áp dụng các mô hình toán học để giải bài toán quy hoạch

Chương 4
áp dụng các mô hình toán học để
giải bài toán qui hoạch
4.1. Khái niệm về bài toán qui hoạch
4.2. Qui hoạch tuyến tính
4.3. Bài toán vận tải
4.4. Qui hoạch số nguyên
4.5. Qui hoạch phi tuyến
4.5. Phương pháp qui hoạch động
1


4.1. Kh¸i niÖm vÒ bµi to¸n qui ho¹ch
4.1.1. Bµi to¸n qui ho¹ch tæng qu¸t
4.1.2. Ph©n lo¹i bµi to¸n qui ho¹ch

2


4.1.1. Bài toán qui hoạch tổng quát
Bài toán qui hoạch tổng quát được phát biểu như sau:
Xác định tập giá trị các biến: X = {x1, x2,..,xn }
sao cho hàm f(xj) min (max); (j = 1,2,...,n),
đồng thời thoả mãn các điều kiện:
gi(X) (;=;) bi ;(i = 1,2,...,m)
xj X Rn;
được gọi là 1 bài toán quy hoạch.
3


Trong đó:

+ Hàm f(X) gọi là hàm mục tiêu.
+ Các hàm gi(X);(i=1,2,..,m)được gọi là các ràng
buộc
+ Tập hợp D={x X; gi(X) (;=;) bi};i = 1...m gọi
là miền ràng buộc.
+ Mỗi điểm X={x1, x2...xn}D gọi là 1 phương án .
+ Một phương án có : X* D đạt cực đại hay cực
tiểu của hàm mục tiêu.
Cụ thể:f(X*) f(X);XD (đối với bài toán min)
f(X*) f(X); XD (đối với bài toán max)
được gọi là lời giải tối ưu.
Khi đó giá trị f(X*) được gọi là giá4trị tối ưu hoá


4.1.2. Ph©n lo¹i bµi to¸n qui ho¹ch
1. Quy ho¹ch tuyÕn tÝnh nÕu hµm môc tiªu f(X) vµ tÊt c¶ c¸c
hµm rµng buéc gi(X); i=1,2,...,m lµ tuyÕn tÝnh:
n

f(X) = ∑c j x j →min(max)
j =1

g i (X) =

n

∑a
j =1

ij

x j (≤; =; ≥)bi ; i =1, m

trong ®ã Cj, aij , bi lµ c¸c h»ng sè
5


2- Quy hoạch tham số nếu các hệ số trong biểu thức
hàm mục tiêu và các ràng buộc phụ thuộc tham số.
3- Quy hoạch động nếu đối tượng xét là các quá trình
có nhiều giai đoạn nói chung hay các quá trình phát
triển theo thời gian nói riêng.
4- Quy hoạch phi tuyến nếu như hoặc f(X) hoặc có ít
nhất 1 trong các hàm g(X) là phi tuyến.
5- Quy hoạch rời rạc nếu miền ràng buộc D là tập rời
rạc.
6- Quy hoạch đa mục tiêu nếu trên cùng 1 miền ràng
buộc ta xét đồng thời các hàm mục tiêu khác
nhau.
6


4.2. Qui ho¹ch tuyÕn tÝnh
4.2.1. §Æt bµi to¸n
4.2.2. C¸c d¹ng bµi to¸n qui ho¹ch tuyÕn tÝnh
4.2.3. Ph­¬ng ph¸p ®¬n h×nh

7

4.2.1. Đặt bài toán
Một nhà máy điện có thể dùng 4 loại than để sản
xuất điện. Biết lượng điện năng yêu cầu hàng năm của
nhà máy là A[MWh]. Suất tiêu hao than của loại than
thứ i là qi [kg/MWh](i=1,2,3,4). Giá thành sản xuất
điện năng của loại than i là c i [đ/MWh](i=1,2,3,4). Lư
ợng than loại i cung cấp hàng năm để sản xuất điện
không được vượt quá Qi ; Tổng lượng than của cả 4
loại cung cấp hàng năm để sản xuất điện không được
vượt quá Q . Cần xác định lượng điện năng được sản
xuất hàng năm từ từng loại than để đạt cực tiểu về chi
8
phí sản xuất điện năng.


