hinh giai tich 12 có đáp án, miễn phí

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
§1. Một Số Công Thức Cần Nhớ
1- Độ dài đoạn thẳng
Nếu A(x1; y1; z1 ), B(x 2 ; y2 ; z 2 ) thì
AB =

( x1 − x 2 )2 + ( y1 − y2 )2 + ( z1 − z 2 )2

.

2- Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Nếu điểm M (xo ; yo ; zo ) và mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 thì
Axo + Byo + Czo + D = 0
d( A;( P ) ) =
.
A2 + B 2 + C 2

3- Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

JJJJG
⎡ AM , uG ⎤
⎧⎪qua A
⎢
⎥
Nếu điểm M đường thẳng (d): ⎪⎨
G thì d( A;(d ) ) = ⎣ G ⎦ .
⎪⎪ vtcp u
u
⎩

4- Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
Là khoảng cách từ 1 điểm trên mặt phẳng này tới mặt phẳng kia
nếu (P): Ax + By + Cz + D = 0 và (Q): Ax + By + Cz + D ' = 0 thì
D −D'
d( ( P ),(Q ) ) =
2
A + B2 + C 2

5- Khoảng cách giữa hai đường thẳng
+ Nếu hai đường thẳng song song thì khoảng cách giữa chúng bằng khoảng cách từ 1 điểm trên
đường này tới đường kia, khi đó ta dùng công thức 3 để tính.
⎧⎪qua A
⎧⎪qua B
+ Nếu hai đường thẳng (d1): ⎪
JJG là hai đường thẳng chéo nhau thì
JJG và (d2): ⎪
⎨
⎨
⎪⎪ vtcp u2
⎪⎪ vtcp u1
⎩
⎩
JJJG JJG JJG
AB.[ u1, u2 ]
.
d(d1;d2 ) =
JJG JJG
[ u1, u2 ]

6- Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng

+ Nếu đường thẳng và mặt phẳng có điểm chung thì khoảng cách bằng 0.
+ Nếu đường thẳmg song song với mặt phẳng thì khoảng cách giữa chúng bằng khoảng cách từ
1 điểm của đường thẳng tới mặt phẳmg, sử dụng công thức 2 để tính.

7- Góc giữa hai đường thẳng

JG JJG

Nếu (d1), (d2) có VTCP lần lượt là u1, u2 thì góc α ( α ∈ [ 0;90o ]) giữa chúng được xác
JJG JJG
u1.u2
định theo công thức cos α = JJG JJG .
u1 . u2

8- Góc giữa hai mặt phẳng

JJG JJG
Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) có hai vtpt lần lượt là n1, n2 thì góc α
JJG JJG
n .n2
( α ∈ [ 0;90o ] ) giữa chúng được xác định theo công thức cos α = JJG 1 JJ
G .
n1 . n2

9- Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
G
JG
Nếu đường thẳng (d) có vtcp là u và mặt phẳng (P) có vtpt là n thì góc α
1
Trịnh Đình Hoàn – Viện Toán học

G JG
u.n
( α ∈ [ 0;90o ] ) giữa chúng được xác định theo công thức sin α = G JG .
u .n

10- Diện tích một số đa giác thường gặp
i/ Diện tích tam giác ABC là
S+ABC =

ii/ Diện tích hình bình hành ABCD là
SABCD =

11- Thể tích hình chóp

1
2

JJJG JJJG
⎡ AB, AC ⎤ .
⎣⎢
⎦⎥

JJJG JJJG
⎡ AB, AD ⎤ .
⎣⎢
⎦⎥

1

h.S .
3 day
+ Nếu là hình chóp tam giác ( tứ diện) ABCD thì
1 JJJG JJJG JJJG
VABCD = AB. ⎡⎢ AC , AD ⎤⎥
⎣
⎦
6
Vchop =

12- Thể tích hình trụ
( là một đa diện có hai đáy // và bằng nhau, các mặt bên là các hình bình hành)
Vlang tru = h.Sday .
+ Thể tích của hình hộp ABCD.A’B’C’D’ là
JJJG JJJG JJJG
Vhop = AA '. ⎡⎢⎣ AB, AD ⎤⎥⎦ .

