Phân tích kinh tế trong quyết định kinh doanh

PHÂN TÍCH KINH TẾ TRONG QUYẾT ĐỊNH KINH
DOANH VÀ CHIẾN LƯỢC


LỜI MỞ ĐẦU
Khóa học này trình bày súc tích và rõ ràng môn kinh tế quản lý. Môn kinh tế quản lý có
thể gọi dưới nhiều tên gọi khác nhau như kinh tế kinh doanh, phân tích kinh tế trong
quyết định kinh doanh, kinh tế học cho quyết định quản lý…cho cả sinh viên chưa tốt
nghiệp và sinh viên đã tốt nghiệp.
Khóa học tập trung vào những vấn đề nền tảng và thiết yếu giúp học viên nhận thức được
quá trình ra và ứng dụng quyết định kinh doanh thông qua các công cụ kinh tế và định
lượng. Nó minh họa các quyết định bằng nhiều vấn đề đã được giải quyết nhằm kiểm tra
và giúp sinh viên củng cố lại kiến thức về môn học. Hơn nữa, nhiều chuyên gia kinh
doanh cũng có thể học hỏi từ khóa học này. Người đọc nên làm một số bài tập kinh tế ở
cấp độ bắt đầu. Mục đích của việc làm này là nhằm có được một khối lượng tối thiểu kiến
thức nền toán học và thống kê ở cấp độ đại học.
Khóa học trình bày ứng dụng của lý thuyết kinh tế và các khái niệm vào quyết định kinh
doanh thực tế một cách bao quát và chuyên sâu. Bao gồm các câu hỏi, vấn đề kèm theo
giải pháp.

2/253


CHƯƠNG 1 - NHỮNG VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA KINH TẾ HỌC
QUẢN LÝ
MỤC TIÊU HỌC TẬP
Sau khi học chương này bạn có thể:
1. Giải thích và liệt kê các hàm liên quan đến kinh tế học quản lý
2. Xác định các nguồn lực và đưa ra các ví dụ về lợi nhuận kế toán
3. Mô tả vai trò của lợi nhuận kinh tế
4. Tính toán và định nghĩa khái niệm giá trị của tiền theo thời gian

5. Phân tích và mô tả chi tiết quy trình phát sinh giá trị hiện tại
6. Mô tả chi tiết và giải thích giá trị của một hãng
7. Hiểu và giải thích được khái niệm tối đa hóa lợi nhuận
8. Hiểu rõ cách tối đa hóa giá trị tài sản (cổ đông)
9. Giải thích và cho ví dụ về phân tích cận biên
10. Xác định và áp dụng các chiến lược để tối ưu hóa lợi nhuận
Kinh tế học quản lý (hoặc kinh tế học kinh doanh) là môn kinh tế học áp dụng trong ra
quyết định. Nó là một nhánh của môn kinh tế học áp dụng lý thuyết kinh tế và phương
pháp luận khoa học vào việc ra quyết định nhằm giải quyết những vấn đề quản lý và kinh
doanh. Mục tiêu của môn học nhằm lấp khoảng trống giữa lý thuyết kinh tế trừu tượng và
thực tế quản lý. Kinh tế học quản lý nghiên cứu một cách có hệ thống cách phân bổ các
nguồn lực sao cho có hiệu quả nhất nhằm đạt tới mục tiêu quản lý.
Chúng ta thường thấy rằng lý thuyết và các công cụ kinh tế không đủ để giải
quyết tất cả các vấn đề quản lý. Chúng ta vẫn phải mượn nhiều công cụ và kỹ
thuật của tài chính, nghiên cứu hoạt động, và các quy tắc kinh doanh. Điều này
có nghĩa là lý thuyết và các công cụ kinh tế, và cả các nguyên tắc kinh doanh đều
liên quan đến vấn đề kinh tế quản lý.

3/253


CÁC CÔNG CỤ VÀ LÝ
THUYẾT KINH TẾ

CÁC CÔNG CỤ VÀ KHOA
HỌC QUYẾT ĐỊNH

Lý thuyết về nhu cầu
Lý thuyết về doanh nghiệp
Lý thuyết sản xuất

Cơ cấu thị trường
Kinh tế học vĩ mô

Tối ưu hóa
Các phương pháp thống kê
Dự báo và ước lượng
Tài chính và đầu tư
Các công cụ ra quyết định
khoa học khác

KINH TẾ QUẢN LÝ
Sử dụng các công cụ và lý
thuyết kinh tế cùng phương
pháp luận khoa học trong
việc ra quyết định để giải
quyết các vấn đề kinh doanh
và phân bổ nguồn lực tối ưu

QUÁ TRÌNH RA QUYẾT ĐỊNH QUẢN LÝ
Các bước cơ bản trong quá trình ra quyết định gồm:
Bước 1 Nhận diện vấn đề. Khi kết luận có vấn đề tồn tại, bộ máy quản lý nên chuẩn bị
xác định cụ thể hoặc thông báo chính xác về vấn đề đó. Ví dụ, công ty đó nên sản xuất
bao nhiêu sản phẩm?
Bước 2 Lựa chọn một mục tiêu. Mục tiêu tối đa hóa lợi nhuận hay tối thiểu hóa chi phí?
Bước 3 Xác định các hạn chế. Sự lựa chọn của bộ máy quản lý luôn luôn bị giới hạn bởi
sự sẵn có các nguồn lực, luật lệ, các đạo luật điều chỉnh, các giá trị đạo đức, hoặc mong
muốn của bộ máy quản lý. Cần phải xác định bất cứ hạn chế nào có khả năng tồn tại.
Bước 4 Xác định các phương án thay thế hoặc làm rõ các biến quyết định khác nhau mà
hãng cần tháo gỡ.
Bước 5 Lựa chọn phương án phù hợp với các mục tiêu của doanh nghiệp hay xác định

phương án tối ưu (ví dụ, phương án tối đa hóa lợi nhuận hay tối thiểu hóa chi phí).

LỢI NHUẬN
Lợi nhuận (profits) thường được coi là vấn đề mấu chốt của hãng. Khi đó lợi nhuận được
tạo ra một cách hợp pháp và hợp lý, đem lại gì cho các doanh nghiệp? Đầu tiên, nó là
thông điệp rõ ràng cho thấy công ty này đang cung cấp những sản phẩm và dịch vụ mà
con người đang cần hoặc mong muốn - đặc biệt ở mức giá mà họ sẵn sàng chi trả. Cũng
vậy, một mức lợi nhuận tốt có nghĩa là chi phí của công ty theo đúng kế hoạch dự tính.
4/253


Nó cũng có nghĩa là “hiệu quả”. Tại sao các doanh nghiệp cần phải tạo ra một mức lợi
nhuận cao?

VAI TRÒ CỦA LỢI NHUẬN
Mức lợi nhuận cao cho phép các công ty:
1. Đem lại lợi nhuận cho nhà đầu tư khi dám mạo hiểm đầu tư vốn
2. Nghiên cứu, phát triển hàng hóa - dịch vụ mới và tốt hơn.
3. Tạo công ăn việc làm, thưởng và mở rộng cơ hội thăng tiến cho nhân viên.
4. Động viên kịp thời đối với những hoạt động có hiệu quả.

