi là đỉnh phát, đỉnh có

là đỉnh

thu.
Trong đồ thị có hướng Γ, bậc ngoài dΓ+(v), số cung xuất phát từ đỉnh v, và bậc
trong dΓ-(v), số cung đi vào đỉnh v. Bậc dΓ(v) của đỉnh v bằng tổng bậc ngoài
và bậc trong của đỉnh đó. Bậc ngoài cực đại và cực tiểu được ký hiệu Δ+(Γ) và
δ+(Γ); bậc trong cực đại và cực tiểu, Δ-(Γ) và δ-(Γ). Trong ngữ cảnh rõ ràng,
có thể bỏ qua chỉ số dưới Γ
1.2. ĐỒ THỊ CON, ĐỒ THỊ BỘ PHẬN
1.2.1. Đồ thị con, đồ thị bộ phận
Cho đồ thị G = (V,E.
- Nếu trong đồ thị đó ta bỏ đi một số đỉnh nào đó và các cạnh (cung) xuất phát

từ đỉnh đó thì phần còn lại của đồ thị được gọi là đồ thị con của đồ thị G đã
cho.
- Nếu trong đồ thị G ta bỏ đi một số cạnh nhưng giữ nguyên các đỉnh thì phần
còn lại của đồ thị được gọi là đồ thị bộ phận của đồ thị G.
1.2.2. Đường đi, chu trình trong đồ thị


9

Đường đi có độ dài n từ đỉnh u đến đỉnh v, trong đó n là số nguyên dương,
trên đồ thị vô hướng G = (V, E) là dãy x 0 , x 1 ,…, x n-1 , x n
trong đó u = x 0 , v = x n , (x i , x i+1 ) ∈ E, i = 0, 1, 2,…, n-1.
Đường đi nói trên còn có thể biểu diễn dưới dạng dãy các cạnh:
(x 0 , x 1 ), (x 1 , x 2 ), …, (x n-1 , x n )
Đỉnh u gọi là đỉnh đầu, còn đỉnh v gọi là đỉnh cuối của đường đi. Đường đi có
đỉnh đầu trùng với đỉnh cuối (tức là u = v) được gọi làchu trình . Đường đi
hay chu trình được gọi là đơn nếu như không có cạnh nào bị lặp lại.

a

b

d

e

c

f

Hình 1.7

a

d

b

c

e

f

Hình 1.8

Hình 1.7 và 1.8: Đường đi trên đồ thị.
Trên đồ thị vô hướng cho trong hình 1.7 : a, d, c, f, e là đường đi đơn độ dài
4. Còn d, e, c, a không là đường đi, do (c,e) không phải là cạnh của đồ thị.
Dãy b, c, f, e, b là chu trình độ dài 5. Đường đi a, b, e, d, a, b có độ dài là 5
không phải là đường đi đơn, do cạnh (a, b) có mặt trong nó 2 lần.
Khái niệm đường đi và chu trình trên đồ thị có hướng được định nghĩa hoàn
toàn tương tự như trong trường hợp đồ thị vô hướng, chỉ khác là ta có chú ý
đến hướng trên các cung.


10

1.3 TỔNG QUAN VỀ CÂY KHUNG
1.3.1 Định nghĩa về cây : Cho đồ thị G = <V, E>, G được gọi là một cây nếu

G liên thông và không có chu trình đơn, Đồ thị vô hướng không có chu trình
đơn gọi là rừng (hợp của nhiều cây), với n = V > 1.
Khi đó sáu tính chất sau là tương đương
(1) G là đồ thị liên thông và không có chu trình
(2) G không có chu trình và có n - 1 cạnh
(3) G liên thông và có n - 1 cạnh
(4) G không có chu trình và nếu thêm vào một cạnh nối 2 đỉnh
không kề nhau thì G xuất hiện duy nhất một chu trình.
(5) G liên thông và nếu bỏ đi một cạnh tuỳ ý thì đồ thị nhận được
sẽ không liên thông.
(6) Mỗi cặp đỉnh trong G nối với nhau bằng một đường duy nhất.


