Chứng minh bất đẳng thức bằng đạo hàm

Th vin ti liu trc tuyn min phớ - Ch kin thc

Bài 1:

Chứng minh rằng



e x >1 x

với x 0
Giải
x
Xét hàm số f x = e - 1 - x liên tục và khả vi với mọi x 0
f , x = e x - 1 , f 0 0
nếu x 0 thì f , x e x 1 0 f x đồng biến


(1)
e x - 1 - x > 0 e x > 1 x
f x > f 0
,
x
Nếu x 0 thì f x e 1 0 f x nghịch biến

(2)
e x -1- x > 0 e x > 1 x
f x > f 0
x
Từ (1),(2) e > 1 x với x 0
đpcm.

Bài 2 : ( ĐH Kiến Trúc Hà Nội )
Chứng minh rằng bất đẳng

ex 1 x

x2
2

đúng với mọi x 0

Giải
Yêu cầu bài toán



2

x
x 1 e x < 0 x 0
2

x2
x 1 e x .Ta có f , x = x 1 e x , f ,, x 1 e x 0 x 0
2
Do đó f , x nghịch biến trong x 0; f , x < f , 0 =0 với
x 0;

Xét f x

f x nghịch biến trong x 0;

2



f x < f 0 0 x 0

2

x
x
x 1 e x <0 hay e x 1 x
với x 0
2
2
x3
Bài 3: Chứng minh rằng x < sin x x với x 0
6


đpcm.

Giải
Ta hướng dẫn cho học sinh chứng minh bất đẳng thức


chứng minh sin x x x3
với x 0
sin x x 6
Ta chứng minh sin x x với x 0
Xét f x = sin x - x , f 0 0

f , x = cos x 1 <0
f x < f 0 với x 0

Ta chứng minh x




f x nghịch biến
sin x - x
(1)

3

x
< sin x
6

x3
x2
,
Xét f x sin x x
f x = cos x 1
= g x
6
2
g , x sin x x 0 với mọi x >0 g x đồng biến g x > g 0 =0

với x 0 hay f , x >0 với x 0 f x đồng biến f x > f 0 =0 với
x3
x3
0 x
< sin x với x 0
6
6
x3
Từ (1),(2) x < sin x x với x 0
6

(2)

x 0 sin x x

Bài 4: Chứng minh rằng

2 sin x 2 tan x 2 x 1 với 0 x

Giải
áp dụng bất đẳng thức côsi: 2
2 sin x 2 tan x 2

sin x

2

2. 2

tan x

sin x

.2

2

sin x tan x
1
2

f , x = cos x

1
1
2 cos 2 x
2
2
cos x
cos 2 x



f , x 0 f x đồng biến



f x = sin x tan x 2 x 0

sin x tan x 2 x hay

2

2

sin x tan x
1
2



2




2

,

cos i

2

f 0 0
2. cos 2 x.

, chứng minh rằng 2

1

. 2 0
cos 2 x

)
f x f 0 với 0 x

2 sin x 2 tan x 2 x 1 với 0 x

2. sin x

sin x tan x
1 x 1
2



Bài 5: (ĐH Dược )
Với 0 x

sin x tan x
2



với 0 x

sin x tan x 2 x

(vì cos x cos 2 x với 0 x

2

= 2 .2

tan x

2 x1

xét hàm số f x = sin x tan x 2 x với 0 x




sin x tan x
1
2

Yêu cầu bài toán Việc chứng minh


đpcm.

2

tan x

2

Giải


2


2

đpcm.

3
x 1
2

3x

với o x
2
2
1
3
cos
x
cos
x
1
3
Ta có f , x cos x

cos i
2
2
2. cos x 2
2
2
2. cos x 2
cos x cos x 1
3

3.3
. 0 f , x 0
x 0; f x đồng biến
2
2
2 cos x 2
2
1
3x


trong khoảng
sin x tan x
0 x 0;
0; 2 f x f 0
2
2
2
1

3. x

sin x tan x
x 0; . Đẳng thức xảy ra x 0
2
2
2

Xét hàm số f x sin x tan x
1
2

Mà 2

2. sin x

2

tan x

2. 2

2 sin x

2

tan x

2 .2

1
sin x tan x
2

2

2 .2

3x
2


2

2 sin x

2

tan x

2

1

x 0 .Do đó



Bài 6

2

Cho 0
Xét hàm số
Ta có f , x 2


x 0;
2

3x
2

2. sin x

3
,
4

2

x3

f x

Bài 8:



3

với 0 a 3 b a 1 thì





x x 2.b
2. x 3 b
3





với 0 a x a 1




b

2. x 3 b

2

3

2

2. x

b f a 1
3

a 1 a 1 2.b
a. a 3 2.b 3
b
3
3
2.a b
2.a 1 b
3



Giải

,

f a f





3

f x

và

3

f x đồng biến

2

đpcm.