LỢI NHUẬN KẾ TOÁN VÀ LỢI NHUẬN KINH TẾ
Cần phân biệt được lợi nhuận kế toán và lợi nhuận kinh tế.
Lợi nhuận kế toán (Accounting profits), còn gọi là lợi nhuận kinh doanh, là phần chênh
lệch giữa tổng doanh thu và chi phí sản xuất hàng hóa hoặc dịch vụ. Lợi nhuận kế toán
được ghi ở dòng cuối cùng trong bản báo cáo thu nhập của một doanh nghiệp.
Lợi nhuận kinh tế (Economic profits) thì ngược lại, là phần chênh lệch giữa tổng doanh
thu và tổng chi phí cơ hội (opportunity costs). Chi phí cơ hội của việc sử dụng một nguồn
lực tạo ra chi phí kinh tế bao gồm chi phí tường minh của nguồn lực đó và chi phí ẩn của
phương án sử dụng nguồn lực tốt nhất bị bỏ qua. Vì lý do này chi phí cơ hội nói chung

thường cao hơn chi phí kế toán hay chi phí trên sổ sách. Ví dụ, chi phí cơ hội của việc
tham dự khóa học hè là chi phí cho giáo viên và giáo trình cộng với số tiền mà lẽ ra bạn
đã kiếm được nếu như đi làm suốt kỳ nghỉ hè.

TỐI ĐA HÓA LỢI NHUẬN VÀ PHÂN TÍCH CẬN BIÊN
Mục đích của một công ty là tối đa hóa lợi nhuận (profit maxinmization). Đây là lý thuyết
truyền thống khác với lý thuyết hành vi của một công ty. Phân tích cận biên (marginal
analysis) cho biết nên ra quyết định kinh doanh và hành động như thế nào khi doanh thu
cận biên (MR) vượt qua chi phí cận biên (MC). (MR là phần doanh thu thêm khi bán
thêm một đơn vị đầu ra và MC là chi phí đầu vào dùng để sản xuất thêm một đơn vị đầu
ra).
Nếu MR=MC, quyết định đưa ra sẽ tối đa hóa lợi nhuận công ty.

VÍ DỤ 1
Gọi TR(Q) là tổng doanh thu mà một công ty có được từ việc sản xuất Q đơn vị đầu ra và
gọi TC (Q) là tổng chi phí để sản xuất Q đơn vị đầu ra đó. Do đó, lợi nhuận (π) là:
π(Q) = TR(Q) - TC(Q).
Nhà quản lý phải đối mặt với tình huống như tóm tắt trong cột 1 đến cột 3 ở bảng 1 muốn
xác định được sản lượng đầu ra cho phép tối đa hóa lợi nhuận.

5/253


BẢNG 1
PHÂN TÍCH CẬN BIÊN
Q

TR(Q)

TC(Q)

π(Q)

(1)

(2)

(3)

(4) = (2) - (3)

0

0

0

1

90

2

MR

MC

0

-

-

10

80

90

10

170

30

140

80

20

3

240

60

180

70

30

4

300

100

200

60

40

5

350

150

200

50

50

6

390

210

180

40

60

7

420

280

140

30

70

8

440

360

80

20

80

9

450

450

0

10

90

10

450

550

-100

0

100

MR>MC

MR=MC

MR
Lợi nhuận được mô tả trong cột 4. Từ bảng 1 có thể thấy:
a. Với điều kiện MR lớn hơn MC, phần sản lượng Q tăng thêm làm cho tổng
doanh thu tăng nhiều hơn so với phần tăng trong tổng chi phí.
b. Lợi nhuận ở cột 4 được tối đa hóa khi lợi nhuận đạt $200, có được khi nhà
quản lý tăng 5 đơn vị trong Q.
c. Tại mức tối đa hóa lợi nhuận của Q (5 đơn vị), MR=MC (trong trường hợp này
cả 2 đạt $50). Chú ý rằng lợi nhuận được tối đa hóa tại 4 đơn vị. Tình huống
này xuất hiện khi chúng ta giải quyết các đơn vị đầu ra riêng rẽ. Từ giờ trở đi
trong cuốn sách này, lợi nhuận luôn được tối đa hóa khi MR=MC.
Đáng tiếc, mục tiêu tối đa hóa lợi nhuận, được định nghĩa một cách có hệ thống chịu ảnh
hưởng của các khiếm khuyết sau: (1) Mục tiêu tối đa hóa lợi nhuận không đánh giá được
rủi ro gắn với các quyết định thay thế, (2) Mục tiêu tối đa hóa lợi nhuận không tạo ra nền
tảng để so sánh các dòng doanh thu và chi phí theo thời gian, và (3) thay vì tìm cách “tối
đa hóa” một mục tiêu nào đó, chẳng hạn như lợi nhuận, công ty lại vừa lòng, hoặc chấp
nhận các cấp độ hoạt động của mình. Đây là một mô hình khác của hãng, gọi là lý thuyết
hành vi doanh nghiệp. Hơn nữa, tối đa hóa lợi nhuận chỉ là mục tiêu ngắn hạn, nghĩa là
tối đa hóa lợi nhuận trong một khoảng thời gian nhất định.
6/253


TỐI ĐA HÓA TÀI SẢN
Một mục tiêu hoạt động khác của công ty là tối đa hóa tài sản (wealth maximization - hay
tối đa hóa giá trị cho cổ đông). Đây là mục tiêu dài hạn. Người ta ai cũng thích tối đa hóa
tài sản của mình vì nó tính đến: (1) Tài sản lâu dài, (2) Rủi ro hay bất ổn, (3) Thời gian
hoàn vốn, (4) Cổ tức.
Chỉ tiêu tối đa hóa lợi nhuận yêu cầu công ty định giá được lợi nhuận kỳ vọng hay dòng
tiền mặt liên quan đến một quyết định, bằng việc tính toán một cách rõ ràng thời gian chu

chuyển của dòng tiền này cũng như rủi ro đi kèm với nó. Việc xem xét thời gian của dòng
tiền đòi hỏi dòng tiền mặt trong tương lai phải được điều chỉnh hoặc chiết khấu theo một
tỷ lệ lãi suất nào đó phản ánh chi phí của ngân quỹ được dùng để cấp vốn cho dự án. Có
thể giải quyết rủi ro liên quan đến các dòng tiền mặt bằng một số cách, trong đó có một
cách là chỉ rõ phân phối xác suất của các dòng tiền. Chúng ta sẽ thảo luận chi tiết về khái
niệm giá trị thời gian của tiền theo thời gian và các yếu tố rủi ro trong chương 11 và 12.
Lý thuyết hành vi người sản xuất đề xuất các mục tiêu mà hãng sản xuất có thể theo đuổi
như tăng trưởng, quy mô, và tồn tại lâu dài. Sự tăng trưởng thường được đo bằng doanh
thu tăng lên, thị phần, tài sản, và/hoặc số lượng nhân viên. Sự tồn tại lâu dài của một công
ty chỉ được đảm bảo khi quá trình ra quyết định kinh doanh được xác định theo hướng
tránh hoặc tối thiểu hóa rủi ro hơn là tối đa hóa lợi nhuận.

XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ CỦA TIỀN THEO THỜI GIAN
Một đô la bây giờ có giá trị cao hơn so với một đô la nhận được sau này. Nhận định này
tổng kết lại một nguyên lý quan trọng: giá trị của tiền có tính thời gian. Chi phí cơ hội của
việc nhận được một đô la trong tương lai là phần lãi lẽ ra có thể thu được nếu nhận đồng đô
la đó ngày hôm nay. Chi phí cơ hội này phản ánh giá trị của tiền theo thời gian (time value
of money).
Giá trị của tiền theo thời gian là một vấn đề quan trọng cần phải cân nhắc khi ra quyết định
kinh doanh. Phân tích giá trị hiện tại (hay dòng tiền mặt chiết khấu) được dùng rộng rãi
trong tính toán thời gian của dòng tiền mặt vào và ra.
Giá trị hiện tại là gì – Đồng tiền hiện nay đáng giá bao nhiêu?
Giá trị hiện tại (present value) là giá trị ngày hôm nay của dòng tiền mặt tương lai. Việc tính
toán các giá trị hiện tại ( hay chiết khấu) đối lập với việc xác định giá trị tương lai. Lãi suất i
được xem là tỷ lệ chiết khấu.
Vì vậy,
PV=

FVn
n

(1+i)

VÍ DỤ 2
Bạn muốn nhận được $10,000 trong vòng 6 năm tới với lãi suất 15% thì số tiền phải có ngày
hôm nay là $4,320.
7/253


1
PV = $10,000
(1 + 0.15)

6

= $10,000(0.432) = $4,320

Điều này có nghĩa là $4,320 đầu tư ngày hôm nay với mức lãi suất 15%, 6 năm sau số tiền
này sẽ lên tới $10,000.
Ý tưởng cơ bản về giá trị hiện tại của lượng tiền trong tương lai có thể được mở rộng sang
một loạt các dòng tiền mặt tương lai, được chỉ rõ dưới đây.
PV=

n
FVt
FV1
FV2
FVn
+
+...+
=

∑
1
2
n
(1+i) (1+i)
(1+i) t=1 (1+i) t

VÍ DỤ 3
Bạn dự định bắt đầu dòng sản phẩm mới với mức chi phí khởi điểm là $32,000. Các dòng
tiền mặt được lên kế hoạch hàng năm là:
1

$10,000

2

$20,000

3

$5,000

Nếu bạn nhất thiết phải kiếm được ít nhất 10% từ số tiền đầu tư, bạn có nên sản xuất dòng
sản phẩm mới này không?
Giá trị hiện tại của các dòng vào tiền mặt hỗn hợp được tính toán trong bảng sau:
Năm

Dòng tiền mặt vào

1/(1+0.10)t

Giá trị hiện tại

1

$10,000

0.909

$9,090

2

$20,000

0.826

16,520

3

$5,000

0.751

3,755
$29,365

Vì giá trị hiện tại của dòng vào tiền mặt dự tính thấp hơn vốn đầu tư ban đầu nên bạn không
nên thực hiện dự án này.

Chú ý:
Khi thực hiện các tính toán về giá trị hiện tại cần sử dụng:
a. Các công cụ tính toán tài chính
b. Bảng giá trị hiện tại (Bảng 3 và 4 trong phụ lục)
c. Hàm giá trị hiện tại sử dụng phần mềm bảng tính như Excel hoặc Lotus 1-2-3.
8/253


Dựa vào phương pháp mà bạn sử dụng, làm tròn trong kết quả là điều không thể tránh
khỏi. Các chi tiết về phân tích giá trị hiện tại sẽ được đề cập trong chương 11.

XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ CỦA DOANH NGHIỆP
Quá trình xác định giá trị của một hãng bao gồm việc tìm giá trị hiện tại của lợi nhuận
(hay các dòng tiền mặt) tương lai dự tính của hãng đó, được tính vào giá trị hiện tại với
mức lãi suất phù hợp. Về mặt toán học, mô hình định giá cơ bản có thể được định nghĩa
như sau:
n

Ct
t
t =1 (1 + r)

V=∑
Trong đó
V = giá trị hiện tại của hãng

Ct = dòng tiền hoặc lợi nhuận tương lai dự tính ở giai đoạn t = 1, …,n
r = tỷ suất lợi nhuận bắt buộc

VÍ DỤ 4

Công ty XYZ muốn có lợi nhuận cuối năm trong 3 năm liên tiếp là: $30,000, $90,000,
và $120,000. Sau đó công ty này đóng cửa. Cho lãi suất 10%, xác định giá trị của
công ty.
Giá trị hiện tại của loạt lợi nhuận được tính toán như sau:
Năm

Dòng tiền mặt đầu vào

1/(1+0.10)n

Giá trị hiện tại

1

$30,000

0.909

$27,270

2

90,000

0.826

74,340

3

120,000

0.751

90,120
$191,730

CÂU HỎI
1. Định nghĩa kinh tế học quản lý.
2. Vai trò và mục tiêu của một hãng?
3. Phân biệt lợi nhuận kế toán và lợi nhuận kinh tế.
4. Giá trị của một công ty là gì?
5. Giải thích phân tích cận biên.
6. Định nghĩa chi phí cơ hội.

9/253


BÀI TẬP
1. Bạn đang cân nhắc xem có nên mở một cửa hàng hamburger hay không. Hiện
nay thu nhập từ công việc tư vấn tự do của bạn là $45,000 mỗi năm và sẽ phải bỏ
công việc này nếu mở cửa hàng. Nếu bạn mở cửa hàng, mỗi năm bạn phải trả
$245,000 tiền thuê cửa hàng và các chi phí hoạt động khác.
a. Đâu là chi phí kế toán?
b. Đâu là chi phí cơ hội?
2. Bảng sau cho biết lợi nhuận kỳ vọng cuối năm trong 3 năm tiếp theo của mỗi
hãng. Coi lãi suất ổn định ở mức 8% trong suốt 3 năm. Xác định giá trị của mỗi
hãng
Hãng

Lợi nhuận

Lợi nhuận

Lợi nhuận

năm 1

năm 2

năm 3

X

$60,000

$70,000

$80,000

Y

$40,000

$80,000

$100,000

a. Thảo luận sự khác nhau về lợi nhuận của các hãng.
b. Hãng nào có giá trị lớn hơn?

