Cơ học kết cấu tập 2 phần 1

TS. IMGUYỄN VĂN PHƯỢNG

Cơ HỌC KẾT CẤU
T Â P I I

N H À XUẤT B Ả N XÂY D ự N G
HÀ N Ò I - 2 0 1 0


LỜI NÓI ĐẦU

C ( ỉ h ọ c k ế ỉ c ẩ u l â t ì ì ô / ỉ k ĩ t l ì i i ậ í c ơ s à } ì l ì ằ m Ịrcỉiỉi^ b ị CÌỈO k ĩ s ư v ù s i ỉ ỉ l i v i é ỉ ỉ
t ì ì i i ộ c ì ì í ị ủ n l ỉ x ú y d ự ỉ ỉ i ỉ CÔỈỈỊỈ t r ì n l ỉ ììlìữìỉiỊ k i ế n í l ỉ ử c c o ’ h ã n c ầ ì ì ĩ l ì ì ể l d ê k ế t
iiợp

vcYi c á c m ô n c h u y ê n m ô n k h á c ị ị i à i q u y ể í c ú c v ấ ỉ ì d ê ỉ i ê n ( l a a ỉ ỉ cỉ cn v i ợ c

ỉ ì ì ì ế ỉ k ế c ù ỉ ỉ í Ị ỉ i l ỉ i í v i ệ c í l i i c ô ỉ i ị j c á c c ô ỉ ì Ịị í r ì t ỉ l i x â y clựỉỉ^^.
\'â

m ôỉì

n ộ i

c lu ỉỉí>

sú c lì

c íi('ọ 'c

C V / Ììọc kếĩ cấỉi á p

h iê n

so ạ n

p lỉìi

h ợ p

\'(' )i

c lỉiiV ìì^

trìỉilì

iỊÌả ỉiiị

d ạ y

d i i ỉ ì ^ ( ' h o h ệ d à o ĩ ụ o k ĩ s ư c ủ c ỉ ỉ g ã ỉ ì l ỉ x â y (lựỉỉi>

c ô ỉiíỉ irin lì.

Đ ế p h ỉ ) h ợ p y(yi c á c h ọ c p ì ỉ ầ t ì C/IÌỴ d ị i ì l ì v ù d i é i ỉ kiựềì â i ì l o á t , s á c h d ư ợ c
h i ê ì i s o ạ n ỉ l ì ủ n l ỉ lìcỉì ĩ ậ p :

1 'r o Ịi^
ĩỉììh

ÍO C U Ì

7. Cơ học kết cấUy

tập I

2. Co học kết cấu,

tập 2

ề ìỉỏ ị c lỉiíơ ỉìiỊ n ỉK c ,
và

tlc

h ù i

ịậ p

ỊỊi^ o à i n ộ i d iiỊĩ^

liỉv ệ n

/ c i/ ) n h ủ ì n

n ộ i c ỉin ií^ l í í h t ỉ v ế ĩ c íồ n ^ ỉ l ỉ ờ i n â ỉ i i ỉ c a o
c ó

Ịilỉiẻ ii c ỏ

ỉ^ id x i ỉ ì

d ọ c

c lìâ ỉỉ

iịả n ^

íro ỉỉiỊ h iê tì s o ạ n

ílìà n li

v ù c á c d ồ ỉi^

c à n ì (/n

s ự

ìí th iix c ỉ c ò n

iỊÌììp

(/u a n

//!*//'()■/ d ụ c

k ĩ ỉìủ n iị ilỉự c lỉà ỉìh

ỉìlìtfỉìí^ k h ó
íá m

và

Ịrìỉi/i h ủ y
Ịim
và

lìic ỉi
vận

iic h ìlì k h ó i lìliữ n ^
n h ữ ỉiỊị ỷ

k iế n

(ú c
sâ u

v í c lii
liliữ ỉiịị

c lụ n ^ . 1 H y d ã
ỉliiê n

c lỏ ììịỊ ị ịỏ p

só í,
củ a

ỉỉ\ịììỉệ p .

r*m‘> ✓

• >

l á c giá

íá c
h tiỉì


Chương 5

PHƯƠNG PHÁP Lực TÍNH CÁC HỆ PHẲNG s i ê u t ĩ n h

5.1. K H Á I N IỆM VỀ HỆ P H Ẳ N G SIÈU TĨNH
1. Địn h nghĩa hệ siêu tĩnh
N hư đã biết mội hệ kết cấu biến hình và đủ liẽn kết được gọi là hệ lĩnh dịnh. Klìi hệ
tính clịnh (hình 5. la, b) chịu lải trọng chỉ cần dùng ba phương irình cân bằng lĩnh học là
có thê xác định được các phán lực và nội lực trong hệ.
a)

p

r

b)

K
)A

c)

c

D

B
Ầ ,

dì
_ A ,.
K
e)

1'
c ' D

B

1
ỉỉin h 5.1

Tuv nhiên, troiig thực tế còn ihường gập những hệ kết cấu nếu chỉ dùng các phưưna
(rình cán bằng tĩnh học thì chưa thể xác định được các phản lực và nội lực troag hệ>V í
dụ hệ dầm và hệ khung trẽn hình 5.1c, d. Mỗi hệ có thể xem là m ột m iếng cứng nhưng
đ cu được nối với mặt đất bằng bốn liên kết ihanh nên với ba phương trình cân bằng'tĩnh
học chưa đủ đc tìm được bốn phản lực Irong bốn liên kết ihanh, do đó cũng không thê
xác định được nội lực trong hệ. Riêng phần đầu thừa CD trong khung trên hình 5.1d là
ũ n h định nên có thê xác định được nội lực trong phần hệ nàv lừ ba phương trình cân
bàng tĩnh học.
Về cấu tạo hình học đế là hệ bất biến hình mỗi hệ chí cần nối với mặt đất bằng ba

licn kết thanh được bố trí hợp lí là vừa đủ. Như vậy mổi hệ thừa một liên kết thanh
ktiông cẩn thiết cho sự cấu tạo hình học nhưng vẫn cần cho sự làm việc của hệ. N hũng
hệ kếl cấu có chung những đặc điểm irên được gọi là hộ siêu tĩnh. Vậy:

■5


Hộ siêu tĩnh là hệ nếu chi dùng các phưưiia trình cân bằnỉz lĩnh học thi chưa thó xác
địn h được các phàn lực và nội lực troníí toàn hệ hay trong một \'ài phán cứa hõ.
Hệ siêu tĩnh là hệ bất biên hình \’à có liên kết thừa.
2. Bậc siêu íĩnh
Đ ế đặc trưng cho số lièn kết thừa của hệ siêu lĩnh, irong cơ học kcì cấu sử dune khái
niệm bậc siêu tĩnh.
B ậ c s i ê u t ĩ n h c ủ a h ệ sièii t ĩ nh b à n g s ố l i ê n kẽì i h ừ a tu'ưng d ư ư n u s ô l icn kcì t h a n h

ngoài số liên kết cần thiốl \'ừa đii để hệ là bất biến hình.
Nếu kí hiệu bậc siêu lĩnh là n thì từ công thức (1-5) trong chưưng 1 suy ra cỏniỉ ihiit
xác định bậc siêu tĩnh n của hệ siêu tĩnh là;
n = 3H + 2K + T + Q , - 3 D

(V I)

