MỘT SỐ BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT docx

MỘT SỐ BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT.
Bài 1 : Cho các số dương x, y, z thoa mãn: 1/x + 1/y + 1/z = 4
Tìm max của: P= 1/(2x + y + z) + 1/(x + 2y + z) + 1/(x + y + 2z)
Với a,b > 0 ta có bđt : 1/(a + b) ≤ 1/4.(1/a + 1/b) (*)
Áp dụng bđt (*) với a = (x + y) > 0 ; b = (x + z) > 0 ta có :
1/(2x + y + z) = 1/ [ (x + y) + (x + z) ] ≤ 1/4.[ 1/(x + y) + 1/(x + z) ]
Lại áp dụng bđt (*) ta có :
. 1/(x + y) ≤ 1/4(1/x + 1/y)
. 1/(x + z) ≤ 1/4(1/x + 1/z)
> 1/(2x + y + z) ≤ 1/16.(2/x + 1/y + 1/z)
Tương tự ta có :
. 1/(x + 2y + z) ≤ 1/16.(1/x + 2/y + 1/z)
. 1/(x + y + 2z) ≤ 1/16.(1/x + 1/y + 2/z)
> 1/(2x + y + z) + 1/(x + 2y + z) + 1/(x + y + 2z) ≤ 1/16.(4/x + 4/y + 4/z)
> P ≤ 1/4.(1/x + 1/y + 1/z) = 1 (do 1/x + 1/y + 1/z = 4)
> đ.p c.m . Dấu " = " xảy ra <=> x = y = z = 3/4
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
CM (*) , ta có (*) <=> 1/(a + b) ≤ (a + b)/4ab <=> 4ab ≤ (a + b)²
<=> 4ab ≤ a² + 2ab + b² <=> 0 ≤ a² - 2ab + b²
<=> 0 ≤ (a - b)² > luôn đúng > (*) được CM
Dấu " = " xảy ra <=> a = b
Cach kh¸c: giả sử u và v là hai số dương ta có: (u+v)(1/u + 1/v) >=4
<=> 4/(u+v) <= 1/u + 1/v
có 1/(2x+y+z) = 1/[(x+y)+(x+z)] <=(1/4)*(1/(x+y) + 1/(x+z))
<=(1/16)*(2/x+1/y+1/z)
làm tương tự cho hai biểu thức còn lại và cộng các vế của 3 BĐT ta được
VT<=(1/16)*(4/x + 4/y + 4/z) = 1
Bài 2:Cho tam giác ABC cố định vuông tại A, đường cao AD. Vẽ đường tròn tâm (O1) ngoại tiếp
tam giác ABD và đường tròn (O2) ngoại tiếp tam giác ACD. Qua A kẻ đường thẳng d bất kì không
cắt đoạn thẳng BC. Gọi giao điểm của d với (O1) là E, với (O2) là F. Gọi giao điểm của DE với AB
là M, giao điểm của DF với AC là N Hãy xác định vị trí của EF để chu vi của tứ giác BEFC đạt

giá trị lớn nhất?
@ 3 câu hỏi trước cho biết khi d quay quanh A tỉ số (BE+EA)/(AF+FC) luôn không đổi và MN//EF
BC cố định nên chỉ cần xác định vị trí EF sao cho : BE+EA+AF+FC lớn nhất. Gọi góc EAB = α,
AB=c, AC=b khi đó BE+EA = c(sinα+cosα), (1)
∡ BAC vuông nên ∡ ACF = α => AF+FC = b(sinα+cosα). (2)
BE+EA+AF+FC = (sinα+cosα)(b+c) = (b+c) √2.cos(45-α) => α =45 độ BE+EA+AF+FC lớn nhất.
Từ (1)&(2) => (BE+EA)/(AF+FC) = c/b ( const.)
∡BAD =∡AFD, tứ giác AMDN nội tiếp đường tròn do ∡MAN =∡MDN =90 độ nên ∡BAD
=∡MND => ∡AFD = ∡MND => MN//EF.
Bài 3: Cho hàm số :
( )
( )
43
52.162
)(
2
22
−+
+−++
==
xx
xxx
xfy
1/ Tìm tập xác định của hàm số :
)(xfy =
.
2/ Chứng minh
3≤y
. Chỉ rõ dấu bằng xảy ra khi x bằng bao nhiêu?
( Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên ngoại ngữ