3. Hoàn thành bảng sau và trả lời các câu hỏi kèm theo:
Q

TR(Q)

TC(Q)

0

0

0

1

200

10

2

380

30

3

540

60

4

680

100

5

800

150

6

900

210

7

970

280

8

1,040

360

9

1,080

450

10

1,100

550

π(Q)

MR

MC

-

-

a. Sản lượng Q nào tối đa hóa lợi nhuận?
b. Mối quan hệ giữa doanh thu cận biên (MR) và chi phí cận biên (MC) tại sản
lượng Q đó?
10/253


TRẢ LỜI

1. Kinh tế học quản lý là một nghiên cứu có hệ thống về cách phân bổ các nguồn lực
nhằm đạt được mục tiêu quản lý một cách hiệu quả nhất.
2. Vai trò của một công ty là phân bổ các nguồn lực có hạn một cách tối ưu và để
thỏa mãn mục đích của các cổ đông. Mục tiêu của một công ty là tối đa hóa lợi
nhuận.
3. Lợi nhuận kế toán, còn gọi là lợi nhuận kinh doanh, là phần chênh lệch giữa tổng
doanh thu và chi phí sản xuất hàng hóa và dịch vụ. Lợi nhuận kế toán được viết ở
dòng cuối cùng trong báo cáo thu nhập của công ty. Trong khi đó lợi nhuận kinh tế
là phần chênh lệch giữa tổng doanh thu và tổng chi phí cơ hội.
4. Giá trị của một công ty là giá trị hiện tại của lợi nhuận mà công ty đó thu được
trong tương lai có chiết khấu một tỷ lệ lãi phù hợp.
5. Phân tích cận biên chỉ ra rằng chỉ nên ra quyết định và hành động khi doanh thu
cận biên vượt quá chi phí cận biên. Nếu tình huống này xảy ra, quyết định đưa ra
sẽ tối đa hóa lợi nhuận.
6. Chi phí cơ hội là lợi nhuận ròng bị bỏ qua khi không lựa chọn phương án sử dụng
nguồn lực tốt nhất.

GỢI Ý GIẢI BÀI TẬP
1.
a. Chi phí kế toán là $245,000 một năm gồm tiền thuê cửa hàng và các chi phí
hoạt động khác.
b. Chi phí cơ hội là $290,000 một năm. ($45,000 + $245,000).
2.
a. Công ty X có lợi nhuận năm thứ nhất cao hơn nhưng xuống thấp vào năm thứ
2 và thứ 3, trong khi công ty Y có lợi nhuận năm thứ nhất thấp hơn so với công
ty X, nhưng lợi nhuận năm 2 và 3 nhiều hơn.
b. Giá trị hiện tại của loạt lợi nhuận này được tính toán như sau:
Công ty X
Năm

Dòng vào tiền mặt

1/(1+0.08)n

1

$60,000

0.926

$55,560

2

70,000

0.857

59,990

3

80,000

0.794

63,520

Giá trị hiện tại

$ 179,070

11/253


Công ty Y
Năm

Dòng vào tiền mặt

1/(1+0.08)n

Giá trị hiện tại

1

$40,000

0.926

$ 37,040

2

80,000

0.857

68,560

3

100,000

0.794

79,400
$ 185,000

Công ty Y có giá trị hiện tại cao hơn.
3.
Q

TR(Q)

TC(Q)

π(Q)

(1)

(2)

(3)

(2) – (3)

0

0

0

1

200

2

MR

MC

0

-

-

10

190

200

10

380

30

350

180

20

3

540

60

480

160

30

4

680

100

580

140

40

5

800

150

650

120

50

6

900

210

690

100

60

7

970

280

690

70

70

8

1,030

360

680

60

80

9

1,080

450

630

50

90

10

1,100

550

550

20

100

a. Q = 7 là sản lượng tối đa hóa lợi nhuận
b. MR = MC = $70 tại Q = 7 đơn vị

12/253


CHƯƠNG 2 - KỸ THUẬT TỐI ƯU HÓA
MỤC TIÊU HỌC TẬP:
Sau khi nghiên cứu chương này bạn có thể:
1. Định nghĩa một đạo hàm
2. Giải thích cách sử dụng một đạo hàm riêng
3. Tính toán và xác định độ dốc
4. Phân biệt các đặc điểm của đạo hàm bậc 2
5. Xác định và tính toán điểm cực trị
6. Thiết lập quá trình tối ưu hóa
7. Xác định và áp dụng quá trình để đạt được lợi nhuận tối đa
8. Hiểu và giải thích được tối thiểu hóa chi phí

9. Định nghĩa và cho ví dụ về tối ưu hóa bị ràng buộc
10. Biểu diễn và cho ví dụ về hàm Lagrangean
11. Thảo luận và trình bày ứng dụng của nhân tử Lagrangean
Trong lĩnh vực kinh tế học, nhận biết được mối quan hệ giữa các lượng kinh tế khác nhau
là rất quan trọng. Chẳng hạn như, bạn biết rằng có mối quan hệ giữa giá của một hàng
hóa (hay dịch vụ) với số lượng bán được. Qua khóa học này bạn sẽ hiểu được các mối
quan hệ như hàm sản xuất, hàm chi phí và hàm lợi nhuận.
Có 2 cách phân tích cơ bản: toán học và đồ thị.

KHÁI NIỆM MỐI QUAN HỆ HÀM SỐ
Hàm y = f(x) (Đọc là “y là một hàm số của x”) có nghĩa giá trị của y phụ thuộc vào giá trị
của x. Giữa 2 biến có một mối quan hệ. Ví dụ: Lượng hàng hóa bán ra phụ thuộc vào
mức giá được chấp nhận mua. Tuy nhiên hàm này không cho biết bản chất của mối quan
hệ. Điều này có nghĩa là khi x tăng lên, y cũng tăng lên, hoặc giảm xuống. y = f(x) cho
thấy mối quan hệ rằng đối với mọi giá trị của x đều có một giá trị y tương ứng.
Tuy nhiên, nếu :
y = 4x + 5
Thì chúng ta có một giả thiết cụ thể - chúng ta đã thiết lập được nội dung cho mối quan
hệ. Khi giá trị của x tăng lên 1, giá trị của y sẽ tăng lên 4 đơn vị. Trên thực tế với mỗi giá
trị của x, chúng ta có thể tính được giá trị của y.

SỬ DỤNG ĐỒ THỊ
Xét mối quan hệ hàm số sau đây: y = 2x + 2 trong đó x là số tấn phân bón được sử dụng,
và y là số mùa màng thu được. Chúng ta có bảng cho biết giá trị của y tương ứng với một
số giá trị của x. Sau đây là bảng 1:
13/253


BẢNG 1
MỐI QUAN HỆ HÀM SỐ

NẾU X =

THÌ Y =

0

2

1

4

2

6

3

8

4

10

HÌNH 1
ĐỐ THỊ HÀM SỐ

Mỗi điểm trên đồ thị trên (không chỉ là những điểm được đánh dấu) đại diện cho một giá
trị của x và một giá trị của y. Chẳng hạn như, A cho biết x=3 và y =8. Để biểu diễn hàm
số này, chúng ta chỉ cần xác định 2 điểm có giá trị thỏa mãn biểu thức và vẽ một đường

thẳng nối 2 điểm này với nhau. Mỗi điểm trên đường thẳng này cho biết với mỗi giá trị x
cho trước (tấn phân bón) đều có một giá trị của y tương ứng. Trong toán học, người ta
thường dùng y như là một biến phụ thuộc, x là biến độc lập và biểu diễn mối quan hệ này
với x nằm trên trục hoành và y nằm trên trục tung. Không phải bất cứ hàm số nào cũng có
thể biểu diễn được bằng một đường thẳng trên đồ thị (những hàm này gọi là hàm tuyến
tính).
14/253


