CHUYÊN đề TÍCH PHÂN LUYỆN THI THPT QUỐC GIA
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (396.62 KB, 31 trang )
Ngun hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12
TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hồ-0978333093
CHỦ ĐỀ 2
TÍCH PHÂN
1. Khái niệm tích phân
• Cho hàm số f liên tục trên K và a, b ∈ K. Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì:
b
F(b) – F(a) được gọi là tích phân của f từ a đến b và kí hiệu là
∫
f ( x )dx :
b
∫ f ( x )dx = F (b) − F (a)
a
a
• Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì một chữ khác thay cho x, tức là:
b
∫
a
b
b
a
a
f ( x )dx = ∫ f (t )dt = ∫ f (u)du = ... = F (b) − F (a)
• Ý nghóa hình học: Nếu hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì diện tích S của hình
b
thang cong giới hạn bởi đồ thò của y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b là: S = ∫ f ( x )dx
a
2. Tính chất của tích phân
0
•
∫ f ( x )dx = 0
•
0
b
b
a
a
b
a
a
b
∫ f ( x )dx = − ∫ f ( x )dx
• ∫ kf ( x )dx = k ∫ f ( x )dx (k: hằng số)
b
b
b
• ∫ [ f ( x ) ± g( x )] dx = ∫ f ( x )dx ± ∫ g( x )dx
a
•
a
a
b
c
b
a
a
c
∫ f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx
b
• Nếu f(x) ≥ 0 trên [a; b] thì
∫ f ( x )dx ≥ 0
a
b
• Nếu f(x) ≥ g(x) trên [a; b] thì
∫
a
b
f ( x )dx ≥ ∫ g( x )dx
a
3. Phương pháp tính tích phân
b
a) Phương pháp đổi biến số:
∫
a
f [ u( x )] .u '( x )dx =
u( b )
∫
f (u)du
u( a )
trong đó: u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K, y = f(u) liên tục và hàm hợp f[u(x)] xác đònh trên K, a, b
∈ K.
b) Phương pháp tích phân từng phần
b
Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K, a, b ∈ K thì:
b
b
∫ udv = uv − ∫ vdu
a
a
a
Chú ý: – Cần xem lại các phương pháp tìm nguyên hàm.
– Trong phương pháp tích phân từng phần, ta cần chọn sao cho
b
– Khi tính
∫
b
b
a
a
∫ vdu dễ tính hơn ∫ udv .
f ( x)dx cần chú ý xem hàm số y = f(x) có liên tục trên [ a; b] khơng ? Nếu có thì áp
a
dụng phương pháp đã học để tính tích phân đã cho còn nếu khơng thì kết luận ngay tích phân này khơng tồn tại.
Trang 1
Ngun hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12
TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hồ-0978333093
VẤN ĐỀ 1
Tính tích phân bằng cách sử dụng bảng ngun hàm
+ Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng được bảng các nguyên hàm cơ bản.
b
∫ f ( x )dx = F (b) − F(a)
+ Tìm nguyên hàm F(x) của f(x), rồi sử dụng trực tiếp đònh nghóa tích phân:
a
Chú ý: Để sử dụng phương pháp này cần phải:
– Biến đổi biểu thức để có ngun hàm.
– Nắm vững bảng các nguyên hàm.
– Nắm vững phép tính vi phân.
Bài 1. Tính các tích phân sau:
2
2
x −1
b) ∫ 2 dx
x
1
2 3 3 x +1
a) ∫ x + + e
÷dx
x
1
e
c)
−1
∫
(x
4
e2
1 1
2
d) ∫ x + + 2 + x ÷dx
x x
1
x2 − 2x
dx
e) ∫
x3
1
7
e − 3e
+ 3ln 2 +
3
3
3
e 1 2
d) e 2 + − +
3 e 3
1
b) ln 2 −
2
c)
e) ln 2 − 3
f) 4 e − 7e + 8
7
4
ĐS: a)
f)
∫
1
2
x2
−2
2
+ 4)
dx
2 x + 5 − 7x
dx
x
Bài 2. Tính các tích phân sau:
2
a)
2
∫
x + 1dx
b)
1
1
2
d)
∫(
)(
d)
(
2
3 3−2 2
3
)
)
8 2 +3
5
3
x3
dx
c)
2
x + 1 x − x + 1 dx
1
ĐS: a)
∫
e)
∫( x
2
1
4
x
−
∫1 3 3 x 2 ÷ dx
5
dx
f) ∫
x+2 − x−2
2
8
x2
)
+ x x + 3 x dx
1
b)
3 83
2 − 1÷
8
c) 125
e)
71 8 2 9 3 3
+
+
60
5
4
f)
(
1
7 7 +3 3 −8
6
)
Bài 3. Tính các tích phân sau:
1
a)
1
e2 x − 4
∫0 e x + 2 dx
b)
e 2 x −1 − e−3 x + 1
dx
d) ∫
ex
0
1
ĐS: a) e − 3
b)
1
e)
∫
(e
0
e
−1
2
−x
c)
+ 2)
e x −1
2
1
f)
dx
Bài 4.
−9e3 + 4e 2 + 4e + 1
e)
e2
∫
0
( 2015
x
÷dx
+ 1)
e −3 x
2
dx
c) e 2 − e − ln 2
x
1 − e4
d)
e4
e− x
x
e
1
−
∫1 x
2
ex
∫0 2x dx
x
2015 2
2015
−3 ÷ 2. −3 ÷
e
+ e + 1 e3 x + C
f)
2
2015
3
2015
ln −3
ln −3
e
e
Tính các tích phân sau:
Trang 2
Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12
TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hoà-0978333093
π
2
π
π
a) ∫ sin 2 x + ÷dx
6
0
π
3
d)
∫ 3 tan
2
b)
xdx
e)
π
4
b) 6 −
a)
3 3 π2
+
2
18
c)
c)
∫ ( sin 3x + cos 2 x ) dx
0
∫ ( 2 cot
2
π
6
ĐS: a) 0
Bài 5.
∫ ( 2sin x + 3cos x + x ) dx
π
3
π
4
π
6
x + 5 ) dx
f)
π
2
dx
∫ 1 + sin x
0
2+ 3
4
d) 3 3 − 3 −
π
4
e)
π
+ 3 −1
4
f) 1
Tính các tích phân sau:
π
2
1 − cos x
∫ 1 + cos x dx
b)
0
π
3
π
2
∫ sin
2
∫ ( tan x − cot x ) dx
c)
x cos 2 xdx
−
0
π
π
sin − x ÷
3
4
dx
d) ∫
e) cos 4 xdx
∫0
π
π
+ x÷
− sin
2
4
1π 1
4 −π
ĐS: a)
b) + ÷
c) 0
8 2 4
2
π
2
f)
π
6
π
4
tan x
dx
2
x
∫ cos
0
d) − ln 2
e)
1
( 3π + 7 )
32
f)
2
3
Bài 6. Tính các tích phân sau:
a)
π
2
π
2
1
b) ∫ sin x − cos x − ÷dx
x
π
π
∫ cos x − 3 ÷ dx
0
d)
π
4
∫ sin
4
3
π
3
e)
x dx
∫ cos
π
4
π
3
0
2
x dx
dx
g) ∫
x
x
0 1 + 2sin .cos
2
2
3
∫ cos
xdx
0
π
3
∫
f)
−
x
2 dx
h) ∫
x
π 1 − cos
2
6
π
2
c)
π
6
1 + cos
i)
π
2
(tan x + cot x )2 dx
π
6
∫ sin
3
x.cos3 xdx
0
VẤN ĐỀ 2
Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến
b
Dạng 1: Giả sử cần tính tích phân:
∫ f ( x )dx
.
