Một số bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

Th vin ti liu trc tuyn min phớ - Ch kin thc



Chuyên đề: Bất đẳngthức và gtln,gtnn
Phương pháp 1:Dùng BĐT Cô si
A-BĐT Cô si: Nếu

a1 ,a 2 ...a n 0 thì

a1 a 2 ... a n n
a1.a 2 ...a n Đẳng thức xảy ra
n

a 2 ... a n
1 1
4
Hệ quả: 1/ x, y 0
Đẳng thức xảy ra khi x y
x y xy
khi và chỉ khi a1

a 2 b2 a b

2/Với a,b bất kỳ và x, y 0
Đẳng thức xảy ra khi x y
x y
xy
n n 1
2
3/ x1, x 2, ...x n 0 x i n Đẳng thức xảy ra

i 1 i 1 x i
x1 x 2 ... x n
2

B- Bài tập
I-áp dụng trực tiếp BĐT Cô si
1-Cho a, b, c 0 & a b c 3 tìm
Min( a

3

b 3 c3 )

và Max



3

ab 3 bc 3 ca

a b c 3 CMR
8a 8 b 8c 2 a 2 b 2 c
a
b
c
HD:Đặt 2 x, 2 y, 2 z xyz 1

2-(ĐHQGHN-2000) Cho a,b,c thoả

3-(ĐH Ngoại Thương-1996)

3
1 1 1
Tìm GTNN của S a b c
2
a b c
1 1 1
4-Cho a, b,c 0 & a b c 1CMR 1 1 1 64
a b c
a 2 b2 c2 1 1 1

5-Cho a, b.c 0 & a b c 1 tìm GTNN của S
b c a ab bc ca
Cho a, b,c

0&a bc

6-(ĐHCĐKA-2003)
Cho

x, y, z 0 & x y z 1CMR x 2

7- a, b,c

0&a bc

1

1
1
2
2

y


z

82
x2
y2
z2

3
1
1
1
2
2
2
Tìm GTNN S a 2 b 2 c 2
2
b
c
a
1

Thư viện tài liệu trực tuyến miến phí - Chủ kiến thức



a 3 b 3 c3
 1 1 1
8- Cho a,b,c>0 & a  b  c  3 T×m GTNN P  2  2  2  27 
  
b c a
 ab bc ca 
 1 1 1
9- x, y, z  0 & x  y  z  1 T×m GTNN A  2  x  y  z   3    
x y z
a2
b2
c2
abc
10-Cho a, b.c  0CMR



bc ca ab
2
1
1
1
abc
11-(§HBKHN-1990) Cho a, b,c  0CMR 2
 2
 2


2abc
a  bc b  ca c  ab
1
1
1
1
12-Cho a, b,c  0 &


 2 CMR abc 
1 a 1 b 1 c
8
13-(§H Thuû Lîi -1997)

a 2 b2 c2 d 2 1 1 1 1
Cho a, b,c,d  0CMR 5  5  5  5  3  3  3  3
b c d c
a b c d
2
2
2
1 1
5
a
a
a
HD: 5  5  5  3  3  3
b
b

b
b a a
x
x
x
 12   15   20 
x
x
x
14-(§HC§KB-2005) CMR x  R Ta cã 
      3 4 5
5 4  3 
15-(§HC§ KD-2005) Cho x, y.z  0 & xyz  1 CMR
1  x 3  y3
1  y3  z 3
1  z3  x 3


