Cơ học kết cấu tập 2 phần 2

ChưoTig 8^

PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ H Ũ t HẠN

8.1. K H Ả I N IỆM CHUNG
Sư xuất hiện và phái iriển khòng ngừng của raáy lính điện lử (MTĐT) có khả năng
tính toán với tốc độ cao đã cho phép từ sự thay đổi vế lượng dần đến sự thay đổi về chất
trong việc nghiên cứu các vấn đề cơ học nói chung và trong việc tính toán kết cấu công
trình nói riêng. Cụ thế là:
- Có thổ chọn lựa và hoàn ch ỉn h các mô hình tính toán phản ánh chính xác tối đa sự
làm việc của vật liệu và cùa kết cấu cồim trình Irong tliực tế.
- Có thê thay các giả thiết gần đúng được chấp nhận trong tĩnh toán trước đây bảng
các dicii kiện chính xác và phù htíp hơn với sự làm việc của kết cấu công trình.
- Khối lượng tính khổng còn là \'ân đề klió khăn dẫn đến \ iệc tăng độ chính xác của
kci (ỊUii lính.
- Có thế lĩiớ rộng các phương pháp lính kết cấu hú thanh trong cơ học kết cấu dế
áị) dụng tính hệ kết cấu bất kì không phải hệ thanh như kốt cấu dạng bản, vỏ, kèì cấu
tổng hợỊ)...
Với sự trự giúp cùa MTĐT các phưírtig pháp tính hiện đại đáp ứng các yêu cầu trên
thường (lẫn đế việc mò tả đại lượng nghiên cứu theo một tập hợp số tại một số hữu hạn
các diêm Irong kết cấu nên được gọi chung là phương pháp số. Thay việc tìm hàm
nghiệm giải tích liên tục cứa đại lượng nghiên cứu các phưríiig pháp số chí xác định
được những giá trị rời rạc của đại lượng nghiên cứu nên phương pháp số còn được gọi là
phươno pháp rời rạc hoá. Có thể chia thành hai cách rời rạc hoá sau:
- Rời rạc hoá toán học, nghĩa là rời rạc hoá phương trình. Cho phương trình của đại
lượng nghiên cứu thoả mãn tại một số điếm được chọn trước. Tại mỗi điếm thay phương
trình của đại lượng nghiên cứu bằng hàm xấp xí chứa các giá trị số của đại lượng nghiên
cứu tại điểm đó và tại một sô hữu hạn các điểm lân cặn được chọn trước. Thuộc loại này
có các phương pháp như phương pháp sai phân hữu hạn. phương pháp rời rạc hoá toán tử
vi phân.
- Rời rạc kết cấu nghĩa là kết cấu liên tục được tướng tưọtig chia nhỏ thành nhiều các

kết cấu con, mỗi kết cấu con được gọi là một phần tử hữu hạn (PTHH). Trong phạm vi
mỗi phần tử hữu hạn chấp nhận những kết quả nghiên cứu gần đúng với sai số chọn
199


trước khống quá lớn. Sau đó các PTHH được xem liên kết lại với nhau tại một sò điẽm
chung. Giá trị của đại lượng nghiên cứu lại các đicm chung được xác định dưới dạna số.
Các phương pháp thuộc loại này được gọi là phương pháp phần tử hữu hạn.
Các công thức của phương pháp
thường được biểu diễn dưới dạng ina trận là
một trong những ngôn ngữ phù hợp với việc thực hiện tính toán giá trị số cúa dại lượiig
nghiên cứu trên MTĐT.
8.2. NGOẠI L ự c VÀ ÚTVG SUẤT

Xét một vật thể đàn hổi tuyến lính bất
kì được đạt trong hệ trục toạ độ Descartes
oxyz như trên hình 8.1. Vật thể ở trạng
thái cân bằng và chịu tác dụng của các
ỉ ực sau:
Lực phân bỏ' thế tích hay còn g ọ i là
lực ihể tích đơn vị, tác dụng lại từng điểm
nằm trong vật thể. V í dụ trọng lượng bản
thân, các lực quán tính... Cường độ p của
lực thể tích đơn vị là giá trị của lực trên
một đơn vị thể lích. Kí hiệu các thành
phần của lực ihể lích đơn vị tác dụng theo
phương ox, oy, oz lần lượt là
P y . p^,
vectơ lực thể tích đơn vị có dạng;
Px

Py

Pz

0

ỊỊình 8.1

Đơn vị lực
Đơn vị thể tích

Lực phân bố diện lích (ác dụng trên bể m ặ t vật thể, thường là các lực tương tác giữa
các vật thể, giữa vật thể và môi trường. V í dụ áp lực của tải trọng sử dụng lên mặt sàn,
của nước lên thành đập chắn, của gió lên công trình... Cường độ f của lực phân bố diện
tích đơn vị là giá trị của lực trên một đơn vị diện tích. K í hiệu các thành phần của lực
diện tích đơn vị tác dụng theo phương ox, oy, oz lần lượt là f^, fy, 4 , vectơ lực diện tích
đơn vị có dạng:
fv

Đơn vị lực
Đơn vị thể tích
fz

Khi diện tích phân bố của lực là nhỏ, có thế thay thế bằng lực tập trung có giá trị
bằng cường độ của lực nhân với diện tích phàn bố.
200


L.úc Iiàv iroiiíi \ ặl thc xuất hiên sự thay dc'i i:ủ.a lực tương tác giữa các phần tử vật

cliáì, được uọi ià nội lưc. Đế tìm nội lưc ihườne sử dụng phương pháp mạt cắt. Tưỏng
tirơnu dùntỉ mặt cãt 71 chia vậl ihế đang xci thành hai phầi: A \ à B như trên hình 8.1. Tác
dụiiii tưong hỏ aiữa liai phần bị cắl là niộl liê iirỊi lực với cường độ nào đó và phân bố
ihco inột quv luâl nào dó ticn diện lích bị cất s. Thavhẽ nội lực phân bố bằng hợp lực Sp
\'à iriỏmen s^, dược gọi là nội lực lại mặt cát s và đượcxác định từ các điềư kiện cân
bàim của phán bị cãt A hay phần bị căl B.
Cuòna độ phàn bò’ cứa hệ nội lực tai dicm M(.\.
z)bãt kì thuộc mật cắt s có pháp
luycn \\ được kí hióLi là Pv và được gọi là ứna suất toàn phần lại điểm M. Nếu xem hợp
lưc dPcúa hệ nội luc phân bố trên diện lích vô cùng hé dS lấy bao quanh điểm M thì ứng
sual toàn phán tại điếm M dược \ác dịnh ihco biểu thức sau:
Pv = lini ^
Như vậ\ ứng suấl toàn phẩn lại điếm M là một voctư có giá trị và phương phụ thuộc
\’àt) \ ' 1 irí cúa diCMn M và pháp tuyến V. úiie suất toàn phan thường được phân tích thành
3 ứng suất thành phần llico phirơng các trục loạ độ o\. 0 >', oz. lần lượt kí hiệu là Xy, Yv,
/.v Do đó:
P\' = Xv + Y, + Zv
Khi inat cãt s song soim vứi inặi toạ dộ thì pháp tuyên cua mật cắt chính là trục toạ
clộ tương ứng. Ví (lụ klii mật căt s song song với mật toạ fjộ oyz như trên hình 8 .2 a thì
pháp tuyến của mặt cắt là trục ox vù ứng suat trên mat cắr này là x^, Y^, ' L ^ .