a
Nếu f ( x ) = f [ u( x )] .u '( x ) thì :
b
u( b )
a
u( a )
∫ f ( x )dx = ∫
f (u)du
b
Dạng 2: Giả sử cần tính tích phân:
∫ f ( x )dx . Nhưng tính theo dạng 1 không được, lúc này ta chuyển về hàm
a
lượng giác. Ta thường gặp các dạng sau:
Trang 3
Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12
TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hoà-0978333093
a2 − x 2 dx
1
dx
2
2
a −x
∫
∫
a 2 + x 2 dx
1
∫ 2 2 dx
a +x
1
∫ 2 2 dx
a +x
Đặt x = a sin t
hoặc đặt : x = a cos t
∫
x 2 − a2 dx
1
dx
2
2
x −a
∫
∫
Đặt x = a tan t
Đặt x =
a
sin t
hoặc đặt : x = a cot t
a
cos t
hoặc đặt x =
ĐỔI BIẾN DẠNG 1
Bài 1. Tính các tích phân sau
1
∫ x ( 1− x)
a)
1
19
dx
∫
b)
0
0
1
∫
d)
0
( 1+ x )
2
1
x5
dx
c) ∫
1 + x2
0
dx
3
1
xdx
2x +1
1
ĐS: a)
420
x3
e)
∫x
1
1 − x dx
2
f)
0
3
1 − x 2 dx
0
2 ln 2 − 1
c)
4
7
b) −
16
∫x
1
d)
3
e)
1
3
f)
1
4
Bài 2. Tính các tích phân sau
1
1
xdx
a) ∫ 2
x +1
0
b)
∫ x x + 9dx
0
1
ln 2
2
ĐS: a)
3
b) 1
c)
x2
3
3
f)
x x2 + 4
5
∫
0
dx
∫
e)
c)
1 − x2
2 3
2
d)
∫
0
4
2
xdx
9 −1
2
∫
1 + x3
dx
x5 + 2 x3
1 + x2
1 9
e) ln
2 10
dx
0
d)
2
3
f)
15
− ln 2
4
Bài 3. Tính các tích phân sau:
1
a)
e
e x dx
∫0 e x − 1
b)
∫
1
ln 2
2
x +1
dx
d) ∫ 2
x + x ln x
1
ĐS: a) ln ( e + 1)
1 + ln xdx
x
∫
e)
0
b)
(
π
2
ex
dx
ex + 1
)
2
2 2 −1
3
f) ecos x sin xdx
∫
0
e +1
2e
2
c) ln
e x − e− x
∫0 e x + e− x dx
1
c)
d) ln ( 2 + ln 2 )
e) ln 3 − ln 2
Bài 4. Tính các tích phân sau
e
a)
∫
1
1
d)
2 + ln x
dx
2x
∫ xe
0
x2
e
b)
∫
1
4
dx
1 + 3ln x
ln xdx
x
e)
∫
1
e
ln 3
c)
0
e
x
x
∫
dx
f)
Trang 4
e x dx
(e
x
+ 1)
ln x
dx
x
1
∫
3
f) e − 1
Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12
TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hoà-0978333093
ĐS: a)
3 3−2 2
3
b)
116
135
c) 4 − 2 2
d)
1
( e − 1)
2
(
2
e) 2 e − e
)
f)
1
2
Bài 5. Tính các tích phân sau :
a)
π
2
sin 2 x
∫
cos x + 4sin x
2
0
d)
ĐS: a)
π
4
2
b)
dx
e)
2
0
cos x
4
3
b)
3
cos x sin x
dx
2
1
+
sin
x
0
∫
π
2
tan x .dx
∫
π
2
∫
−π
2
1 − ln 2
2
c) ln
c)
d)
sin 2 xdx
2
x + cos 2 x
∫ 2sin
0
π
sin − x ÷
4
dx
π
sin + x ÷
4
5
4
π
6
f)
π
6
∫ cos
2015
x sin 2 xdx
0
e)
f)
Bài 6. Tính các tích phân sau
2
a)
5
x + 1dx
∫
b)
1
e)
1
2
∫3
0
3x 2
1 − x3
f)
dx
∫
2
dx
2
x+2 + x −2
1
1
∫ 1 + ex
c)
∫
x
2
−1 x + 2
2
dx
d)
0
e
dx
g)
0
∫
ln x
∫ x dx
1
h)
xdx
1− x
2
dx
e
ln 2 x
1
1 + ln x
∫ x.
ĐỔI BIẾN DẠNG 2
Bài 1. Tính các tích phân sau
a)
1
2
1
dx
∫
b)
1 − x2
0
0
2
c)
2
−3 3
3
b)
c)
∫x
4 − x 2 dx
2
1
1
dx
e) ∫ 2
2
0 ( x + 1) ( x + 2 )
dx
d) ∫ 2
x +3
0
π
6
4− x
dx
1
3
ĐS: a)
∫
2
x3
2π
3
−
3
2
d)
f)
∫x
0
π 3
9
e)
4
xdx
+ x2 + 1
π π 3
−
4
9
f)
Bài 2. Tính các tích phân sau
a)
1
2
1
∫
1 − x2
0
3 −1
∫
d)
0
ĐS: a)
2
b)
dx
c)
0
b) π
e)
∫
−1
c)
π
4
dx
∫ 1+ x
2
0
0
dx
2
x + 2x + 2
π
6
∫
1
4 − x 2 dx
2
dx
x2 + 2x + 2
π
d)
12
f)
∫
1
e) 0
x2 −1
dx
x3
π +2
f)
8
Bài 3. Tính các tích phân sau
1
a)
∫
0
dx
b)
( 1+ x )
2 3
1
∫ x 2 x − x dx
2
e)
2
2
b) −
π
6
∫
0
0
ĐS: a)
∫x
2
2
d)
2
3
c)
π −2
8
dx
c)
x2 −1
∫
0
dx
x2
1 − x2
1
f)
(1 + x )
2 5
d)
2
2
2
3
0
e)
Trang 5
∫
f)
dx
x 2 dx
4 − x2
π 3
9
dx
Ngun hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12
TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hồ-0978333093
VẤN ĐỀ 3
Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần
Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau:
b
∫ P( x ).e
x
b
a
a
∫ P( x ).cos xdx
dx
a
Đặt u =
Đặt dv =
b
b
∫ P( x ).sin xdx
P(x)
P(x)
P(x)
e x dx
cos xdx
sin xdx
∫ P( x ).ln xdx
a
lnx
P(x)
Bài 1. Tính các tích phân sau
1
a)
∫ x.e dx
x
b)
0
π
2
∫ x .cos xdx
2
0
e
∫ ln xdx
c)
1
e
d)
∫x
3
2
ln xdx
e)
1
π
4
x
∫ cos
2
0
0
f)
∫ x( e
2x
ĐS: a) 1
dx
)
+ 3 x + 1 dx
−1
π 2 −8
b)
4
x
e4 − 1
d)
32
c) 1
e)
π
2
+ ln
4
2
f) −
9
28
Bài 2. Tính các tích phân sau
ln 2
a)
1
∫ xe dx
x
b)
0
d)
π
2
∫ ( x − 2) e
2x
dx
c)
0
∫ ( x + sin x ) cos xdx
e)
b)
e
x 2 cos xdx
f)
0
0
ĐS: a) 2 ln 2 − 1
∫
5 1 e2
−
−
4 2e 2 4
∫ x sin 2 xdx
0
2π
2
π
4
∫ x ln xdx
1
c)
1
4
d)
π 2
−
2 3
e) 4π
f)
e2 + 1
4
Bài 3. Tính các tích phân sau
e
ln x
b) ∫ x 2 dx
1
e
a)
∫ ln
3
xdx
1
π
3
d)
∫ x tan
c)
e
e
2
xdx
e)
π
4
ĐS: a) 6 − 2e
2
e
∫ ( 1 − ln x )
π2
c)
+4
2
∫
x cos xdx
0
2
∫ ln ( x +
1
dx
f)
0
1
b) −
π2
4
)
1 + x 2 dx
3π
π π2 1
−
π
3
−
−
+ ln 2 ÷
d)
4
4 24 2
Bài 4. Tính các tích phân sau
Trang 6
e)
f)
Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12
TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hoà-0978333093
π
∫ e .sin xdx
a)
x
b)
0
cos x
c)
sin 2 xdx
∫ cos ( ln x ) dx
e)
eπ + 1
2
∫ cos ( ln x ) dx
2
f)
1
1
c) e
b) 2
π
2
∫e
3x
sin 5 xdx
0
e
e
ĐS: a)
∫e
0
π
d)
π
2
π
2
1 + sin x
∫ 1 + cos x e dx
x
0
π
3
2
+1
10
d) −
eπ + 1
2
e)
f)
VẤN ĐỀ 4
Tính tích phân các hàm số có chứa giá trị tuyệt đối
b
Dạng 1: Giả sử cần tính tích phân I = ∫ f ( x) dx , ta thực hiện các bước sau:
a
+ Bước 1. Lập bảng xét dấu (BXD) của hàm số f(x) trên đoạn [a; b], giả sử f(x) có BXD:
x
f(x)
b
+ Bước 2. Tính I =
∫
x1
0
a
+
-
x2
0
+
b
x1
x2
b
a
x1
x2
f ( x) dx = ∫ f ( x )dx − ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx .
a
b
∫
Dạng 2: Giả sử cần tính tích phân I = f ( x) ± g ( x) dx , ta thực hiện:
a
b
b
b
a
a
a
Cách 1. Tách I = ∫ f ( x) ± g ( x) dx = ∫ f ( x) dx ± ∫ g ( x ) dx rồi sử dụng dạng 1 ở trên.
Cách 2.
Bước 1. Lập bảng xét dấu chung của hàm số f(x) và g(x) trên đoạn [a; b].
Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu ta bỏ giá trị tuyệt đối của f(x) và g(x).
b
b
a
a
Dạng 3: Để tính các tích phân I = ∫ max { f ( x ), g ( x)} dx và J = ∫ min { f ( x), g ( x )} dx , ta thực hiện các bước
sau:
Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số h( x) = f ( x ) − g ( x) trên đoạn [a; b].
Bước 2.
+ Nếu h( x) > 0 thì max { f ( x), g ( x)} = f ( x) và min { f ( x ), g ( x)} = g ( x) .