11

Hình 1.17: Cây
1.3.2 Cây khung
Định nghĩa : Cây khung (còn gọi là cây bao trùm) của một đồ thị n đỉnh, m
cạnh là cây gồm n đỉnh với số cạnh tối thiểu bảo toàn tính liên thông của đồ
thị.
Cho đồ thị G = <V, E> với số đỉnh n lớn hơn 1.
Giả sử G' là đồ thị bộ phận của G (G' nhận được từ G bằng cách bỏ đi một số
cạnh nhưng vẫn giữ nguyên đỉnh). Nếu G' = <V, E'> là một cây thì G' gọi là
cây bao trùm của G. Theo đúng tính chất về cây. G' là cây bao trùm phải có
n - 1 cạnh và là một đồ thị liên thông không có chu trình.
Giả sử G = (V, E) là đồ thị vô hướng. Cây T = (V, F) với F  E gọi là cây
khung của đồ thị G. Tức là nếu như loại bỏ một số cạnh của G để được một
cây thì cây đó gọi là cây khung (hay cây bao trùm của đồ thị).
Dễ thấy rằng với một đồ thị vô hướng liên thông có thể có nhiều cây khung.
Điều kiện cần và đủ để một đồ thị vô hướng có cây khung là đồ thị đó phải

liên thông.


12

Hình 1.18

Hình 1.20

Hình 1.19

Hình 1.21

Hình 1.18 đồ thị G.
Hình 1.19, 1.20, 1.21 cây khung của đồ thì G.
1.3.3 Cây khung cực tiểu
Định nghĩa : Cho đồ thị G vô hướng và liên thông với n đỉnh và m cạnh, cạnh
(u,v) có trọng số p(u,v) là một số dương. Cây khung cực tiểu (còn gọi là cây
bao trùm ngắn nhất) của G là cây khung với tổng trọng số của các cạnh trong
khung là nhỏ

nhất.


13

Hình 1.22: Đồ thị G

5
8

1

3

7

6

8

5

2

2
2

4
4
6

3

Hình 1.23
Cây khung cực tiểu của đồ thị G có trọng số = 30.
1.3.4 Rừng khung, rừng khung cực tiểu
1.3.4.1 Rừng khung
Định nghĩa : Cho G là một đồ thị vô hướng gồm n đỉnh và m cạnh. Hãy xác
định các cây khung trong mỗi mảnh liên thông của G. Tập hợp các cây khung

đó được gọi là rừng khung của đồ thị G.
Rừng là đồ thị mà mỗi thành phần liên thông của nó là một cây.

4

3

7

5


14

2

8

6

1

Hình 1.24
Đồ thị vô hướng có 8 đỉnh và 8 cạnh.

3

4

6

7

5

8

1

2

Hình 1.25
Rừng gồm 2 cây khung
1.3.4.2 Rừng khung cực tiểu
Định nghĩa: Cho đồ thị G vô hướng và liên thông với n đỉnh và m cạnh,
cạnh (u,v) có trọng số p(u,v) là một số dương. Rừng khung cực tiểu của G là
rừng khung với tổng trọng số của các cạnh trong khung là nhỏ nhất.

9
4

7
3

5

7

9

5
2

5
6

8
3

1

2
3


15

Hình 1.26
Đồ thị có 8 đỉnh và 8 cạnh dạng x y p

7
4

3

5

7

5

2

5

3

3

6

8

2

1

Hình 1.27
Rừng khung cực tiểu
1.3.5 Cầu, cạnh trọng yếu
Định nghĩa : Một cạnh trong đồ thị G được gọi là cầu hoặc cạnh trọng yếu
nếu xóa cạnh đó đi (giữ lại các đỉnh ở hai đầu), sẽ làm tăng số thành phần liên
thông của đồ thị.
cầu phải là cạnh khung, nghĩa là phải thuộc một cây hoặc rừng khung.