CHÚ Ý:
Đôi khi các nhà kinh tế biểu diễn biến phụ thuộc trên trục hoành và biến độc lập trên trục
tung. Một ví dụ của trường hợp này là phân tích cung và cầu mà ở đó mức giá (biến độc
lập) và lượng (biến phụ thuộc) được biểu diễn lần lượt trên trục tung và trục hoành (xem
hình 2)
HÌNH 2
HÀM CUNG VÀ CẦU

PHÉP TÍNH VI PHÂN
Phép tính vi phân dùng để xác định tỷ lệ thay đổi trong một hàm liên quan đến sự
thay đổi của biến độc lập. Trên thực tế, tên gọi vi phân liên quan đến chênh lệch
xuất hiện trong giá trị của một hàm số có được do sự thay đổi của biến độc lập:
∆y/∆x trong đó sự thay đổi trong y, ∆y cho biết sự thay đổi trong biến phụ thuộc
liên quan tới ∆x, sự thay đổi trong giá trị của x.
Công cụ chính dùng để xác định các chênh lệch này gọi là đạo hàm, tạo ra bởi
phép tính vi phân. Đạo hàm dy/dx=y’=f’(x) của hàm số y=f(x) tại x 0 được định
nghĩa là

dyΔy
= lim
dxΔxΔx->0

f(x +Δx)-f(x )
0
0
= lim
Δx
Δx->0

Điều này có nghĩa đạo hàm dy/dx=y’=f’(x)của một hàm y = f(x) tại x 0 là giới hạn
của thương vi phân ∆ y/ ∆x khi ∆x tiến về 0
15/253


CHÚ Ý:
Đạo hàm là tỷ lệ thay đổi tức thời của một hàm tại một điểm (x = x0 ), trong khi
thương vi phân là tỷ lệ thay đổi trung bình trong một khoảng (x 0, x 0 + ∆ x) nào
đó. Chỉ trong trường hợp đường thẳng, hai tỷ lệ này mới đồng nhất. Trên đồ thị,
đạo hàm là độ dốc của đường tiếp tuyến với đường tại điểm x 0 .

QUY TẮC TÍNH VI PHÂN
Quy tắc 1 (Quy tắc hằng số): y= f(x) = c, là một hằng số
Đạo hàm dy/dx = y’= f’(x) = 0. Đạo hàm của một hàm hằng số bằng 0. Nghĩa là,
tỷ lệ thay đổi trong một hằng số liên quan đến sự thay đổi trong biến độc lập
(hay bất cứ biến nào, trong trường hợp này) bằng 0
Ví dụ: Nếu y = 13, thì dy/dx = 0
Quy tắc 2 (Quy tắc hàm số mũ ở biến): y = f(x) = cx n .
Đạo hàm: dy/dx=cnx n-1 .
Ví dụ:

Nếu y = x3 , thì dy/dx = 3x 2.

Nếu y = x, thì dy/dx = 1x 0 = 1.

Quy tắc 3 (Quy tắc đạo hàm của tổng các hàm số): y = f(x) + g(x).
Hàm số: dy/dx = f’(x)+ g’(x), khi f’(x) = df(x)/dx và g’(x) = dg(x)/ dx. Quy tắc
này quy định đạo hàm của một tổng hai hàm số khác nhau của cùng một biến độc
lập bằng tổng hai đạo hàm của các hàm riêng lẻ.
Ví dụ:

Nếu y = x4 + 2x, dy/dx = 4x 3 + 2.
Nếu 4x - 5x 2, thì dy/dx = 4 - 10x.

Quy tắc 4 (Quy tắc đạo hàm của một tích): y = f(x)g(x).
Hàm số: dy/dx = f’(x)g(x) + g’(x)f(x).
Quy tắc này chỉ ra rằng đạo hàm một tích 2 hàm số khác nhau của cùng biến độc
lập là tổng của tích của đạo hàm hàm thứ nhất nhân với hàm thứ 2, sau đó cộng
với tích của đạo hàm hàm thứ 2 nhân với hàm thứ nhất.
Ví dụ:

Nếu y = x2 (2x - 3), thì dy/dx = x 2 (2 - 0) + (2x - 3)(2x)
= 2x 2 + 4x2 - 6x = 6x 2 - 6x = 6x(x - 1)

Quy tắc 5 (Quy tắc đạo hàm một thương): y = f(x)/g(x).
Đạo hàm:

dy / dx =

f ' ' ( x) g ( x) − g ' ( x) f ( x)
[ g ( x)]2
16/253

Ví dụ:

Nếu y = 5x/(2x + 1), thì

dy/dx=

5(2x+1)-2(5x)
=5/(2x+1)
2
(2x+1)

Quy tắc 6 (Quy tắc tính đạo hàm hợp): y =g(z), trong đó z = f(x)
Đạo hàm:

dy/dx=

dy dz
. =g'(z)f'(x)
dz dx

Quy tắc này chỉ ra rằng x thay đổi sẽ kéo theo z thay đổi, đến lượt nó, z lại kéo
theo y thay đổi. Do vậy, dy/dx, hay tỷ lệ thay đổi của y tương ứng với x, được
xác định theo tỷ lệ thay đổi của z tương ứng theo x, dz/dx nhân với tỷ lệ thay đổi
của y theo z, dy/dz.
Ví dụ:

Nếu y = 10z - 2z 2 - 3, trong đó z = 2x2 - 1, thì
dy/dx = (10 - 4z)(4x) = [10 - 4(2x 2 - 1)](4x)
= (10 - 8x 2 + 4)(4x) = 40x - 32x 2 + 16x = 56x - 32x 2.

Quy tắc 7 (Quy tắc đạo hàm nghịch đảo): x = f --1 (y), trong đó f —1 là hàm nghịch
đảo chứ không phải là 1/f(y).
Đạo hàm có dạng:

dx / dy =

Ví dụ:

1
dy / dx

Nếu y = 5x + 3, thì x = 1/5 y - 3/5, và dx/dy = 1/5.

Ví dụ sau đây cho biết cách dùng đạo hàm để tìm ra tỷ lệ thay đổi.