+ Nếu h( x) < 0 thì max { f ( x), g ( x)} = g ( x) và min { f ( x ), g ( x)} = f ( x ) .
Bài 1. Tính các tích phân sau
2
a)
2
∫ x − 2 dx
b)
0
∫
x 2 − 1 dx
e)
−3
ĐS: a) 2
∫x
5
x + 2 − x − 2 ) dx
∫(
−2
5
b)
2
− x dx
c)
0
3
d)
2
3
c) 5
∫x
2
+ 2 x − 3 dx
x
− 4 dx
0
d)
40
3
Bài 2. Tính các tích phân sau
Trang 7
3
f)
∫2
0
e) 44
f) 4 +
1
ln 2
Ngun hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12
TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hồ-0978333093
1
4
∫
a)
x − 2 dx
b)
∫ x x − a dx
(a là tham số)
e)
5
2
b)
∫
x 2 − 6 x + 9dx
f)
∫
x 3 − 4 x 2 + 4 xdx
0
1
16
−3 3
3
∫ ( x − x − 1 ) dx
−1
3
4
0
ĐS: a)
c)
−1
1
1
d)
∫
2
4 − x dx
1
3
d) − +
c) 0
a
2
5
2
e)
f)
18 3 16 2
−
+2
5
5
Bài 3. Tính các tích phân sau
2π
a)
∫
π
1 − cos 2xdx
b)
0
π
∫
d)
g)
∫
1 − sin 2xdx
2π
1 − sin xdx
e)
∫
tan 2 x + cot 2 x − 2dx
1 + cos 2xdx
∫ cos x
h)
π
6
−
b) −2 2
ĐS: a) 4 2
f)
∫
1 + cos 2xdx
0
cos x − cos3 xdx
π
2
d) −4 2
c) 2
sin x dx
π
−
2
π
0
π
3
∫
c)
0
−π
π
3
∫
π
2
e) 4 2
g) ln 3 − 2 ln 2 h) 0
f) 2 2
Bài 4. Tính các tích phân sau
4
2
2
a) ∫ max { x + 1, 4 x − 2} dx
0
∫
0
π
2
∫ max ( x , x ) dx
2
e) max ( sin x, cos x ) dx
∫
0
∫
−2
(
)
3
(
∫
)
2
b) max x , 4 x − 3 dx
−2
)
3π
4
∫ sin x − cos x dx
0
Bài 5. Tính các tích phân sau
3
f)
0
2
a) min x, x − 3 dx
(
2
c) min 1, x dx
0
3
d)
2
x
b) ∫ min { 3 , 4 − x} dx
∫(
5
c)
)
x + 2 x − 1 + x − 2 x − 1 dx
1
VẤN ĐỀ 5
Tính tích phân các hàm số hữu tỉ
- Loại 1: Nếu bậc của P(x) ≥ bậc của Q(x) thì ta thực hiện phép chia đa thức.
- Loại 2: Nếu bậc của P(x) < bậc của Q(x) và Q(x) có dạng tích nhiều nhân tử thì ta phân tích f(x) thành tổng
của nhiều phân thức (bằng phương pháp hệ số bất đònh).
Các dạng dùng phương pháp hệ số bất đònh thường gặp:
Dạng 1: Mẫu số có nghiệm đơn:
P( x )
P( x )
A
B
=
=
+
Q( x ) ( x − a)( x − b) x − a x − b
P( x )
P( x )
A
B
C
=
=
+
+
Q( x ) ( x − a)( x − b)( x − c) x − a x − b ( x − c )
Dạng 2: Mẫu số có nghiệm đơn và bậc 2 vơ nghiệm:
P( x )
P( x )
A
Bx + C
=
=
+
, với ∆ = b2 − 4ac < 0
2
2
Q( x ) ( x − m)(ax + bx + c) x − m ax + bx + c
Dạng 3: Mẫu số có nghiệm bội:
Trang 8
Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12
TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hoà-0978333093
P( x)
P( x)
A
B
=
=
+
2
2
Q( x) ( x − a )
( x − a) x − a
P ( x)
P( x)
A
B
C
=
=
+
+
3
3
2
Q( x) ( x − a )
( x − a) ( x − a) x − a
P( x )
P( x )
A
B
C
D
=
=
+
+
+
Q( x ) ( x − a)2 ( x − b)2 x − a ( x − a)2 x − b ( x − b)2
P( x )
P( x )
A
B
C
D
E
=
=
+
+
+
+
2
3
2
2
Q( x ) ( x − a) ( x − b)
x − a ( x − a)
x − b ( x − b) ( x − b)3
- Loại 3: Một số nguyên hàm ta dùng phương pháp đổi biến hoặc từng phần
Bài 1. Tính các tích phân sau
3
∫
a)
1
1
d)
1
3
x 3dx
c) ∫ 2
x + 2x + 1
0
dx
b) ∫ 2
x − 5x + 6
0
dx
x + x3
3
x
∫ ( 1+ 2x)
3
dx
x 2 dx
4
∫ ( 1− x)
e) )
0
f)
9
2
ln 3 − ln 2
ĐS: a)
2
2
1
3
c) − − 10 ln 2
4
b) 2 ln 2 − ln 3
dx
∫ x ( 1+ x)
1
d)
9
f) ln 5 − 3ln 2 +
e)
Bài 2. Tính các tích phân sau
2
a)
x2
∫ x 2 − 7 x + 12dx
d)
3
0 ( x + 1)
1
x5 + x3
c)
dx
b) −
1
8
3x 2 + 1
∫ x 3 − 2 x 2 − 5x + 6 dx
4
1
dx
e) ∫
x ( x − 1)
2
ĐS: a) 1 + 25ln 2 − 16 ln 3
d)
5
4
x
∫
dx
b) ∫
1
1
2
f)
∫
0
3
1
3
ln 2 + ln 5 +
2
2
8
e) ln 3 − ln 2
c) −
f)
( 4 x + 11) dx
x2 + 5x + 6
2 4 13 7 14
ln + ln + ln 2
3 3 15 6 5
1
ln 2
2
Bài 3. Tính các tích phân sau
1
1
dx
a) ∫ 4
x + 3x 2 + 3
0
1
d)
∫
0
ĐS: a)
b)
0
dx
(x
2
2
dx
)
+ 1 ( x + 2)
1
c)
π
9−2 3
2
)
)
e)
2
b) ln
4
9
x +1
∫2 x 2 ( x − 1) dx
c) ln
4
3
d)
∫x
2
0
3
+ 3x + 2
(
∫(x
4x − 2
5
f)
∫x
2
2
+ ln 3 − 3ln 2
3
e)
2
dx
+ 3x + 2
dx
+ 2x − 3
f)
Bài 4. Tính các tích phân sau
1
a)
x3 + x + 1
∫0 x + 1 dx
1
d)
x2
∫ ( 3x + 1)
0
ĐS: a)
11
− ln 2
6
0
b)
2 x3 − 6 x 2 + 9 x + 9
∫ x 2 − 3x + 2 dx
−1
3
dx
3
e)
∫
2
(x
b) 32 ln 2 + 19 ln 3 − 1
x4
2
− 1)
3
c)
3x 2 + 3x + 3
∫2 x3 − 3x + 2 dx
2
2
1 − x 2008
dx
f) ∫
2008
x
1
+
x
(
)
1
dx
c)
3
+ ln 5
2
Trang 9
3
4
Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12
TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hoà-0978333093
d)
2
1
ln 2 −
9
96
1
3
e)
f)
Bài 5. Tính các tích phân sau
2
1
d)
2
π
2
+ 2)
2
2
b) 3 3 −
π
3
dx
1
x3 + x + 1
dx
e) ∫
2
x
+
1
0
c) 6 +
π
16
d) −
2007
x3 + 2 x 2 + 4 x + 9
dx
c) ∫
x2 + 4
0
1
dx
−
2008
ln ( 1 + 28 ) + ln 2
2
x2 + 1
0
0
ĐS: a)
∫
b)
1
∫ ( x + 2 ) ( x + 3)
( 3x
3
1
dx
a) ∫ 2
x − 2x + 2
0
9 ln 2 − ln ( 1 + 28 )
f)
∫x
4
0
7
12
e)
x
dx
+1
1 π
−
2 3
f)
π
8
Bài 6. Tính các tích phân sau
2
a)
2
1
∫1 x ( 1 + x 4 ) dx
b)
1
1
2 − x4
dx
d) ∫
1 + x2
0
( x − 1)2
e) ∫
0 (2 x + 1)
3ln 2 − ln 5
4
ĐS: a)
b)
π
8
c)
2
1
∫0 4 + x 2 dx
4
c)
1 − x2
∫1 1 + x 4 dx
( 7 x − 1) 99
1
dx
f) ∫
0 ( 2 x + 1)
6+ 2
ln
÷
2 2 6− 2 ÷
1
d)
π 2
+
4 3
101
e) −
dx
1
9
f)
(
Bài 7. Tính các tích phân sau
4
1
a)
∫x
5
3 6
2
1 − x7
(1 − x ) dx
b)
0
d)
∫
1
dx
x (1 + x 7 )
1
168
ĐS: a)
b)
e)
3
∫
1
x ( x 4 + 1)
3
dx
∫
c)
2
dx
c)
∫
1
dx
x.( x
2
f)
x 6 (1 + x 2 )
1
1 3
ln
4 2
1
d)
e)
10
+ 1)2
x 2001
∫
1 (1 +
x 2 )1002
117 − 41 3 π
+
135
12
f)
Bài 8. Tính các tích phân sau
2
2
x3 − 1
dx
a) ∫ 3
4x − x
1
1
x7
d) ∫
2 5
0 (1 + x )
ĐS: a) b)
b)
∫
3
2
dx
c)
x
dx
4
x − 3x 2 + 2
e)
1 + x2
∫ 1+ x4
1
0 (x
2
dx
f)
1
1
8
d) 128
5x
c) ∫
2
+ 4)2
.dx
1
2002.21001
dx
1 − x2
∫ 1 + x 4 dx
1
2 −1
ln
÷
2 2 2 + 1 ÷
1
e)
f)
Bài 9. Tính các tích phân sau
2
a) ∫
1
1 − x2
x+x
1
d)
3
1
dx
b)
0
xdx
∫
4
2
0 x + x +1
ĐS: a) ln
4
5
∫
b)
.