Ta có f b b

.



a 1 a 1 2.b
a. a 3 2.b 3
.
b
3
3
2.a b
2.a 1 b

3

1

2

1
3
3
59
trên 0; , f
2
x
4 18
4
2 x3 1
3
<0 với x 0;
3
x
4
3
3
3
f x f , x 0;
0;
4
4
4
3
, 0;

4
1
3
Hay 2. 2 3 0;
đpcm.

4

Chứng minh rằng

Xét hàm số





x 0
2. sin x tan x

f x 2 x

3
f f
4
1
59
2 2
3
18

với x 0;

Giải



Bài 7:

2

3
x 1
2

Chứng minh rằng 2.

f x giảm trên



2

tan x

Đẳng thức chỉ xảy ra

0

với 0 a x a 1



đpcm.

( Đề thi thử ĐH Quảng Xương I)
Cho 0 a b



2

Chứng minh rằng a. sin a b. sin b > 2.cos b cos a
Giải
Yêu cầu bài toán
a. sin a 2 cos a > b. sin b 2. cos b
Xét hàm số f x = x. sin x 2. cos x

với 0< x
3



2

f , x sin x x. cos x 2. sin x

f , 0 0

,

f ,, x cos x cos x x. sin x 2. cos x x. sin x

(vì 0 x


2

thì sin x 0 ) nên f ,, x 0 do đó f , x 0 khi 0< x


f x là hàm số giảm trên khoảng 0;
2
a. sin a 2 cos a > b. sin b 2. cos b
hay a. sin a b. sin b > 2.cos b cos a

Bài 9:


2

f a f b với 0 a b

2

đpcm.

Chứng minh rằng 4. tan 5 0. tan 9 0 3. tan 6 0. tan 10 0
Giải
Xét hàm số f x

Ta có f , x

2. x sin 2 x
0
2. x 2 cos 2 2 x

tan x
x

với 0 x

với 5<6 thì f 5 < f 6
5
6
tan
180
180
5
6
180
180

tan

4

nếu 0




2

6. tan 5 0 5. tan 6 0

( 2)

chứng minh tương tự ta cũng có 10. tan 9 0 9. tan 10 0 (3)
Nhân từng vế (2) và (3) ta suy ra
4. tan 5 0. tan 9 0 3. tan 6 0. tan 10 0
x 2 . y y 2 .z z 2 . x
Cho x y z>0 chứng minh


x2 y2 z2
z
x
y

Giải
Bất đẳng thức

x . y z . y x .z

x2 y2 z2
x. y.z
3

2

2

3

2

3




x3 z2 z3 x2 x z x2 z2
x 3 . y 2 z 2 . y 3 x 2 .z 3
2 3 . 2 . 2 2 1
xz x 2 y 2 z 2
3
y y y
y
y
y
y y
y

x

z
đặt u= , v =
ta có u 1 v 0
y
y
nên bất đẳng thức có dạng u 3 v 2 u 2 .v 3 u.v u 2 v 2 1



)

2
5

6



f
f
, tức là
180
180

sin tan

( vì ta đã có

hàm số f x là đồng biến trên 0 x

Bài 10:





u 3 1 v u 2 .v 3 u.v 1 v 2 v 2 0 (2)
Nếu v=1 thì (2) có dạng u 2 2.u 1 0 tức là (2) đúng
Nếu 0 v 1 xét hàm số f u u 3 1 v u 2 .v 3 u.v 1 v 2 v 2
Ta có f , u 3.u 2 1 v 2.u.v 3 v 1 v 2
4

với v 1

đpcm.


f ,, u 6.u1 v 2.v 3 0 (do 0 v 1 và u 1 ) f , u là hàm số đồng biến
u 1 nên mọi u 1 ta có f , u f ' 1

khi
mà f ' 1 = v 3 4.v 3 (v 1)(v 2 v 3) >0 nên f , u 0 f (u) là hàm số đồng biến
khi u 1
Tức là 1 ta có f(u) f(1) = v2 - 2v + 1 = (v- 1)2 > 0

Vậy u3(1 - v) + u2v2 - u2v3 - uv (1 + v2) + v2 0
1>v>0
Hay

x 2 . y y 2 .z z 2 . x


x 2 y 2 z 2 với x y z 0
z
x
y

Bài 11:

Chứng minh

đpcm.