§2. Phương Trình Mặt Phẳng
Bài toán 1: Viết phương trình mặt phẳng qua 3 điểm phân biệt.
Bài toán 2: Viết phương trình mặt phẳng qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng.
Bài toán 3: Viết phương trình mặt phẳng chứa 2 đường thẳng cắt nhau.
Bài toán 4: Viết phương trình mặt phẳng chứa 2 đường thẳng song song.
Bài toán 5: Viết phương trình mặt phẳng chứa 1 điểm và một đường thẳng.
Bài toán 6: Viết phương trình mặt phẳng qua một điểm và song song với hai đường thẳng không cùng
phương.
Bài toán 7: Cho hai đường thẳng chéo nhau. Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng này và
song song với đường thẳng kia.
Bài toán 8: Cho 1 đường thẳng và một mặt phẳng không vuông góc với nó. Viết phương trình mặt
phẳng chứa đường thẳng và vuông góc với mặt phẳng.
Bài toán 9: Cho 2 điểm phân biệt A, B. Viết phương trình mặt phẳng qua A và cách B một khoảng lớn

nhất.
Bài toán 10: Cho mp(P) và điểm A. Viết phương trình mp(Q) đối xứng với mp(P) qua A.
Bài toán 11: Cho 2 mặt phẳng phân biệt (P1), (P2). Viết phương trình mặt phẳng (P3) đối xứng với
(P1) qua (P2).
Bài toán 12: Viết phương trình mặt phẳng qua điểm M ( khác gốc O) và cắt các trục toạ độ tại các
điểm A, B, C sao cho

a
b
c
đạt giá trị nhỏ nhất ( a, b, c > 0 ) .
2 +
2 +
OA
OB
OC2

2
Trịnh Đình Hoàn – Viện Toán học


Chú ý: Trong trường hợp đề bài yêu cầu viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng (d) và thỏa
mãn thêm điều kiện nào đó. Ngoài cách giải trực giác bằng cách mô hình như trên, ta có thể sử dụng
phương trình chùm mặt phẳng
m(A1x + B1y + C 1x + D1 ) + n(A2x + B2y + C 2x + D2 ) = 0
Sau đó sử dụng điều kiện của (gt) để tìm ra cặp (m, n ) .

§3. Phương Trình Đường Thẳng
Bài toán 1: Viết phương trình đường thẳng qua 2 điểm phân biệt.
Bài toán 2: Viết phương trình đường thẳng qua 1 điểm và vuông góc với một mặt phẳng.

Bài toán 3: Viết phương trình đường thẳng qua 1 điểm và song song với một đường thẳng hoặc // với
hai mặt phẳng cắt nhau.
Bài toán 4: Viết phương trình đường thẳng vuông góc chung của 2 đường thẳng chéo nhau.
Bài toán 5: Viết phương trình đường thẳng qua 1 điểm cắt và vuông góc với một đườn thẳng.
Bài toán 6: Viết phương trình đường thẳng qua 1 điểm và cắt 2 đường thẳng chéo nhau.
Bài toán 7: Viết phương trình đường thẳng hình chiếu của một đường thẳng lên mặt phẳng.
Bài toán 8: Cho 2 đường thẳng chéo nhau (d1), (d2) và một điểm A không nằm trên 2 đ/t đó. Viết
phương trình đường thẳng qua A, cắt (d1) và vuông góc với (d2).
Bài toán 9: Viết phương trình đường thẳng cắt hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc với mp(P).
Bài toán 10: Viết phương trình đường phân giác của một góc cho truớc.
Bài toán 11: Viết phương trình đường thẳng đối xứng với một đường thẳng qua một mặt phẳng.
Bài toán 12: Viết phương trình đường thẳng qua điểm A, vuông góc với đường thẳng (d), song song
hoặc nằm trên mp(P).
Bài toán 13:Cho mp(P), và hai đường thẳng phân biệt không song song với nó. Viết phương trình
đường thẳng nằm trên (P) và cắt hai đường thẳng đã cho.
Chú ý1: Để viết phương trình của đường thẳng có hai phương án:
1- Tìm ra hai mặt phẳng phân biệt cùng chứa đường thẳng cần tìm.
2- Tìm tọa độ một điểm trên đường thẳng và véctơ chỉ phương của nó.
Chú ý 2: Khi mô tả trên hình vẽ cần chú ý rằng: Mặt phẳng thì có véctơ pháp tuyến, đường thẳng thì
có 1 điểm và véctơ chỉ phương.