M ỗi hộ trên hình 5.1c, d đều có thừa một liên kết thanh thuộc các liên kẽì tưa nên dcLi
có bậc siêu tĩnh n = 1.
Tuy nhiên, không phải licn kếl Ihanh nào irong hệ siêu lĩnh cũng có Ihc xcin là liên
k ế t t h ừ a . V í d ụ l i ê n k ế t i h a n h n ằ m n a a n g tại g ố i A c ứ a d ầ m s i c u l ĩ n h I r ê n h i n h .'i.lc

kh ôn g phai là liên kêì thừa vì nếu bị loại bỏ thì hệ chí còn nôi với mặt dất bần<', ba lièn
kết thanh tháng đứng tại A, c và B song soiig với nhau nên hệ là biốM hìnli. Dc) (ió Iiioi
iro a g ba liên kết thanh thãng dứng trong hệ có lliế xcm là liên kếl thùa vì nêu bi loại bó

sẽ nhận dưực d ầ m lĩnh clịnh iưoìiu Uìig như trên hình 3. la, c,
L iên kết thanh nằm ngang lai aối tựa A
hay B trong kh u n g siêu lĩnh trèn liình 5.1d có
thể xem là liên kếl thừa vì Iiếu bị loại bỏ
c h ẳn g hạn lại gối B khung \ầ n là hệ bất biến
hình và đú liên kết như trên hình 5.1 b.
• Xét hệ siêu ũ n h trên hình 5.2a. Có thê’
XCITT hệ gồm hai miếno cứng nối \'ới nhau

M,

/77Ĩ7?
Rq .

lí

p

c

\

bằng m ột khớp tại c nên H = 0. K = 1,
T = 0, D = 2 và được nối với mặt dất bằng sô
liên kết tương đương số liên kêì thanh C() = 7.

A

Ho /

D

h

i

MqV i
b)

I

D o đó theo (5-1) bậc siêu lình cúa hệ rằng:
Hinh 5.2
n = 3 . 0 + 2.1 + 0 + 7 - 3 . 2 = 3
Liên kết n gàm tại D tương đương ba liên kết thanh có thể xem là liên kết tliừa \'l khi
bị loại bỏ và thay bằng các lưc tương ứng như trên hình 5.2b thì hệ vẫn bãì biến hình \'à
dủ liên kết.
•

Khi hệ siêu tĩnh có đủ số Hôn kết lựa nối với mặt đất thì liên kết thừa Iiằm iroim hệ đé’

nối các cấu kiện của hệ \ ới nhau, ví dụ như hệ siêu tĩnh trên hình 5.3a, b, Nếu cắl lién kcì


tiiaiih EF và thay bằng lực dọc N chưa
biế) như trên hình 5.3c, d thì hệ vẫn là
bất biến hình. N hư vậy, tiong mỗi hệ
liên kêì thanh EF được xem là liên kết
thừa và mỗi hệ có bậc siêu tĩnh n = 1.

Nếu chỉ dùng ba phương trình cân
bằng tĩnh học thì chỉ xác định được
các phán lực tại các liên kết lựa A, B
\'à nội lực irong các phần AE, BF của
hộ eòn nội lực trong phần hệ EFC chưa
thể xác định được vì chưa biết lực dọc
N trong thanh EF.
Xél hệ siêu tĩnh trẽn hình 5.4a, hệ
có đủ số liên kết tựa nôi \'ới mặt đất

Hình 5.3

\ii có một chu vi kín CDEF. Nếu cắt
liôii kèì hàn (tương đương với ba liên kết thanh) lại liết diện K nào đó thuộc chu vi kín
(-DEF \'à lliav bàng ba cạp lực iương ứng bằng nhau \'à ngược chiều như trẽn hình 5.4b
tliì hệ vẫn bất biến hình và đủ liên kết. Do đó liệ có ba bậc siêu lĩnh hay có thê nói một
chu \ i kín luôn có ba bậc siêu lĩnh.

r.

K

V kJ

Nk
E

Qk

Qk

—0—
F
K

Ỷ Qk
D

c
A
a)

b)

Ị

c)

í i r

B,

Hình 5.4
Xél hệ siêu lĩnh trên hình 5.4c, hệ cũng có đủ số liên kết lựa nối với m ặt đất và C(S
niộl chu vi kín C D E F với một khớp tại tiết diện K. Nếu cắt liên kết khớp (tương dương
hai liên kết thanh) tại K và ihay bàiiíỉ hai cặp lực tương ứng bằng nhau và ngược chiểu
như trên hình 5.4d thì hệ vẫn bất biến hình và đủ liên kết. Do đó hệ có hai bậc siêu tĩnh
hav có thể nói nếu mộl chu vi kín có một khớp đơn giản thì bậc siêu tĩnh của chu vi kín
iiiám đi một đơn \'ị.
Như vậy nếu hệ có sỏ' chu vi kín là V ihì bậc siêu tĩnh của hệ là 3V, nếu trong V chu

vi kín có K khớp đơn giản thì bậc siêu tĩnh của hệ giám đi K đơii vị. D o đó bậc siêu ũnli
n của hệ siêu tĩnh có thể được xác định theo cóng thức đơn giản sau;
n = 3 V -K

(5-2)


Khi sứ d ụ n g côn g thức (.5-2) cần
------------- cp

luôn luôn quan niệm mặt đất là một

—

-

iniếng cứng hớ.
V í d ụ 5.1: T ìm bậc siêu lĩnh của

8

A

c

__

A

B

^
ĩỉỉh

hệ trẽn hình 5.5a, b.
- Hệ trên hình 5.5a, sau khi xác
định m iếng cứng mặt đất qua các liên
kết ngàin lại A, B và c , có số chu \'i kín V = 3, số khớp đơn giản K = 0. ^riieo (5-2) bậc
siêu tĩnh của hệ bằng;
n = 3.3 - 0 = 9
- Hệ Irên hình 5.5b, sau khi xác định miếng cứng mật đất qua liên kết khớp tại A, liC'n
kết thanh tại B và liên kết ngàm tại c , có số chu vi kín V = 3, khớp phức lạp lại E tương
đương với số khớp đơn giản bằng D - 1 = 3 - 1 = 2 do đó số khớp đơn giản cùa hộ là
K = 5. T h e o (5-2) bậc siêu tĩnh của hệ bằng:
n = 3 .3 -5 = 4
3. T ín h chất của hệ siêu tĩnh
So với hộ tĩnh định lương ứng dược tạo thành sau khi loại bỏ tất cá các lién kêl thừa lừ
hệ siêu tĩnh thl hệ siêu tĩnh có những tính chất sau:
1.

C huyen vị biến d ạn g và nòi lực trong hệ siêu tĩnh nói chung nhó hoìi trong hệ lĩnh

định có cùng kích thước và tiii trọng.
V í dụ so sánh dầm đơn giản lĩnh định có hai đầu tựa khớp và dầm siẽu tĩnh có hai đáu
n gàm , có c ù ng độ cứng El, chicLi dài nhịp ỉ và cùng chịu tải trọn^ phân bô đều q như
trên hình 5.6a, b, dễ d àng thấy chuyển vị và nội lực trong d ầm siêu tình nhỏ hơn trong
d ầ m tĩnh định khá nhiều.
N hư vậy, dù n g hệ siêu tĩnh sẽ tiết kiệm được vật liệu hơn so \'ới hệ lĩnh dịnh iu'(Jng
ứng và do đó hệ siêu tĩnh hay được sử dụng trong các công trình xây dựng.