VÍ DỤ 1
Công ty cung cấp dịch vụ lau dọn Peruvian là nhà phân phối chủ yếu chất tẩy rửa
quan trọng cho những người quét dọn khắp miền nam nước Mỹ. Chất tẩy rửa này
dùng để tạo ra lớp bảo vệ bên ngoài cho các hầm làm lạnh suốt mùa hè có độ ẩm
cao. Peruvian cung cấp chất tẩy trong những chiếc xe téc, và mỗi khách hàng
phải mua ít nhất 100-gallon (1 gallon = 3.78 lít Mỹ). Giá tiền mỗi gallon là $12.
Khách hàng mua khối lượng lớn hơn 100 gallon sẽ được chiết khấu $0.05 mỗi
gallon. Phần trăm chiết khấu này chỉ áp dụng cho những lượng hàng lớn hơn mức
tối thiểu; 100 gallon đầu tiên vẫn có giá là $12 mỗi gallon bất kể tổng số gallon
được mua là bao nhiêu đi nữa.
Bộ phận quản lý thiết lập hàm toán học sau đây về tổng doanh thu từ mỗi khách
hàng dựa vào những thông tin trên như sau:
17/253

TR = $12(100) + [$12 − $0.05(x − 100)] (x − 100) = − 500 + 22x − 0.05x2
Đây là một hàm bậc 2. Đạo hàm của dạng hàm số này là:
dTR/dx= 22 − 0.10x.

CHÚ Ý:
Đạo hàm của hàm tổng doanh thu cho biết doanh thu cận biên (MR), ví dụ, phần
tăng lên trong TR có được từ một đơn vị tăng thêm của đầu ra. Tương tự, chi phí
cận biên bằng đạo hàm của hàm tổng chi phí
Đạo hàm này phản ánh một thực tế rằng mức thay đổi không phải là một hằng số.
Có nghĩa là mức thay đổi phụ thuộc vào giá trị của x, vì vậy mức thay đổi tự nó
sẽ thay đổi khi giá trị của g thay đổi. Tính đa dạng trong mức thay đổi là do mức
thay đổi của một hàm bậc 2 thay đổi liên tục. Để tìm ra mức thay đổi trong TR
khi một số lượng gallon cụ thể được bán cho người mua, thay x trong đạo hàm
bằng lượng gallon này. Ví dụ, để tìm mức thay đổi (mỗi gallon) trong TR tại 105
gallon, phép tính dựa trên đạo hàm sau là cần thiết.
22 − 0.10(105) = 22 − 10.50 = 11.50.
Nghĩa là tổng doanh thu thay đổi $11.50 với doanh số 105 gallon. Tại mức bán
110 gallons, mức thay đổi là $11,
22 − 0.10(110) = 22 − 11 = 11.
Nói cách khác, tổng doanh thu thay đổi ở tỷ lệ $11 khi doanh số bán là 110
gallons, ngược lại so với tỷ lệ $11.50 khi doanh số là 105 gallons

CỰC TRỊ CỦA MỘT HÀM SỐ VÀ KIỂM TRA BẰNG ĐẠO HÀM BẬC
NHẤT
Giá trị cực trị đạt được của một hàm (giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất) rất quan
trọng trong ra quyết định kinh tế. Phần lớn kinh tế học giải quyết vấn đề tối ưu
hóa, là tối đa hóa lợi nhuận hoặc tối thiểu hóa chi phí.

ĐIỀU KIỆN KIỂM TRA BẰNG ĐẠO HÀM BẬC NHẤT

Phép thử đạo hàm bậc nhất (first derivative test - hay điều kiện bậc nhất ) dùng
để xác định các điểm cực trị của một hàm (Xem hình 3). dy/dx = y’= f’(x 0 ) = 0
tại điểm cực đại hoặc cực tiểu và x 0 gọi là cực trị của hàm. Gồm 3 bước: (1) tìm
đạo hàm, (2) đặt biểu thức bằng 0 và (3) tìm giá trị của x.
Đạo hàm bậc 2 có được từ việc áp dụng quy tắc vi phân cho đạo hàm bậc nhất
chứ không phải đối với hàm ban đầu. Kết quả vi phân đạo hàm bậc nhất cho ta
đạo hàm bậc 2, có dạng d 2y/dx 2 = y”= f”(x).

VÍ DỤ 2
Giả sử y = f(x) = 3x2 . Thì, dy/dx = f’(x) = 6x.
18/253


6x là kết quả của đạo hàm bậc nhất. Đạo hàm bậc 2 là d 2y/dx 2 = y”= f”(x) = 6.

CHÚ Ý:
Đạo hàm bậc 2 dùng để đánh giá đạo hàm bậc nhất. Nói cách khác đạo hàm bậc 2
đo lường tỷ lệ thay đổi của độ dốc hàm gốc f(x).
HÌNH 3
ĐIỂM CỰC ĐẠI VÀ CỰC TIỂU

ĐIỀU KIỆN BẬC HAI
Chúng ta cần xác định xem giá trị cực trị là cực tiểu hay cực đại. Có thể tìm được
thông tin này thông qua việc tìm đạo hàm bậc 2 (hay điều kiện bậc 2). Phép thử
như sau:
1. Hàm y = f(x) đạt cực đại tại điểm x = x 0 nào đó nếu f’(x 0 ) = 0 và f’’(x 0) âm.
2. Tương tự như vậy, f(x) đạt cực tiểu tại một điểm x 0 nào đó nếu f’(x 0) = 0 và
f’’(x 0 ) dương.
3. Nếu cả hàm bậc nhất và hàm bậc 2 đều bằng 0 thì ta chỉ có một điểm uốn chứ
không có giá trị cực đại hoặc cực tiểu, tức là f’(x 0) = 0 và f’’(x 0 ) = 0. Một ví

dụ về hàm không có điểm cực đại và cực tiểu là y = f(x) = x 3 .

VÍ DỤ 3
Xem lại ví dụ 1 :
TR = −500 + 22x − 0.05x2 .
TR/dx = 22 − 0.10x = 0

19/253


Ta cho đạo hàm bậc nhất bằng 0 và tìm được giá trị x, như sau:
22 − 0.10x = 0
− 0.10x = − 22
x = 220.
Chú ý rằng d 2TR/dx 2 = -0.1. Vì đạo hàm bậc 2 âm, giá trị cực trị của hàm (x* =
220) là giá trị cực đại.
Thay x bởi x* = 220 trong hàm gốc chúng ta có doanh thu cực đại như sau:
− 500 + 22(220) − 0.05(220) 2
= − 500 + 4,840 − 0.05(48,400)
= $1,920

VÍ DỤ 4
Cho y = f(x) = x 3 - 12x2 + 36x + 18
Để có giá trị tới hạn chúng ta tìm đạo hàm bậc nhất và cho đạo hàm này bằng 0.
dy/dx = f’(x) = 3x2 - 24x + 36 = 0
= (3x - 18)(x - 2) = 0, cho thấy phương trình bậc 2 này có 2
nghiệm.
Các nghiệm kép là: (3x - 18) = 0 và (x - 2) = 0; do đó, x 1 = 6 và x 2 = 2.
Để khẳng định xem chúng là điểm cực đại hay cực tiểu hay không, chúng ta cần
thử lại đạo hàm bậc 2 như sau:

d 2 y/dx 2 = f”(x)= 6x - 24
Tại x 1 = 6, f”(x)= 6(6) - 24 = 8 > 0, là điểm cực tiểu
Tại x 2 = 2, f”(x)= 6(2) - 24 = -12 <0, là điểm cực đại