§4. Phương Trình Mặt Cầu
A- Tóm tắt lý thuyết
1. Định nghĩa:
Trong không gian mặt cầu là tập hợp tất cả các điểm cách điểm I cho trước một khoảng không đổi
R > 0 . Kí hiệu là mặt cầu S(I; R) .

2. Phương trình mặt cầu
2.1 Phương trình chính tắc của mặt cầu
Trong hệ tọa độ Oxyz cho điểm I( a;b; c ) Khi đó S(I; R) có phương trình chính tắc là

(x − a )2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R 2
(1)

2.2 Phương trình tổnq quát của mặt cầu
x 2 + y 2 + z 2 + ax + by + cz + d = 0

(2)
3

Trịnh Đình Hoàn – Viện Toán học


3. Vị trí tưong đối của đường thẳng và mặt cầu
Xét mặt cầu S(I; R) và đường thẳng (d). Ta có
- Đường thẳng (d) nằm ngoài mặt cầu ⇔ d(I;(d )) > R .
- Đường thẳng (d) là tiếp tuyến của mặt cầu ⇔ d(I;(d )) = R .
- Đường thẳng (d) cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt ⇔ d(I;(d )) < R .
Chú ý: i/ Với hai đoạn thẳng có các điểm đầu mút trên mặt cầu thì đoạn thẳng lớn hơn nếu nó
gần tâm hơn
ii/ Cho 2 điểm A, B trên mặt cầu. Khi đó hình chiếu vuông góc của tâm I lên AB là trung
điểm của AB và ngược lại.

4. Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu
Xét mặt cầu S(I; R) và mặt phẳng (P). Ta có
- Mặt phẳng (P) nằm ngoài mặt cầu ⇔ d(I;( P )) > R .
- Mặt phẳng (P) là tiếp diện của mặt cầu ⇔ d(I;( P )) = R .
- Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu theo một đương tròn (C) ⇔ d(I;( P )) < R .
Chú ý: i/ Trong không gian người ta coi đường tròn là giao của một mặt phẳng và một mặt cầu. Do đó
đường tròn trong không gian có phương trình là một hệ gồm phương trình của một mặt cầu và phương
trình của một mặt phẳng chứa nó.

ii/ Nếu (C)= S(I; R) ∩ (P) thì tâm J của đường tròn (C) là hình chiếu vuông góc của I lên mp(P)
và ta có hệ thức
R2 = IJ2 + r 2 .

B. Một số bài toán cơ bản viết PT mặt cầu
Bài toán 1: Viết phương trình mặt cầu đi qua 4 đỉnh của một tứ diện.
Bài toán 2: Viết phương trình mặt cầu đối xứng với một mặt cầu cho trước qua 1 điểm hoặc 1 đường
thẳng hoặc một mặt phẳng.
Bài toán 3: Cho hai mặt phẳng phân biệt (P1), (P2) và đường thẳng (d) không nằm trên mặt phẳng nào
trong 2 mặt phẳng đã cho. Viết phương trình mặt cầu có tâm nằm trên (d)và tiếp xúc với 2
mặt phẳng.
Bài toán 4: Cho điểm I và đường thẳng (d). Viết phương trình mặt cầu tâm I và cắt (d) tại 2 điểm có
khoảng cách là h .
Bài toán 5: Cho điểm I và mặt phẳng (P). Viết phương trình mặt cầu
a/ tâm I và tiếp xúc với mp(P).
b/ tâm I và cắt (P) theo một đường tròn có (bán kính là…hoặc chu vi là …hoặc diện tích
là...).
Bài toán 6: Cho đường thẳng (d), điểm A, mp(P). Viết phương trình mặt cầu có tâm nằm trên (d) qua
A và tiếp xúc với (P).
Bài toán 7: Cho đường thẳng (d) và hai điểm A, B phân biệt. Viết phương trình mặt cầu đi qua A, B
và có tâm nằm trên (d).
Bài toán 8: Cho mặt cầu (S1) và mặt phẳng (P). Viết phương trình mặt cầu (S2) chứa đường tròn
(C)= S(I; R) ∩ (P) và thỏa mãn điều kiện
a/ đi qua điểm A.
b/ có tâm nằm trên mặt phẳng (Q).
Chú ý “ mở rộng khái niệm chùm và ứng dụng”.