π
3
e)
x4 +1
6
x +1
1+ 5
2
∫
1
c)
1
π
ln(2 − 3) +
4
12
dx
3
3
c)
∫
0
x2 + 1
4
2
x − x +1
d)
1
dx
π
6 3
Trang 10
f)
∫
e)
π
4
x2
x4 −1
dx
x1006
2014
+ 2 x1007 + 1
0x
f)
)
1
2100 − 1
900
dx
Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12
TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hoà-0978333093
Vấn đề 6
Tính tích phân các hàm số vô tỉ
( )
+ Dạng 1: f x = R x , m
ax + b
÷
cx + d
1
+ Dạng 2: f ( x ) = R
÷
÷
( x + a)( x + b)
(
( )
+ Dạng 3: f x = R x , n ax + b , m ax + b
+ Dạng 4:
∫
∫
a2 − x 2 dx
1
dx
2
2
a −x
+ Dạng 5:
∫
∫
a2 + x 2 dx
1
dx
a2 + x 2
∫
a+x
dx
a−x
∫
a−x
dx
a+x
+ Dạng 6:
→ đặt: t =
)
ax + b
cx + d
x+a + x+b
→ đặt: t = n.m ax + b
Đặt x = a sin t , −
π
π
≤t≤
2
2
Đặt x = a tan t , −
hoaëc: x = a cos t, 0 ≤ t ≤ π
π
π
2
hoaëc: x = a cot t , 0 < t < π
Đặt x = a cos2t
∫ ( x − a ) ( b − x ) dx
+ Dạng 7:
t=m
→ đặt:
2
Đặt x = a + ( b − a ) sin t
Bài 1. Tính các tích phân sau
1
a)
x
∫
4
d)
9x2 + 1
0 3x +
∫
0
x +1
( 1+
37
27
ĐS: a)
(
1+ 2x )
2
b)
∫3
0
)
1
4
e)
1
x 3dx
c)
4 + x2
8
dx
10 − 1
d) 2 ln 2 −
2
dx
∫
x −1
2
x +1
38
3
b) − + 4 2 ÷
25
3
e) 1 + ln
(
dx
∫
−1 1 +
27
dx
f)
x + 1 + x2
x −2
∫
3
x+ x
1
2
dx
c) 1
2 5π
3 12
3 + 2 ) − ln ( 8 + 3 )
f) 5 3 − 1 + ln ÷−
Bài 2. Tính các tích phân sau
1
a)
∫
x2 + x
0
1
d)
∫x
1+ x x
3
4
dx
b)
0
2x +1
1
2
1 − x dx
3
6
dx
c)
2
2 x − x dx
f)
b) 2 + ln 2
c) ln
3 1
−
2 12
d)
∫
0
0
2
15
e) −
Bài 3. Tính các tích phân sau
Trang 11
2
15
f)
4
3
dx
∫ 2x + 1+
2
2
e) ∫ ( x − 1)
0
ĐS: a)
∫ 1+
2x +1
4x + 1
2 x3 − 3x 2 + x
x2 − x + 1
dx
Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12
TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hoà-0978333093
1
1+ x
∫ 1+
a)
x
0
5
∫x
d)
1
3
dx
0
x2 + 1
3x + 1
3
dx
∫
e)
b) −3 + 6 ln
3
2
dx
x +1 + x + 3
2x2 + x −1
x +1
0
11
− 4 ln 2
3
ĐS: a)
∫ 3.
b)
c) −
0
x −3
9
28
c)
∫ x.
3
x + 1dx
−1
1
dx
f)
2 x 2 dx
∫ ( x + 1)
x +1
0
d)
100
9
+ ln
27
5
e)
54
5
16 − 11 2
3
f)
Bài 4. Tính các tích phân sau
1
a)
2 2
1
∫
2
x + x +1
0
2 2 3
∫
d)
dx
x4
1
3+2 3
3
ĐS: a) ln
∫
b)
x − x 3 + 2011x
x4
dx
1 2
x − x ÷ x +1
3
1
dx
1
b) 3
2
c)
0 (1 +
2
3
3 3
x ). 1 + x
d)
x2
0
x +1 + x x +1
∫ 2( x + 1) + 2
3
dx
∫
e)
c)
3
f)
3
x2
∫ (1 +
1 + x )2 (2 + 1 + x )2
0
14077 213 7
−
16
128
e) −12 + 42 ln
4
3
f)
dx
dx
19
2 4+ 2
+
ln
÷
3
4 4 − 2 ÷
Bài 5. Tính các tích phân sau
1 3
a)
∫
x
1
3
3
4
2
dx
1
1
∫
e)
0
2
∫x
2
( x + 1) x + 5
3
10 − x 2 dx
e)
c)
1 15
ln
4 7
f)
Bài 6. Tính các tích phân sau
1
2
1− x
a) ∫
− 2 x ln 1 + x ÷dx
1+ x
0
1
d)
(
)÷
b)
4 − x6
3 −π
ĐS: a)
b) 2π
2
∫
2
e)
0
1(
7 − 2 3)
16
∫
d)
π
18
e) π − 2
Bài 7. Tính các tích phân sau
1
a)
∫
x − x 2 dx
1
2
−8
b)
∫x
−3
c)
1
2
∫
2
c)
∫
1
1
2− x
dx
x+2
0
c)
( x 5 + x 2 ) 4 − x 2 dx
−2
x 2 dx
∫
dx
0
2− 3
÷
2+ 3 ÷
5 2
1
− ln ( 2 + 1) + ln 2
2
4
d)
3
f)
x
2
2
x + x2 + 1
∫
c)
x 3dx
b) − 3 + ln
ĐS: a) 6
2 5
4 − x2
dx
x
∫
b)
x 2 − 1dx
∫
d)
x − x3
dx
dx
1− x
1 − 2 x 1 − x 2 dx
0
Trang 12
f)
∫
0
f)
π 3 3
+
−4
2
2
( 3−
)
4 − x 2 dx
2x4
x 2 dx
3 + 2x − x2
Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12
TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hoà-0978333093
2014
dx
∫
d)
x + 2014
2
2
f)
dx
∫
(1 − x 2 )3
0
x 2 dx
∫
1 − x2
0
ĐS: a)
e)
2
0
2
2
π
16
b) ln 2
c)
π
3 1
+
−
12 8 8
d)
e)
f)
Bài 8. Tính các tích phân sau
1
2 2
a)
∫
x x + 1dx
2
b)
0
0
2
d)
∫ x+
6
x
∫1+
x −1
1
dx
e)
1
x3
x +1
2
dx
c)
0
2
dx
∫
2 2x + 1+
∫
f)
4x + 1
dx
x +1 + x
x4
∫
x5 +1
0
dx
Bài 9. Tính các tích phân sau
10
a)
∫
7
3
∫
0
b)
x − 2 x −1
5
d)
1
dx
x +1
3x + 1
3
1
3
2
∫ x x + 1dx
c)
0
2 3
∫
e)
dx
5
4x − 3
∫2+
3x + 1
0
3
dx
f)
2
x x +4
∫
0
x 5 + x3
1+ x
2
dx
dx
Bài 10. Tính các tích phân sau
a)
2
2
2
1+ x
dx
1− x
∫
0
b)
2
3
dx
2
x x2 −1
∫
c)
∫
1
1
dx
d)
x x3 + 1
∫
−1 1 +
dx
x + x2 + 1
Bài 11. Tính các tích phân sau
1
a)
∫x
2
3
2
1 + x dx
b)
0
2014
d)
∫
∫
1
1
x 2 + 2014dx
e)
∫
x2 + 1
x2 x2 + 1
1
dx
2
1 + x dx
0
0
c)
∫
0
f)
5
4
∫
1
VẤN ĐỀ 7
Tính tích phân các hàm số lượng giác
sin ax.sin bxdx
∫
Dạng 1: Các dạng: ∫ sin ax.sin bxdx
∫ sin ax.sin bxdx
Trang 13
dx
(1 + x 2 )3
12 x − 4 x 2 − 8dx
Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12
TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hoà-0978333093
1
cos a.cos b = 2 cos ( a − b ) + cos ( a + b )
1
Phương pháp giải: Dùng công thức biến đổi thành tổng: sin a.sin b = cos ( a − b ) − cos ( a + b )
2
1
sin a.cos b = 2 sin ( a − b ) + sin ( a + b )
sin n axdx
∫
Dạng 2:
( n∈ N )
n
∫ cos axdx
n
n −1
n −1
+ Với n lẻ : ∫ sin axdx = ∫ sin ax. sin axdx = ∫ sin ax. sin axdx
(
∫ cos
= ∫ sin 2 ax
n
)
n −1
2
(
. sin axdx = ∫ 1 − cos 2 ax
∫ sin
n
n −1
2
. sin axdx . Đặt : u = cos x