Trường Đại học ngoại ngữ - ĐHQG Hà Nội Năm học 2003- 2004 )
 Hướng dẫn:
1
1/ Tìm tập xác định của hàm số:
)(xfy =
.
0)2).(1(
2
≥−+ xx
và
043
2
≠−+ xx
Vậy TXĐ :
2≥x
;
4≠x
2/ Chứng minh
3≤y
. Chỉ rõ dấu bằng xảy ra khi x bằng bao nhiêu ?
( )
( )
43
52.162
)(
2
22
−+
+−++
==

xx
xxx
xfy
43
5)2).(1(61212993
2
222
−+
+−++−+−+−
=
xx
xxxxxx
43
)179)2).(1(6()43.(3
2
222
−+
−+−+−−−+
=
xx
xxxxxx
3
)4).(1(
)231(
3
22
≤
+−
−−+
−=

xx
xx
Vì với
2≥x
;
4≠x
thì
0
)4).(1(
)231(
22
≥
+−
−−+
xx
xx
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi :
2.31
2
−=+ xx

⇔
1891
2
−=+ xx
( Bình phương hai vế không âm)

⇔
0199
2

=+− xx

⇔
2
59
1
−
=x
;
2
59
2
+
=x
Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức :
2
1 xxy −=
.
 Hướng dẫn:
Ta có TXĐ :
x∀
\
1≤x
.
Xét
2
1 xxy −=
2
1
2

1
22
=
−+
≤
xx
. Vậy
2
1
≤y
suy ra :
2
1
2
1
≤≤− y
Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi
22
1 xx −=
( hay
2
2
±=x
)
Min y =
2
1
−
khi và chỉ khi
2

2
−=x
Max =
2
1
khi và chỉ khi
2
2
=x
.
Bài 5: Tìm giá trị nhỏ nhất : P =
1x
2x
2
2
+
+
?
 Hướng dẫn:
TXĐ
x
∀
∈
R .
P =
1x
2x
2
2
+

+
=
1x
11x
2
2
+
++
=
1x
1
1x
2
2
+
++
Có :
1x
1
1x
2
2
+
++
≥
1x
1
1x2
2
2

+
⋅+
≥
2
1⋅

≥
2 .
Vậy
1x
2x
2
2
+
+

≥
2 . Min P = 2 khi và chỉ khi
1x
2
+
=
1x
1
2
+
Min P = 2 khi và chỉ khi x= 0.
Bài 6: Cho ba số dương a ; b ; c thoả mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của :

c

ab
b
ca
a
bc
A ++=

 Hướng dẫn:
Ta có
ab
abc
b
ca
a
bc
2
2
≥+

⇔
c
b
ca
a
bc
2
≥+
2

ac

cab
c
ab
a
bc
2
2
≥+

⇔
b
c
ab
a
bc
2
≥+

bc
bca
c
ab
b
ca
2
2
≥+

⇔
a

c
ab
b
ca
2
≥+
Suy ra :
).(. cba
c
ab
b
ca
a
bc
++≥






++
22

cba
c
ab
b
ca
a

bc
++≥++

c
ab
b
ca
a
bc
++
≥
1
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
3
1
===
cba
Vậy với
3
1
===
cba
thì
c
ab
b
ca
a
bc
A ++=

đạt giá trị nhỏ nhất bằng 1.
Bài 7: Cho
0
≥
cba ;;
và thoả mãn: a.b.c=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

( ).( ).( )P a b b c c a
= + + +

 Hướng dẫn:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :

abba .2
≥+

bccb .2≥+

caac .2≥+
.
Suy ra :
cabcabaccbba )).().(( 222
≥+++
.

222
8 cbaaccbba ≥+++ )).().((
.

8

≥+++
)).().(( accbba
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi :
1
===
cba
Vậy với
1
===
cba
thì minP = 8
Bài 8: Cho ba số dương thoả mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị lớn nhất của:

( ) ( ) ( )
[ ]
abcaccbbaP .
+++++=
 Hướng dẫn:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm a, b, c ta có:
3
3 abccba ≥++
⇒
3
31 abc≥
⇒
3
3
1
abc≥
⇒

abc≥
27
1
. (1)
Ta có :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3
3 accbbaaccbba +++≥+++++
⇒
( ) ( ) ( ) ( )
3
32 accbbacba +++≥++
⇒
( ) ( ) ( )
3
32 accbba
+++≥

⇒
( ) ( ) ( )
3
3
2
accbba +++≥
⇒
)).().(( accbba
+++≥
27
8
(2)

Nhân vế với vế của (1) và (2) ta được :
abcaccbba ).).().((
+++≥⋅
27
8
27
1
Suy ra :
729
8
≤+++
)).().(.( accbbaabc
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=
3
1
.
Vậy maxP=
729
8

⇔
a=b=c=
3
1
.
Bài 9: Cho ba số dương a ; b; c . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
1 1 1
( ).M a b c
a b c
 

= + + + +
 ÷
 
 Hướng dẫn:
Vì a ; b; c là ba số dương. áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
3
3 abccba ≥++
(1)
Vì
a
1
;
b
1
;
c
1
là ba số dơng. áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
3
1
3
111
abccba
≥++
(2)
Từ (1) và (2) suy ra :

3
3 abccba ≥++
Suy ra :

9
111
≥






++++
cba
cba ).(
.