4
Trịnh Đình Hoàn – Viện Toán học

BÀI TẬP MẶT CẦU
Bài 1: Cho 4 điểm A(1;1;1), B(1;2;1), C(1;1;2), D(2;2;1)
a/ Viết phương trình đường vuông góc chung của AC và BD.
b/ Viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D.
Bài 2: Cho 4 điểm A(1;-1;0), B(2;1;1); C(3;0;0); D(-2;-1;2)
a/ Viết phương trình đường thửng (d) qua D, song song với mp(ABC) và vuông góc với CD.
b/ Viết PT mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD, tìm tâm và bán kính của (S).
Bài 3: Cho đường thẳng
⎧x − 2 y − z + 2 = 0
(d): ⎨
và mặt cầu (S) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 2 z − 2 = 0 .
2
x
−
y
+
z
−
2
=
0
⎩
a/ Viết phương trình đường thẳng qua tâm mặt cầu, cắt và vuông góc với (d).
b/ Viết phương trình mặt cầu (S’) đối xứng với mặt cầu (S) qua (d).
x y −1 z +1
Bài 4: Cho đường thẳng (d): =
=
và hai mặt phẳng
2

1
2
(P): x + y − 2 z + 5 = 0 và (Q): 2 x − y + z + 2 = 0
a/ Gọi A, B là giao điểm của (d) với (P) và (Q). Tính AB.
b/ Viết phương trình mặt cầu có tâm nằm trên (d) và tiếp xúc với hai mặt phẳng (P) và(Q).
⎧x + y + z +1 = 0
Bài 5: Cho đường thẳng (d): ⎨
, và hai mặt phẳng
⎩ x − y + z −1 = 0
(P): x + 2 y + 2 z + 3 = 0 và (Q): x + 2 y + 2 z + 7 = 0
Viết phương trình mặt cầu có tâm nằm trên (d) và tiếp xúc với (P), (Q).
x y −1 z +1
Bài 6: Viết phương trình mặt cầu có tâm I(1;1;-1) và cắt đường thẳng (d): =
=
2
1
2
tại hai điểm A, B và AB = 8.
Bài 7: Cho điểm I(2;-1;1) và mp(P): 2 x − y + 2 z + 2 = 0 . Viết phương trình mặt cầu
a/ Tâm I và tiếp xúc với (P).
b/ Tâm I và cắt (P) theo một đường tròn có bán kính là 4.
Bài 8: Cho điểm I(1;2;-2) và mp(P): 2 x + 2 y + z + 5 = 0 .
a/ lập PT mặt cầu (S) có tâm I sao cho giao của (S) và (P) là đường tròn có chu vi là 8π .
b/ Chứng minh (S) tiếp xúc với đường thẳng (d): 2 x − 2 = y + 3 = z .
x y −1 z +1
=
=
, đi qua điểm
Bài 9: Viết phương trình mặt cầu có tâm nằm trên đường thẳng (d):
−1

1
2
A(0;1;0) và tiếp xúc với mp(P): 3x + 4 y − 1 = 0 .
Bài 10: Viết phương trình mặt cầu đi qua 2 điểm A(1;2;0); B(3;0;2) và có tâm nằm trên đường thẳng
⎧x = t
⎪
(d): ⎨ y = 1 + t (t ∈ \) .
⎪ z = −t
⎩
⎧⎪{ x 2 + ( y − 3) 2 + ( z − 4) 2 = 36
Bài 11: Lập phương trình mặt cầu chứa đường tròn (C): ⎨
và đi qua
⎪⎩ x − 2 y − z + 1 = 0
A(0;1;1). Tìm tâm và bán kính mặt cầu đó.
Bài 12: Cho mặt cầu (S) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 4 y + 2 z − 3 = 0 và mặt phẳng (P): 2 x − y + 2 z − 14 = 0 .
a/ Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và cắt (S) theo một đường tròn có bán kính
5
Trịnh Đình Hoàn – Viện Toán học