axdx . Phân tích như trên sau đó đặt: u = sin x
2
+ Với n chẵn: Sử dụng công thức hạ bậc: cos ax =
Dạng 3:
)
1 + cos 2ax
1 − cos 2ax
2
; sin ax =
2
2
ax. cos m axdx (n, m ∈ N)
+ Với n lẻ hay m lẻ : n lẻ Đặt u = cosax
;
+ Với n và m chẵn: Sử dụng công thức hạ bậc:
cos 2 ax =
1 + cos 2ax
;
2
sin 2 ax =
m lẻ Đặt u = sinax
1 − cos 2ax
1
; sin x. cos x = sin 2 x
2
2
1
∫ 1 + cos ax dx
Dạng 4:
1
dx
∫
1 − cos ax
ax
2 ax
và 1 − cos ax = 2 sin
2
2
π
sin a ± cos a = 2 sin a ± 4 ÷
π
Cần nhớ: sin a + cos a = 2 cos a − ÷
4
π
sin a + cos a = − 2 cos a − ÷
4
2
Sử dụng công thức: 1 + cos ax = 2 cos
1
∫ sin ax dx
Dạng 5:
1
dx
∫
cos ax
Phương pháp:
1
sin ax
sin ax
dx = ∫
dx . Đặt u = cos x
2
ax
1 − cos 2 ax
1
cos ax
cos ax
∫ cos ax dx = ∫ cos2 axdx = ∫ 1 − sin 2 ax dx . Đặt u = sin x
∫ sin axdx = ∫ sin
Trang 14
Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12
TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hoà-0978333093
1
∫ sin n ax dx
Dạng 6:
1
dx
∫
cos n ax
( n∈ N )
1
∫
Phương pháp: sin n ax
1
∫ cos
tan n axdx
∫
Dạng 7:
n
∫ cot axdx
Phương pháp:
n
ax
dx = ∫
dx = ∫
1
( sin
2
ax
)
1
( cos ax )
2
.
n −2
2
n −2
2
1
dx
2
sin 2 ax = ∫ 1 + tan ax
(
1
dx
2
cos 2 ax = ∫ 1 + cot ax
.
(
)
)
n −2
2
n−2
2
.
.
1
dx ; Đặt u = tan ax
sin 2 ax
1
dx ; Đặt u = cot ax
cos 2 ax
( n∈ N )
+ Biến đổi sao cho tan 2 ax làm thừa số chung
2
+ Thay : tan ax =
tan n ax
dx
∫
cos 2 ax
Dạng 8:
( n∈ N ) .
n
cot ax dx
∫ sin 2 ax
dx
Dạng 9: ∫
a.sin x + b.cos x + c
Cách 1: Phương pháp chung:
1
−1
cos 2 ax
Phương pháp: đặt u = tan ax hoặc u = cot ax
2dt
dx
=
x
1+ t2
t
=
tan
⇒
Đặt :
2
2
sin x = 2t ; cos x = 1 − t ; tan x = 2t
1+ t2
1+ t2
1- t 2
Cách 2: Phương pháp riêng: Nếu c = a 2 + b 2 .
1
1
1
1
=
= .
x −α
Ta có: a sin x + b cos x + c c 1 + cos ( x - α ) 2c
cos 2
2
a
b
; cos α =
Trong đó : sin α =
a 2 + b2
a2 + b2
1
dx
1
x −α
I= ∫
= tan
÷+ C
Khi đó :
2c cos 2 x − α c
2
2
a.sin x + b.cos x
dx
Dạng 10: ∫
c.sin x + d .cos x
a. sin x + b. cos x
B (c. cos x − d . sin x )
= A+
Phương pháp: Phân tích
c. sin x + d . cos x
c. sin x + d . cos x
Sau đó dùng đồng nhất thức tìm A, B.
Dạng 11:
a.sin x + b.cos x + m
∫ c.sin x + d .cos x + n dx
Phương pháp:
Phân tích
a. sin x + b. cos x + m
B (c. cos x − d . sin x)
C
= A+
+
c. sin x + d . cos x + n
c. sin x + d . cos x + n c. sin x + d . cos x + n
Sau đó dùng đồng nhất thức tìm A, B, C.
Trang 15
Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12
TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hoà-0978333093
Dạng 12:
dx
∫ sin ( x + a ) sin ( x + b )
Ta thực hiện theo các bước sau :
+ Bước 1: Sử dụng đồng nhất thức : 1 =
+ Bước 2: Ta được :
dx
1
sin ( a − b ) sin ( x + a ) − ( x + b )
=
sin ( a − b )
( a − b)
sin ( x − a ) − ( x − b )
∫ sin ( x + a ) sin ( x + b ) = sin ( a − b ) ∫ sin ( x + a ) sin ( x + b )
=
dx
sin ( x + a ) cos ( x - b ) − sin ( x − b ) cos ( x - a )
1
dx
∫
sin ( a − b )
sin ( x + a ) sin ( x + b )
cos ( x + b )
cos ( x + a )
1
dx −
dx
∫
sin ( a − b ) sin ( x + b )
sin ( x + a )
1
ln sin ( x + b ) − ln sin ( x + a )
=
sin ( a − b )
=
=
sin ( x + b )
1
ln
+C
sin ( a − b ) sin ( x + a )
* Chú ý: phương pháp trên cũng được áp dụng cho các dạng tích phân sau :
dx
∫ cos ( x + a ) cos ( x + b )
dx
∫ sin ( x + a ) cos ( x + b )
Dạng 13:
sử dụng đồng nhất thức : 1 =
sử dụng đồng nhất thức : 1 =
sin ( a − b )
sin ( a − b )
cos ( a − b )
.
cos ( a − b )
dx
∫ sin x + sin α
* Dùng công thức tổng thành tích biến đổi về dạng 12 rồi giải bình thường.
* Chú ý : Phương pháp trên cũng áp dụng cho các dạng tích phân sau :
dx
∫ cos x + cos α ;
Dạng 14:
dx
∫ cos x + m
dx
∫ sin x + m ;
m ≤1 .
a1 sin 2 x + b1 sin x cos x + c1 cos 2 x
dx .
∫
a2 sin x + b2 cos x
(
2
2
2
2
+ Biến đổi : a1 sin x + b1 sin x cos x + c1 cos x = ( A sin x + B cos x ) ( a2 sin x + b2 cos x ) + C sin x + cos x
+ Khi đó:
∫
( A sin x + B cos x ) ( a2 sin x + b2 cos x ) + C ( sin
2
x + cos x )
2
a2 sin x + b2 cos x
dx
= ∫ ( A sin x + B cos x ) + C ∫
a2 sin x + b2 cos x
C
dx
C
x +α
= − A cos x + B sin x +
= − A cos x + B sin x +
ln tan
+C
2
2 ∫ sin x + α
2
2
2
(
)
a2 + b2
a2 + b2
b2
a2
; cos α =
Trong đó : sin α =
.
2
2
2
a2 + b2
a2 + b22
dx
Dạng 15: ∫
2
a sin x + b sin x cos x + c cos 2 x
Trang 16
)
Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12
TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hoà-0978333093
+ Biến đổi về dạng :
∫ a sin
2
dx
dx
=∫
2
2
x + b sin x cos x + c cos x
( atan x + b tan x + c ) cot 2 x
1
dt
dx = ( 1 + tan 2 x ) dx = ( 1 + t 2 ) dx ⇔ dx =
2
cos x
1+ t2
dx
dt
=∫ 2
+ Khi đó ∫
.