3
1
3
111
abccba
≥++
Vậy min M = 9.
3
Bài 10: Cho ba số dương a; b; c có a + b + c =1. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

1 1 1
1 1 1A
a b c
   
= + + +
 ÷ ÷ ÷

   
 Hướng dẫn:
Ta có:






+
a
1
1
=






++
+
a
cba
1
=
a
c
a
b

+++
11
≥
4
2
4
a
bc






+
b
1
1
=






++
+
a
cba
1

=
b
c
b
a
+++
11
≥
4
2
4
b
ac






+
c
1
1
=







++
+
a
cba
1
=
c
b
c
a
+++
11
≥
4
2
4
c
ab
Suy ra :






+







+






+
cba
1
1
1
1
1
1
≥
4
222
222
64
cba
cba







+






+






+
cba
1
1
1
1
1
1
≥
64. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi :
3
1
===
cba
.
Vậy Min A= 64 khi và chỉ khi

3
1
===
cba
.
Bài 11: Cho x ; y là hai số dương thoả mãn điều kiện
2
22
=+ yx
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của:
yx
11
+
?
 Hướng dẫn:
Ta có :
3
222
11
3
112
x
xx
x
xx
x
x
⋅⋅≥++=+
Suy ra :

3
2
2
≥+
x
x
(1)

3
222
11
3
112
y
yy
y
yy
y
y
⋅⋅≥++=+
Suy ra :
3
2
2
≥+ y
y
(2)
Vậy từ (1) và (2) suy ra :
6
11

2
22
≥








+++
yx
yx .
Suy ra :
2
11
≥+
yx

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi :
2
11
x
xx
==
;
2
11
y

yy
==
và
2
22
=+ yx

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x=y=1. Với x=y=1 thì
yx
11
+
đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2.
Bài 12: Cho
1
≥+
ba
. Tìm giá trị nhỏ nhất của :
33
ba
+
.

Hướng dẫn:
Ta có :
1
≥+
ba
⇒

ab

−≥
1
⇒
323
331 aaab
−+−≥
⇒
233
331 aaba
+−≥+

⇒
233
331 aaba
+−≥+

⇒
4
1
4
1
3
233
+







+−≥+
aaba .
⇒
4
1
2
1
3
2
33
+






−≥+
aba .
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi :
2
1
=a
.
Bài 13: Cho
0>cba ;;
. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
1 1 1
a b c
P

b c a
   
= + + +
 ÷ ÷ ÷
   
 Hướng dẫn:
Vì a; b; c là ba số dương. Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
4

b
a
b
a
21 ≥+
.
c
b
c
b
.21 ≥+
.
a
c
a
c
.21 ≥+
Suy ra :

a
c

c
b
b
a
a
c
c
b
b
a
222111 ≥






+






+







+


abc
abc
a
c
c
b
b
a
8111 ≥






+






+







+

8111 ≥






+






+






+
a
c
c

b
b
a
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:
1
===
cba
Vậy với
1
===
cba
thì
1 1 1
a b c
P
b c a
   
= + + +
 ÷ ÷ ÷
   
giá trị nhỏ nhất bằng 8.
Bài 14:
Cho biểu thức









+
−
+
−
+
+








−
−
+
+
+
+
=
1
11
1
1
11
1
ab
aab

ab
a
ab
aab
ab
a
M :
a) Rút gọn biểu thức M ?
b) Cho a+b=1 hãy tính giá trị nhỏ nhất của M ?
 Hướng dẫn:
a) Rút gọn biểu thức M
TXĐ :
0≥a
0≥b

1≠ab
.








+
−
+
−
+

+








−
−
+
+
+
+
=
1
11
1
1
11
1
ab
aab
ab
a
ab
aab
ab
a

M :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
11
11111
11
11111
−+
−++++−−+
−+
−+−+++−+
=
abab
abababaababa
abab
abababaababa
M

:

( ) ( )
1
12
1
12
−
+−
−

+
=
ab
a
ab
aab
M :
.
( )
( )
12
1
1
12
+−
−
⋅
−
+
=
a
ab
ab
aab
M
.
abM −=
b) Cho a + b =1. Hãy tính giá trị nhỏ nhất của M
Khi a+b=1 với
0

≥
a

0
≥
b
. Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
ab
ba
≥
+
2
suy ra :
2
1
≤ab
hay
2
1
−≥−
ab
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi :

2
1
==
ba
. Vậy với
2
1

==
ba
thì giá trị nhỏ nhất của M bằng
2
1
−
5