bằng 3.
b/ Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt cầu (S) sao cho lhoảng cách từ M đến mp(P) lớn nhất.
Bài 13: Cho mặt cầu (S) ( x − 3) 2 + ( y + 2) 2 + ( z − 1) 2 = 9 và mp(P): x + 2 y + 2 z + 11 = 0 . Tìm điểm M
Trên (S) sao cho khoảng cách từ M đến mp(P) ngắn nhất.
Bài 14: Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng
⎧8 x − 11y + 8 z − 30 = 0
(d): ⎨
⎩x − y − 2z = 0
và tiếp xúc với mặt cấu (S) : x 2 + y 2 + z 2 + 2 x − 6 y + 4 z − 15 = 0 .
=================================================================

GIẢI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BẰNG PP GẮN HỆ TOẠ ĐỘ

Bài 1: (Khối A-2002)
Cho hình chóp tam giác đều S. ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy bằng a . Gọi M, N lần lượt là
trung điểm của các cạch SB, SC. Tính theo a diện tích +AMN , biết rằng mp(AMN) vuông
góc với mp(SBC).
Bài 2: (Khối B-2002)
Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 có cạnh bằng a .
a/ Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng A1B và B1D.
b/ Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh A1B, CD, A1D1. Tính góc giữa MP và C1N.
Bài 3: (Khối D-2002)
Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mp(ABC); AC = AD = 4cm; AB = 3cm;
BC = 5cm. Tính khoảng cách từ A đến mp(BCD).
Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a và cạnh bên SA vuông góc với
a 6
.
mp(ABC). Tính khoảng cách từ A đến mp(SBC) theo a , biết rằng SA =
2
Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy và
SA = a . Gọi E là trung điểm của CD. Tính theo a khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng DE
Bài 6: Cho tam giác vuông cân ABC có cạnh huyền BC = a . Trên đường thẳng vuông góc với
mp(ABC) tại A lấy điểm S sao cho góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (SBC) bằng 60o. Tính
theo a độ dài đoạn thẳng SA
Bài 7: (Khối A-2003)
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ trong hệ toạ độ Oxyz với A trùng với gốc toạ độ.
B( a ; 0; 0), D(0; a ; 0); A’(0;0; b ) ( a > 0, b > 0 ) . Gọi M là trung điểm của CC’.
a/ Tính thể tích tứ diện BDA’M.
a
b/ Xác định tỉ số để hai mặt phẳng (A’BD) và (MBD) vuông góc với nhau.
b

Bài 8: (Khối B-2003)
Cho hình lăng trụ đứng ABCD. A’B’C’D’ có đáy ABCD là một hình thoi cạnh a , góc
n = 60o . Gọi M là trung điểm cạnh AA’ và N là trung điểm cạnh CC’. CMR bốn điểm
BAD
B’, M, D, N đồng phẳng. Tính độ dài AA’ theo a để tứ giác B’MDN là hình vuông.
Bài 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a , BC =2 a , cạnh SA
vuông góc với đáy và SA = 2 a . Gọi M là trung điểm của SC. Chứng minh tam giác AMB cân

6
Trịnh Đình Hoàn – Viện Toán học


tại M và tính diện tích của nó.
Bài 10: (Khối B-2006)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật cạnh AB = a , AD = a 2 , SA = a và SA
vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và SC, I là giao điểm của BM và
AC. Chứng minh rằng mp(SAC) vuông góc với mp(SMB). Tính thể tích của khối tứ diện
ANIB.
Bài 11: (Khối B-2007)
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a . Gọi E là điểm đối
xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. Chứng
minh MN vuông góc với BD và tính khoảng cách giữa MN và AC.
Bài 12: (Khối D-2007)
n = BAD
n = 90o , BA = BC = a , AD = 2 a .
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, ABC
Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a 2 . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB.
Chứng minh tam giác SCD vuông và tính khoảng cách từ H đến mp(SCD).
-------------------***-------------------

7
Trịnh Đình Hoàn – Viện Toán học