FREE bất phương trình có chứa mẫu số nguyễn tiến chinh

x  x  2

Bài 1. Giải bất phương trình

 x  1  x
3

1.

Lời giải
Điều kiện: x  0 . Suy ra

 x  1  x  0 .
3

Bất phương trình tương đương

x  x  2   x  1  x
3

 x  x  2   x  1  2 x  x  1  x  x 3  2 x 2  2 x  1  2  x  1 x  x  1  0
3

3





  x  1 x 2  x  1  2  x  1 x  x  1  0   x  1 x 2  x  1  2 x 2  x  0
 x 2  x  1 2 x 2  x  0 







x2  x

 2
2

x 2  x 1  0



2

x 2  x  1  0  x 2  x 1  0  x 2  x  1  0  x 

1  5
.
2

5 1
.
2
Nhận xét. Đối với bất phương trình chứa mẫu số, hướng xử lý thường gặp là xét mẫu số và khử mẫu. Nghĩa là
mẫu dương thì bỏ mẫu làm cho bất phương trình không đổi dấu, còn nếu mẫu âm thì bất phương trình đổi dấu. Còn nếu
thật sự chưa biết dấu của nó thì không thể bỏ ngay được mà cần phải chia ra hai trường hợp âm, dương và bỏ mẫu hoặc
đưa về bất phương trình dạng tích – thương và xét dấu.

Đối chiếu điều kiện, bất phương trình có nghiệm duy nhất x 



x x  1 x 2

Bài tập tương tự. Giải bất phương trình



1 .
x x  1 x  x 3
Hướng dẫn
2

Điều kiện: 0  x  1 .
Ta có x x  1  x 2  x 3  x x  1  x 2  x x  1  x  0, x   0;1 .
Bất phương trình tương đương





x x  1 x 2  x x  1 x 2  x 3

 x 2  x 3  1  x 1  x 2   x 2  x 3  1  x 1  x 2   2 x 1  x 2 
 x  2 x . 1  x 2  1  x 2  0  ...  x  1  x 2 .

Đáp số: x 

5 1
.
2

Bài 2. Giải bất phương trình

1
2  x 2  x  1  x



1
x 1

.

Lời giải
Điều kiện: 0  x  1 .



2
 2  x 2  x  1  x  x 2   x  1  1  x  0
 Trường hợp 1. Nếu x   0;1 thì 
.

x

1


0

Do đó bất phương trình luôn đúng. Suy ra x   0;1 là một tập nghiệm.

2
 2  x 2  x  1  x  x 2   x  1  1  x  0
 Trường hợp 2. Nếu x  1 thì 
.

x

1

0


x 1  2  x 2  x  1  x

Do đó bất phương trình tương đương

 x  1  2  x 2  1 2 x  x  0  x 


1
 2  x    2  1  0 .


x
x

1

1
, suy ra t 2  x   2 . Bất phương trình trở thành
x
x
t  1  0
t  2t 2  2  1  0  2t 2  2  t  1   2
 t 1 .
t  2t  1  0

Đặt t  x 

1

1 5
3 5
x
.
2
2
x
 3  5 
 .
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S   0;1  
 2 


Nhận xét. Đây thuộc dạng bất phương trình chứa mẫu nhưng thật sự không biết dấu của nó thì không thể bỏ ngay

được mà cần phải chia ra hai trường hợp âm, dương và bỏ mẫu hoặc đưa về bất phương trình dạng tích – thương và xét

Với t  1 , ta được

x

1

 1  x  x 1  0  x 

dấu. Ở lời giải trên, ta đã xác định lượng
trường hợp

x 1  0 và

2  x 2  x  1  x  0 , còn

x  1 thì chưa xác định được nên chia ra 2

x 1  0 để giải.

Bài tập tương tự. Giải bất phương trình

Điều kiện: x  1 . Ta có

x 2
2  x  x  1 1
4

2



1
.
x 1

Hướng dẫn

1 3
3
2  x 4  x 2  1  1  2  x 2     1 
1  0 .

2 2
2

Bất phương trình tương đương x  2 

2  x 4  x 2  1  1
x 1

.

 Trường hợp 1. Nếu x  1 thì bpt   x  2 x  1  2  x 4  x 2  1 1
 x 2  x 1  0
1 5

 2  x 4  x 2  1  x 2  x  1  ...   2
x

.
 x  x  12  0
2


 Trường hợp 2. Nếu x  1 thì bpt   x  2 x  1  2  x 4  x 2  1  1  ...  x  1
1  5 
 .
Đáp số: S  ;1  
 2 




x x

Bài 3. Giải bất phương trình

1  2  x 2  x  1

1.

Lời giải
Điều kiện: x  0 .

1
3
3
2  x 2  x  1  2  x    
 1 nên 1  2  x 2  x  1  0 .


2
2
2
2

Ta có

Bất phương trình tương đương x  x  1  2  x 2  x  1 .
Do x  0 không là nghiệm của bất phương trình nên chia hai vế cho

1
1
x
 1  2  x    2  0 .

x
x
Đặt t  x 

x  0 , ta được

1
, suy ra t 2  x   2 . Bất phương trình trở thành
x
x

1

t  1  2 t 2  2  2  0  2t 2  2  1  t

t  1
1  t  0
t  1
  2
 
 
 t  1.
2
t  2t  1  0 (t  1)  0 t  1  0

Với t  1 , ta có

x

1
x

 1  x 

5 1
3 5
x
.
2
2

3 5
.
2
Nhận xét. Đây là bất phương trình chứa ẩn ở mẫu và nhìn thấy có chứa x với

Đối chiếu điều kiện, bất phương trình có nghiệm duy nhất x 

Bài tập tương tự. Giải bất phương trình

4 x x
2  x 2  6 x  1 1

1 .

Hướng dẫn
2  x  6 x  1  1  2 1  0 .

Điều kiện: x  0 . Suy ra

2

Bất phương trình tương đương 4 x  x  2 x 2  12 x  2 1 .
Đáp số: S   0;33  8 17  1;  .




x thì quá ngon ăn rồi.