de thi thu thpt quoc gia nam 2016 mon toan truong thpt chuyen luong the vinh dong nai lan 1

Câu
8

A

D
E

M
B

C

F

BM BA2 1
2


nên EM  ED  BD
2
BD
5
5
BD
 3  2  

1  3 

3  1 
Ta có AE  AD  AB, FE   AD  BD   AB 
AD .
5
5
2
5
5
10
 
6
3
Suy ra AE.FE  
AB2 
AD2  0 nên AE  FE .
25
50

Mà EF  1; 3 nên ta có phương trình AE : x  3 y  17  0 . Suy ra A  3a  17; a  .

Đặt AB  a , suy ra AD  2a,



0,25



9
1

2
AB2 
AD2  a2  a  5 , suy ra
25
100
5
2
2
9
4
AE 2 
AD2 
AB2  40   3a  18   a  6  40  a  8, a  4 .
25
25
Mà x A  0 nên A  5; 4  .
Lại có FE2 

Từ AD  10 và FA  FD nên tọa độ của D là nghiệm của hệ :
2
2

x  3
 x  5    y  4   100

 D  3;10  (do xD  1 ).

 y  10
 x  2 2   y  32  50


 5 
Vì BD  ED nên ta suy ra B  2; 0  . Suy ra C  6; 6 .
2

0,25

0,25

0,25

Câu Điều kiện: x  1 .
9
3
Phương trình  1  2 3 1  x   1  x  3.3 3  2x  1  2 .


1

 2 3 1  x   3.3 3  2 x  1  2 (do x  1 không là nghiệm của
1x

phương trình)


0,25

3(2 x  1)
 2 3 1  x   3.3 3  2 x  1 .
3(1  x)

Đặt a  3(1  x), b  3 3(2 x  1) ta có phương trình
b3
a

2

0,25

 2a  3b  2a3  3a2 b  b3  0

  a  b

2

 2a  b  0  a  b, b  2a . Mặt khác

2a2  b3  3 .

+) a  b , ta có 2a2  a3  3  a  1  3(1  x)  1  x 

2
.
3

0,25

+) b  2a , ta có 2a2  8a3  3  8a3  2a2  3  0 (1).
Vì a  0 nên áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có
a3  a3  1  3a2  2a3  1  2a2 .

Do đó, ta suy ra được (1) vô nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x 

2
.
3

0,25


Câu Ta có ab  bc  ca  3abc .
10
Nên  a  1  b  1  c  1  abc  ab  bc  ca  a  b  c  1

0,25

4
  ab  bc  ca   a  b  c  1 .
3
2

Mà  ab  bc  ca   3abc  a  b  c  a  b  c  ab  bc  ca .
2

0,25
2

Do đo a2  b2  c2   a  b  c  2  ab  bc  ca    ab  bc  ca  2  ab  bc  ca
Đặt t  ab  bc  ca , ta có a  b  c  3t nên t  3t  t  3 .

4
P  t  3t  1 
3

4
t2  2t  1

4
4
 t  3t 
 1  f  t .
3
t1

0,25

Xét hàm số f  t  với t  3 ta có

2

Vì t  3 nên  t  1  4 
Do đó

f '  t 

4
3
4
.



2
3 2 t
 t  1

1

1
.
4



 t  12
f '  t   0 t  3 , suy ra f  t   f  3  10  P  10.

Đẳng thức xảy ra khi a  b  c  1. Vậy GTNN của P là 10.

Ghi chú: Nếu học sinh làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.

0,25