E
/Tĩh
q/

a

Í n i a i o i i
yYmax

112

M

i

i

i

i

ị

q/

--------,4

Eĩ

f

f

354

í

^

^max

384 E1 /

112

112

ỈI2
' /

(M.
27

a;
M

q/

Mmax

^ Ííĩííí 5

bì

q/'
24

ĩỉin h 5.6


2. Trong hệ siêu tĩnh phát sinh nội lực do sự
thay đổi nhiệt độ, sự chuyển vị gối tựa, sự c h ế tạo

Jb

aj

và lắp ráp không chính xác gây ra. Ví dụ:
- Khi chịu sự thay đổi nhiệt độ, dầm tĩnh định

b)

trcn hình 5.7a bị biến dạng tự do vì nhiệt nên trong

t

dầm không phát sinh phản lực và nội lực, còn dầm
sièu tĩnh trên hình 5.7b không thể biến dạng tự do,

>2 > '1

H ìn h 5.7

vì có liên kết thừa tại B ngăn cản. Tại các liên kết
xuất hiện các phản lực và trong dầm xuất hiện các
nỏi lực vì nhiệt.
- Khi liên kết lựa có chuyển vị cưỡng bức, dầm

aj

tĩnh định trên hình 5.8a chỉ bị nghiêng tự do, trong
d ầ m có chuyên vị nhưng không xuất hiện biến
d ạn g và nội lực, còn dầm siêu tĩnh trên hình 5.8b

b)

kliông thể nghiêng tự do vì có liên kết thừa tại c
ngãn cản. D ầm bị biến dạng. Tại các liên kết xuất

H ìn h 5.8

hiện các phản lực và trong dầm xuất hiện-các nội
lực do chuyển vị gối tựa gây ra.

t

- Khi hệ siêu tĩnh có sự c h ế tạo và lắp ráp không
ch ín h xác, cháng hạn chiều dài chế tạo của thanh
E F trong hệ siêu tĩnh trên hình 5.9 ngắn hơn chiều
dài thiết k ế một đoạn A, thì sau khi lắp ráp thanh

E F bị dãn ra và làm thanh AB bị uốn cong, do đó
tại các liên kết xuất hiện các phản lực và trong hệ

H ìn h 5.9

xuất hiện các nội lực do sự c h ế tạo không chính xác gây ra.
Tính chất này của hệ siêu tĩnh có thê được sử dụng để trước khi hệ chịu tải trọng tạo
ra trong hệ trạng thái biến dạng và nội lực ban đầu ngược chiều với trạng thái biến dạng
và nội lực trong hệ khi chịu tải trọng, làm cho biến dạng và nội lực tổng cộng trong hệ
nh ỏ hơn và phân bố hợp lí hơn. Do đó tiết kiệm được vật liệu hoặc tăng khả năng chịu
lực của hộ. Kết cấu có trạng thái chuyển vị và nội lực ban đầu trước khi chịu tải trọng
được gọi là kết cấu có ứng suất trước hay gọi tắt là kết cấu ứng suất trước.
3. Nội lực trong hệ siêu tĩnh phụ thuộc vào vật liệu và hình dáng, kích thước tiết diện
cúa các cấu kiện trong hệ.
Nội dung được trình bày trong các mục tiếp theo sẽ cho thấy rõ là để xác đ ịnh được
các phản lực và nội lực trong hệ siêu tĩnh thì ngoài các phưcíng trình cân bằng tĩnh học
cần bổ sung thêm các phương trình biểu thị điều kiện biến dạng và c h u y ể n vị tại m ộ t số
tiết diện trong hệ. Biến dạng và chuyến vị lại phụ thuộc vào vật liệu, hlnh d á n g và kích
thước các tiết diện của các cấu kiện, tức là phụ thuộc vào các độ cứng EA , EI, G A của


các cấu kiện. Do đó việc tính hê siêu lĩnh phức tạp hưn việc tính liệ tĩnh dịnh, cụ th£- là
cần giả định trước hình dáng và kích thước của các tiêì diện và chọn vật liệu. Trẽn cơ S(V
đó xác định nội lực và chuyển vị, rồi theo các kết quá nhận được kiếm tra lại kích Uuiớc
tiết diện đã chọn.

5.2. NỘI DUNG PHƯƠN í ;
TRỌN(Ỉ BẤT ĐÔNG

pháp

L ự c TÍNH HỆ S IÊ U TĨNH CHIU TẢI

1. Hệ cơ bản
Giả sử cần xác định nội lực và chuvển \'ị trong hệ siêu lĩnh bâì kì chịu tái trọiis Iiliư
trên hình 5.1 Oa.
Để có thể dể dàng xác định được nội lực và chuyển vị, quá trình tính không được thực
hiện trực tiếp trên hệ siêu tĩnh mà được Ihực hiện trên hệ tương ứng được suy ra từ hệ
siêu ũnh đã cho bằng cách loại bò bớt các liên kếl thừa và thiết lập các điều kiC'n bố
sung sao cho hai hệ làm việc giông nhau về lực và chuycn vị,
Hệ tương ứng được suy ra từ hệ siêu tĩnh bằng cách loại bò bớt các liên kéì thừa dưi.íc
gọi là hệ cơ bản.
Nếu chí loại bỏ một số liên kếl thừa thì hệ cư bản là siêu tĩnh cỗ bậc sièu tĩnli th.ip
hơn. Nếu loại bỏ tất cả các liên kết Ihừa Ihì hệ cơ bản là tĩnh định nên có ihế dẻ dàng xac
định được nội lực và chuyến vị. Vì váy Irong đa sô các trường hợp thường chon dùng liệ
cơ bán tĩnh định.
Có nhiều cách loại bỏ tất cả các liên kết thừa để có hệ cơ bán tĩnh dinh. Trên hình
5.10b. c, d thế hiện một số hò cơ bán lĩnh định được suy ra từ hệ siêu tĩnh trên liìiih
5.1 Oa. Vì quá trình tính được thực hiện trên hệ cơ bản nên thường chọn hệ cư bán cho
phép dễ dàng xác định được nội lực. chẳng hạn chọn hệ cơ bản là hệ tĩnh định dưn giản
có một liên kết ngàm tại B như trên hình 5. lOb.
Để thiết lập các điểu kiện bổ sung cần so sánh hệ siêu tĩnh và hệ cơ bán sao cho hai
hệ làm việc giống nhau về lực và chuyên vị.

Ẩ ..

.

'

Ẩ _

^

A

.K
ỉ/ĩứ?

c

/7777?

c)

ứ)
/fí777

H inh 5.10

10

Hình 5.11


-

Vc lực: Tại các vỊ trí loại bó liên kết trên hệ cơ bản không có các lực, còn trên hệ siêu

lĩnh tại các \'ị trí tương ứng nói chung đều có các phản lực. Do đó trẽn hệ cơ bản cần đặt

các lực tưoìig ứng \'ào vị trí các liên kết bị loại bỏ và kí hiệu là X |, X , ...... X 5 như trên
hìiìh 5.11. Nhữiig lực này chưa biết chiều và trị sô' nên được giả định có chiều bất kì và xem
là các án số cần tìm. VI lấy lực làm ẩn số nên phương pháp được gọi là phương pháp lực.
• Vể chuyển vị;
Cliuvèn vị tại vỊ trí và theo phương các liên kết bị loại bỏ trên hệ cơ bản đều tồn tại,
còn tròn hệ siêu tĩnh các chuyến vị tương ứng đều bằng không. Do đó trên hệ cơ bản cần
thiêì lập các điểu kiện là chuyến vị tưoTig ứng với vị trí và phương của các liên kết bị loại
b(') phái bằng khòng, hay nói cách khác là trong hệ cơ bán chuyển vị tương ứng với vị tn'
\’ù phương cúa ấn sổ lực X |, X , ...... do các lực X |, X 2.............. X 5 và lải trọng đã cho gây
ra phải bàng không.
A ....................
= 0 . v ớ i K = 1, 2 , . . . , 5
^K(\ i . \ 2...\5.p)
• 7'rưừng hợp lổng quát nếu hệ siêu tĩnh có n bậc siêu lĩnh và chịu tải trọng bất động
thì cũng Ihực hiện iưcmg lự như trên, sau khi chọn hộ cơ bản tĩnh định và từ việc so sánh
hệ siêu tĩnh và hệ cơ bản đế hai hệ làm việc giống nhau, điều kiện chuyển vị tương ứng
với vị trí và phương cúa ẩn số lực X|^ do các lực X |, X , ...... X|^........X|^ và tải trọng gây ra
trên hệ cơ bản phái bằng không, sẽ là:
... X...... x„ , , , = 0 - ™ K = I . 2 ........ K , . . . , n