x2
ln 1 x x với mọi x 0
2

x

Giải

2

x
ln 1 x x 0

2
x2
1
x2
Xét f x = ln1 x x , x 0 , f , x =
1 x
0, x 0
2
1 x
1 x
Suy ra f x đồng biến với mọi x 0

Ta chứng minh x

x2
x2
0 ,x0 x
ln 1 x với mọi x 0
(1)
2
2
Ta chứng minh ln1 x x, x 0
Đặt g x x ln1 x , với x 0 , g 0 o
1
x
g , x 1

0 , khi x 0
1 x 1 x
g x 0 , x 0

x ln1 x 0, khi x 0
ln 1 x x , với x 0
(2)
ln 1 x x

Từ (1),(2)

Bài 12



x

x2
ln 1 x < x
2

Chứng minh rằng x

,với mọi x 0

x2

2

x
x 1

đpcm.

với x 0

x

Giải
Do x 0 nên x

x2

2

x
x 1

x



1

Hướng dẫn học sinh đưa về chứng minh
Ta chứng minh

1
x 1

1

Vì x 0 nên x 1 1

x

2

1

1 , x 0
x 1
1 1
x11 x
x1 1 2

x 0

x 1 1

5

1
x 1

1

(1)


Ta chứng minh

x

2

1

1

x 0

x 1

x 0 , g 0 0
x 1

1
1
0 , với x 0 hàm số đồng biến với x 0
g , x 1
3
2
x 1


g x g 0 0 với x 0
1
x
x
1

x 0
1 0 x 0 1

2
x 1 2
x 1
x2
x
x
1
Vậy 1
đpcm.

x , x 0
1 x
2
2
x 1
x 1
4

Bài 13: Chứng minh rằng : sin x 2 x 2 1 2 với 0 x
2


Đặt g x

1



x
1

2

Giải

Yêu cầu bài toán sin x 2 x 2 1
Xét hàm số f x = sin x 2 x 2 với 0 x

4

2

2

.

Ta có f , x =-2 sin x 3 . cos x 2. x 3 0 với 0 x
2. x 3 2.sin x . cos x
3



sin x
3

cos x

x0

sin x.cos x
2

1

3

2

1
4



2

4



2

với 0 x

0;
2


0;
2

với x 0;


Hay

2

sin x 2 x 2 1

đpcm.
Bài 14:

cos x

4
1
cos x 3 . sin 2 x 1 , g , 0 0
3

. g x > g 0 f x đồng biến

Do đó sin x 2 x 2 1

sin x
3

đặt g x = sin x.cos x x ,

x0

2
4
cos x 3 . sin 2 x với 0 x g ,, x g ,, 0 = 0
9
2

đồng biến 0; g , x > g , 0 g x đồng biến
2



f x f 1
2
2

x
1

3

g ,, x

g , x



2

1
cos x
do các vế đều dương

3
x
sin 3 x



g , x cos x 3





Cho a,b,c>0 và a 2 b 2 c 2 1 chứng minh rằng
6

4



2


x 0;
2

2


a
b
c
3. 3
2
2

2
2
2
2
b c
c a
a b

(1)

2

Giải
Từ giả thiết b c 1 a
thay vào (1) ta có
2

2

,

2

và a 2 b 2 1 c 2

c2 a 2 1 b2

3. 3
a
b
c
a
b
c
a2
b2
c2









2
2
2
2

2
2
2
2
2
2
2
2
2
b c
c a
a b
1 a
1 b
1 c
a 1 a
b 1 b
c 1 c









( do a, b ,c đều dương )
f x x 1 x x 3 x , x 0;1

Xét hàm số




f , x 3 . x 2 1

1
1
và f , x <0 x
;1
f , x >0 x 0;
3

3
1
2
1
3. 3
0< f x f


f x
2
3 3. 3

Do đó 0< a 1 a 2


2

1
3 3

2
2
a 1 a



3 3





2

a
3 3 2

.a
2
2
a 1 a

b2
3. 3 2

.b
2
2
b 1 b

Tương tự





c2
3 3 2

.c
2
2
c 1 c



Do đó
.



a

b
c
3 3
2
2

2
2
2
2
b c
c a
a b

đpcm.

2

Bài 15: Cho e x1 x 2 ..... x n y1 y 2 y 3 ...... y m và
chứng minh

n

i

i 1

i 1

i

y 1

Giải

Xét hàm số f x

m

x i y yi

m

x y
i 1

n

ln x
1 ln x
với x 0 ta có f , x
0 khi x e
x
x2

Nên f x là hàm số nghịch biến Từ giả thiết ta có

ln x n ln y1 ln y 2
ln y n
ln x1 ln x 2

............