CHÚ Ý:
Phép thử Đạo hàm Bậc nhất

Phép thử Đạo hàm Bậc hai

Cực đại

f’(x 0) = 0

f”(x 0) < 0

Cực tiểu

f’(x 0) = 0

f”(x 0) > 0

ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ TỐI ƯU HÓA NHIỀU BIẾN
Nhiều hàm có chứa nhiều biến độc lập phức tạp. Khái niệm tối ưu hóa nhiều biến
( multivariate optimization ) và quá trình tối ưu hóa cho đẳng thức với nhiều biến
quyết định là rất hữu ích. Có thể dùng tổng chi phí nhân công trực tiếp trong một
hãng sản xuất để minh họa cho hàm có 2 biến độc lập, có tên là (1) số lượng giờ
20/253


lao động trực tiếp được thực hiện và (2) tỷ lệ lương mỗi giờ lao động. Kết quả là,

tối ưu hóa nhiều biến đã được sử dụng trong quá trình tối ưu hóa.
Trong quá trình này có chứa vi phân riêng. Chúng ta muốn biết ảnh hưởng riêng
rẽ mà một sự thay đổi trong biến độc lập tác động lên biến phụ thuộc (trong khi
các yếu tố khác được coi là hằng số). Quá trình đó gọi là vi phân riêng. Tên gọi
này chỉ ra thực tế rằng hàm này bị vi phân tương ứng với một phần (cụ thể hơn là
một biến) trong một nhóm các biến độc lập. Kết quả này được gọi là vi phân
riêng ký hiệu là ∂, chứ không phải là d.

CHÚ Ý:
Các quy tắc vi phân riêng là giống nhau với điều kiện các biến độc lập không
tham gia vào phép vi phân được xem như là những hằng số.

VÍ DỤ 5
Để minh họa cho hàm tổng doanh thu là TR = 2x 2y 2z., trong đó x = chi phí quảng
cáo trong giai đoạn trước, y = chi phí đi lại cho nhân viên kinh doanh, và z = là
số hàng hóa mà đối thủ cạnh tranh bán ở thời điểm hiện tại. Giả thiết rằng ban
quản lý cần biết giới hạn tối đa mà doanh thu thu được từ x có thể đạt tới (chi phí
quảng cáo trong giai đoạn trước). Quy trình tìm giá trị cực đại như sau:
1. Vi phân riêng tương ứng với biến của thu nhập
2. Lấy đạo hàm riêng bằng 0 và tìm biến thu nhập
3. Xác định giá trị hàm gốc tại giá trị này để tìm cực trị
Xem y và z là hằng số, hệ số đầy đủ của x 2 là 2y 2 z. Đạo hàm riêng tương ứng với
x, biến số của thu nhập trong ví dụ này là:
∂TR/∂x = 4xy 2 z.
Lấy đạo hàm riêng bằng 0 và tìm được x như sau:
4y 2zx = 0
x = 0.
Do đó hàm doanh thu đạt cực trị khi x = 0.
Để hiểu rõ thêm về kết quả này, việc xác định cực trị đó là cực đại hay cực tiểu
rất hữu ích. Như giải thích ở trên, dấu của đạo hàm bậc 2 (đạo hàm riêng bậc 2

trong trường hợp có nhiều biến) giải quyết được vấn đề này. Đạo hàm riêng bậc
2 được xác định như sau.
∂ 2TR/ ∂ x2 = 4y 2z.
Vì đạo hàm riêng bậc 2 là dương nên giá trị cực trị của hàm là cực tiểu.
Thực tế rằng giá trị cực trị của hàm đạt được khi x = 0 có nghĩa là chi phí quảng
cáo bằng 0 trong giai đoạn trước không đóng góp được gì cho tổng doanh thu.
21/253


Hơn nữa nó chỉ ra rằng đóng góp của chi phí quảng cáo trong tổng doanh thu ở
giai đoạn tiếp theo sẽ tiếp tục tăng lên miễn là chi phí quảng cáo phải tiếp tục
tăng lên. Điều này cho thấy chi phí quảng cáo của một doanh nghiệp có ảnh
hưởng tích cực tới doanh thu. (Cần nhớ rằng quá trình vi phân coi y và z là hằng
số, vì vậy không có kết luận gì về ảnh hưởng của những thay đổi trong các biến
số đối với hàm doanh thu).

TỐI ĐA HÓA LỢI NHUẬN
Mục tiêu của một hãng là tối đa hóa lợi nhuận. Lý thuyết kinh tế nói rằng nên ra quyết
định kinh doanh và thực thi quyết định chỉ khi doanh thu cận biên vượt quá chi phí cận
biên. Nếu điều này xảy ra, quyết định đưa ra sẽ tối đa hóa lợi nhuận của hãng. Để tìm ra
sản lượng đầu ra có thể tối đa hóa lợi nhuận, chúng ta nên dùng phép tính vi phân.

VÍ DỤ 6
Xét hàm tổng doanh thu (TR) và tổng chi phí (TC) sau đây:
TR(Q) = $1,000Q - $5Q2 và TC(Q) = $20,000 + $200Q.
Hàm lợi nhuận (π) là:
π (Q) = TR(Q) -TC(Q) = $1,000Q - $5Q2 - ($20,000 + $200Q)
= $1,000Q - $5Q2 - $20,000 -$200Q
= -$20,000 + $800Q - $5Q2
Lấy dπ/dQ = 0 và tìm được Q cụ thể là Q* = 80 đơn vị như sau:

dπ/dQ = $800 - $10Q = 0; Q* = 80 đơn vị
Giá trị đạo hàm bậc 2 của hàm lợi nhuận là
d2π/dQ2 = -10 < 0, cho biết Q* = 80 là điểm tối đa hóa lợi nhuận.
Hình 3 biểu diễn đồ thị của (a) tổng doanh thu, tổng chi phí và hàm lợi nhuận giả thiết và
(b) các hàm doanh thu cận biên, chi phí cận biên và lợi nhuận cận biên.

22/253


HÌNH 4
TỔNG DOANH THU, TỔNG CHI PHÍ, DOANH THU CẬN BIÊN, CHI PHÍ CẬN
BIÊN VÀ TỐI ĐA HÓA LỢI NHUẬN

TỐI ƯU HÓA BỊ RÀNG BUỘC
Nhiều hãng phải đối mặt với những hạn chế trong các phương án quyết định. Chẳng hạn
như hạn chế về nguồn lực (như tiền, thiết bị, năng lực sản xuất, nguyên liệu và nhân sự)
sẵn có đối với hãng. Tối ưu hóa bị ràng buộc (Constrained optimization) là tối đa hóa lợi
nhuận kèm theo những hạn chế trong sự sẵn có về nguồn lực, hoặc tối thiểu hóa chi phí
kèm những yêu cầu tối thiểu cần được thỏa mãn. Những kỹ thuật như phương pháp nhân
tử Lagrange và quy hoạch tuyến tính (được thảo luận trong chương 7) được dùng cho
mục đích này.
Vấn đề chung là tìm ra điểm cực trị của hàm f(x,y) tương ứng với các đẳng thức dạng
g(x,y) = 0
Khi các ràng buộc dưới dạng đẳng thức, ta dùng các phương pháp tối ưu hóa cổ điển để
tìm phương án tối ưu. Hai phương pháp thường dùng là: (1) Phương pháp thế và (2)
Phương pháp nhân tử Lagrangean.