(5-3)

II điều kiện (5-3) dược gọi là liệ phương trình cơ bản của phưcíng pháp lực. Hệ phương
trình này nghiệm đúng với tất cả các hệ luân theo cũng như không luân theo nguyên lí
cộng lác dụng.
Sau khi giải n phương trình cơ bản và tìm được các ẩn số lực X |, Xị,

X|<;...... x ^ ,

các lực này được xem là ngoại lực tác dụng trên hệ cơ bản. Lúc này các lực trên hệ cơ

bản đã biết nên có thể dễ dàng tìm được nội lực và chuyển vị trong hệ cơ bản, đó cũng
chính là nội lực và chuyến vị trong hệ siêu tĩnh do tải trọng gây ra vì các lực
K = 1 ,2,

với

n thoả mãn hệ phương trình cơ bán (5-3) tức là thoả m ãn điều kiện làm việc

giông nhau giữa hệ siêu tĩnh đã cho và hệ cơ bản tương ứng.
2. Hệ phương trình chính tác
Đối với hệ siêu tĩnh đàn hổi tuyến tính có thế áp dụng nguyên lí cộng tác dụng thì hệ
phươiig Irình c ơ bản (5-3) có thể viết dưới dạng;
'^Xk(X|.X 2.....X|<......x„,p)

^X|
với K = 1 .2 . . . . , n
Hay đê cho gọn có thể viếl là:

11


^ K (X |.X 2.....X k......x„.p) - '^Kl ■'■^K2 ■*■■■■■'"‘^KK

^Kn

0

với K = 1 ,2 , ,.., n
Trong đó:

A|<;^ - chuyển vị tương ứng \ ’ới vị trí và phương của lực

do riêng lực

gây ra

trong hệ cơ bản;
A^p - chuyển vị tương ứng với vị irí và phương của lực Xị^ do riêng tải trọng gây ra
trong hệ cơ bản.
Nếu gọi ôị^i^ là chuyển vị đơn vị tương ứng với vị trí và phương của lực X|<;
lực

do riéng

= 1 gây ra trong hệ cơ bản, Ihì theo nguyên lí cộng tác dụng có:
^Km “ ^Km ‘^tĩi
Do đó phưong trình cơ bản thứ K có dạng:
ỗ K l^ l + ố K 2 ^ 2

với K = 1, 2 „

+

+ -- + ^K n^n

=0

n

Lần lượt cho K = 1 , 2 .......n sẽ nhận được hệ n phương trình cơ bản

được gọi là hệ

phưorng trình chính lắc của phương pháp lực:
Ỗ | |X | + Ô 12X , + ... + ỗn^X|^ + ... + ỗ|„X,^ + A,^ = 0

ỗ 2 |X | + § 22X 2 + ... + ỗ,|^Xị^ + ... +

+ A 2P = 0
(5-4)

^K l^l ■'■^1^ 2X 2 +... + 5|^k^K + - - + ^Kn^n + ^Kp
Kp - 0
Ỗnl^l + ^ „ 2X 2 +... + Ỗ,,|^Xk- +... + Ỗ„^X,^ + A„p = 0
Trong đó:

ôị^i^ - được gọi là hộ số chính;
với K Tí: m được gọi là hệ số phụ;
A|<^p - được gọi là số hạng tự do.

Như vậy, các hệ số chính, hệ số phụ và số hạng tự do trong hệ phương trình chính tắc
của phưoíng pháp lực đều là chuyển vị, do đó để xác định cần vận dụng các công thức
chuyển vị trong chương 4.
a) C ách tìm hệ sô'phụ vù hệ sốchiiilì
Theo công thức chuyển vị (4-18), thay "p" bằng "m" và Aị^p =

Ak„

Km

12

,

Km m

=y

f % l i d s + ỵ íM sL d s+ y
^

J

EA

^ G

, có:

A

ds


_
Chia hai vế của biểu thức trên cho

và đặt

M

= - ^ , N|^

N

-

Q

UA số
„A' «u..
ĨX.
công thức tính hệ
phụ là

ỗKm =

(5-5)

z.

Eỉ

EA

GA

Cũng thực hiện tương tự như trên, công thức tính hộ số chính là

ỏKK = z .

'M .M .
V-. r N . N .
^
K -K ^s+ y í ^ ^ ^ d s + y
EA
E1

Q kQ

(5-6)

h
a
GA

1'rong đó:
VI

' ^ K 'Q k

■

^hức giải tích cùa m ôm en uốn, lực dọc và lực cắt do riêng lực

X(^ = 1 gây ra Irong hệ cơ bán;
M, , N

.Q-n - biểu thức giải tích của m ôm en uốn, lực dọc và lực cắt do riêng lực

X,^ = 1 gâv ra trong hệ cơ bán.

N hư vậv dễ dàng thấy;
- Hệ số phụ ôị^n-, có the có giá trị âm hoặc bằng không hay dương và theo định lí
M axw ell có

= ỗn,|<. nghĩa là các hệ số phụ bằng nhau từng đỏi m ột tại các vị trí đối

xứng qua dường chéo chứa các hệ sô' chính trong hệ phượiig trình chính tắc (5-4).
- Hệ số chính ôị^i^ luôn luôn có giá trị dưcíng.
Các công thức tính hệ số phụ (5-5) và tính hệ số chính (5-6) có thể viết dưới dạng
nhân bieu đổ là:
Ôk™ = ( M k ) ( M J + ( N k ) ( N J + ( Q k K Q „ )

(5 -7 )

5 kk = ( M k ) ( M k ) + ( N k ) ( N k ) + ( Q k ) ( Q k )

(5 ' 8 )

Trong đó:
(M |^ ), (N|<.), (Q |^) - biểu đồ mômen uốn, lực dọc và lực cát do riêng lực Xị^ = 1 gây
ra trong hệ cơ bản;
( M ^ ) , ( N ^ ) , (Q „,) - biểu đồ mômen uốn, lực dọc và lực cắt d o riêng lực

= 1 gây

ra trong hộ cơ bản.
h ) C ách úm sô' họìi^ tự do
A|^p - chuyển vị tương ứng với vị trí phương của lực X|<; do riêng tải trọng gây ra trong
hệ c ơ bản.
Do dó Aị^p có thế xác định theo công thức chuyến vị ( 4 - ỉ 8 ), ngoài ra để thể hiện ^Kp

là d o tái trọng gây ra trong hệ cơ bản, thêm chỉ số 0 vào các biểu thức nội lực do tải
trọng. Côiiíỉ thức xác định số hạng tự do là:

13


Kp

=

S 1

(3-9)
E1

EA

GA

T rong đó:
M p, Np, Qp - biểu thức m òm en uốn, lực dọc và lực cắt do riêng tải trọng gây ra trong
hệ c ơ bản.
C ông ihức tính số hạng tự do viết dưới dạng nhân biếu đồ là:
A kp = ( M k ) ( M p ) + ( N k ) ( N ; ) + ( Q k ) ( Q J )

(>10)

Trong đó:
(M " ), (N " ), (Q*’) - biểu đồ mõmen uốn, lực dọc và lực cắt riêng do riêng tải trọiiị;
gâv ra trong hệ cơ bản.