2
2
a sin x + b sin x cos x + c cos x
at + bt + c
+ Đặt: t = tan x ⇒ dt =
Dạng 1
Tính tích phân lượng giác bằng cách biến đổi lượng giác
Bài 1. Tính các tích phân sau
a)
π
4
π
∫ sin 2 x cos xdx
b)
d)
∫ sin
2
e)
4
x cos xdx
0
ĐS: a) −
xdx
c)
0
0
π
2
∫ sin
2
π
2
∫ ( sin
3
0
2 1
−
2 3
b)
π
2
x + cos x ) dx
f)
3
c) 0
d)
π
32
e)
π
2
∫ cos 2 x ( sin
4
0
π
2
x + cos 4 x ) dx
cos3 x
∫0 cos x + 1 dx
4
3
f)
3π − 8
4
Bài 2. Tính các tích phân sau
π
2
π
1 + sin 2 x + cos 2 x
dx
a) ∫
sin x + cos x
π
b)
∫ cos
2
3xdx
d)
∫ (sin
4
x + cos4 x )(sin6 x + cos6 x )dx . e)
0
0
π
2
π
2
0
∫ cos 2 x(sin
4
x + cos4 x )dx
f)
0
ĐS: a) 1
b)
π
2
c)
π
−1
2
d)
cos x
∫ 1 + cos x dx
c)
6
π
2
π
2
33
π
128
∫ cos
2
x cos 2 xdx
0
e) 0
f)
π
8
Bài 3. Tính các tích phân sau
a)
ĐS: a)
π
6
2π
2
8cos x − sin 2 x − 3
∫ sin x − cos x dx
0
3 3
−6
2
b) 4 2
b)
∫
1 + sin xdx
c)
0
π
2
4sin3 x
∫ 1 + cos x dx
0
c) 2
Dạng 2
Tính tích phân lượng giác bằng phương pháp đổi biến
Bài 1. Tính các tích phân sau
a)
d)
π
4
∫ tan xdx
π
2
sin x
0
∫ 1 + 3cos x dx
π
2
π
4
∫ sin
0
2
x cos3 xdx
b)
c)
0
e)
∫ tan
π
2
∫ sin
xdx
0
Trang 17
xdx
4
xdx
0
π
3
3
3
f)
∫ tan
π
4
Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12
TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hoà-0978333093
ĐS: a)
ln 2
2
b)
2 ln 2
3
c)
2
3
d)
2
15
e)
3 − ln 2
2
f)
π +2
3
Bài 2. Tính các tích phân sau
π
3
dx
a) ∫
3
π sin x cos x
b)
4
d)
π
2
∫
e)
1 − cos3 x sin x cos 5 xdx
d)
sin x
∫0 1 + cos2 x dx
∫ cos x
b)
4
45
e) 2 − 2
∫ sin
π
6
1 + cos x
2
c) −
f)
c)
tan x
π
4
π
−1
2
ln 3 − 2
2
π
3
3
π
3
0
ĐS: a)
π
2
dx
f)
4
dx
x.cos x
π
4
∫ ( tan x + e
sin x
0
cos x ) dx
14 ln 3 8 3 2 3 1 3 − 2
+
+
+
+ ln
÷
3
2
27
3
2 3+2÷
2
ln 2 + e 2 − 1
Bài 3. Tính các tích phân sau
a)
π
2
∫ sin
4
π
2
b) sin 2 x cos x dx
∫0 1 + cos x
x cos 5 xdx
0
d)
π
4
π
3
∫ sin x ln ( cos x ) dx
e)
0
0
ĐS: a)
∫
( tan
x + 1) cos 5 x
2
b) 2 − π − 2 ln
2
π
3
sin x
2
∫ ( 1 + sin x )
3
sin 2 xdx
0
3
2+ 2
÷
÷
2
48
315
c)
π
2
dx
c) 4
f)
∫ sin
−
d)
π
3
ln 2 − 1
2
2
e)
1
dx
x + 9 cos 2 x
1
ln 2
2
f)
2π
27
Bài 4. Tính các tích phân sau
π
2
1
dx
a) ∫
π sin x
b)
3
π
2
cos x
d)
∫0 2 − cos x dx
ĐS: a)
1
ln 3
2
e)
π
2
dx
∫ 2 − cos x
π
3 3
c)
dx
0
∫ 2 + cos x
π
2
π
2
c)
0
sin x
∫ 2 + sin x dx
f)
π 3
3
d)
( 1 − sin x ) cos x
∫ ( 1 + sin x ) ( 2 − cos x ) dx
2
0
0
b)
π
2
2π π
−
3 3 2
e)
π 2π 3
−
2
9
f)
1
ln 2
2
Bài 5. Tính các tích phân sau
a)
π
2
π
2
1
∫ sin x + cos x + 1 dx
b)
−
0
d)
π
2
sin x + 7 cos x + 6
∫0 4sin x + 3cos x + 5 dx
ĐS: a) ln 2
b) −
∫
π
− ln 2
2
π
2
sin x − cos x + 1
dx
sin x + 2 cos x + 3
π
3
dx
dx
e) ∫
π
π
sin x.cos x + ÷
4
4
1
π
9 1
c)
d) + ln +
6
2
8 6
c)
π
2
0
π
3
dx
π
π
sin
x
.sin
x
+
÷
6
6
3
2
e) −
ln 3 f) 2 ln
2
2
f)
∫
Dạng 3
Tính tích phân lượng giác bằng phương pháp từng phần
Trang 18
1
∫ 4sin x + 3cos x + 5 dx
Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12
TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hoà-0978333093
Kết hợp với đổi biến
Bài 1. Tính các tích phân sau
π
3
π
2
xdx
b)
∫0 cos2 x
∫ ( 2 x − 1) cos xdx
a)
0
π
2
∫x
d)
2
e)
cos xdx
0
π
4
π
2
∫ ( 2 x − 1) cos
2
0
π
4
0
π 1
c) − ln 2
8 4
π 3
b)
− ln 2
3
ĐS: a) 1 + π
dx
∫ cos
f)
xdx
xdx
∫ 1 + cos 2 x
c)
4
0
x
1π2 π
− ÷− 1
e)
2 4 2
π2
−2
d)
4
f)
4
3
Bài 2. Tính các tích phân sau
π
4
2
∫ x tan xdx
a)
b)
0
π
2
3
∫ sin xdx
c)
b)
∫ x sin x cos
2
xdx
∫
d)
π
6
0
0
π 1
π2
ĐS: a) − ln 2 −
4 2
32
π
3
π
c)
π
3
ln ( sin x )
cos 2 x
3
3ln 2 π
ln 3 −
−
2
6
3
d)
Bài 3. Tính các tích phân sau
π
2
π
∫ sin 2 x.e
a)
2 x +1
b)
dx
sin xdx
c)
b)
2
∫ cos ( ln x ) dx
d)
1
2π
−e
e
ĐS: a)
2
0
0
π +1
∫e
2
2x
5e − 7
12
π
4
∫ ln ( 1 + tan x ) dx
0
c) sin ( ln 2 )
π
ln 2
8
d)
BÀI TẬP TỔNG HỢP
TÍCH PHÂN LƯỢNG GIÁC
Bài 1. Tính các tích phân sau
a)
π
2
π
2
cos xdx
∫ (sin x + 1)
∫
d)
0
g)
π
4
∫
0
ĐS: a)
f)
( 1 + sin 2 x )
b)
π
e2
0
π
3
e)
∫
−π
3
π
4
x cos 2 x
7
24
c) tan 6 xdx
0
cos x
dx
2 + cos 2 x
∫
∫
b) cos5 xdx
4
0
π
3
π
4
2
dx
8
15
g)
h)
∫π
−
c)
h)
x sin x
2
cos x
dx
f)
x5 + 1
dx
1 + cos 2 x
i)
d)
π
4 2
1
i)
2a
2 π
−
4 16
0
∫ 1 + cos x ÷.e
π
2
∫
0
4
13 π
−
15 4
π
2 1 + sin x
e)
x
dx
sin x.cos x
a 2 .sin 2 x + b 2 .cos 2 x
4π
2− 3
− ln
3
2+ 3
Bài 2. Tính các tích phân sau
a)
π
2
3
∫ (cos
0
x − 1) cos2 x.dx
b)
π
4
∫
0
dx
6
cos x
Trang 19
c)
π
6
1
∫ 2sin x −
0
3
dx
dx
Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12
TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hoà-0978333093
d)
ĐS: a)
I=
π
∫ 2+
π
3
π
2
dx
8 π
−
15 4
b)
sin 2 x.cos x
dx
1 + cos x
0
e)
3 sin x − cos x
28
15
f)
∫
c)
d)
π
3
∫ sin
2
x tan xdx
0
1
e) 2 ln 2 − 1
4 3
3
8
f) ln 2 −
Bài 3. Tính các tích phân sau
π
a)
d)
∫ sin
π
3
x (2 − 1 + cos 2 x )dx
b)
π
2
∫
π
4
π
6
sin x
dx
cos 2 x
