Tóm Tắt Lý Thuyết Toán 12 (Luyện thi đại học)

MATH-EDUCARE

E

AR

UC

ED

TH

MA
Lưu hành nội bộ

Điều chỉnh, bổ sung năm 2011

www.matheducare.com


MATH-EDUCARE
MATH-EDUCARE

 ÔN THI TN VÀ LTĐH 2012

MỤC LỤC

MA

Chương I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM............................................................ 3
Bài 1: Sự đồng biến – nghịch biến của hàm số ................................... 3

Bài 2: Cực trị của hàm số................................................................... 4
Bài 3: Giá trị nhỏ nhất – giá trị lớn nhất của hàm số ........................... 9
Bài 4: Tiệm cận ............................................................................... 10
Bài 5: Khảo sát hàm số .................................................................... 11
Bài 6: Một số bài toán liên quan đến hàm số và đồ thị ...................... 13

TH

Chương II. HÀM SỐ LŨY THỪA, HS MŨ VÀ HS LOGARIT .............. 24
Bài 1: Mũ, lũy thừa và logarit .......................................................... 24
Bài 2: Phương trình mũ ................................................................... 27
Bài 3: Phương trình logarit .............................................................. 28
Bài 4: Bất phương trình mũ, lôgarit ................................................. 29

ED

Chương III. NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG................. 29
Bài 1: Nguyên hàm.......................................................................... 29
Bài 2: Tích phân .............................................................................. 33
Bài 3: Ứng dụng hình học của tích phân .......................................... 35
Chương IV. SỐ PHỨC .............................................................................. 38

UC

Chương I-II: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN VÀ KHỐI TRÒN XOAY..... 40

AR

Chương III. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN.......... 42
Bài 1: Hệ tọa độ trong không gian ................................................... 42

Bài 2: Phương trình mặt cầu ............................................................ 45
Bài 3: Phương trình mặt phẳng ........................................................ 49
Bài 4: Phương trình đường thẳng ..................................................... 54
Bài 5: Vị trí tương đối ..................................................................... 61
Bài 6: Tìm một số điểm đặc biệt ...................................................... 64

E

MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN ÔN LẠI ...................................................... 67
Bài 1: Tam thức bậc hai, phương trình, bất phương trình bậc 2 ........ 67
Bài 2: Công thức lượng giác và phương trình lượng giác.................. 71
Bài 3: Hệ thức lượng trong tam giác ................................................ 79
Bài 4: Đạo hàm ............................................................................... 81
Phụ lục ........................................................................................................ 83

2
TRƯỜNG THPT NGÔ GIA TỰ
www.matheducare.com
www.matheducare.com




MATH-EDUCARE
MATH-EDUCARE
 LÍ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 12

Chương I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM

MA

Bài 1: SỰ ĐỒNG BIẾN – NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

* Định nghĩa: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên K (khoảng, nửa khoảng,
đoạn)

TH

- y  f  x  đồng biến trên K  x1 , x2  K : x1  x2  f  x1   f  x2 
- y  f  x  nghịch biến trên K  x1 , x2  K : x1  x2  f  x1   f  x 2 

ED

* Dạng toán:
Bài toán 1: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số
1. Tìm miền xác định.
2. Tìm đạo hàm, tìm các điểm tới hạn.
3. Xét dấu đạo hàm
4. Kết luận:
a) Nếu f '  x   0 với mọi x   a; b  thì hàm số f  x  đồng biến trên

UC

khoảng  a; b 

b) Nếu f '  x   0 với mọi x   a; b  thì hàm số f  x  nghịch biến trên
khoảng  a; b 

AR

Chú ý: f '  x   0 chỉ tại một số hữu hạn điểm trên khoảng  a; b  thì hàm số
cũng đồng biến (nghịch biến) trên khoảng đó.
Bài toán 2: Dùng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức

Để chứng minh f  x   g  x  , x   a; b  ta qua các bước sau:

E

1. Biến đổi: f  x   g  x  , x   a, b   f  x   g  x   0, x   a, b 
2. Đặt h  x   f  x   g  x 

3. Tính h '  x  và lập bảng biến thiên của h  x  . Từ đó suy ra kết quả.
3
: 0987.503.911
www.matheducare.com
www.matheducare.com