Cũng dễ dàng thấy số hạng tự do A|<;p có thể có giá trị âm, hoặc bằng không hay dương.
3. Cách tìm nội lực và chuyên vị
Sau khi giải hệ phương trình chính tắc và tìm được các ẩn số lực X |, X ,,

X(^,

x„,

đế tìm nội lực và chuyển vị tại tiết diện bất kì trong hệ siêu lĩnh có thể thực hiện như sau:
a) C ách tính trực tiếp
X em các lực đã tìm được X |, X ,...... Xị^,

x „ như ngoai lưc tác dụng trên hệ cơ hiin,

Vì hệ cơ bản là tĩnh định và làm \'iêc giống hệ siêu tĩnh nên nội lực và chuyển \'ị tại niộl
tiết diện bất kì trên hệ c ơ bản do các lực X |.

......X|^........X,, và tải trọng gây ra có thế dẻ

dàng xác định được theo các phưtmg pháp đã quen biết, kết quá nhận được cũng chính là
nội lực và chuyển vị tại tiết diệii tưoìig ứng trên hệ siêu tĩnh do tải trọng gây ra. N hư vậy:
- Biểu đồ nội lực trong hệ cơ bản do các lực X |, X 2,

Xị.^...... x „ và tải trọng gày ra

cũng chính là biểu đồ nội lực trong hệ siêu tĩnh do tải trọng aây ra.
- Để tìm chuyển vị tại tiết diện K bất kì trên hệ siêu tĩnh do tải trọng gây ra chí cần
tạo trạng thái khả dĩ "K" trên hệ cơ bản suy ra từ hệ siêu tĩnh. Đ ồng thời nhận thấy là có
nhiều cách chọn hệ cơ bản khi tính hệ siêu tĩnh theo phương pháp lực, tuy nhiên hệ cơ
bản nào cũng luôn phải làm việc giống hệ siêu tĩnh nên khi tìm chuyển vị trong hộ siêu

tĩnh có thể tạo trạng thái khả dĩ "K" trên hệ cơ bản bất kì suy ra từ hệ siêu lĩnh. T iếp đó
áp d ụ n g công thức chu yển vị (4-18);
Q k Q,

EA

■dS

(5-11)

GA

T rong đó;
^ K ’^K ’Qk ■

nội lực ở trạng thái khả dĩ "K" được lạo ra trên hệ c ơ bản

bất kì suy ra từ hệ siêu tĩnh do P|^ = 1 hay M|^ = 1 gây ra;

14


M p, N p, Qp - biếu thức nội lực trong hộ siêu tĩnh do tải trọng gây ra hay trong hệ cơ
bản tương ứng do các lực X |, X 2...... và tải trọng gây ra.
N ếu sử d ụng công thức chuvển vị ở dạng nhân biểu đồ, có:
Ak p = ( M Ỉ ) ( M k ) + ( N ° ) ( N p ) + ( Q ° ) ( Q p )

(5-12)

T ron g đó:

( M ^ ) , ( N ^ ) , (Qị^) - biểu đồ nội lực ở trạng thái khả dĩ "K" được tạo ra trên hệ cơ
bản bất kì suv ra từ hệ siêu tĩnh do P|<; = 1 hay M(^ = 1 gâv ra;
(M p ), (N p ), (Qp) - biểu đổ nội lực trong hệ siêu tĩnh do tải trọng gây ra.
-

Nên chọn hệ cơ bản để tạo trạng thái khả dĩ "K" cho phép tìm chuyển vị đơn giản và

dề dàng nhất.
h) Ccìch áp dung nguyền lí cộng tác dựng
Kí hiệu:
Sp - đại lượng nghiên cứu (phản lực, nội lực, chuyển vị) tại m ột tiết diện nào đó trên
hệ siêu tĩnh do tải trọng gây ra.
Sp - đại lượng nghiên cứu tại tiếl diện tưcíng ứng irên hệ cơ bản do riêng tải trọng
gây ra.
S|<. - đại lượng nghiên cứu lại tiết diện tương ứng trên hệ cơ bản do riêng lực X|<; = 1
gây ra với K = 1 , 2 ...... n.
Từ nội dung phương pháp lực và theo nguyên lí cộng tác dụ ng , biểu thức tổng

quát

xác định đại lượng nghiên cứu Sp do tải trọng gây ra trong hệ siêu tĩnh là:
Sp = s , x , + S j X ; +. . . + S , X , +. . . + S„X„ +s<;

( 5- 13)

Trường hợp tính hệ khung, dầm gồm những thanh thẳng, khi xác định chuyển vị có
thế bỏ qua ảnh hướng của lực dọc và lực cắt so với ảnh hưởng củ a m ỏ m en uốn. Vì vậy
khi tính các hệ số

và số hạng tự do Aị^p trong hệ phương trình chính tắc bằng nhân

biếu đồ, các biểu đồ m ôm en uốn đơn vị ( M |^ ) và biểu đồ m ố m en uốn (M p ) trong hệ cơ
ban đã được vẽ sẩn. Do đó theo (5-13) ở dạng biểu đồ, có thể vẽ trước biểu đồ m ôm en
uò'n (Mp) do tải trọng gây ra trong hệ siêu tĩnh theo biếu thức sau:
(M p ) = (M ,)X , + ( M 2 ) X , + . . . + ( M k ) X k + . . . + ( M J X „ + ( M ' ; )

(5-14)

c) C á c h v ẽ hiển dổ lực cắt theo hiểu đ ổ m ỏm en uốn
Sau khi đã vẽ được biếu đồ m ôm en uốn (Mp) trong hệ siêu tĩnh, biểu đồ lực cắt (Qp)
c ó thể vẽ theo biểu đồ m ôm en uốn (Mp) như sau:

15


- Tách từng đoạn thanh trong đó
tải trọng tác dụng là liên tục ra khỏi
hệ. Từ biểu đồ m ôm en uốn dễ dàng
xác định được m ôm en uốn tại từng
tiết diện ở hai đầu đoạn thanh.
- Sử dụng hai phương trình cân
bằng là tổng m ôm en của các lực tác
dụng trên đoạn thanh lấy với từng tiết
diện ở đầu đoạn thanh, sẽ lìm được

,

q

U|,ị= u

'C ^ f n 3 J z r r m

lực cắt tại từng tiết diện ở hai đầu
đoạn thanh. Theo kết q u ả nh ận được

Ui|,= u

m\= m'

t

»

3 ^ ^ k .

9 P
Ả

vẽ biểu đổ lực cắt trong đo ạn thanh.
Đế tiện lợi trong tính toán, lực cắt

r T T T ''i

ì r f - r a

tại từng tiết diện ở hai đ ầ u đoạn thanh
trong một số trường hợp thường gặp,
có thể xác định theo c ô n g thức chung
được lập sẵn như sau:

•

Tách ra khỏi hệ m ột đoạn thanh

iK bất kì có trục tạo thành góc a so
với phương nằm n gang và chịu tải
trọng thẳng đứng phân b ố đều q dọc
trục, các nội lực tại tiết diện ở hai đầu
đoạn thanh được giả thiết là dương
theo q u y định và được kí hiệu như
H ình 5.12

trên hình 5 .l2 a .
Từ hai điều kiện cân bằng:

= 0 và SM | = 0, có:

QiK^iK +

0

Qkì^ìK “ ^ K i + 4l|K 2

/,K =

. Suy ra:
cosa

cosa
q/

M .ị-M iK
q/
M '’ - M ‘
ro---- ------------------------------------------- _ _ c O S a
Q '^ = Q k ì = - v +
/

16

p


• Thực hiện tương tự:
- Đối với đoạn thanh trên hình 5.12b, có:

2

/

íịl
Q^=-

+

M^-M

2

(5-16)

I

- Đối với đoạn Ihanh trên hình 5.12c, có:
q/

M ^-M '

Q = — COSƠ + ------------ c o s a
2
/

q/

(5-17)

cosa

2

/

- Đối với đoạn thanh không có tải trọng tác dụng như Irên hình 5.12d, có;
Q '= Q '’ = Q =