∫
0
ĐS: a)
2
π
2
e)
dx
2
c)
4
sin x.cos x
∫e
sin2 x
b)
8 3−4
3
c) 2 ln
3 2
−
2 3
d)
sin 2 x
∫ ( 2 + sin x )
π
2
3
.sin x.cos x. dx
1
3−2 2
ln
2 2
2
dx
0
f)
5−2 6
1
sin2 x + dx
2
∫ sin x ×
π
6
0
π
2
−
2 3
π
2
e)
1
e −1
2
3
(π + 2)
16
f)
Bài 4. Tính các tích phân sau
a)
π
4
sin 4 x
∫
sin 6 x + cos6 x
0
d) I =
π
6
∫ sin x +
2
3
ĐS: a)
dx
1
3 cos x
0
∫
0
e)
dx
3
6
b)
b)
π
2
sin x
( sin x +
π
2
3 cos x
)
3
π
4
dx
c)
1 − 3 sin 2 x + 2 cos2 xdx
∫
f)
0
c)
∫
π
−
3
π
2
∫
0
7π
− 3 −1
12
d)
1
ln 3
4
sin x 1 − cos2 x
cos2 x
dx
sin xdx
(sin x + cos x )3
e) 3 − 3
f)
1
2
Bài 5. Tính các tích phân sau
a)
π
2
∫
0
d)
π
2
∫
0
ĐS: a)1
7sin x − 5 cos x
3
(sin x + cos x )
4
cos x sin x
cos3 x + sin3 x
b)
b)
dx
π
2
∫
0
e)
dx
1
2
c)
π
2
3sin x − 2 cos x
3
(sin x + cos x )
π
c)
dx
− tan 2 (cos x ) dx
cos2 (sin x )
0
1
∫
2
π
8
d)
1
4
e)
π
2
f)
x sin x
∫
2
0 1 + cos x
π
4
∫
cos x − sin x
3 − sin 2 x
0
f)
dx
dx
π
12
Bài 6. Tính các tích phân sau
a)
π
3
∫
0
d)
π
6
∫
0
sin x
cos x 3 + sin 2 x
π
tan x − ÷
4 dx
cos 2 x
dx
b)
2π
3
π
3
∫
π
3
e)
∫
π
6
x + ( x + sin x )sin x
sin3 x + sin2 x
cot x
dx
π
sin x.sin x + ÷
4
Trang 20
dx
c)
π
2
∫
0
π
3
f)
∫
π
4
sin 2 x
cos2 x + 4sin2 x
1
sin 2 x.cos4 x
dx
dx
Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12
TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hoà-0978333093
ĐS: a)
1 15 + 4
ln
÷
2 3 + 2 ÷
d)
π
b)
1− 3
2
+4−2 3
c)
2
3
2
2
− ln 3 ÷
3
f)
8 3−4
3
3
e)
Bài 7. Tính các tích phân sau
a)
∫
0
π
2
d)
π
π
4
∫
sin x
2
5sin x.cos x + 2 cos x
sin x − cos x
1 + sin 2 x
π
4
b)
dx
cos4 x (tan 2 x − 2 tan x + 5)
π
2
dx
sin xdx
∫
−
π
2
2
4
c)
6
4
6
3
5
e) ∫ 2. 1 − cos x .sin x.cos xdx
f)
1
1
2
ln 3 − ln 2
2
3
1
d) ln 2
2
b) 2 + ln
ĐS: a)
e)
sin 2 x
∫ sin 3x dx .
π
π
4
∫
0
2 3π
−
3 8
c)
12
91
f)
tan xdx
cos x 1 + cos2 x
1
ln(2 − 3)
4
3− 2
Bài 8. Tính các tích phân sau
a)
d)
π
2
cos 2 x
∫
3
0 (cos x − sin x + 3)
π
6
∫
0
ĐS: a) −
b)
dx
b) 2 − 2
∫
0
π
tan( x − )
4 dx
cos 2 x
1
32
π
4
e)
π
6
sin 4 x
cos2 x. tan 4 x + 1
c)
dx
3
tan x
∫ cos 2 x dx
f)
1
3
d)
∫
1− 3
2
e) −
sin 4 x
2
0 1 + cos x
π
2
∫
0
0
c) 2 − 6 ln
π
4
1 1 2
− ln
6 2 3
dx
cos x
7 + cos 2 x
f)
dx
π
6 2
Bài 9. Tính các tích phân sau
π
3
a)
∫4
π
4
d)
3
sin x.cos x
π
4
π
2
3sin x + 4 cos x
∫0 3sin 2 x + 4 cos 2 x dx
(
d)
cos3 x + cos x + sin x
x
(
)dx
b) ∫
1 + cos 2 x
0
5
)
ĐS: a) 4 8 3 − 1
π 3
+ ln 3
6
π
2
π
dx
e)
∫
π
6
b)
e)
π2
−2
4
3− 7
3
tan x
cos x 1 + cos2 x
c)
dx
c)
π
6
f)
1 15 + 4
ln
÷
2 3 + 2 ÷
f)
VẤN ĐỀ 8
Tính tích phân các hàm số mũ và logarit
Dạng 1
Trang 21
∫ sin x
π
2
∫
π
4
cos x
3 + cos 2 x
dx
π
sin x + ÷
4
dx
2sin x cos x − 3
Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12
TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hoà-0978333093
Tính tích phân các hàm số mũ và logarit bằng phương pháp đổi biến
Bài 1. Tính các tích phân sau
ln 2
a)
1
dx
x
e +5
∫
0
1
dx
d) ∫
1 − e− x
1
1 12
ln
5 7
b)
ex
dx
c) ∫ x
e
+
1
0
e− x
dx
e) ∫ − x
e +1
0
e −2 x
dx
f) ∫ − x
e +1
0
1
2
ĐS: a)
2
dx
b) ∫ x
e +4
0
1
1 + e2
÷
1+ e
1
5e
2
ln
c) ln ( 1 + e ) − ln 2
4 e+4
e +1
e +1
+ ln
÷
2
e
f) −
e) e − 2
d) ln
Bài 2. Tính các tích phân sau
ln 2
a)
∫
0
ln3
d)
ln8
1 − ex
dx
1 + ex
ex + 1
0
∫
dx
c)
e +1
ln x
dx
e) ∫
2
1 x ( ln x + 1)
x
ln 3
dx
ĐS: a) 2 − 3ln 2
b) 10
c)
374.83 − 32.33
15
d) ln
∫e
e x + 1dx
2x
ln 3
e
1
∫
b)
ln 8
ex
e
f)
1 + ln x
dx
x
∫
1
3
(
2 −1
)
e)
2 +1
1
ln 2
2
f)
4 2 −2
3
Bài 3. Tính các tích phân sau
2
a)
e2 x
∫
0 1+
e
x
1
1
dx
b)
x + e− x
0
2 x
ln(1 + x ) + 2011x
e)
∫ 2 x2 +1 dx
0 ln (ex + e)
e +1
2 3 2
5
ĐS: a) e − e + 2e − − 2 ln
÷
3
3
2
d)
d)
∫
( x 2 + x )e x
e
1
dx
c)
∫ x (e x + ln x )
dx
f)
1
(
)
b) e − ln e + 1
e) ln
e
0
xe x + 1
1
ln 2 + 1005ln ( 1 + ln 2 )
2
1
∫
2x
ln 2
2 e3 x + e 2 x − 1
0
e3 x + e 2 x − e x + 1
∫
c) −2 +
ee + 1
e
+9
dx
f) ln
dx
(
7
2
Bài 4. Tính các tích phân sau
3ln 2
dx
∫
a)
( 3 ex + 2)
0
ln 3
d)
∫e
ln 2
ĐS: a)
ln 2
2
∫
−1 + e − 2
x
3 3 1
ln − ÷
4 2 6
x
e − 1 dx
e)
∫
0
d) 2 ln 3 − 1
e)
( e2 x − 24e x ) dx
3ln 2
e x e x + 1 + 5e x − 3 e x + 1 − 15
∫
ln
2 e3 x − e 2 x
e x 4e x − 3 + 1
b) 3 − ln 2 −
ln15
c)
0
ln3
e 2 x dx
x
b)
3
dx
π
f)
16
3
∫
ln
3e x − 4dx
8
3
c) 2 − 3 ln 2 − 7 ln
3
8 − ln 5
3
f) 4( 3 − 1) −
6
5
π
3
Bài 5. Tính các tích phân sau
ln3
a)
ex
∫
(e x + 1)3
0
2
d)
∫
1
dx
2 x − 2− x
x
4 +4
−x
−2
ln 5
∫
b)
ln 2
e2 x
ex −1
dx
1
dx
6 x dx
e) ∫ x
9 + 3.6 x + 2.4 x
0
Trang 22
ln 2
∫
c)
e x − 1dx
0
e
+ 3 x 2 ln x ÷dx
1 x 1 + ln x
f) ∫
)
1 2
ln e + 9 − 3 ÷ 10 + 3
3
ln x
Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12
TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hoà-0978333093
d)
20
3
ln15 − ln14
e)
ln 3 − ln 2
2 −1
ĐS: a)
b)
2 ln 3 − ln 5
2 ln 2
c)
4 −π