Ilinh 8.2
ÚiiH suất Ihành phần
có phương VLiôno góc với măt cắt (trùng với phương của pháp
luyến ox) được gọi là ứng suất pháp. Các ứng suất ihành phần
và
nằm trong mặt
cát có pháp tuyến ox \'à có phươiiíỉ song sona với các Iruc toạ độ tương ứng oy và oz
dưực aọi là ứno suất tiếp.
Đc kí hiệu ứn” suãì có ihế sử dụng các hệ kí hiệu khác nhau. Nếu kí hiệu ứng suất

[•)háp là ơ (siunia) \'à ứniỉ suâì liếp là T (ló), có;
ứiiíi suãì pháp irên mặl cắt có pháp tuyến ox. Chỉ số X biểu thị phương pháp
luvcn cua mãl cãl chứa ứng suất \'à pliương cúa ứng suất pháp.
201


= T^y,
- các ứng suất tiếp nằm trong mặt cắt có pháp tuyến ox và có
phương song song với trục oy, oz. Như vậy chỉ số thứ nhất chỉ phương pháp tuyến của
mặt cắt chứa ứng suất, chỉ số thứ hai chỉ phương của ứng suất tiếp.
Trên hình 8.2b, c thể hiện các thành phần ứng suất trên mặt cắt song song với mặt toạ
độ oxz có pháp tuyến là trục oy và trên mặt cắt song song với mặt oxy có pháp tuyên là
trục oz, đi qua điểm M(x, y, z) bất kì thuộc vật thể.
Quy định về dấu của ứng suất như sau:
- Nếu pháp tuyến của mặt cắt chứa ứng suất hướng theo chiều dương của trục toạ độ
tương ứng và chiều của ứng suất cũng hướng theo chiều dương của trục toạ độ tươne ứng
thì ứng suất được xem là dương.
- Nếu pháp tuyến của mặt cất chứa ứng suất hướng theo chiều âm của trục toạ độ
tương ứng và chiều của ứng suất cũng hướng theo chiều âm của trục toạ độ tương ứng thì
ứng suất được xem là dưcíng.
- Các trường hợp khác với nội dung trên thì ứng suất được xem là âm.
Trên hình 8.2 các ứng suất được thể hiện đều là ứng suất dương. Như vậy, trên ba mật
cắt trực giao vuông góc với các trục toạ độ ox, oy, oz và đi qua điểm M(x, y, z) bất kì
thuộc vật thể đàn hồi tuyến tính cân bằng, trong trường hợp tổng quát luôn có 9 thành
phần ứng suất. Tại các điểm khác nhau trong vật thể các ứng suất có các giá trị khác
nhau và là hàm sô' của toạ độ tại điểm đang xét;
- Ba ứng suất pháp:
- Sáu ứng suất tiếp:

y, z), Qy = ơy(x, y, z), ơ_, = ơ^(x. y,

= T^y

(x, y, z),

T y , = Ty^

"^zy ^zy (x, y, z),

(x, y, z),

Ty,

=

(x, y, z),

8.3. PHƯƠNG TRÌNH CÂN BẰNG NAVIER

Bằng những mặt cắt song song với nhau,
cách nhau một khoảng dx, dy, dz và vuông
góc với các trục toạ độ chia vật thể đàn hồi
tuyến tính cân bằng khi chịu tác dụng của
ngoại lực như trên hình 8.3 thành:
- Những phần tử hình hộp, mỗi phần tử
có 6 mặt nằm trong vật thể.
- Những phần tử ít nhất có một mặt trùng
với bề mặt vật thể. Trong trường hợp tổng
quát, phần tử này có 4 mặt được gọi là phần
tử hình tứ diên.
202

Hình 8.3

7 .)

(x. y, z)
(x, y, z)


Xéi phấn tứ liìnli hộp có kích thước d.\, dy, dz trên hình 8.4. Trên mỗi mặt của phần
tử có ba thành phần ứiig suất song sona với các trục toạ độ. Các úfng suất trên ba mặt
phần tứ di qua đicm 0 (x, y, z) là:
- Trên mật oaee có:
- Trêii mạt ocgli có:

ơỵ,

- Trên mặt ohba có:

ơ^,

Các ứng suất trên ba mặt phần tử di C|ua điciri d(x + dx, y +dy, z + dz) là;
- Trên mặt dghb có:

ơ

- Trên mật cibac có;

ơ ỵ + ^ íiy ,

+ _ liL (jx ,

ỡx

Xvv + - ^ d x ,

'

ỠƠ-.

- Trôn mặt egdc có:

^ d x .

ỡx

ỡx

ỠTvx

Tyx

+^d y,

d y

õ y

5z

ỡz

Ỡ T y2

T ,,

■

+^ d y.
õ y

õ z

Giá sử các ứng suất là dương và hình chiếu của lực thể tích đơn vị
pliương các trục loạ độ cũng là dương.

Pjj,

Py,

lên

Từ điều kiện cân bằng tổng hình chiếu cúa các lực tác dụng trên phần tử hình hộp lên
pliươns trục ox bàiiíỉ không có:
Z1\ =

H-------

'

(\M(\7
-n d v-d ơ^dvdz
? +
T ++
dydz

ax

-T^,^d.\dz +

ỔT

rx.

d xd z-

dxdv - X dxdy + p dxdydz = 0

203


Sau khi ihực hiện rút gọn sẽ nhận được phương trình vi phán:
õa

õĩ

—^

^

õ \

õ y

dx

+ Pv = 0

õ z

Từ các điểu kiện cân bằng IPy = 0 và
= 0 cíia phần tử hình hộp sẽ nhận được hai
phương trình vi phân có dạng tương tự. Như vậy ba phương trình vi phân biếu thị điều
kiện cân bằng tĩnh của các phần tử hình hộp nằm trong vật the có dạng sau;
ỡx

ỡy

—^
ỡx

ỡa,,
^
ỡy

ỔT

ỠT

+p =0

õ z

da

^

Pvx
ơ

(8-1)

^ + p, = 0
ỡz ^

ỹ y

+ p, = 0
ỹ ỵ

Các phương trình (8-1) dược gọi là phương trình cân bằng Navier.
Từ điểu kiẹn cân bằng tống mômen của các lực lác dụng trẽn phần lử hình hộp lấy với
trục oy bằng khổng, có:
\^
A -r
A 'ỉ
A
{
õ"Ì/T
a
Ỡ T ,.. , ^

dz
dz í
+
—^
d
x
dydzdx 4IM^, = ơ, + ^ d x d y d z y ơ,dydz “
^x;
.
ỡx
J
r lx
;
V
,

+

í
ỠT
ỡơ^
ơ, + —^ d z dxdy —- + ơ^dxdy — dvdxdz
dz
+
^ ỡz
ổz
J

A
A

-T.,„dxdz^
+
'vx

ay

9

Ty^ + ^ d y

dy dxdz — +
2

J

_

-I

J

T „ ,,d x d z —

2

d x d z y + p ,d x d y d z y -p ^ d x d y d z y = 0

Bó qua các số hạng là vô cùng bé bậc bốn. Sau khi rút gọn sẽ nhận được biểu thức
^,\z ^zx
Từ các điều kiện cân bằng ZM_, = 0, IM ^ = 0, sẽ nhận được hai biểu thức có dạng

tương tự. Như vậy, từ ba điểu kiện cân bằng lổng mômen của các lực tác dụng trên phần
tứ hình hộp, lấy với các trục tọa độ bằng không, có các biểu thức sau;

^vz =

204

(8-2)


Biếu thức (8-2) biếu thị định luật đối
ứng cúa ứim suất tiếp với nội dung sau:

__
;• - ^~

T-*-

Trên hai mặt cắt vLiỏna góc với
nhau, ứng suất tiếp theo phưưna vuông
g(')c \'ới uiao tuyên chung có trị số bằng
nhau \'à cùno hướng vào hoặc cùng
hướng ra khỏi cạiih chune như irêii hình 8.3.