-M
/

(3-18)

cosa

cl) C ách vẽ l)ìểii (lồ lực dọc ílieo hiểu dồ lực cắt
Đê xác định lực dọc tại các liết diện đầu thanh cần Ihực hiện như sau:
- Tách lừng núl ĩấ khói hệ
- Tại mỗi nút tliổ hiện tái trọng (nếu có) và lại các tiết diện đầu thanh quy tụ tại nút, tlieo
quy định chung Ihc liiện: lực cắt đã biết, lực dọc đã biết và lực dọc cần lìm được giá thiết là
dircmg. 1 'ừ hai phương liình cân bằng là lổng hình chiếu của các lực đặt tại nút lên hai
phưcíng giao nhau được chọn Irước phái bằng khống sẽ xác dịnh dược các lực dọc cần tìin.
Đ ể tính toán đơn giản và dỗ dàng nên tách nút theo thứ tự sao ch o tại mỗi nút chi có
hai iực dọc cần tìm, đồng thời cần chọn trục chiếu sao cho phương trình cân bằng chỉ
c h ứa một lực dọc chưa biết.
V í d ụ 5.2: Vẽ các biếu dồ nội lực và tìm góc xoay tại nút K trong khung siêu tĩnh
cliịu tải trọng cho trên hình 5.13a.

Bài giải:
1. Xác định bậc siêu tĩnh
n = 3 V - K = 3.1 - I = 2
2. Chọn hệ cơ bản tĩnh định.
—^

L o ại bỏ hai liên kết thanh tại gối
A và Ihay bằng hai ẩn số lực

bì

A

Xt

X,

tuơng ứng X| và X ị . Hệ cơ bản
n h ư trên hình 5.13b.

lỉìn h 5.13

17


3. Hệ phương trình chính tắc
Hệ có hai bậc siêu tĩnh nên hệ phương trình chính tắc hai ẩn s ố có dạng:
ô | i X , + 6 , 2X 2 + A | p = 0

ỗ2|X| +Ô22X2 + Ả2p =0
4. Xác định các hệ số và số hạng tự do của hệ phương trình chính tắc
Áp dụng các công thức (5-7), (5-8) và (5-12). T rong hệ khung, dầm khi tính chuyên
vị có thể bỏ qua ảnh hưởng của lực dọc và lực cắt nên chỉ cần vẽ các biếu đồ inôm en uốn
đơn vị ( M | ) , ( M 2 ) và biếu đồ m ôm en uốn (M p) lần lượt do X | = 1, X 2 = ] và lải trọng
gâv ra trên hệ cơ bản như trên hình 5.14a, b, c.

a

/2

(Mo)

à)

c)

x^=1
H ình 5.14

Do đó:
2EI

3

EI

Ô22-(M2)(M2) = —
2E1 3

3 EI

3 EI

5
ĩ
/tTì
X
a.a a
8 „ = 5 ,,= (M ,)(M ,)--—
=

A,

= (M , K M " ) =

■

ỉ
3 2 EI 4

A2 p = ( M 2 ) ( M ; ) = -

qa^ ã
2

ã _

EI 2

la

a
2

EI

.a = Ỉ í ỉ ỉ l
8 EI

1
4 EI

Thay các kết quả đã tính được vào hệ phưcíng trình chính tắc có:
a

4
—X I

E1 3 '
aV

EI .
18

1

5
X 9 -ị— oa

2 -

8^

=0

=0


5. (,íiâi hệ phương trình chính tắc
3
3
X| = - —C]a; X:, = — qa
' 7 - 2 8

n n i đươc các aii số là:

6 . Vẽ biểu đ ồ niòmen UỎÌI (Mj,)

Áp dụng biểu ihức (5-14) có:
(Mp) = (M ,)X , + ( M , ) X , + { M ' ’)
Do dó iheo ng uy ên lí cộna tác dụng cần:
- Vẽ biếu đồ m ô m en uốn:
3q a

và ( M ,) = ( M , ) X . = ( M , ) - ; ^ q a
28

như trêii hình 5.13a, b. Trong dó Ihớ căng irong biếu dồ (M |) phải ngược chiều với thớ
căng tid n s biếu đồ ( M | ) vì X| mang giá Irị àm nên có chiều ngược với chiều được giả
định khi chọn h ê cơ bản.
14

-

qa^ _ 3,5qa

(M,)

bì

cj

lỉin h 5.15
-

Trên lừng đo ạn Ihanh xác định giá trị m ỏinen uốn trong biểu đồ (Mp) tại tiết diện ớ

liai đẩu đoạn thanh bằng cách cộng giá trị m ôm en uốn tại tiết diện tương ứng trong biếu
dồ (M |), (M 2) và ( M p ) . Khi đoạn thanh chịu lải trọng phân bô' liên tục thì m ôinen uốn
tại tiết diện giữa đoạn được xác định theo cách treo biểu đồ.
T hanh KB: k hô ng có tải trọng tác dụng, biếu đồ mỏmcn uốn là một đoạn thẳng
. .

^K B ^

J3

T

qa'
„ ua
1
2 /
- V
+ 0 - - ^ = = — —qa (căng trên)

...2
3 _ 2
^BK = - q a + —
7 ■
28 ■

1 ..„2
1 .„.2 .
^
qa = — qa (cáng dưới)
2 ‘

28

Tlianh AK: chịu tải trọng phân bố đều nên biểu đồ mỏincn uốn là đường cong bậc hai,
M|^.^ = —q a ' + 0 - —qa" = — 1- q a " (căng bên trái)
Biêu đồ m ô n ien uốn (M,,) đưưc vẽ như trên hình 5.15c.

19


7. Vẽ biểu đồ lực cắt theo biếu đồ m ô m e n uốn
Thanh KB: Lực cắl là hàng số, theo (5-18) với c o s a = 1 có:
^

^

c

'

14
Q

kb

- Q BK
hk -

/

3

a

qa

28

Thanh AK: biếu đổ lực cắt là đường thẳng bậc nhất. Chọn vị trí người quan sá( tlieo
quy định và theo (5-16) có:
-0

14

,^q/

3
= fia

a
í

qa14

VKA

^

2

1

2

-0
4
= -ỷ c ,a

Biểu đồ lực cắt (Qp) dược vẽ nh ư trên hình 5 . lóa.
K ™ E™ B

ai

(Qp)

yp

n ^ Q l = 7 qa

N in h 5.16
8 . Vẽ biểu đồ lực dọc theo biểu đồ lực cắt

Trong trường hợp này lực dọc trong các thanh là một hằng số. Tách nút K ra khói hệ
và theo quy định thê hiện các lực cắt đã biết tại các tiết diện đầu thanh quy tụ lại nút. các
lực dọc N(^|J,

chưa biếl được giả sử là dương như trên hình 5.16b. Từ các phương

trình cân bằng của nút K:
4
4

= 0 có; N |<.3 + —qa = 0 , suy ra: Nị^g = - —qa (lưc nén)
(K) '
”7
V3
3
2 ^ p ^ = 0 có: N k a + — qa = 0 , s u y r a : N K A = ~ : ^ q a (lực nén)
(K)

Biểu đồ lực dọc được vẽ như trên hình 5 . lóc.
Tách nứt B và nút A và cũng thực hiện tương tự như đối với nút K, sẽ tìm được các
phản lực tại ngàm B và khớp A như trên hình 5.16d, e. Dễ dàng thấy ngoại lực và các
phán lực trên hệ siêu tĩnh thoả m ãn các điểu kiện cân bằng của hệ (hình 5 .1 7a).