Lời giải
Nếu gọi lượng điện năng được sản xuất hàng năm từ loại
than thứ i là xi[MWh]; i=1,2,3,4, thì bài toán có thể được trình
bày như sau :
Xác định X={x1, x2, x3, x4 } sao cho:
f(X) = c1x1 + c2x2 + c3x3 + c4x4 min
Với các ràng buộc:
x1 + x2 + x3 + x4 = A
q1x1 + q2x2 + q3x3 + q4x4 Q
q1x1 Q1
q2x2 Q2
q3x3 Q3
9
q4x4 Q4

4.2.2. C¸c d¹ng bµi to¸n qui ho¹ch
tuyÕn tÝnh
1 - D¹ng tæng qu¸t j=1,...,n
Bµi to¸n cã d¹ng tæng qu¸t lµ bµi to¸n nh­ sau :
T×m X = {xj} tho¶ m·n ®ång thêi c¸c ®iÒu kiÖn sau :
n

1) f(X) = ∑ c j x j → min(max)
j =1

n

2) g i ( X ) = ∑ aij x j (≤; =; ≥)bi

(i = 1, m)

j =1

trong ®ã : f(X) lµ hµm môc tiªu
xj lµ c¸c Èn
cj, aij ,bi lµ nh÷ng h»ng sè tù do.

10


4.2.2. C¸c d¹ng bµi to¸n qui ho¹ch
tuyÕn tÝnh
2 - D¹ng chÝnh t¾c
T×m X = { xj } j=1,..., n tho¶ m·n ®ång thêi c¸c

®iÒu kiÖn sau :
n

c j x j → min(max)
1) f(X) = ∑
j=1
n

a ij x j = b i
2) gi(X) = ∑
j=1

(i = 1, m)

3) xj ≥ 0 ; bi ≥ 0
trong ®ã cj, aij, bi lµ c¸c h»ng sè tù do.

11


4.2.2. C¸c d¹ng bµi to¸n qui ho¹ch
tuyÕn tÝnh
* Ng­êi ta cã thÓ ®­a d¹ng tæng qu¸t vÒ d¹ng
chÝnh t¾c nÕu gÆp c¸c tr­êng hîp sau ®©y :
n

1. ∑a ij x j ≤ b i
j =1

thªm vµo vÕ tr¸i cña ph­¬ng

tr×nh mét l­îng Èn xn+i > 0, ta cã:
n

∑a
j =1

n

ij

x j ≤ b i → ∑a ij x j + (x n +i ) = b i
j =1

12


4.2.2. C¸c d¹ng bµi to¸n qui ho¹ch
tuyÕn tÝnh
* Ng­êi ta cã thÓ ®­a d¹ng tæng qu¸t vÒ d¹ng
chÝnh t¾c nÕu gÆp c¸c tr­êng hîp sau ®©y :
n

2.

∑a
j =1

ij

x j ≥ b i bít vµo vÕ tr¸i cña ph­¬ng

tr×nh mét l­îng Èn xn+i > 0, ta cã:
n

∑a
j =1

n

ij

x j ≥ b i → ∑a ij x j − ( x n +i ) = b i
j =1

13


4.2.2. Các dạng bài toán qui hoạch
tuyến tính
* Người ta có thể đưa dạng tổng quát về dạng
chính tắc nếu gặp các trường hợp sau đây :
3. Trường hợp xj 0 thì đặt tj= - xj 0
4. Trường hợp không biết dấu của ẩn xj thì đặt:
xj = xj1 - xj2 trong đó xj1 0; xj2 0
Bài toán dạng tổng quát sẽ trở thành bài
toán dạng chính tắc.
14

4.2.2. C¸c d¹ng bµi to¸n qui ho¹ch
tuyÕn tÝnh
3 - D¹ng chuÈn t¾c
Bµi to¸n cã d¹ng chuÈn t¾c lµ bµi to¸n nh­
sau:
T×m X = { xj} , j =1,.., n tho¶ m·n ®ång thêi c¸c
®iÒu kiÖn sau:
n
1)f(X)= ∑ c x → min(max)
j=1

2)gi(X)=

j

j

n −m

x i + ∑a i ,m +h x m +h = b i ; ( i =1, m)

3) xj ≥ 0; bi ≥ 0

h =1

15


4.2.2. Các dạng bài toán qui hoạch
tuyến tính

Ma trận hệ số của hệ phương trình ràng buộc có dạng
sau :
1 0 0 ... 0 a1,m+1 a1,m+2 ... a1,n
0 1 0 ... 0 a2,m+1 a2,m+2 ... a2,n
0 0 1 ... 0 a3,m+1 a3,m+2 ... a3,n
...........................
0 0 0 ... 1 am,m+1 am,m+2 ... am,n

Như vậy có thể suy ra cách nhận biết dạng chuẩn tắc
là ma trận hệ số của hệ phương trình ràng buộc kiểu m
x n phải có chứa ma trận đơn vị cấp m. 16


VÝ dô : XÐt bµi to¸n sau cã ph¶i d¹ng chuÈn
kh«ng ?
Cho f(X) = 2x1 + 5x2 + 4x3 + x4 - 5x5 min
Víi c¸c ®iÒu kiÖn rµng buéc nh­ sau :
1) x1 + 2x2 + 4x3
- 3x5
= 152
2)
4x2 + 2x3 + x4 + 3x5
= 60
3)
3x2
+ 4x5 + x6 = 36
Víi xj ≥ 0 (j=1...6)
17