GV: NGUYỄN THANH NHÀN


MATH-EDUCARE
MATH-EDUCARE

 ÔN THI TN VÀ LTĐH 2012

Bài toán 3: Tìm điều kiện để hàm số y  f  x  luôn luôn tăng (hoặc luôn
luôn giảm) trên miền xác định
ax 2  bx  c
 a  0
Ax  B

luôn luôn tăng (hoặc luôn luôn giảm) trên miền xác định của nó khi và chỉ
khi y '  0 (hoặc y '  0 ) x  D . Nếu a có chứa tham số thì xét thêm

- Các hàm số y  ax 3  bx 2  cx  d  a  0  và y 

MA

 a  0
 a  0
trường hợp a=0 (đối với hàm bậc 3)  
(hoặc  
)
  y '  0
  y '  0

TH

ax  b
luôn luôn tăng (hoặc luôn luôn giảm) trên từng
cx  d
khoảng xác định của nó khi và chỉ khi y '  0 (hoặc y '  0 ) x  D

- Hàm số y 



Bài 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

ED

Bài toán 1: Áp dụng quy tắc 1 tìm cực trị của hàm số
1. Tìm miền xác định
2. Tìm f '  x 

UC

3. Tìm các điểm tại đó f '  x   0 hoặc f '  x  không xác định (gọi chung là

x
f'(x)

b

-

+
CĐ

E

f(x)

xo

a

AR

điểm tới hạn).
4. Sắp xếp các điểm đó theo thứ tự tăng dần và lập bảng xét dấu đạo hàm.

5. Nêu kết luận về cực trị.
Bảng tóm tắt:

4
TRƯỜNG THPT NGÔ GIA TỰ
www.matheducare.com
www.matheducare.com




MATH-EDUCARE
MATH-EDUCARE
 LÍ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 12
x

xo

a

f'(x)

b
+

-

f(x)

MA

CT

Bài toán 2: Áp dụng quy tắc 2 tìm cực trị của hàm số
1. Tính f '  x  . Giải phương trình f '  x   0 .
Gọi xi  i  1,2,... là các nghiệm của phương trình.

TH

2. Tính f "  x  và f "  xi 

3. Dựa vào dấu của f "  xi  suy ra kết luận về cực trị của điểm xi theo định
lí sau:
Định lí:

ED

Giả sử hàm số y  f  x  có đạo hàm cấp hai trên khoảng  a; b  chứa điểm
xo và f '  xo   0 . Khi đó:

a) Nếu f "  xo   0 thì xo là điểm cực tiểu.

UC

b) Nếu f "  xo   0 thì xo là điểm cực đại.

Bài toán 3: Tìm điều kiện của m để hàm số đạt cực trị tại một điểm cho
trước
Cách 1: Áp dụng định lí Fec-ma:
Giả sử y  f  x  có đạo hàm tại điểm x  xo .

AR

Khi đó nếu y  f  x  đạt cực trị tại điểm x  xo thì f '  xo   0 .

Chú ý: Nếu f '  xo   0 thì chưa chắc hàm số đạt cực trị tại điểm x  xo .

E

Do đó khi tìm được m thì phải thử lại.
Cách 2: Dùng đạo hàm cấp 2.
Bài toán 4: Tìm điều kiện để hàm số có cực đại và cực tiểu

ax 2  bx  c
có một cực đại và
Ax  B
một cực tiểu khi và chỉ khi phương trình y '  0 có hai nghiệm phân biệt

Các hàm số y  ax 3  bx 2  cx  d và y 

5
: 0987.503.911
www.matheducare.com
www.matheducare.com

GV: NGUYỄN THANH NHÀN


MATH-EDUCARE
MATH-EDUCARE

 ÔN THI TN VÀ LTĐH 2012

(khi đó hiển nhiên y’ đổi dấu hai lần khi qua các nghiệm). Nếu hàm hữu tỉ
thì phải khác nghiệm mẫu.
Bài toán 5: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị
ax 2  bx  c
C 
Ax  B
- Nếu (C) có hai điểm cực trị
- Thì phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đó là

1. Cho hàm số y 

MA
 ax
y

2



 bx  c '

 Ax  B  '

hay y 

2a
b

x
A
A

TH

2. Cho hàm số y  ax 3  bx 2  cx  d C 
- Nếu (C) có hai điểm cực trị và chia y cho y’ ta được
y  y '. A  x    x  

- Thì phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đó là y   x  

 y '  x 0   0

 y "  x0   0

ED

Bài toán 6: Điều kiện để hàm số đạt cực trị tại x0 :
 y '  x0   0
(hoặc 
)
y
'ñoå
i
daá
u
khi
qua
x