I

Hitih 8.5

Từ định luật dối ứng của ứng suất tiếp suv ra tại mội diểm bất kì trong vật thế đàn hồi
luyến tính càn bằng, trên ba mặt cắt vuòne góc với các iruc toạ độ đi qua điểm đang xét,

có 6 thành phần ứng suất. Vectơ ứnq suất tại một điếm trong vật thể sẽ có dạng:
T

ơ

Phương irình cân bằng Navier (8-1) khi kò đến (8-2). có thế viết dưới dạng ma trận:
(■

í")x

0

0

ry

(;
0

(■

'^y
à
0

0

ry

i

i

c \

0

t

c

í)

ổx

Õ z

Hay:

[v][a| +

Px

-

Py

Pz

=0

Ị

■*N

0

\

d

0

1
í
'

^vv

J

=0

(8-3)

Trong đổ:
[V] - ma trán toán tử vi phàn có kích thước ( 3 x 6 ) và chỉ có ý nghĩa khi đi cùng với
inộl vectơ;
[a] - \ ectơ các thành phần ứng suất biếu thị trạng thái ứng suất tại một điếm trong vật
ihế và là ma (rạn cột có kích thước ( 6 X 1);
[p] - vectư lực thể tích đơn vị tác dụne tại một điểm nằm trong vật thê’ và là ma trận

cột có kích thước (3 X 1),
8.4. ÚN(Ỉ SUẤT TRÊN MẶT CẮT NGHIÊNG. ĐIỂU KIỆN CÂN BẰNG TRÊN
BỂ MẶT

Xét phán từ hình tứ diện trên hình 8 . 6 có mệ-t cắt nghiêng abc với pháp tuyến
Trong hệ trục toạ độ oxyz, cosin chỉ phưcfng cua pháp tuvến V ỉầiì ỉượt kí hiệu ỉà:
/ = cos(v, x),

m = cos(v, y

I,

V.

n = cos(v, z)
205


Gọi diện tích mật cắt nghiêng abc là dS, có:
- Diện tích mặt oab có pháp tuyến ox bằng:
dS| = cos(v, x)dS = /dS
- Diện tích mặt obc có pháp tuyến oy bằng:
dS, = cos(v, y)dS = mdS
- Diện tích mặt oac có pháp tuyến oz bằng:
dS3 = cos(v, z)dS = ndS
H ì n h 8 .6
Trong trường hợp tổng quát trên mỗi mặt của
phần tử đều có ba thành phần ứng suất và giả sử các ứng suất là dương như trẽn hình 8 .6 .
Trên mặt cất nghiêng abc hình chiếu của ứng suất toàn phần Pv lên phương các trục toạ
độ ox, oy, oz lần lượt kí hiệu là Xv, Yy, Zv Từ điều kiện cân bằng tổng hình chiếucủa

các lực tác dụng trên phần tử hình tứ diện lên phương ox bằng không có:

ZP^ = -ơ^dSị Bỏ qua số hạng vô cùng bé bậc ba

-

x^^dS3 + X^.dS + p^dv =

0

.dv (dv là thể tích hình tứ diện vàlà vô cùng bé

bậc ba), so với các số hạng còn lại là vô cùng bé bậc hai có:
(-ơ^/ - Ty^m - T.^^n + X^, )dS = 0
hay:

ơ ^ / + Xy^m +

= x^,

Từ các điều kiện cân bằng ZPy = 0 và
= 0 của phần tử hình tứ diện, sẽ nhận được
hai biểu thức có dạng tương tự. Như vậy ba phương trình cân bằng biểu thị quan hệ giữa
ba ứng suất trên mặt cắt nghiêng có pháp tuyến V và sáu ứng suất trên ba mặt cát vuông

góc với các trục toạ độ và đi qua điểm đang xét 0 (x, y, z) sẽ có dạng:

(8-4)

Nếu mặt cắt nghiêng abc trùng với bề mặt vật thể có: X\. = f^, Yy = fy, Zv =

phưofng trình (8-4) lúc này có dạng:

thì

/ơ, + mty, +
/x^y + m ơy + nx^y =

206

(8 Õ


Phương trình (8-5) biếu thị điều kiện cân bằng cùa mọi điếm nằm trên b ề mặt vật thể,
được gọi là điều kiện cân bằng trên bề mặl và có thế viết dưới dạng ma trận:
ơ.
ơ,

/

0

0

m

0

in

0

/

0

0

n

0

n

n

0

m

0

/

ơ

hay [L ] [ ơ ] = [f]

( 8-6 )

XV

Trong đó:
[L] - ma trận cosin chỉ phương của pháp l u v ế n V tại điểm đang xét thuộc bề mặt vật
th c \'ã c ó k íc h th ư ớ c (3 X 6):

[f] - vectơ lực phân bố diện tích đơn vị tác dụng trèn bé mặt vật thể và là ma trận cột
có kích thước (3 X 1).
Như vậy nếu 6 thành phầii ứng suất tại các diêm thuộc vật thế thoả mãn phưoìig trình
cán bằng Navier (8-3) và diéu kiện cân bãng trên bé mặt i 8 -6 ) thì vật thể sẽ ỏ trạng thái
cân bàng.

8.5. PH Ư Ơ N G TRÌNH CANCHY - QUAN HỄ (ỈIỪA BIẾN D Ạ N G VÀ C H U Y Ể N v ị

Trong hệ trục loạ độ Oxyz (liếm A(x, y, z)
thuộc vật thể đàn hồi tuyến lính, dịch chuyến

;y A ,(x i,y i,z ,)

đ ế n vị trí m ớ i A | ( X | , y , , Z|) sau khi vật thể bị

u

biến dạng. ĐoạnAA|được gọi là chuyển vị
thẳng của điểm A (hình 8,7).
Hình chiếu chuyên vị thắng của điểm A
lên phương các trục toạ độ ox. oy, oz bằng
hiệu số toạ độ của các điểm A| và A:
u = X, - X ,

V =

y,

-

y,

w = z, - 7.

w

A(x,y,z)
1
1
1

,

^

u/

H ìn h

8 .7

u,
V , w - chuyến vị tháng theo phương ox, oy, oz cúa điếm A và được xem là dưcíng
khi có chiều trùng với chiều của trục toạ độ tươna ứno. Các chuyển vị đều là hàm số của
toạ độ tại điểm A: u = u(x, y, z) và v(x, V, z). w = vv(x, y, z). Hiệu s ố của chuyến vị giữa

các điểm trong vật thế được gọi là biến dạng. Vớ: giá thiết biến dạng nhỏ có thể xét biến
dạng của phần tử hình hộp có kích thước bé tuỳ ý dx, dv, dz. thông qua biến dạng của
các hình chiếu của các mặt phần tử trên các mặt toạ độ tương ứng. V í dụ xét biến dạng
của hình chiếu của mật phần tử abdc trên măt toạ đó oxz như trên hình 8 .8 .
207


Điểm a có chuyển vị thẳng theo
phưcỉng ox là u, theo phương oz là w.
Điểm b cách điểm a một vi phân chiều
dài dx có chuyển vị thẳng theo phương
ox là u + — dx và theo phương oz
d x

là w + — dx . Điểm c cách điểm a một
ỡx
vi phân chiểu dài dz, có chuyển vị
thẩng theo phương ox là u + — dz và
õ z
H ìn h

8 .8

theo phương oz là w + — d z.
õ z

Cạnh ab == dx sau biến dạng có vị trí mới a|b| với hình chiếu lên phương trục ox tà
a|bỊ và bằng:
a,b = dx - u + u + — dx = dx + — dx
' '