20


9. Tiin góc xoav lại nút K
T ạo irạnu ihái khả dĩ "K": Trên hộ cơ bản. tại tiếl diện K đặt m ô m e n M k = I, vẽ biếu
(ỉổ (M'|^) như licn hình 5 .1 7b. Tlieo (5-12) có :

> H g= yqa

qa'

a

J

qa'

14 2E1
qa

a

7

,‘Pki

28 2EI

V'

(rad)

A

56 E1

H,= fqa

N hư vậy các dầu ihanh quv lụ tại

b)

aj

"K"

(M^)

L —..-----------

IIÚI cứng K đéu xoav ngược chiều
kim đ ổn g hổ một góc như nhau và

Hình 5.17

làm hệ bị biến dạiig tlieo dường dứt
néi như trêii hình 5.1 7a.
V í d ụ 5.2: Vẽ các biêu dồ nội lực và tìm chuvển vị thánt> tương đối theo phương
Iigang giữa hai khớp F \'à 1 irong khung siêu tĩnh chịu tái trọng như trên hình 5 . 18a.

R»=

Hình 5.18
B à i giải:
1. Bậc siêu tĩnh: n = 1.
Hê có đủ số liên kết tựa nối \'ới mật đất nên từ ba điểu kiện cân bàng tĩnh học của hệ
dỏ dàng lìm được các phản lực H \

= 1/3P; R|j = 1/3P nh ư trên hình 5.18a.

2. Chọn hệ cơ bản tĩnh dịnli: cắt ihanh có kliớp ờ hai đấu FI và thay bàng lực dọc
chưa biêì X| Iihưirên hình .5.18b.
3. Phưưnu trình chính tác:
4. Tính hệ số
-

ỗ| I

5 ,,X ,+ A ,p = 0

và số liạng lự do A|p:

Vẽ bicu đổ m ôm en uốn (M | )do riêng X| - 1 gây ra và ( M p ) do riêng tái trọng gây

ra trong liệ cơ bản như trên hình 5.19a, b.

21


x,= 1

x,= 1

F

i\

(M,)

a
A

B

c
11

1

a /Ằ?

Ị 1

aj

bì

ỉlin h 5.19
-

Khi lính ch uv ển vỊ chi có thè bỏ qua lực dọc và lực cắt irong các thanh chịu Liỗn

nhưng không được bó qua lực dọc trong thanh có khớp ờ hai dầu chỉ chịu kéo hay Iiéii,
Trên hệ cơ bản lực dọc Irong thanh F1 do X| = 1 gáv ra bằna N| = X| = I còn do tái
trọng gây ra bằng Np = 0. Do đó:
ô,, = ( M , ) ( M , ) + ( N , ) ' ' ' ( N , ) ' ' ‘
a. a
~ '' „

2EI

a

,p = (

m

2
■—

,)(

_

a.2a

3
m

1.2 a . l

5 a '

3— ' 'ả H-----------------= " 7 1 7 7

2EI
;;)+ (

n

3 E1

m

3E1

5 a'^

“

—

E1

,)''''(n ;;)''

Pa +

Pa.a 2
— —a +
2EI 3

EA

2 a 5 a"

Pa^

2.2EI

5. Giải phương irình chíiih tác: 5 — X| +

-■a -f 0 =

_[V

E1

tìm (iược X| = - —

6 . Biểu đồ m ô m en uốn (M|,) trong hệ siêu tĩnh được võ Ihco biếu thức:

hay:
5
Kết quả nhận được biểu đồ (Mp) như trên hình 5.20a.
7. Vẽ biếu đổ lực cắt (Qp) và lực dọc (Np)
Theo công thức (5-18) và theo biểu đồ m ôm en uốn (M|J, biểu đồ lực cắt (Q|,) được vẽ
như trên hình 5.20b. Tách các nút của hệ như irẽn hình 5.20c và ihco biếu đồ lực cắt
(Qp), dễ dàng vẽ được biếu đồ lực dọc (Np) như Irẽii hình 5.20d.
8 . Tim chuyển vị thẳng tương đối iheo phương imang aiữa hai khóp F và I.

Tạo trạng thái khả dĩ "K" Irèn hệ cơ bán: tại hai khớp F \'à I theo phương ngang dặt
hai lực Pị^; = 1 ngược chiều nhau \'à vẽ biểu dồ (M'|^) như trên hình 5.20e.

22


Nc,=
Fí ’ 5
p

c/

F

B
N =0

N =0

i

4P

5
1p
^—

r> "'

'—

? 5
y

—

I

5

1
c'

p
3

Ha= p

^

3

-5

B

N =0

^
3

c)

p

^

^B "

3

E C ^3
IH IIilllllt
(Qp)
-

Pk= i

-P -

Pk=

f

to H ÍD H H n iin M

f ^llllỉllll!(dlllỉjmTTTĨ
d)
5

(Np)

Ilình 5.20
T heo (5-12) và chi ké đc'n mômcii uốn, có:
A,:, = ( M '') ( M ,, )
'4
—a +
3

2EI
2

1
’

5

P a + “ Pa
15
2.2EI

—a

a2E1

3

2 Pa

~ 3 EI ~ 5 EA
Kết qu ả m ang dấu dương nên hai khớp F và I xích lại gần nhau theo chiều cùa hai
lực 1 \ = 1 ớ trạng thái "K". Hav nói cách khác là thanh FI bị co lại. Đ ộ co này có thể
dẻ d àn g tìm được như biến dạng dọc Irục trong thanh chí chịu kéo (hay nén) đún g tâm
theo c ô n g thức:
N/
A/ = EA
Đối với thanh F1 đaiiR xét có: lực dọc N = -1 /5 P , chiều dài / = 2a và độ cứng
EA = const, do đó biến dạng dài trons thanh bằng:
1
A.r, = - ^ P
''
5

^ Pa
- ^ =- —
EA
5EA

Dấ u trừ nghĩa là thanh FI bị co lại.

23


BÀI TẬP L U Y Ệ N TẬP
Vẽ các biếu đổ m ôm en, lực cắt, lực dọc \'ìi lìm ch u yển vị tại liếl diện K Irong hệ siêu
tĩnh chịu tải trọng cho trên hình 5.2.1.
p = 4qa
K

D

|3 a

B
/Ư77?
E I = const

K

i
ị 3a
_L

^ 3 a ,|.3 a „ |

2E!
.E I

El
A
/7777?

^

bì

4a

,

4a

B

/7777?

Ci
EA=-^
T

c cọ
1
CNjj

K

^

E l - const
nai

Eỉ

/ĩtTT?

///ĩ/)
lĩ

A

lũa

2EI

^EI
C N

p = 2qa
/
— - ọ ------- --------9

/Ử7P

E í = const
A
B
/ĩ?77?

4a

b)

q

'3a

E tílD & í-i
4a

llìn h 5.2.1

5.3. CÁCH TÍNH HỆ SIÊU TĨNH CHỊU s ự THAY Đ ổ l NHIỆT ĐỘ THEO
PHƯONí; p h á p I .ự c
Xét hệ siêu tĩnh bất kì có bậc siêu lĩnh bằng n chịu sự Uiay đổi nhiệl dộ ”t".
1. Hệ cư bản
Tương lự nh ư khi tính hệ ch ịu tải trọ n g , hệ cơ bản cũ n g được c h ọ n bàng c ách loại
bò bót các liên kết thừa. T hông thường loại bỏ tâì cả các liên kếl thừa đế có hệ cơ bản
tĩnh định.
2. Hệ phương trình chính tác
Từ việc so sánh sao cho hộ cơ bán và hệ siêu tĩnh làm việc g iống nhau, cần:
- Trên hệ cơ bán. tại các vị trí loại bỏ liên kết đặt vào các ẩn số lực tương ứng X |,
X,,
- Trên hệ cơ bân thiết lập các điều kiện chuyển \'ị tương ứng \'ới vỊ tn' và phương của án
số X |, X ^ . X | , do các lực X |, X , ...... x „ và sự thay đổi nhiệl độ gây ra phải bằng không;
"^K(X|,X.....x„.t) - 0 ''ới K - 1, 2 .........n
Hay:

24

Lần lưọl cho K = 1 .2 ...... n sẽ nhận được hệ phương trình chính tắc:
Ô||X, + 0 , 3 X 2 +

+

+ A|, = 0

Ô.ịX, +Ô 32X , + ... + Ô2n^n + "^ 2l = 0

+^^n2^2 +--- + ỗnn^n +
T rong dó:
Các hệ sô chính c\|^ và các hệ số phụ ỗKni

theo các công thức (5-5)

và (5-6) hay (5-7) \’à (3-8). N hư vậv. các liệ số cùa hệ phương tiình chính tắc trong
phương pháp lực chi phụ thuộc vào cấu tạo của hệ siêu tĩnh và cách chọn hệ cơ bán.
N guvên nhân tác dụng được thê hiện qua số hạng tự do.
A|^, - chuycìi \'Ị tương ứng với vị trí và phươiig của lực X|^ do sự thay đổi nhiệt độ gây
ra irong hệ cư bán ncMi được xác định theo còng Ihức chuyên \ Ị (4-17). N ếu hệ cơ bản là
lĩnh định thi A|^| dược xác định ihco cò na thức (4-22):
=Z |M K ^ ^ ^ ^ ^^ ™ j;^ dS+ X jN K al„„dS

lwy:

(5-20a)

(5^20)

với í \ , \'à L \ - dicii lích biếu dồ lĩiòmcn IIỐÌI (M|<) và biểu đồ lực dọc (N|^) trong
K

‘

K

lừiio đoạn ihanh cio riêng lực Xj^ = I gây ra trong hệ c ơ bản.
a

- h ẹ s ố c o d ã n \'ì Iihiệl c ủ a v ậ t l i ệ u;

h - chiều cao tiết diện ngang cúa thanh;
- nhiệl độ

ớ

trục thanh.

3. Xá c định nội lực và chuyến vị trong hệ siêu tĩnh
Sau khi giái hệ phương trình chính tắc và tìm được các án số lực X |, X t...... Xj^. vì hệ
c « bản làm việc giông hệ siéu tĩnh nên nội lực và chuyển vị tại tiết diện bất kì trên hệ cơ
bũn do các lực X |. X 2.......và sự thav đổi nhiệt độ eây ra c ũ ng chính là nội lực và
cliuycn vị tại tiết diện tương ứng trên hệ siêu tĩnh do sự thav đổi nhiệt độ gây ra. Do đó;

s, = s ,x , +S2X, + ... + S „X ,+ S ;’

(5-21)

T rong đó:
Sj - đại lượng nehiên cứu trên hệ siêu tĩnh do sự Ihay đối nhiệt độ gây ra;
S|^ - đại lượna nghiên CÚII trên hệ cơ bản do riêng lực X|^ = 1 gây ra;
s | ’ - đại lượno nghiên cứu trên hệ cơ bản do riêng sự thay đổi nhiệt độ gây ra.
N ếu clion hê cơ bán tĩnh đinh thì:

25


• Vẽ các biểu đồ nội lực
Sự ihay đổi nhiệt độ k hông gây ra nội lực trong hệ ũ n h định nên

= 0 . công thức

(5-21) viết dưới dạng biểu đồ nội lực là:
(S,) = (S ,)X , + ( S , ) X , + . . . + ( S J X „

(.V22)

Nếu biểu đồ m ôm en uốn (M() được vẽ trước thì biếu đồ lực cắt (Qị) được vẽ theo biếu
đồ m ỏ m en uốn (Mj) và biểu đồ lực dọc (N() được vẽ theo biểu đồ lực cắt (Q|) tương lự
như trường hợp tính hệ siêu tĩnh chịu tải trọng.
• Tim chuyển vị tại tiết diện K
Vì hệ cơ bản làm việc giống hệ siêu tĩnh nên chỉ cần tạo trạng thái khả dĩ "K" trên hệ C(í
bản như khi vẽ biểu đồ nội lực, đồng thời vì sự thay đổi nhiệt độ còn gây ra chuyến vị trong
hệ cơ bản tĩnh định nên theo công thức chuyển vị (4-17) và nguyên lí cộng tác dụng, có;

K.

Z^J

EA
EA

E1

(3-23)

u -.o a ( t 2 - t | )

S K

+

GA

“S + U

N ‘’ at^,dS

hay ờ dạng nhân biểu đồ có:
= ( M J ) ( M , ) + ( N “ ) ( N ,) + (Q" ) ( Q ,) +

(3-24)

,

Với:
a (t, - t , )
Kt

Q -,) + Ỵ 'at^Q-(i - thành phần chuyển vi tai tiết diên K trong hè cư
Mk
N'k

bản lĩnh định do sự thay đổi nhiệt độ gây ra.
Q - „ và Q-(|

- diện tích biểu đồ m ô m en uốn ( M ‘|^ )v à biểu đồ lực dọc (N'|^) trong

từng thanh của hệ cơ bản tĩnh định ở trạng thái khả d ĩ "K" do lực 1 \ = 1 hay m ôm cn
M k = 1 gây ra.
V í dụ 5.3: Vẽ biểu đồ m ôm en uốn và tìm

2t

độ di động của gối c trong khung siêu tĩnh
chịu sự thay đổi nhiệt độ như trên hình 5.21a.

2t

Cho biết EI = const. Hệ số dãn nở vì nhiệt
của vật liệu là a . Tiếl diên của các thanh là
hình chữ nhật có chiều cao h = const.

2t
21

EI = const

A

B à i giải:

HCB

/Ứ77?

/7Ỳ77?

aj

1

b)

H ình 5.21

Hệ có bậc siêu tĩnh n = 1. Hệ cơ bản được chọn nh ư trên hình 5.2 Ib. Phương irình
chính tắc:
Ô ||X | + A|| = 0

26


9 E la t /

.

8 /

Pk=1

x ,=1
(M,)
aj

(<)

/rrm

/Z^

-ITỬT?

Hình 5.22
Đế lính ỗ | | cần vẽ biểu đồ ( M |) và đê tính A|J cần vẽ thêm biểu đồ ( N |) do riêng
X| = 1 gây ra trên hộ cơ bán như trẽn hình 5.22a, b. T heo (5-8) có:

"

'

'

2E I3

EI

3EI

Theo ( 5 - 2 0 ) có:

a ( 2 t - t ) /./ a ( 2 t - t )
(2l + t)
3
----- ^— _ . _ + ----------------------------- :------- l.l + a — —---- 1 ./ = - a t/
li
2
h
2
2
h
Giúi hệ phương trình chính tãc tìm được:
A.„

3 ,
-a t/ - + 1
2

3EI _

9 E1

4/-' ^

8 /2

a i ( 1- + 1
)

X| m ang dấu âm nên có chicu ngược với chiều được giả định khi chọn hệ cơ bản.
BicLi dồ m ốm en uốn (M,) trong hệ siêu ũnh được vẽ theo biểu thức (5-21);
9 EI
--^ a t
8/2

h

Biêu đổ m ôinen uốn (Mị) vẽ như trên hình 5.22c.
Đ ộ di động của gối

c

chính là chuvển vị theo phương ngang tại tiết diện

cần tạo trạng thái khá dĩ "K" trên hệ cơ bản như khi vẽ biểu đồ (Mj), tại

c

c.

Do đó

theo phương

ngang đặt lực P|< = 1, tiếp đó vẽ các biểu đồ ( M k ) và (N^J^) như trên hình 5.22d, e.
Theo (3-24) và chi kc đến ánh hưởng của m ỏ m en uốn có:
A,, = ( M " ) ( M , ) + a "

( K m . ) = ị j a > ( 1- + 1

lli

/

y EI

/

9
,
= — a t/ ( 1- + 1 ^
2
16
Ih
j

27