3 3
xy
yz
zx
16-(§HNN1-2000)Cho a, b,c  0 & abc  1 T×m GTNN cña biÓu thøc
bc
ac
ab
P 2


a b  a 2c b 2a  b 2c c 2a  c 2 b

1
1
1
3
 3
 3

17-Cho a, b, c  0 & abc  1 CMR 3
a  b  c b c  a  c a  b 2

a 4b
b 4c
c 4a


1
18-Cho a, b, c  0 & ab  bc  ca  3abc CMR
2a  b 2b  c 2c  a
19-Cho

0  x  3, 0  y  4CMR :  3  x  4  y  2x  3y   36

20-Cho

a  1, b  1CMR : a b  1  b a  1  ab
2


Th vin ti liu trc tuyn min phớ - Ch kin thc

21-(ĐHSP Vinh-1999) CMR tam giác ABC nhọn Thì:

tan 8 A tan 8 B tan 8 C 9 tan 2 Atan 2 B tan 2 C
ab c 2 bc a 3 ca b 4
22-Tìm GTLN của F
Với a 3, b 4, c 2
abc
II-áp dụng hệ quả BĐT Cô si
1-(ĐHCĐ KA-2007) Cho x, y, z

0 & xyz 1. Tìm GTNN của
x2 y z
y2 z x
z2 x y
P


y y 2z z z z 2x x x x 2y y
1 1 1
2-(ĐHCĐ KA-2005) Cho x, y, z 0 & 4 CMR
x y z
1
1
1


1
2x y z x 2y z x y 2z

n
S
n2
3-Cho x1 , x 2 ,..., x n 0 Đặt S x1 x 2 ... x n CMR

S

x
n 1
i 1
i
i
n

2n 1
i 1 2 i
1
1
1
1
1
1





5- a, b,c 0CMR
a 3b b 3c c 3a a 2b c b 2c a c 2a b
6-(ĐH Hàng hải-1999) Cho x, y, z 0 & x y z 3 CMR:

x
y
z
3
1
1
1






1 x 2 1 y2 1 z2 2 1 x 1 y 1 z
7-(ĐH Ngoại thương -1999) Cho x, y, z 0 & x y z 1 Tìm GTLN của
x
y
z
P


x 1 y 1 z 1
8-(ĐH Tây Nguyên-2000) Cho x, y, z 0 & x y z 1 CMR:
1 1 1
18

x y z xyz 2
1
1
1

1
1
1
9-Cho a, b,c 0CMR




4a 4b 4c 2a b c 2b c a 2c a b
n

4-Cho

i 0,i 1, 2,..., n & 1 2 ... n 1 CMR:

3


Th vin ti liu trc tuyn min phớ - Ch kin thc

10-Cho



a, b,c 0 & abc ab bc ca CMR:
1
1
1
1

a 2b 3c 2a 3b c 3a b 2c 6

Phương pháp 2: Dùng BĐT Bunhiacôpxki
A- BĐT Bunhiacôpxki: Cho Hai dãy số thực

a1 ,a 2 ,...,a n và b1 , b 2 ,.., b b tù có BĐT

n 2 n 2
a
a
a
bi Đẳng thức xảy ra 1 2 ... n
a i bi a i

b1 b 2
bn
i 1
i 1
i 1
2
n
ai
n
a i 2 i 1
Hệ quả: 1/
với bi 0 i 1, 2,..., n
n
b

i 1
i
bi
n

i 1

2/Nếu đặt

bi a i ci thì ta có :
2

n
ai
n
a i i 1
Trong đó a i ci 0 i=1,2,n
c n
i 1 i
a i ci
i 1

B- Bài tập
I- áp dụng trực tiếp BĐT Bunhiacôpxki
1-(ĐH Y Dược-1998)

a, b, c là độ dài ba cạnh một tam giác, CMR
p p a p b p c 3p Với p (a b c) 2

a 2 b2 c2 a b c

2-(ĐH Y Dược-1999) a, b,c 0CMR : 2 2 2
b c a
b c a
3-(ĐHCĐ KA-2003) cho

x, y, z 0 & x y z 1CMR x 2

1
1
1
2
2

y


z

82
x2
y2
z2

1
9

x


x

x2

a3
b3
c3
a 2 b2 c2



4-CMR với a, b,c 0 thì
abc
a 2 ab b 2 b 2 bc c 2 c 2 ca a 2
4
3
2
5-CMR nếu phương trình : x ax bx cx 1 0 có nghiệm thực thì
HD:

1 81 x 2

4


Th vin ti liu trc tuyn min phớ - Ch kin thc



a 2 b2 c2 4 3
2
2

4
3
2
6-CMR phương trình x ax bx ax 1 0 có nghiện thực thì: a (b 2) 3
3
2
7- CMR nếu x 0 là nghiệm của phương trình: x ax bx c 0 thì ta có:
x 02 1 a 2 b2 c2
a
b
c
d



2
8-Cho a, b,c,d 0CMR :
bc cd da ab
9-(ĐH Y Dược Tp.HCM-1998) Cho
10-(ĐH Ngoại Thương -1995) Cho
11-(ĐH KTQD-1999)

a 1, b 1CMR log 2 a log 2 b 2 log 2

ab
2

x 0, y 0 & x 3 y3 2 CMR x 2 y 2 2

A

B
C
cot 2 cot 2 9 Thì ABC là tam giác đều
2
2
2
12- , , 0 & 2 tìm GTLN của biểu thức
P 1 tan .tan 1 tan .tan 1 tan .tan
Cho

ABC CMR nếu cot 2

13-(ĐHCĐKB-2006) Tìm GTNN của

3
1
x 1 y
2
2
a b c abc

HD:

x 12 y 2 x 12 y 2 y 2

A

3
1
1 x y

2
2

x 12 y 2 ,

1 x 2 y 2

Sau đó áp dụng

II-áp dụng hệ quả BĐT Bunhiacôpxki

1 1 1
4 CMR
x y z
1
1
1


1
2x y z x 2y z x y 2z
2-Tìm GTLN của tổng sau theo các hằng số dương x, y, z
1
1
1
1 1 1
P


trong đó a, b,c 0 & 1

xa yb zc xb yc za xc ya zb
a b c
1-(ĐHCĐ KA-2005) Cho

3- CMR

a, b,c 0

x, y, z 0 &

2
2
2
a b b c c a



Thì

c

a

b

4(a b c)

a6
b6
c6

4-Tìm GTNN của biểu thức B 3
ở đó a, b, c 0 & a b c 1


b c3 c3 a 3 a 3 b 3
5


Th vin ti liu trc tuyn min phớ - Ch kin thc



2 3
6 Tìm GTNN của A x y
x y
2x
2y
2z
1
1 1
6 4 6
4 4 4
6-Cho x , y, z 0CMR : 6
4
4
x y
y z z x
x
y z
5-(ĐH Y Hà Nội-2000) Cho

x.y 0 &

1
1 x 2 1 x 1
4x
HD: 4 4 6 4 6
6
4
x
y
x
y
x y
x y4
2

a
b
c


b
c
a
3
3
3
a
b

c
1
2
2
2



8-Cho a, b,c 0 & a b c 1CMR
bc ca ab 2
1
1
1
3



9-Cho a, b,c 0 & a b c 3CMR
ab 1 bc 1 ac 1 2
2
HD: a b c 3 ab bc ca ab bc ca 3
10-Cho x, y 0 & 0 x y a b với a, b là hai số cho trước CMR
7-Cho

a, b, c 0 & a b c 3 Tìm GTNN của S

a x

x2
a2

x y a b x y a b
2

11-Tìm GTNN Của

A

a

a8



b

2 2

b
a, b, c 0 & ab bc ca 1
2

b8
2

c

c

2 2

c8
2

a



2 2

Trong đó

Phương pháp 3: Phương pháp véc tơ:
A-Tóm tắt lý thuyết:



v u v Đẳng thức xảy ra khi & chỉ khi u & v cùng hướng


2- u.v u v Đẳng thức xảy ra khi & chỉ khi u & v cùng phương


1- u

B- Bài tập
1-(ĐH Huế-1997) CMR:

2-(ĐHCĐ KA-2003) Cho

a 2 a 1 a 2 a 1 2a R

x, y, z 0 & x y z 1CMR x 2
3- a, b,c

1
1
1
2
2

y


z

82
x2
y2
z2

3
1
1
1
0 & a b c Tìm GTNN S a 2 2 b 2 2 c 2 2
2
b

c
a
6


Th vin ti liu trc tuyn min phớ - Ch kin thc

4-(ĐHQG HN-2000) Cho



a, b,c 0 & ab bc ca abc CMR:

b 2 2a 2
c 2 2b 2
a 2 2c 2


3
ab
cb
ca
5-(HVQH Quốc tế-1997) Cho x, y, z 0CMR :
x 2 xy y 2 y 2 yz z 2 z 2 zx x 2 3 x y z
6-CMR:

x 2 xy y 2 x 2 xz z 2 y 2 yz z 2

x 2 xy y 2 3
7-(ĐH Ngoại Thương-1995) Giả sử hệ

có nghiệm .CMR
2
2
y yz z 16
xy yz zx 8
8-CMR:

a 2 b2 c2 d 2

a c 2 b d 2

Với

a, b, c, d

Phương pháp 4: Dùng tính đơn điệu của hàm số:

x3
1-CMR x
sin x xx 0
6
2 sin x

2

tan x

2-CMR:

2

3-CMR :

2sin x 2 tan x


x 0;
2

2x 1 Với x 0;
2
2

3x
1
2

Với

4--(ĐH Ngoại Thương-1996)

3
1 1 1
S abc
Tìm GTNN của
2
a b c
5-(HVQH Quốc tế -1999) Cho x 0, y 0 & x y 1 Tìm GTNN của
x
y

P

y 1 x 1
Cho

a, b,c 0 & a b c

6-(ĐHSPHN 2-1999) Cho tam giác nhọn ABC .CMR:

SinA 2SinB SinB 2SinC SinC 2SinA 2

7-(ĐH An ninh-2000) Cho n là số nguyên và

n 3. CMR n n 1 n 1

ABC có 0 A B C 900 CMR:
2cos 3C 4cos 2C 1
2
cos C
9-(ĐH Hàng hải -1999) CMR: cos sin 1 với 0 2

8-(ĐH Mỏ-2000) Cho

7

n


Th vin ti liu trc tuyn min phớ - Ch kin thc

10-Cho ABC nhọn CMR: sinA sinB sinC tan A tan B tan C
Phương pháp 5:Dùng cực trị của hàm số:

2

a
b
c
3 3



2
b2 c2 c2 a 2 a 2 b2
4
3
4
2-CMR để x px q 0 với x R 256q 27p
1-Cho

a, b,c 0 & a 2 b 2 c 2 1 CMR:

y x 4 x2
x 1
4-(ĐHCĐ KD-2003) Tìm GTLN,GTNN của y
trên 1; 2
2
x 1

ln 2 x
3
5-(ĐHCĐKB-2004) Tìm GTLN,GTNN của y
trên 1;e
x
2
2
6-(ĐHCĐKA-2006)Cho x 0, y 0 & x y xy x y xy tìm GTLN của:

3-(ĐHCĐ KB-2003) Tìm GTLN ,GTNN của

2

1 1
1 1
A 3 3 HD:BĐ A Và đặt x ty
x y
x y
7-(ĐHCĐKB-2006) tìm GTNN của
8-Cho

A

x 12 y 2 x 12 y 2 y 2

p q p q

p,q N* & 0 2 CMR: sin p cos q p p q q

a 4 b4 a 2 b2 a b

9-Tìm GTNN của F 4 4 2 2 với a, b 0
b a b a b a
10-(ĐHXD HN -2001)
Cho



x, y.z 0;1 &x y z 3 2 . Tìm GTNN của A cos x 2 y 2 z 2

8