õ x
ổx
Biến thiên chiều dài cạnh ab theo phưcmg ox bằng:
Aab = a,b!
- ab = dx + — dx -d x = — dx
1^1
a.x
ax
Biến dạng dài tỉ đối

theo phương ox bằng:
8

Aab ổu , 1 ỡu
^ = — = — dx •— = —
ab
ổx
dx õ x

Thực hiện tưofng tự đối với cạnh ac sẽ nhận được biến dạng dài tỉ đối
oz bằng:

theo phươiig

ổw
õ z

Như trên hình 8 . 8 sự thay đổi góc giữa các cạnh ab và ajb| được xác định như sau:
ổw ,
w + --- dx - w

, ,,
120

=

a b
1

1

_____ -

,

“au ,

d x + ’ —dx
ổx

õ w
ỡw ,
-- - dx
_ õx
<5x
( 1 + 8 . )dx
l + e,.
"
X

Theo giả thiết biến dang nhỏ có thể xem tga, « a, và £x «

1'

đó: a, = — . Thưc
ỡx
’ .
^
,
ổu
hiện tương tự sẽ có sự thay đ ố i g ó c giữa cá c cạnh ac và a|C| băng: a , - — . Suy ra một
<^0

õ z

nửa biến dạng góc của mật phần tử trong mặt phẳng oxz hay biến dạng của góc vuông
cab (được gọi là biến dạng góc tỉ đối) bằng:
208


c\-l

c ’w

Thực hiện tương tự đối với các mặt còn lai cùa phần tử hình hộp sẽ nhận được:
cu

cN'
ổy

7‘ yv x. \ = —

'

ẽy

Như vậy quan hệ giữa các biến dạng lí

(?w
T>z = ^<'Z + Tc ỵ7

dv

c v

+ —
-V

i-\

và các thành phán chuyển vị tại điểm đang

đố:

Két th u ộ c vật thế đ àn hồi tuvến tính s ẽ c ó dạníỉ sau:

ổw
ổz

d u

- Biến dạng dài tỉ đối:

f-v =

ẽ x

õ y

Biến dạng góc ủ đối:
ỡu õ \ ’
+—
=—
ỡv ổx

C ;\

ổu

d \v

Yv,, = ^ + ^ ;
ơz ổv

Y,«

+ ^
0 7

cx

(8-7)

Các biến dạng góc tỉ đối còn được oọi là biến dạng trượt tỉ đôi tuân theo định luật đối
ứng:
=yyx-Yyz = yzy-Y/x =rx.Các biến dạng tỉ đối cũng là hàm sò' của loạ đỏ tai điểm đang xét.
Quy định vể dấu của biến dạng như sau:
- Biến dạng dài tỉ đối e được xeiri là dươiig khi là biên dạng kéo và được xein là âm
khi là biếi) dạng Iiéii llìẽu i)liU'ờ'iìg diliìổ Xcl.
- Biến dạng góc u’ đối y clươc xem là dương khi gf'x giữa các chiều dương theo
phương các trục toạ dộ lương ứng bị thu hẹp lẹi và được xem là âm khi góc giữa các
chiều dương theo phương của các trục t(w độ lương ứng bi táng lên.
Các biếu thức (8-7) được gọi là phương trình Cauchv và có thể viết dưới dạng ma trận
như sau;
0

0

0

ay
0

Yxy
7yz
Yzx

A

A

ỡy

ỡx

0

^
ổz

ỡz

c
ổz
0

u
\'

hay

[ 8 ] = [ V ] ' [ u]

( 8- 8 )

w

c
ổv
ỡx

209


Trong đó:

v]* - ma trận chuyển trí của ma trận toán tử vi phân có kích thước ( 6

X

3);

e] - vectơ biến dạng tỉ đối biểu thị trạng thái biến dạng tại một điểm trong vật thể và
là ma trận cột có kích thước ( 6 X 1);
[u] - vectơ chuyển vị tại một điểm trong vật thể và là ma trận cột có kích thước (3

X

1 1.

Như vậy nếuchotrước vectơ hàm chuyển vị [u] tại một điểm trong vật thể đàn hồi
tuyến tính cân bằng thì có thể tìm được vectơ biến dạng tỉ đối tương ứng [e] theo công
thức Cauchy (8 -8 ). Nếu giải bài toán ngược là tìm ba hàm chuyển vị theo sáu biến dạng
tỉ đối thì cần tích phân sáu phưcíng trình Cauchy, số phương trình lớn hơn số án số, do
đó các biến dạng tỉ đối phải có quan hệ phụ thuộc với nhau, Các quan hệ này được thiết
lập như sau:
- Trong mặt phẳng oxz lấy đạo hàm bậc hai của theo y, trong mặt phắng oyz lấy
đạo hàm bậc hai của Sy theo X. Sau khi cộng các kết quả và thực hiện biến đổi s ẽ nhân
được biểu thức:
õ

^

\

õy^

ổx^

dxõy

Biểu ihức này cho thấy nếu cho trước biến dạng dài tỉ đối theo hai phương vuông góc
với nhau thì biến dạng góc tỉ đối trong mặt phẳng chứa hai phương đó khống được cho
trước tuỳ ý.
Đạo hàm biến dạng góc
theo z, biến dạng góc Yy^ theo X , biến dạng góc
theo
y rồi cộng hai phương trình đầu và trừ đi phưcmg trình thứ ba. Tiếp đó đạo hàm hai \'ế
của biểu thức tổng cộng theo y và sau khi biến đổi sẽ nhận được:
-

ỡy

Õz

ỡx

ÕỴ

õ\õz

Biểu thức này cho thấy nếu cho trước ba biến dạng góc tỉ đối trong ba mặt phắng irực
giao thì biến dạng dài tỉ đối không được lấy tuỳ ý.
Thực hiện tương tự sẽ tìm được điều kiện tưcmg thích của các biến dạng tỉ đối để lích
phân các phương trình Cauchy tìm ba hàm chuyển vị u, V , w đcfn trị và liên tục. Các điều
kiện tương thích có dạng sau:

A

+ A

ổy^

ổx^

ỡxỡy

ổz^

ổy^

ổyổz

^õ \

õz^

210

õy }

^
õzõx


(8-9)

õ í

^ ổx

cy

ổz j

cxry

Điều kién tương thích cúa biến dạng ti đc=i (8-9) còn đưọc gọi là điều kiện biến dạng
licn lục Saint - Vcnant và có ý nghĩa hình học sau:
Tướng lượng chia nhỏ \’ậl thế đã cho thành các phần tử có kích thước bé tuỳ ý. Nếu
mỗi pliấn tử có biến dạiia iLiỳ ý ihì khi liên kết các phán lử đã bị biến dạng lại với nhau
sẽ kliỏng nhận được vặt thê ban đáu ớ trạoiỉ thái hị biến dạng liên tục. Nếu các biến dạng
cúa các phần tứ thoả mãn điéu kiện biến dạng liêu lục Saint - Venant (8-9) thì khi liên
kết các phần tứ đã bị biến dạng lại \'ới nhau sẽ nhận được vật ihế ban đầu ớ trạng thái bị
biến dạng liên tục.
8.6. P H Ư Ơ N (; TRÌNH Đ ỊN H L U Ậ T H O O K E T ổ N ( ; Q U Á T - Q U A N H Ệ GIỮA

ÍÍNG S U Ả 1’ VÀ BIẾN DẠNCỈ

Cliáp nhộn giá thiết \'(u liệu là đàn hổi tuyệt dối, đồng chái \'à đẳng hướng, giữa ứng
suài pliáp và biến dạng diìi li dối eùng Ịihưcilg cví quan hè Uiyến tính theo định luật Hooke;

(a)
Biến dạng dài tí dối theo phương vuông gík với ứng suất là:
a

= - ve = -V -íỉ
Biến dạng trượt lí đổi và ứng suất tiếp tuân iheo định luật Hooke trượt:
e