5

4

6

3

8

2

7

1


16

Hình 1.28
Đồ thị có 8 đỉnh, 7 cạnh.
Đồ thị có 3 cầu (1,5), (2,5) và (3,7) (tô đậm)

1.3.6 Khớp
Một đỉnh v được gọi là điểm khớp của đồ thị G=(V,E) nếu loại bỏ v cùng các
cạnh liên thuộc với nó khỏi đồ thị sẽ làm tăng số thành phần liên thông của đồ
thị.

Khớp

1.3.7 Liên thông hóa
Đối với đồ thị vô hướng G  ( V, E .
G gọi là liên thông (connected) nếu luôn tồn tại đường đi giữa mọi cặp đỉnh
phân biệt của đồ thị.
Nếu G không liên thông thì chắc chắn nó sẽ là hợp của hai hay nhiều đồ thị

con liên thông, các đồ thị con này đôi một không có đỉnh chung. Các đồ thị
con liên thông rời nhau như vậy được gọi là các thành phần liên thông của đồ
thị đang xét.


17

G2
G1

G3

Hình 1.29 : Đồ thị G và các thành phần liên thông G1, G2, G3 của nó
Đôi khi, việc xoá đi một đỉnh và tất cả các cạnh liên thuộc với nó sẽ tạo ra
một đồ thị con mới có nhiều thành phần liên thông hơn đồ thị ban đầu, các
đỉnh như thế gọi là đỉnh cắt hay điểm khớp.
Hoàn toàn tương tự, những cạnh mà khi ta bỏ nó đi sẽ tạo ra một đồ thị có
nhiều thành phần liên thông hơn so với đồ thị ban đầu được gọi là một cạnh
cắt hay một cầu.

Khớp

Cầu


18

Hình 1.30 : Khớp và cầu
a. Đồ thị vô hướng liên thông
Định nghĩa: Đồ thị vô hướng G = (V, E) được gọi là liên thông nếu luôn tìm

được đường đi giữa hai đỉnh bất kỳ của nó.
Định lý 1: Nếu bậc của mọi đỉnh đồ thị vô hướng G=<V,E> không nhỏ
hơn một nửa số đỉnh thì đồ thị đó liên thông.
Định lý 2 : Đồ thị vô hướng liên thông là định hướng được khi và chỉ khi
mỗi cạnh của nó nằm trên ít nhất một chu trình.

a

b
H2

c

d


19

e
H1
g

f

Hình 1.31: Đồ thị G

H3

Hình 1.32: Đồ thị H

Trong hình 1.31 : Đồ thị G là liên thông.
Trong hình 1.32 : Đồ thị H là không liên thông.
Ta gọi đồ thị con của đồ thị G = (V, E) là đồ thị H = (W, F), trong đó W ⊆ V
và F ⊆ E.

b. Đồ thị có hướng liên thông
Đối với đồ thị có hướng có hai khái niệm liên thông phụ thuộc vào việc ta có
xét đến hướng trên các cung hay không.

a

e

c

b

d

Hình 1.34 Đồ thị có hướng.


20

Định nghĩa 1 : Đồ thị có hướng G=<X,U> được gọi là liên thông mạnh
nếu luôn luôn tìm được đường đi giữa 2 đỉnh bất kỳ của nó.
Định nghĩa 2 : Đồ thị có hướng G=<X,U> được gọi là liên thông yếu nếu
đồ thị vô hướng tương ứng (tức là đồ thị đã cho được thay các cung bởi các
cạnh) với nó là đồ thị liên thông.
Rõ ràng nếu đồ thị là liên thông mạnh thì nó cũng là liên thông yếu, nhưng

điều ngược lại là không luôn đúng, như chỉ ra trong ví dụ dưới đây.

a

b

a

b

e

e
c
c

d

d

Hình 1.35 Đồ thị liên thông mạnh G và đồ thị liên thông yếu H.
Trong hình 1.35 đồ thị G là liên thông mạnh, còn H là liên thông yếu nhưng
không là liên thông mạnh.
Định nghĩa 3: Nếu e = (u, v) là cung của đồ thị có hướng G thì ta nói hai đỉnh
u và v là kề nhau, và nói cung (u, v) nối đỉnh u với đỉnh v hoặc cũng nói cung