2
f)
5 − 2 2 + 2e 3
3
Bài 6. Tính các tích phân sau
e2
3
e
ln x 2 + ln 2 x
a) ∫
dx
x
1
log32
e
d)
∫
x
x 1 + 3ln 2 x
3 3 4 3 4
ĐS: a)
3 − 2
8
4
1
d)
(
b)
∫
e
dx
x ln x.ln ex
ln6
c)
dx
)
3
27 ln 2
∫
dx
x
−x
e
+
6
e
−
5
ln 4
e3
e
x + ( x − 2) ln x
dx
e) ∫
x (1 + ln x )
1
e2 x
f)
2 x ln2 x − x ln x 2 + 3
dx
∫2
x
(1
−
ln
x
)
e
b) 2 ln 2 − ln 3
c) 2 + 9 ln 3 − 4 ln 2
e) e − 3 + 2 ln 2
f) −3ln 2 − 4e3 + 2e2
Bài 7. Tính các tích phân sau
e2
a)
ln 2 x − ln x 2 + 1
∫
x2
1
d)
e
∫
1
ĐS: a)
3 − 2 ln x
x 1 + 2 ln x
2(e − 1)
dx
ln( x − 1 + 1)
dx
b) ∫
x −1
2 x −1 +
3
e
2
e) ln x 2 + ln x dx
∫
x
1
dx
b) ln 2 3 − ln 2 2
2
e
4 2 −5
d)
3
e)
e3
5
c)
3 3 4 3 4
3 − 2
8
c)
∫
1
ln 3 x
dx
x 1 + ln x
e
f)
xe x + 1
∫1 x(e x + ln x) dx
15
− ln 2
4
f) ln
ee + 1
e
Dạng 2
Tính tích phân các hàm số mũ và logarit phương pháp từng phần
Kết hợp phương pháp đổi biến
Bài 1. Tính các tích phân sau
2
a)
∫ x.e
1
2x
dx
b)
0
e
d)
1
1 2 1
ĐS: a) e − e +
4
4
4
1
dx
c)
0
1 + ln 2 x
dx
x
∫
∫ x.e
−x
e)
π
2
∫e
x
f)
sin xdx
0
e−2
b)
e
c) 2 ln 2 − 1
∫ x ln ( 1 + x ) dx
0
π
2
∫( e
x
0
d)
+ cos x ) cos xdx
π
2
π
2
f) e − 1 + π
e) e + e
2
2
Bài 2. Tính các tích phân sau
e2
ln x
+ ln 2 x ÷dx
b) ∫
1 x ln x + 1
c)
π
3
2
ln x
d) ∫ 2 dx
x
1
ln(sin x)
dx
e) ∫
2
π cos x
6
ĐS: a) 2 ln 2 − 1
e3
e
ln x + ln(ln x)
dx
a) ∫
x
e
b)
1
− 2 +e
3
c) 3ln 3 − 2 ln 2 − 1
Trang 23
ln(ln x )
dx
x
2
e
∫
1
f)
ln( x + 1)
dx
x +1
0
∫
4
Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12
TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hoà-0978333093
d)
1 ln 2
−
2 2
3 ln 3 2 ln 2 π
−
−
2
6
3
e)
f) 2 2 ( ln 2 − 2 )
Bài 3. Tính các tích phân sau
a)
π
2
∫e
1
s inx
b)
.sin 2 xdx
2
∫ x ln( x + x + 1)dx
0
0
e
dx
c) 20 ln 2 − 6 ln 3 − 4
b)
d) ee +1
3
x +1
ln( x 2 + 1)
dx
f) ∫
x3
1
ln x
+ ln 2 x ÷dx
e) ∫
1 x 1 + ln x
3
3π
ln 3 −
4
12
2 2 2
e) e − −
3
3
ĐS: a) 2
ln x
2
e
x 2 + x ln x + 1 x
e dx
d) ∫
x
1
8
∫
c)
f) 2 ln 2 −
5
ln 5
8
Bài 4. Tính các tích phân sau
2
a)
∫
ln( x + 1)
x2
1
3
e)
ln x
∫
dx
b)
1
2
e
2
1 ( x + 1)
dx
f)
∫
1
c)
3
ln 3
2
1
4 π
d) .ln 2 + +
3
9 6
1
2
∫ x .ln x + x ÷dx
1
ln 3 1 1 2
+ + ln
8 2 2 3
1
3
e) − ln 3 + ln
4
2
d)
∫
0
ex
x
e +e
−x
dx
x + 9 − x)dx
2
0
ln3
ex
0
(e x + 1) e x − 1
∫
c)
e3
e)
x 2 + 9 − x)dx
10
1
ln 2 +
3
6
e +1
e
f) e –2 + ln e
e +1
0
2
1
∫ ln(
∫ ln(
c) 3ln 3 −
4
b)
4
h)
2
Bài 5. Tính các tích phân sau
1 x + 1x
a) ∫ ( x + 1 − x )e dx
1
0
1 x + 1x
(
x
+
1
−
)e dx
g) ∫
x
1
b)
2
d) ∫ x 2 .ln(1 + x 2 )dx
2
ln 2 x + e x (e x + ln 2 x)
.dx
1 + ex
ĐS: a) 3ln 2 −
1
2
1+ x
∫ x ln 1 − x ÷dx
0
ln(ln x )
∫2 x dx
e
2
f)
∫
ln x
x2
1
dx
dx
Bài 6. Tính các tích phân sau
ln 2
∫
e − 1dx
ln 3
ln2 x
a)
0
x
b)
0
∫
d)
ln 2
∫ x(e
2x
3
+ x + 1)dx
e
c)
−1
x ln x + 1
dx
ln 2
e)
∫
0
1 + 3 ln x ln x
dx
x
∫
1
ln 2
e2 x dx
ex + 1
f)
∫
0
e x dx
(e x + 1)3
Bài 7. Tính các tích phân sau
a)
π
2
x
∫ (e + cos x) cos xdx
e
b)
∫
0
1
e
π
3
ln x
+ ln 2 x dx
d) ∫
1 x ln x + 1
e)
∫
π
6
1 + ln 2 x
dx
x
ln(sin x )
2
cos x
dx
VẤN ĐỀ 9
Trang 24
e2
c)
∫
e
1
f)
∫
0
ln x + ln(ln x )
dx
x
ln( x + 1)
x +1
dx
Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12
TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hoà-0978333093
Một số tích phân các hàm số đặc biệt
Dạng 1
Tích phân của hàm số chẵn, hàm số lẻ trên đoạn [-a; a]
a
Bài toán 1: Nếu f (x) là hàm lẻ và liên tục trên đoạn [ − a, a ] thì : I =
∫ f ( x ) dx = 0
−a
Chứng minh
a
I=
0
a
−a
0
∫ f ( x)dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx (1)
−a
0
+ Xét
∫ f ( x ) dx
. Đặt: t = − x ⇒ dt = −dx ⇒ dx = −dt
−a
0
a
a
x = −a → t = a
⇒
f
x
dx
=
f
−
t
dt
=
−
f ( t ) dt
Đổi cận :
( )
( )
∫
∫
∫
x
=
0
→
t
=
0
−a
0
0
+ Thế vào (1) ta được : I = 0 (đpcm)
Bài toán 2: Nếu f (x) là hàm chẵn và liên tục trên đoạn [ − a, a ] thì I =
a
a
−a
0
∫ f ( x ) dx = 2∫ f ( x )dx
Chứng minh
a
I=
∫
0
f ( x)dx =
−a
a
∫
−a
f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx
(1)
0
0
+ Xét
∫ f ( x ) dx
. Đặt: t = − x ⇒ dt = − dx ⇒ dx = − dt
−a
x = −a → t = a
Đổi cận :
x = 0 → t = 0
0
⇒
∫
−a
a
a
0
0
f ( x ) dx = ∫ f ( −t ) dt = ∫ f ( t ) dt
a
+ Thế vào (1) ta được : I = 2 f ( x ) dx (đpcm)
∫
0
Bài toán: Cho α > 0 và f ( x ) là hàm chẵn , liên tục và xác định trên R .
f ( x)
dx = ∫ f ( x )dx
Chứng minh rằng : ∫ x
a +1
−α
0
α
α
Bài giải
I=
α
∫
0
f (x)
−α
α
f (x)
f (x)
dx = ∫
dx + ∫
dx
x
x
a +1
−α a + 1
0 a +1
x
0
+ Xét
( 1)
f ( x)
dx . Đặt t = − x ⇒ dt = − dx ⇒ dx = −dt
x
+1
∫α a
−
x = −α → t = α
x = 0 → t = 0
Đổi cận :
f ( x)
f (− t)
at f ( t )
dx
=
dt
=
∫ a x + 1 ∫0 a −t + 1 ∫0 at + 1
−α
α
0
+ Vậy :
α
f ( x)
a x f ( x)
f ( x)
dx
=
dx + ∫ x
dx = ∫ f ( x ) dx (đpcm)
Thế vào (1) ta được : ∫ x
x
∫
a
+
1
a
+
1
a
+
1
−α
−α
0
0
α
0
α
α
Trang 25