'

(b)

Trong đó: E - môđun đàn hồi kéo (nén) của vật liệu;
V - hệ số biến dạng ngang của vát iiệu hay còn được gọi là hệ số Poisson;
E
G - inôđun đàn hồi trượt của vật liệu.
2 {l + v)
Xét biến dạng tí đối cúa phần tử hình hộp có kích thước bé tuỳ ý dx, dy, dz được tách
ra khỏi \’ật thế. Biến dạng dài tí đối của cạnh phần tứ theo phương ox bằng:
- Do ứng suâì pháp ơ^, theo (a) có:

211


- Do ứng suất pháp ơ y và ơ^, theo (b) có:
r"
t-x = _V£ = —V —£— ’

e'" = - v s

= - v ^

E

Theo nguyên lí cộng tác dụng có:
8

ơ ,-v (ơ ^ + ơ ^ )

,= s ;+ 8 ;+ < =

Thực hiện tương tự sẽ tìm được biểu thức quan hệ giữa biến dạng dài tỉ đối của cạnh
phần tử theo phương oy và oz với các thành phần ứng suất pháp. Biến dạng trượt tỉ đôi
cùa các mặt phần tử song song với các mặt toạ độ tương ứng được xác định theo định
luật Hooke trượt (c). Sáu phưcmg trình định luật Hooke tổng quát biểu thị quan hệ giữa
ứng suất và biến dạng là:
1

ơ x -v K + a ,)

E

_ 2 ( l+ v )
"^xXyV

Ig

( 1 + v)
£
E

2

"^xy
-xy

Q
G

/vz

’

'yz

1

ơ -v(ơ^ + ơ^)

^z =
2

-v(ơ^ +ơy)

E
(l + v)

G

y.

^ZX =

G

(8-10)

Các biểu thức (8-10) có thể viết dưới dạng ma trận:
’

1

-V

-V

0

0

0

- V

1

-V

0

0

0

-V

- V

1

0

0

0

Yxy “ E

0

0

0

0

0

Yyz

0

0

0

0

Jzx.

0

0

0

0

'e.x

'

s
_

1

2

( 1 + v)

2

( 1 + v)
0

""y
T^xy

0
2

( 1 + v)

[D]-'' lơ
[ơ],
[ơ] = LDJleJ
[D][e]
LeJ
=LDJ
j, suy ra: LơJ
w . =

Hay:

(8-11)

Trong đó:
[D] - ma trận đàn hồi chứa các đặc trưng cơ học E, V của vật liệu hay của vật thể đang
xét và là ma trận vuông đối xứng, không suy biến, có kích thước ( 6 X 6 ).
Ma trận đàn hồi có cấu trúc sau:

2(1 - V )

D] =
2

212

(l + v ) ( l - 2 v)

2

v

2

v

v

2

2(1 - V )
v

2

2

v

0

0

0

2

v

0

0

0

2(1 - V )

0

0

0

0

0

0

( l - 2 v)

0

0

0

0

0

0

( l - 2 v)

0

0

0

0

0

0

( l - 2 v)

(8-12


8.7. T R Ư Ờ N G HƠP BÀI TOÁ N Đ À N H ổ l P H Ẳ N G

Trong trườiig hợp lổng quát lại một điểm .VI(x . y, z) thuộc hệ đàn hồi tuyến tính bất kì
được đặt trong hệ toạ độ Dcscartes oxyz có 15 ẩn số cần xác định là 6 ứng suất, 3
c h u v ể n vị và 6 b iến d ạ n g lí đ ối. Các ẩ n s ố nàv đ ểu là h à m s ố c ù a t o ạ đ ộ X, y, z tại điểm
M đang xét và được tìm từ 15 phương trình ià ?> P'hương trình cân bằng (phương trình cân
bãng Navier và các điều kiện Irẽn bề mặt). 6 phương trinhCauchy và 6 phương trình
định luật Hookc. Trường họp này được aọi là bài toán đàn hồikhônggian.Tuy nhiên
trong thực tế việc tính toán một số cỏns trình ihường iỉặp có thể đưa về trường hợp bài
toán đàn hổi phắna với các ẩn sỏ là hàm sổ của hai toạ độ tại điểm đang xét. Có hai dạng
bài toán đàn hồi phắng là bài toán ứng suất phảng \ à bài toán biến dạng phẳng.
1. Bài toán ứng suất phảng

Xél inột hệ đàn hồi tuyến tính có kích thước theo
phương trục oz nhỏ hơn nhicu lần so với kích thước
theo phương ox và oy, chịu tác dụng của tái trọng có
phương song song với mặt phảiiií oxy và được xem
là phân bố đéu theo phương oz. Ví dụ bán có độ dày
mỏng chịu tái trọng như trên hìnli 8.9. Vì kích thước
của bản theo phương oz là nhỏ nên có ihế xcir. tại
mọi điểm trong vát thế trên các măt song song \’ới
mặt oxy các ứng suất a^,
đcu bằng khóng V'à
các ứng suất còn lại ơ^, ơy,
phân bố đều theo
phương trục 07. và là hàm số của loạ đ ộ X. V tại

điểrn

đang xét. Lúc này trong bản sẽ xuất hiện trạng thii
ứng suất được gọi là trạng Ihái ứng suất phắng:
ơ, = ơ,(x, y), ơy = ơy(x, y).

H ìn h

= t,(x, y), ơ, = Ty, =

=

8 .9

0

Các phương trình cơ bản trong trường hợp nà\' s.ẽ có dạng sau:
-

dĩ y x

Phương trình cân bàng Navier:

ỡx
ỠTXV

cx

+ Px

= 0

dy
Õ G

+

cy

■

=0

Viết dưới dạng ma trận:
■õ

õ ■
0

õ\

ôy
ỡ

d

õy

d\

0

'ơ.x'

ơ,.>

Px

+
-

= Ohay [ v ] [ ơ j + [p] = 0

(8-13)

_

_^xy_

213


/ơ^ + mXy^ =

- Điểu kiện trên bề mặt:

/ T^y + may = fy

Viết dưới dạng ma trận:
/

0

,\

m

0

=

y

m

I

'fx

hay [L ][ơ ] = [f]

(8-14)

_fy
"xy_

- Phương trình Cauchy biểu thị quan hệ biến dạng và chuyển vị:
ổu

ỡv

ỡu

ỡv

Viết dưới dạng ma trận:
A

0

ỡx
0

■xy

hay [s] = [ v ] ' [u]

ổy

a

õ

õ y

ỡx

(8-15)

Phương trình liên tục Saint - Venant:
_

+
õ y~

d x^

Ổ“Yxy

(8-16)

õ x õ y

- Phương trình định luật Hooke:
Sx = - ; ^ ( ơ x - v ơ y ) ,

Ey = - ^ ( ơ y - v ơ j .

EI

2 ( 1 + v)
T xx vy =

Vì

0 riên

£

T,y,
M

8

,- = - | -£( ơ , + ơ y )

mặt của bản song song với mặt oxy sẽ bị biến dạng uốn.

Viết dưới dạng ma trận;

_
s
_Yxy_

Suy ra:
214

■ 1

-V

0

-V

1

0

0

0

"

1

hay [ 8 ] [ D ĩ '[ a ]

=

“ E
2 ( l + v)_
."xy.

[a ] = [D ][s]

(8-17)


Tronu đó ma trận đàn hồi [D] cùa trạnu thái iniíỉ suất phắng có dạng sau:
1

0

E

D
1

V

1

0

0

-v -

(8-18)

0
1

-v
2

.