PHƯƠNG PHÁP THẾ
Dùng phương pháp thế khi hàm mục tiêu chỉ phụ thuộc vào một biểu thức ràng buộc
tương đối đơn giản. Bằng cách thế, chúng ta giảm được mức độ rắc rối của hàm mục tiêu.

Phương pháp này gồm 2 bước: (1) tìm ra được một trong nhiều biến quyết định thỏa mãn
nhất sau đó (2) thay giá trị của biến này vào hàm mục tiêu. Quá trình này chuyển từ hàm

23/253


ban đầu sang hàm tối ưu hóa không bị ràng buộc để áp dụng được phép tính vi phân được
áp dụng nhằm tìm ra phương án tối ưu.

VÍ DỤ 7
Giả sử một hãng sản xuất với 2 dây chuyền lắp ráp tự động và hoạt động với hàm tổng
chi phí có dạng TC(x, y) = 3x2 + 6y2 - xy, trong đó x = sản lượng đầu ra của dây chuyền
thứ nhất và y = sản lượng đầu ra của dây chuyền thứ 2. Các nhà quản lý cần phải quyết
định phương pháp kết hợp x và y sao cho tốn ít chi phí nhất, với điều kiện rằng tổng đầu
ra phải là 20 đơn vị.
Vấn đề tối ưu hóa với điều kiện ràng buộc ở trên có thể được giải quyết như sau:
Tối thiểu hóa TC(x, y) =

3x2 + 6y2 - xy

Ràng buộc:

x + y = 20

Thứ nhất, giải biểu thức ràng buộc để tìm x, có x = 20 – y và thế vào hàm mục tiêu.
TC(x, y) = T(y) = 3(20 - y)2 + 6y2 - (20 - y)y = 3(400 -40y + y2) + 6y2 -20y +y2
1,200-120y+3y2+ 6y2 -20y +y2 = 1,200 - 140y + 10y2
Lấy đạo hàm của hàm thế đã giản lược và cho nó bằng 0, ta có:
dTC/dy = -140 + 20y = 0
y = 7 đơn vị

Thế ngược trở lại vào x: x = 20 - y = 20 - 7 = 13 đơn vị.
Do vậy x = 13 và y = 7 là phương án tối ưu cho vấn đề tối thiểu hóa chi phí bị ràng buộc.

CHÚ Ý:
Hạn chế của phương pháp thế đó là nó chỉ thực hiện được khi chỉ có một ràng buộc và chỉ
có thể giải ra một biến. Từ 2 điều kiện trở lên và/hoặc có cấu trúc ràng buộc phức tạp thì
sử dụng phương pháp nhân tử Lagrangean.

PHƯƠNG PHÁP NHÂN TỬ LAGRANGE
Một phương pháp để giải quyết các vấn đề tối ưu hóa bị ràng buộc mà trong đó có ràng
buộc đối với hàm mục tiêu ban đầu (làm cho hàm mục tiêu bằng 0 khi thỏa mãn). Hàm
mục tiêu mới đã thêm ràng buộc được gọi là hàm Lagrange, sẽ tạo ra một bài toán tối ưu
hóa không bị ràng buộc có cấu trúc như sau:
L(x, y, λ) = f(x, y) + λg(x, y)
Hệ số của đẳng thức ràng buộc g(x,y), λ (đọc là lamda), gọi là nhân tử Lagrangean. Vì
đẳng thức ràng buộc bằng 0 nên khi thêm λg(x, y) vào hàm mục tiêu f(x, y) không làm
thay đổi giá trị của hàm.
Biến giả này cho biết sự thay đổi cận biên trong giá trị của hàm mục tiêu có được từ sự
thay đổi của một đơn vị trong giá trị của ràng buộc. Sử dụng phương pháp Lagrange khi
24/253


(1) không dùng được phương pháp thế và (2) khi có nhiều ràng buộc. Hơn nữa, phương
pháp này còn cho biết các thông tin kinh tế thú vị. Phương pháp Lagrange được minh họa
bằng ví dụ trên.

VÍ DỤ 8
Từ ví dụ 7, ta có ràng buộc x + y = 20. Trước hết, cần biến đổi sao cho đẳng thức có một
vế bằng 0, g(x, y) = 0. Khi đó x + y = 20 có dạng 20 - x – y = 0.
Tiếp theo, chúng ta xác định biến giả λ và xây dựng Hàm Lagrange (L):

L(x, y, λ) = TC(x, y) + λg(x, y) = 3x2 + 6y2 - xy + λ(20 - x - y)
Chú ý rằng
1. Miễn là g(x,y) luôn bằng 0, hàm L(x,y,λ) sẽ không thay đổi giá trị so với hàm tổng
chi phí ban đầu TC(x,y). Tối thiểu hóa L(x, y, λ) sẽ dẫn đến tối thiểu hóa TC(x, y).
2. Lấy đạo hàm riêng theo λ và cho nó bằng 0, có được ràng buộc ban đầu.
Vì L(x, y, λ) là một hàm với 3 biến quyết định nên để tối thiểu hóa hàm này cần:
a. Vi phân riêng theo mỗi biến
b. Cho các biểu thức đạo hàm riêng bằng 0
c. Giải các đẳng thức để tìm các giá trị x, y và λ
Các đạo hàm riêng là:
∂L(x, y, λ)/∂x = 6x - y - λ = 0
∂L(x, y, λ)/∂y = 12y - x - λ = 0
∂L(x, y, λ)/∂λ = 20 - x - y = 0
Giải đồng thời 3 đạo hàm riêng này ta có x= 13, y =7, và λ= 71.
λ đo lường mức độ thay đổi cận biên trong giá trị của hàm mục tiêu theo sự thay đổi của
một đơn vị trong ràng buộc. Trong ví dụ này, λ=71 chỉ ra rằng chi phí sẽ tăng thêm $71
khi sản xuất thêm một đơn vị, nghĩa là tăng đầu ra từ 20 lên 21 đơn vị.

CHÚ Ý:
Nếu một bài toán tối ưu hóa bị ràng buộc có từ 2 ràng buộc trở lên thì mỗi ràng buộc sẽ
có một λ riêng và kết hợp với nhau trong hàm L. Các giá trị λ được ví là các biến kép
trong quy hoạch tuyến tính (LP) và thể hiện các mức giá mờ của các nguồn lực khan
hiếm.

PHÂN TÍCH CẬN BIÊN VÀ PHÂN TÍCH TĂNG TIẾN
Phân tích cận biên (Marginal analysis)liên quan đến một đơn vị đầu ra tăng thêm.
Nhà quản lý các cấp, người có trách nhiệm đưa ra các quyết định chuyên môn
(như marketing, kế hoạch hoạt động, sản xuất, vật tư, tài chính, đầu tư, nhân
25/253