...............
x1
x2
xn
y1
y2
yn

7


Từ đó ta có

ln y1
y1
ln y1
ln x 2 x 2.
y1
ln x1 x1.

.
ln x n x n .

Hay

ln y1

y1

n

ln y1 n
ln y1 m
. x i
. y i
y1 i 1
y1 i 1
i 1
ln y
Lại có ln y 2 y 2. . 1
y1
ln y1
ln y 3 y 3 .
y1

ln x i

(1)


ln y1
y1
m
ln y1 m
. y i
ln y i
y1 i 1

i 1
ln y n y n .

Từ (1) và (2)
n



m

i 1

i 1

m

i

i 1

n

ln x i ln y i

x y

hay

(2)

đpcm.

i

y 1

Loại 2: Dùng định lý lagrange:
1.Cơ sở để giải quyết vấn đề
Định lý lagrange: Nếu hàm số y f x liên tục trên đoạn a; b và khả vi a; b thì tồn
tại một số c sao cho a2.Bài tập
Bài1:

Chứng minh rằng.

f b f a
ba

ba
b ba
với 0 ln
b
a
a

Giải:
xét hàm số : f x ln x

f , x

8

1
1
, f , c
x
c


Hàm số f x ln x thoã mãn các yêu cầu của định lý Larange trên a; b

f b f a
1 ln b ln a


c
ba
ba
1 ln b ln a 1


b
ba
a

c a; b ta có: f , c

Do

1 1 1
b c a
ba
b ba

ln
b
a
a

a
nên

đpcm.

Bài 2. Chứng minh rằng với mọi x;y R ta có: sin x sin y x y
Giải:
,
Xét hm số f x sin t , f x cos x f , c cos c
Hm số f x sin t liên tục và khả vi trên x; y với mọi x;y R thoả mãn các điều
kiện của định lý lagrange c x; y ta có:
f , c



cos c

sin y sin x
yx

do cos c cos c 1

sin x sin y
1 sin x sin y x y x; y R
x y
ba
ba

Chứng minh rằng: 2 Tanb Tana 2 với 02
cos a
cos b


Bài 3:

f y f x
yx

cos c

Giải:
Xét hàm số f x Tanx liên tục và khả vi trên a; b
f , x

1
1
, f , c 2
2

cos x
cos c
f b f a Tanb Tana
c a; b sao cho
f , c

ba
ba
1
Tanb Tana
ba


.

Tanb Tana
2
ba
cos c
cos 2 c

Do a 2
ba
ba
ba
ba
ba

với 0

Tanb Tana
2
2
2
2
2
2
cos a cos c cos b
cos a
cos b

Bài 4: Cho x 1 và 1 chứng minh rằng x a 1 x 1
Giải:
Xét hàm số f t t a với

1 t x

Theo định lý lagrange thì tồn tại c 1; x
f , c .c 1 =

x 1 1
x 1



ta có f , t .t a1

thoả mãn f , c

x a 1 x 1 .c n1

9

f x f 1
x 1




x a 1 x 1



x 1.c a 1 x 1 ( vì x 1 0 )

c a 1 1

bất đẳng thức đúng với c> 1 và - 1 >0
hay x a 1 x 1 với x 1 và 1
Bài 5:

Chứng minh rằng: ln x 1 < x

Xét hàm số

f t ln t

đpcm.
mọi x >0

Giải

với t 1;1 x

theo định lý lagrange

f 1 x f 1
1
, f , t
ln t
1 x 1
1 ln 1 x
x x


ln 1 x 1

c
x
c 1
hay ln x 1 < x mọi x >0



c 1;1 x sao cho f , c =

đpcm.

Trường hợp gặp bài toán chưa thể vận dụng định lý lagrange được ngay việc chọn
hàm số thoã mãn các điều kiện của định lý lagrange rất quan trọng
1
Bài 6: Cho x 0 chứng minh rằng: 1

1 x

1 x

1

1

1 x

x

(1)

Giải:
Đây là dạng bài toán chưa thể vận dụng đính lý lagrănge được ngay.
Ta hướng dẫn học sinh đưa về chứng minh

1 x ln1

1
1

x ln1 với x>0

x
1 x

1
Xét hàm số f x x ln1 = xln x 1 ln x
x

1
f , x ln x 1 ln x
(2)
1 x
Xét hàm số G t lnt trên x; x 1 theo định lý lagrange thì tồn tại c : x c x 1
G x 1 G x
1
sao cho G , c

ln x 1 ln x
x 1 x
c
1
1
1
Vì c>
ln x 1 ln x >
x 1
c x 1
1
>0
f , x >0 f x đồng biến

ln x 1 ln x x 1
1
1


trên x; x 1
f x 1 > f x 1 x ln1
x ln1
x
1 x



10


1

1

1 x

hay
Bài 7:

1 x

1

1

1 x

x

đpcm.

với x>0

Cho n chứng minh rằng : x n 1 x <

1
2ne

với mọi x 0;1

Giải
Hướng dẫn học sinh chứng minh bất đẳng thức tương tương với chứng minh
bất đẳng thức

x 2 n 1 x <
x 2 n 2n1 x <



1
e

1
2 ne

với mọi x 0;1

ta có
x.xx
.........
.x
.x . (2n 2nx )
x 2n1 x

x
2n

2nx 2n 2nx


2n 1

cos i

2n

1 và 2 ta sẽ chứng minh

từ

2n 1ln2n 1 ln2n >

1

2n


2n 1



1

2 n 1

<

2 n 1

2n


2n 1

2 n 1

2

1
e

ln 2n 1 ln2n >

1
2n 1

Xét hàm số f x ln x khả vi trên 2n;2n 1 theo định lý lagrang
c 2n;2n 1 để f , c

Do 2n c 2n 1 nên
Vậy

1
1

c 2n 1
1

xn 1 x <

2ne

f 2n 1 f 2n
2n 1 2n



1
ln 2n 1 ln 2n .
c
1
ln 2n 1 ln2n >

2n 1



với mọi x 0;1 và n

đpcm.

Bài 8:

Cho 01
na n 1 b a b n - a n nb n 1 b a
Giải:
n
Xét hàm số: f x x , x a; b
( f , x nx n1 ) theo định lý lagrage thì tồn tại c a; b thoã mãn
f b f a
f c
ba
,

Nên từ (1)

bn a n
nc
b n a n n.c n 1 b a
ba
n 1
na b a b n - a n nb n 1 b a

n 1


n.a n 1 b a n.c n 1 b a n.b n 1 b a
a n 1 c n 1 b n 1 ( vì nb a 0 )

Bất đẳng thức đúng vì oVậy 1 đã được chứng minh.

11


II Kết quả thực nghiệm.
+ Sau khi được bổ sung thêm những dạng bài tập toán,học sinh đã biết mở rộng để giải
quyết thêm các dạng bài tập khác khau như giải phương trình ,giải bất phương trình,
tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất........
+ Trong các kỳ thi thử đại học Đại học, thi Đại học
+ Lớp học bồi dưỡng đã vận dụng tương đối tốt chuyên đề đạo hàm và định lý lagrange.
III Kết luận:
Hiện nay sách tài liệu, sách tham khảo, nâng cao rất nhiều ,nhất là môn toán ,môn học
được nhiều người yêu thích và đã có bề dày truyền thống
Nên việc hệ thống các dạng bài tập cho học sinh là rất quan trọng.Trên đây chỉ là một
trong các phương pháp để giúp học sinh giải quyết những bài tập thuộc dạng chứng
minh bất đẳng thức bằng phương pháp đạo hàm và định lý lagrange .
Chính vì suy nghĩ như trên nên tôi đã trình bày đề tài trên đây của mình coi đó là
một sáng kiến kinh nghiệm để cùng đồng nghiệp trong việc dạy và nâng cao cho học
sinh ôn thi đại học và thi học sinh giỏi.
Là giáo viên hơn 15 năm tuổi nghề ,với những kiến thức đã được học với những cố
gắng nổ lực của bản thân cộng với sự học hỏi của đồng nghiệp tôi luôn nghĩ rằng điều
quan trọng nhất là truyền thụ những kiến thức cơ bản cho học sinh nhưng bên cạnh đó

tôi rất coi trọng sự tìm tòi ,phát huy tính sáng tạo của các em để tạo cho các em hứng
thú say mê trong việc học toán
Trong đề tài của mình tôi đã đưa ra một số bài toán nhỏ ,mặc dù các bài toán chưa
phong phú và đa dạng , nhưng do thời lượng của đề tài , tôi xin được tạm dừng ở đây
và sẽ tiếp tục hướng dẫn cho học sinh học tập có kết quả cao hơn .Do ý muốn đi sâu
hơn nghiên cứu toán học phổ thông tôi rất mong muốn được sự góp ý ,bổ sung của các
thầy, cô giáo và các bạn đồng nghiệp để đề tài có tác dụng vào việc nâng cao bồi
dưỡng trí tuệ cho học sinh trong việc học tập toán ở trường THPT hiện tại và tương lai.
Tôi xin chân thành cảm ơn !
Quảng Xương, ngày tháng 5 năm 2007
Người viết sáng kiến

12