2. lià i toán biên dạng phảng

l'rong Ihực tế thường gặp những hệ kết cấu như iường chăn, đường hầm, đường ống
dài, bán dài... như trên hình 8 . 1 0 . là những hệ đàn hổi có kích thước theo phương trục oz
lớn hưn nhiều so với kích ihước theo phương ox \ ' ã ov chịu lác dụng của tải trọng có
phương song song với mặt phẩng oxy và có giá trị khỏns c5ổi theo phương oz.

llinh 8.10
Trong những Irường hợp nàv theo phương dài oz có thc xem biến dạng
= 0 và
chuyến vị \v = 0. Trong hệ chi xuất hiện chuvển v ị u. V theo phương ox và oy tại các

điếm trong các mặl phảng song song với mặt oxy. Các chuvển vị này là hàm sô của toạ
đ ộ X, y lại đ i ể m đ a n g xét: u = Li(x, y ), V = v (x , y).
Trong hệ xuất hiện trạng thái biến dạng được gọi là trạng Ihái biến dạng phắng:
s, = 8 ,(x, y), £y = 8 y(x, y), y,y = y,y(x, y), y,,, =

=

(a)

0

Vì = 0 nên trong hệ theo phương oz xuất hiện ứng suất pháp
phụ thuộc vào các
ứng suất ơ^, ơ^, trong mặt phắng oxy. Theo biểu thức thứ ba của định luật Hooke tổng
quái( 8 - 1 0 ) có;
ơ ^ -v(ơ ^+ơ y) = 0 , suy ra: ơ ^ = \'(ơ ,+ ơ y )
Thay biểu thức
( 8 - 1 0 ), nhận được:
1

E

vào biểu thức thứ nhất và thứ hai của định luật Hooke tổng quát
I

ơ ,-v (ơ ,+ c ,)

1

-■V2 /

ơx-

-v ,a )

a.

1 -v

(b)

bi

215


'ơy -v(ơ^ +ơ^)’'
Trong đó: E| =
1

-v^2

'

V, = —
I
1

■

_ l- v

\

/

2

1

(c)

~E,

E

- các hằng số đàn hồi quy ước.

-v

Biến dạng trượt tỉ đối trong mặt phẳng oxy:
2

(l + v)

xy

£

(d)

-x y

Từ các biểu thức (a), (b), (c), (d) suy ra trong hệ lúc này xuất hiện trạng thái ứng suất:
ơ^ = ơ^(x, y),

ơy = ơy(x,

y),

= T,y(x,

y),

= 0

Các biểu thức quan hệ giữa biến dạng và ứng suất (b), (c), (d) có thể viết dưới dạng;
(1 - v )

- V

0

-V

(1 - v )

0

0

0

2

1+ V
E
,Yxy_
Suy ra:

hay [s]= ^

[ o r ‘ [a ]

_ /xy_

[a ]:= [D ][d

(8-19)

Trong đó ma trận đàn hồi [D' của trạng thái biến dạng phẳng có hai dạng sau
' 2 (l- v )
E

1

[D] =
2

(l + v ) ( l - 2

v

2

v

0

(1 - v )

0

2
2

( 8 - 20 )

v )
0

0

( l - 2 v)_

Như vậy trong bài toán biến dạng phẳng các phương trình cơ bản vẫn có dạng như
trong bài toán ứng suất phẳng bao gồm 8 phương trình: phương trình cân bằng Navier
(8-13), điều kiện trên bề mặt (8-14), 3 phương trình Cauchy (8-17), 3 phương trình định
luật Hooke (8-17), chỉ khác là trong bài toán ứng suất phẳng ma trận đàn hồi [D] được
xác định theo công thức (8-18) còn trong bài toán biến dạng phẳng ma trận đàn hồi [D]

được xác định theo công thức (8-20). Tám phương trình này chứa tám ẩn số cần tìm là 3
ứng suất, 2 chuyển vị và 3 biến dạng tỉ đối, đều là hàm số của toạ độ X , y tại điểm đang
xét thuộc hệ ở trạng thái ứng suất phẳng hay ở trạng thái biến dạng phẳng.
8.8. D Ạ N G M A T R Ậ N C Ủ A N G U Y Ê N LÍ C Ô N G K H Ả DĨ L A G R A N G E
1. C ông khả dĩ của ngoại lực

Xét lực tác dụng tĩnh trên hệ đàn hồi cân bẳng. Quan hệ giữa lực và chuyển vị điểm
đặt của lực được thể hiện bằng đồ thị như trên hình 8.11. Tại thời điểm lực đạt giá trị p
thì chuyển vị tương ứng đạt giá trị u. Khi lực tăng lèn một giá trị nhỏ ỖP thì chuyển vị
216


tương ứng cũng lăng lên một giá trị nhỏ
ôu. Lúc này lực p +ỖP sinh công trên
chuyên vị nhỏ ỗu bằng:
ÔA = (P + ỖP)ỖU = p.ôư -f ỗP.5u
Nêu bỏ qua vô cùng bé bậc hai, có:
ÔA = p.ỗu.
Chuyến vị ôu không do giá trị p của
lực gâv ra nên được xem là chuyến vị khá
dì lương ứng với lực p và ỖA được gọi là
còng khả dĩ của lực p. Khi trên hộ có
nhiều lực tập trung P|, ? 2 , .... p„ tác dụng
tĩnh thì cóng khả dĩ của hệ lúc nàv bằng:

H in h

8 .1 1

ỖU|

= P,ÔU, +

+ ... + P,Su„ = [ P| p, ... p„ r

^ '^ 2

p f[8 u l

Trong dó:
P1 = t P,P^
... p„11 l'
- vectơ niíoai
lưc
và là ma trân cót có kích thước (n X 1);
I
w
J
u
.
;

'ỏu] = [ÔU| 5u, ... 5u„ ] - vectơ chuyến vị khả dĩ tương ứng và là ma trận cột có kích
thước (n

X 1).

Khi hệ chịu lực phân bố thổ tích đơn vỊ [ p ] trong hệ và lực phân bố diện tích đơn vị [f 1 =

p„,
fy

í)

^ tác dụng tại từng điểm
r tác dụng tại từng điểm trên

diện tích bề mặt s của hệ. thì công khả dĩ của hệ lúc này được xác định theo công thức:
ÔA= [ [ p f [ôu]dv+ |'[f f [ou]dS
J
•>
%
•
\

(8 - 2 1 )

Trong dó: [ỏu] = [ôu ôv ô\v]^ - vectơ chuyẻn vị khả dĩ tương ứng.
2. C òng khả dĩ của nội lực. T h ế năng biến dạn g đàn hồi khả dĩ

Khi chịu tác dụng của các nguyên nhân bén ngoài, tại môt điểm M(x, y, z) trong hệ
đàn hồi cân bằng xuất hiện trạng thái ứng suất và hiến dạne được xác định bằng:
- Vectơ ứng suất:

[ơ] =

- Vectơ biến dạng tỉ đối:

[e] =

"-xv

Yxv

’^zx

yyz

Yzx

217


Đồ thị quan hệ giữa ứng suất và
biến dạng được thể hiện như trên
hình 8 . 1 2 .
Khi ứng suất tăng lên một giá trị
nhỏ ỗơ thì biến dạng tỉ đối cũng tăng
lên một giá trị nhỏ tưcmg ứng ÔE. Lúc
này trong hệ xuất hiện sự thay đổi
nãng lượng biến dạng đàn hồi trên
một đơn vị thể tích ôwo được gọi là
thế năng biến dạng đàn hồi khả dĩ tỉ
đối và được đo bằng công khả dĩ của
nội lực trên một đcm vị thể tích:

H ìn h

8 .1 2

ỖW(, = [ ơ ] ' [ ô £ ] + [ ô ơ ]'^[ ỗ s ]