Ma trận hệ số của hệ phương trình trên như sau:
1
0

0

2
4
3

4
2
0

0
1
0

3
3
4

0
0
1

Cột 1,4,6 tạo nên ma trận đơn vị cấp 3 nên bài
toán ở dạng chuẩn tắc. Các ẩn tạo nên ma trận cấp 3
là x1, x4, x6 và ta gọi chúng là các ẩn cơ bản.
Nếu có một phương án sao cho các ẩn không cơ

bản đều bằng 0 tức là nếu gọi xi = bi(i=1,2,...,m) là m
ẩn cơ bản và xi = 0 (i=m+1,...,n) là các ẩn không cơ
bản thì ta sẽ có một PA cơ bản là PA như sau :
18
Xcb = {b1, b2, b3, ..., bm, 0, 0, ...,0}


4.2.3. Phương pháp đơn hình
4.2.3.1. Tổng quan về phương pháp đơn hình
Nếu bài toán QHTT có phương án tối ưu
thì có ít nhất một đỉnh của D là phương án tối
ưu. D là đa diện lồi có 1 số hữu hạn đỉnh.
Như vậy tồn tại thuật toán hữu hạn
19


4.2.3. Phương pháp đơn hình
4.2.3.1. Thuật toán đơn hình
a. Thuật toán đơn hình chuẩn
Thuật toán đơn hình là phương pháp hoàn thiện dần lời giải,
nghĩa là từ một lời giải cơ bản, thuật toán này cho phép đi
nhanh nhất đến lời giải cơ bản tối ưu (nếu tồn tại).
Ta cần phải xác định số ẩn cơ bản, đó chính là m ẩn độc lập
trong hệ phương trình ràng buộc, đồng thời thoả mãn cả hàm
mục tiêu f(X).
Thuật toán đơn hình càng phát huy được lợi thế của nó khi áp
dụng cho những bài toán có kích thước lớn. Để đơn giản ta bắt
đầu từ việc sử dụng thuật toán đơn hình để giải bài toán
QHTT dạng chuẩn và không cần thêm các ẩn phụ cũng như các
ẩn giả.

20


Thí dụ
Xác định tập nghiệm X = { x1 , x2 , x3 , x4 }thoả mãn
đồng thời các điều kiện sau :
f(X) = 5x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 min
x1

- 2x3 + 6x4 = 12

x2 + 4x3 + 3x4 = 18

xj 0 ; j = 1,2,3,4
Giải: Từ các điều kiện ràng buộc ta
thấy có hai ẩn cơ bản là x1 và x2. Nếu cho các ẩn không cơ
bản x3 và x4 nhận giá trị 0 thì ta có :

x1 =12 ; x2 = 18 và thay vào biểu thức trên sẽ 21
được giá trị F(X)


Để có thể thấy rõ được đường hướng của các bước tiếp
theo ta biến đổi như sau :
Từ các biểu thức trên ta có :
x1 = 12 + 2x3 - 6x4
x2 = 18 - 4x3 - 3x4
Nếu đem x1 và x2 thay vào biểu thức của f(X) ta có:
f(X) = 5x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 96 + 5x3 - 32x4 min
Lời giải bước 1 như sau :

x1 = 12 ; x2 = 18 ; x3 = 0 ; x4 = 0 và giá trị hàm mục tiêu
sẽ là :F1(X) = 96. Rõ ràng giá trị F1(x) = 96 chưa phải là giá
trị nhỏ nhất vì có thể tăng giá trị của x4 để giảm f(X). Từ đây
thấy rằng dấu của các hệ số của các ẩn không cơ bản trong
biểu thức f(X) đóng vai trò quan trọng trong22việc phán xét


Một cách tổng quát, sau bước 1 ta có :
f(X) = F1(X) - 3x3- 4x4
Trong thí dụ này 3 = -5; 4 = +32.
Từ đây thấy rằng nếu sau bước1 mà có 3 và 4 đều
âm thì F1(X) là giá trị min, quá trình dừng lại và lời giải đó là
lời giải tối ưu. Nếu chỉ cần một trong hai giá trị 3 hoặc 4 là
dương thì phải tiếp tục chuyển sang bước 2. Để dễ hình dung
các bước tiến hành, ta có thể tóm tắt các bước của thuật toán
vào bảng đơn hình. Đầu tiên ta điền các kết quả của bước 1
vào bảng đơn hình như sau :
Hàng 1 của các cột CJ ghi các hệ số của xJ (ở đây
j=1,2,3,4) của hàm mục tiêu f(X).
Hàng 2 của các cột xJ ghi tên các ẩn trong hàm mục tiêu.
23
ở đây là x1, x2, x3, x4.


24


25