0

UC

Bài toán 7: Điều kiện để hàm số đạt cực đại tại x0 :
 y '  x 0   0

 y "  x0   0

 y '  x0   0
(hoặc 
)
 y 'ñoåi daáu töø + sang  khi qua x0

Bài toán 8: Điều kiện để hàm số đạt cực tiểu tại x0 :

AR

 y '  x 0   0

 y "  x0   0

 y '  x0   0
(hoặc 
)
 y 'ñoåi daáu töø  sang  khi qua x0

Bài toán 9: Điều kiện để hàm số đạt CĐ, CT tại x1 , x2 thỏa Ax1  Bx 2  C :

E
6
TRƯỜNG THPT NGÔ GIA TỰ
www.matheducare.com
www.matheducare.com




MATH-EDUCARE
MATH-EDUCARE
 LÍ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN 12

MA

 y '  0

 Ax1  Bx2  C

 x  x   b với x1 , x2 là nghiệm của y '  0
2
 1
a

c
 x1 x 2 

a
Bài tốn 10: Điều kiện để hàm bậc 3 có CĐ,CT và hai giá trị cực trị cùng
dấu:

TH


 0
* Điều kiện để hàm bậc 3 có CĐ,CT là  y '
 a  0

* Gọi A  x1 ; y1  , B  x2 ; y2  là hai điểm cực trị. Ta có y  x1  .y  x2   0
(trường hợp trái dấu thì ngược lại)

Chú ý: Hàm số viết thành: y  P  x  .y ' mx  n (lấy hàm số chia cho đạo

UC

ED

 y  x1   mx1  n
hàm)  
 y  x2   mx2  n
Bài tốn 11: Điều kiện để hàm số bậc 3 có CĐ,CT nằm về hai phía đối với
trục tung:
Điều kiện để ycbt được thỏa mãn là y '  0 có hai nghiệm trái dấu. Khi đó
c
0
a
Bài tốn 12: Cách tính nhanh giá trị cực trị của hàm hữu tỉ
P

AR

ax 2  bx  c
mx  n
* Tìm các điểm cực trị của hàm số (nghiệm của phương trình y’=0)

y

* ycực trò 

E

đạo hàm của TS 2ax  b

rồi thay x cực trị vào phân số này ta
đạo hàm của MS
m

có ycực trò tương ứng, và cách tính trên chỉ áp dụng cho hàm hữu tỉ.

Bài tốn 13: Tìm m để hàm trùng phương y  ax 4  bx 2  c có 3 điểm cực trị
lập thành một tam giác cân:
7
: 0987.503.911
www.matheducare.com
www.matheducare.com

GV: NGUYỄN THANH NHÀN


MATH-EDUCARE

MATH-EDUCARE

 ÔN THI TN VÀ LTĐH 2012
* TXĐ: D=R





* Tính y '  4ax 3  2bx  2 x 2ax 2  b ,

MA

x  0
x  0
y'  0   2
 2
 x   b  a  0 (1)
2
ax

b

0


2a
* Ycbt tương đương phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0.

Khi đó 

b
0
2a

TH

Bài toán 14: Điều kiện để hàm số y  f  x  C  đạt cực trị bằng  tại

ED

 ;     C 

x   là  y '    0

 y ''    0
Bài toán 15: Hàm trùng phương có 3 điểm cực trị lập thành một tam giác.
Tính diện tích tam giác đó:
* Tính y ' , tìm 3 điểm tới hạn, suy ra 3 điểm cực trị A, B, C.

* Tính diện tích tam giac ABC theo công thức: S 

1
| xy ' x ' y | với
2

AR

UC


 AB   x; y 


 AC   x '; y ' 
Bài toán 16: Tìm m để hàm trùng phương có 3 điểm cực trị lập thành một
tam giác đều:
* TXĐ: D=R

khác 0. Khi đó: 

b
 0  *
2a

E

x  0
x  0
* Tính y '  4ax  2bx; y '  0  
 2
2
 x   b  a  0  (1)
2
ax

b

0



2a
* Điều kiện để ycbt được thỏa là phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
3

8
TRƯỜNG THPT NGÔ GIA TỰ
www.matheducare.com
www.matheducare.com




MATH-EDUCARE
MATH-EDUCARE
 LÍ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 12

MA


 x  0  y  c  A


b
* Với điều kiện (*), giải phương trình y '  0   x  
 y  ? B .
2
a



b
 y  ? C 
x   
2a


TH

 AB 2  AC 2
Tìm được 3 điểm cực trị A, B, C. Do tam giác ABC đều nên  2
,
2
 AB  BC
từ đó tìm được m và chỉ nhận những m thỏa điều kiện (*).