Nếu bỏ qua vô cùng bé bậc hai có;
ÔSy
ÔVVq = [ ơ ]' [ ỗ e ] =

xy

■yz

(8- 2 2 )

zx

ôyy^
ỗ.
Hay:

■y?,

I yz

Do đó công khả dĩ của nội lực trên những biến dạng khả dĩ đàn hồi tương ứiig hay thế
năng biến dạng đàn hồi khả dĩ trong toàn hệ bằng:
ôw =

ÔW(,
V

= [ơ ]'[ô e]d v

(8-23)

V

3. N guyên lí công khả dĩ L agrange

Đối với hệ đàn hồi tuyến tính cân bằng khi chịu tác dụng của các ngoại lực, ngoài
công khả dĩ của ngoại lực cần phải kể đến còng khả dĩ của nội lực. Do đó nguyên lí công
khả dĩ Lagrange áp dụng cho hệ đàn hồi cân bằng được phát biểu như sau:
Điều kiện cần và đủ để hệ biến dạng đàn hổi ở trạng thái cân bằng khi chịu tác dụng
của các ngoại lực là công khả dĩ của ngoại lực trên những chuyển vị khả dĩ tưcfng ứng
bằng công khả dĩ của nội lực trên những biến dạng khả dĩ tưcmg ứng.
Do đó:
218

5A = ôw


Thav (8-21) và (8-23) vào biểu thức trên, nhàn được:
Ííp l'[ô u ]d v + í[f]'[ô u ]d S = í[ơ ]'[ỗ s]d \

(8-24)

Thực hiện chuyển trí các ma trận, có:
[ôu]' p]dv+ [ỗ u ]'[f]d S =
Thay biêu thức định luật Hooke [ơ] =

[D ][e]

[ ỗ£

d\'

vào vế phải của phương trình trên, có:

'[ổu]' [p1dv= í[ôu]' [f]dS= Ííô s r [D][e]dv
\'

(8-25)

,s

Như vậy phương trình (8-25) chứa các điểu kiện biêu thị sự cân bằng của mọi điểm
bên trong và trên bể mặt của hệ đàn hồi, chứa định luật Hooke thể hiện tính chất cơ học
ciia vật liệu thòng qua quan hệ iỉiữa ứng suất và biên dạng, nhưng chưa chứa quan hệ
biến dạng chuycn vị Cauchy và điều kiện biêu thi sự liên tục của biến dạng và chuyển vị
irong hệ. Các phươiig tiình này sẽ được kế đến bằns mót hàm chuyển vị xấp xỉ được
chọn Irước thể hiện được sự liẽn hệ và liên tục của biến dạng và chuyển vị tại mọi điểm
trong hệ.
8.9. NỘI 1)UN(Ỉ PHUONC; P H Á P PHẨN r Ử H l ĩ l l HẠN M ỏ H ÌN H C H U Y Ể N v ị
1. Rời rạc hoá kết cáu liên tục

Tướng tượng chia kếl cấu licn tục thành một số hữu hạn các miền nhỏ hay các kết cấu
con, mỗi kết cấu con được gọi là một phần tử hiữu hạn f'FrHH). Các PTHH có thể có
hình dạng hình học khác nhau và kích thước khác nhau. Tính chất cơ lí của vật liệu và
cúc đặc trưng hình học được giả thiết là không thay đổi trong phạm vi mỗi PTHH nhưng
có thê thay đổi lừ PTHH này đến PTHH khác. Hình dáng, kích thước của PTHH, số
lượng PTHH phụ thuộc vào hình dáng, tính chất chịU lực cùa kết cấu liên tục đang xét và
yêu cầu về mức độ chính xác của kết quả tính.
4

-^ 3

(3)

(1)

(4)

^(2)

Hinh 8.13
219


Đối với kết cấu có dạng hình khối làm việc thay sơ đồ không gian thì PTHH có thế
chọn là PTHH không gian hình chóp có 4 đỉnh hay lãng trụ có 6 đỉnh hoặc hình hộp có
8 đỉnh. Đối với kết cấu có dạng tấm thì PTHH có thể chọn là tấm hình tam giác hay hình
chữ nhật, đối với kết cấu hệ thanh thì PTHH được chọn là thanh thẳng hay còn gọi là
phần tử thanh (PTT), đối với kết cấu có cạnh cong hay mặt cong thì PTHH được chọn có
cạnh cong hay mặt cong... như trên hình 8.13.
Sau khi rời rạc hoá kết cấu liên tục thành các PTHH, các PTHH được giả thiết lièn
kết lại với nhau nhưng chỉ tại một sô' điểm quy định thường là tại các đỉnh hay gọi là nút
của PTHH. Tập hợp các PTHH được nối lại với nhau tại các nút gọi là lưới PTHH. Như
vậy nếu lưới PTHH có kích thước các PTHH càng nhỏ thì càng làm việc sát với sự làm
việc thực tế của kết cấu liên tục đang xét. Các PTHH được hình thành theo cách rời rạc
hoá như trên được gọi là PTHH tuyến tính. Giả thiết các PTHH kề nhau có cạnh chung
được nối lại với nhau tại một số điểm nút nằm trèn cạnh chung và xem chuyển vị hay
ứng suất (nội lực) tại các nút của các PTHH kề nhau phải bằng nhau và là các ẩn số cán
tìm. Như vậy ẩn số của phương pháp PTHH có thểlà chuyển vị hayứng suất (nội lực) tại
các nút của lưới PTHH. Phương pháp PTHH với ẩn số là chuyển vị tại các nútcủa lưới

PTHH được gọi là phương pháp PTHH mô hình chuyển vị.
Trong bài toán đàn hổi phẳng nếu giả
thiết mỗi nút của PTHH tấm phẳng trên
hình 8.14 có hai chuyển vị là u theo

2,( a ,b )

phương ox và V theo phương oy thì

PTHH tam giác phẳng có 6 ẩn số
chuyển vị nút, còn PTHH chữ nhật
phẳng có 8 ẩn số chuyển vị nút. Vectơ
chuyển vị nút của PTHH tam giác phẳng
trên hình 8 .14a có dạng:
'u]e=[uo

H ìn h

8 .1 4

T

Vq I

Vectơ chuyển vị nút của PTHH chữ nhật phẳng trên hình 8.14b có dạng:
[u]e=[uo

Vq U,

V|

U2

V2

U3

v ,]'

Việc rời rạc kết cấu liên tục thành lưới PTHH làm số lượng ẩn số (hàng trăm, thậm
chí hàng nghìn... ẩn số) và khối lượng tính của phương pháp PTHH là rất lớn. Do đó khi
sử dụng phương pháp PTHH nếu không có sự trợ giúp của máy tính điện tử thì trong
nhiều trường hợp không thể giải được.
2. C họn hàm chuyển vị xấp xỉ

Việc chọn hàm chuyển vị hay còn được gọi là trường chuyển vị, biểu thị chuyển vị tại
một điểm bất kì thuộc PTHH nhằm xác định sự liên hệ giữa chuyển vị tại các nút của
220


PrHH với chuyển \'ị tại một điểmbất kì thuộc FT’HH. Trong hệ loạ độ Descarteschọn
trước, hàm chuyển vị lại một điểmbất kì M thuộc phần từ hữu hạn là hàm số của toạ độ
tại điếm đang xél:
- Đối với

không gian có:

- Đối với PTHH tấm phẳng có:

u(x, y, z). v(x, y, z). w(x, y, z)

u(x. y). '.'(m, y)

Đối với PTHH tuyến tính có các cạnh thin 2 . hàm chuyến vị thưòíng được chọn dưới
dạng đa thức bậc nhất là phươiig trình ciia đưòìis thảna và sẽ được biểu thị qua các
chuyên vị nút của PTHH. do đó số các sô hạng cua hàm chuvển vị được chọn phải phù
hợp chặt chẽ với sô' nút và số chuyển vị nút cùa PTHH;
• PTHH tam giác phẳng:

u(x, y) = a I +• CC2 X + Ơ3 y
v(x, y) = ttạ +■

• PTHH chữ nhật phẳng:

+

a .( ^ y

(8-26)

u(x, y) = a, +■ cXìX + a 3 y + Ơ4 xy
v(x, y) =

+- (X(-,X + a^y + ơịịXy

(8-27)

Trong đa thức của hàm chuvển vị được chọn xấp xí, ơị là các hệ sô' trong quá trình
tính sẽ được biểu thị thông qua các chuven y ị nú: của PTHH. Do đó hàm chuyển vị được
chọn phái có sô sô’ hạng bằng sỏ' núl của PTHH \ à sô các hệ số ttị của hàm chuyển vị
phai bằng só chuyển vị lại các nút của ỈTHH. Như vặv PrHH tam giác phắng có ba nút,

nếu giá thiêì mỗi núi có hai thành phần chiiyểr, \ ị thl mỗi đa thức của hàm chuyển V
đirợc chọn phải c ó 3 s ố hạng và chứa 3 hộ s ố ư. s u v ra h ai đa thức củ a hàm c h u y ể n V

đưực chọn chứa 6 liệ sổ a như trong biểu thức (8-26). Các đa thức biểu thị hàm chuyển
vị xấp xỉ của PTHíỉ là phương trình của đưừng thẳng. Các đưríng thẳng này phải nghiệm
đúng với toạ độ của từng đỏi nút một. iNhư vậy các đicm nầin trên mỗi cạnh của PTHH
giữa hai nút sẽ phải nằm trên đưìmg thảng đã chọn vả các cạnh của PTHH là thẳng trước
biến dạng vẫn giữ nguyên là thắng sau biến dạng. Vì vậy PTHH được gọi là PTHH
phắng tuyến tính.
Mỗi hàm chuyển vị được chọn của PTHH chữ nhật ph.ảng tuyến tính theo (8-27) có 4
sô hạng và chứa 4 hệ số a nhưng có số hạng chứa tích số xy là số hạng bậc hai. Tuy
nhiên do hình dáng của PTHH là chữ nhật nén các điểin nằm trên các cạnh song song
với trục ox, có y = const, còn các điểm nám trên các cạnh song song với trục oy, có
X = const. Do đó hàm chuyển vị được chọn thec các cạnh của PTHH song song với trục
ox là đa thức bậc nhất đối với X và hàm chuyển vỊ được chọĩi theo các cạnh của PTHH
song song với trục oy là đa thức bậc nhất đối \ ới y
Đối với từng PTHHphẳngluyến tính nên chọnhè toạ độ riêng của PTHH sao cho có
càng nhiều toạ độ của đỉnh PTHH bằne không càno tốt, ahư tiTên hình 8.14. Như vậy;
Đối với PTHH phảng tuyến tính, hàm chuyển VI chọn xấp KỈ là đa thức bậc nhất có số
số hạng bằng số nút của PTHH và số các hệ số a bằng số chuyển \ Ị tại các nút của PTHH.
221


• PTHH khônggian hình chóp có 4 nút, nếu giả thiết mỗinút có ba thành phần
chuyển vịu, V , w theo phương ox, oy và oz thì hàm chuyểnvị chọnxấp xỉ có dạng:
u ( x , y , z ) = ttị + UịX +

a ^ y

+

CL^Z

v ( x , y , z ) = a j + ttộX +

a -Ị- y +

agZ

(8-28)

u(x, y, z) = ttọ + ttịoX + a, ly + a,2Z

• PTHH không gian hình hộp có 8 nút, do đó hàm chuyển vị chọn xấp xỉ có dạng:
u ( x , y, z ) = a , + tt 2X +

a ^ y

+

a ^ z

+ ttgXy + a ộ y z +

a -jZ X

+ agxyz

v(x, y, z) = ơọ + ttioX + a ,lY + tt|2Z + a|3xy + a,4yz + a|5ZX + a ,6xyz

(8-29)

u ( x , y , z ) = a |7 + ttigX + a , 9y + a 2oZ + a 2 |X y + a 22y z + a 23Zx + a 9 4 x y z

3. Phương trình cơ bản của P T H H m ô hình chuyến vị

Hàm chuyển vị xấp xỉ được chọn theo (8-26) và (8-27) của các PTHH phẳng tuyến
tính có thể viết dưới dạng ma trận:
"a,
au (x ,y )

s:

_ v ( x , y)_

1

X

y

0

0

0

«3

0

0

0

1

X

y

a4
«5
« 6

hay

[u] = [u(x, y)] = [A(x, y)][a] = [A][a]

(8 -3 0 a )

a,
a -

au(x, y)

1

X

y xy

0

0 0

.v(x, y)_

0

0 0 0

1

X

y

0 a
xy

(8-30b)

a ,

a,
a-

hay

u] = [u(x, y)] = [A(x, y)][a] = [A][a]

Tương tự, hàm chuyển vị chọn xấp xỉ theo (8-28) và (8-29) của PTHH không gian có
thể viết dưới dạng ma trận:
222


u(x, y, z)
u(x, y,z)] = v(x,y, z) = [A ( x, y, z)][a'

(8-30c)

w(x, y, z)
Trong đó:
[li] - Vectơ các thành phần chuyên \'ị tại một điểm bâi kì c ó toạ độ X, y, z hay X, y
trong phạm vi PTHH và là ma trận cột có kích thước ( 2 x 1 ) đổi với (8-30a, b) và (3 X 1)
đói với 8.30c:
[ A] - m a t r ậ n c á c b i ế n s ố c ú a h à m c h u \ ế n vị đ ư ợ c c h ọ n x ấ p x ỉ , c ó k í c h t h ư ớ c ( 2 X n )

đôi \'ới (8-30a. b) và (3 X n) đối với 8.30c) với n là số chuvến vị nút của PTHH đang xét;
Ị(xJ - ma trận các hệ số của hàm chuvển vỊ được chọn xấp xỉ và là ma trận cột có kích
t h ư ớ c (n X 1).

Đối với chuvến vị tại các nút của PTHH có;
[u]e=[A ]e[a] suy ra; [a ] = [A ]”‘ [u]e

(8-31)

lìong đó:
[u]^, - vectơ các thành phần chuyển vị nút của PTHH và là ma ưận cột có kích thước

(n X 1);
[A]^. - ma trận các loạ độ nút trong hệ toạ độ riêng của Ỉ^H H ;
c - kí hiẽu của PrHH.
Thay [u] xác dịnh theo (8-3()a, b) vào phương trình biến dạng Cauchy [ 8 ] = [ v ] ' [u],
nliận được:

V

A

a

Thay (8-31) vào bicu thức trên ta có:
[£] = [V ]''[ a ][ a L :'[ u L =[B][uJe

(8-32)

Trong đó: [B] = [ v ] [ A ][ a ]õ' được gọi là ma trận chuyển đổichuyển vị nút về biến
dạng lỉ đối của PTHH.
Thực hiện lấy biến phân bậc nhất biểu thức (8-32), nhận được:
[ỗt;] = [B][ôu]

(8-33)

Trong đó: [ôs] là vectơ các biến dạng tí đối khả dĩ và [ôu] ỉà vectơ các chuyển vị khả
dì của FTHH.
Thực hiện phép chuyên vị trí các ma trận Irong (8-33):
[ ỗe]' = [ôu]' [B ]‘
Thay biểu thức này và (8-32) vào vế phải của (8-25), sẽ nhận được:
Su]' [p]dv+ j[ôu ]’ [f]d S = J[ 6 u]' [B r[D ][B ][u le d v

(8-34)

223