Bài 3: GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT – GIÁ TRỊ LỚN NHẤT
CỦA HÀM SỐ

ED

* Định nghĩa:

 f  x   m, x  K
- min y  m  
K
x0  K : m  f  x 0 

UC

 f  x   M , x  K
- max y  M  
K
x0  K : M  f  x0 
* Dạng toán:
Bài toán 1: Tìm GTNN, GTLN của hàm số trên một khoảng

AR

Để tìm GTNN và GTLN của hàm số y  f  x  trên khảng  a; b  ta lập
bảng biến thiên của hàm số trên khoảng  a; b  rồi dựa vào đó mà kết luận.

E

Bài toán 2: Tìm GTNN, GTLN của hàm số liên tục trên đoạn  a; b 
Cách 1: Có thể lập bảng biến thiên rồi dựa vào đó mà kết luận.
Cách 2: Qua 3 bước:
1. Tìm các điểm x1 , x 2 ,..., x n trên  a; b  mà tại đó f '  x   0 hoặc
f '  x  không xác định.

2. Tính f  a  , f  b  , f  x1  , f  x 2  ,..., f  x n  .
9
: 0987.503.911
www.matheducare.com
www.matheducare.com

GV: NGUYỄN THANH NHÀN

MATH-EDUCARE
MATH-EDUCARE

 ÔN THI TN VÀ LTĐH 2012

3. Tìm số lớn nhất M và nhỏ nhất m trong các số trên. Khi đó:
M  max f  x  , m  min f  x 
 a; b

 a; b

Bài toán 3: Tìm m để phương trình f  x   m có nghiệm trên D:

MA

Xét hàm số y  f  x  trên D, tìm maxy, miny hoặc tìm tập giá trị của y từ
đó kết luận được m.



Bài 4: TIỆM CẬN

TH

1. Cách tìm tiệm cận:
* Nếu lim y  ( ) thì đường thẳng x  x0 là tiệm cận đứng.
x  x0

* Nếu lim y  y0 thì đường thẳng y  y0 là tiệm cận ngang.
x 

mà lim

x 

ED

* Nếu hàm số viết thành y  thöông ax  b 

Soá dö
(chia đa thức)
Maãu soá

Soá dö
 0 thì đường thẳng y  ax  b là tiệm cận xiên.
Maãu soá

UC

* Đường thẳng y  ax  b gọi là TCX của hàm số

f x
a  lim
x 
y  f  x  
x
b  lim  f ( x )  ax 

x 

AR


d
 TCÑ : x   c

 TCN : y  a

c
3. Cho M thuộc (C). Tính tích các khoảng cách từ 1 điểm trên (C) đến 2
tiệm cận:

ax  b
2. Các đường tiệm cận của đồ thị hàm số y 
là :
cx  d



E



* Gọi M x0 ; f  x0   C  . Tìm TCĐ, TCX (hoặc TCN)
* d=d(M,TCĐ).d(M,TCN) là một hằng số.

10
TRƯỜNG THPT NGÔ GIA TỰ
www.matheducare.com
www.matheducare.com

MATH-EDUCARE
MATH-EDUCARE
 LÍ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 12
Bài 5: KHẢO SÁT HÀM SỐ

ED

TH

MA

1. Sơ đồ khảo sát:
1. Tập xác định: D  
2. Sự biến thiên:
a) Xét chiều biến thiên của hàm số:
- Tìm đạo hàm
- Tìm các điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
- Suy ra chiều biến thiên của hàm số.
b) Tìm cực trị.
c) Tìm các giới hạn và tìm tiệm cận (nếu có)
d) Lập bảng biến thiên.
* Chú ý: Kết luận về tính đồng biến, nghịch biến phải ở trước BBT
3. Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố xác định ở trên để vẽ đồ thị.
* Chú ý:
- Để vẽ đồ thị chính xác nên tính thêm tọa độ của một số điểm, đặc biệt
cần tìm tọa độ các giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ.

- Cần lưu ý các tính chất đối xứng trục, đối xứng tâm.
2. Các dạng đồ thị:
a0
x

nghiệm
phân biệt

O

y

a0
x

AR

Phương
trình
y '  0 có hai

UC

a) Hàm số bậc ba: y  ax 3  bx 2  cx  d  a  0 

O

y

E

11
: 0987.503.911
www.matheducare.com
www.matheducare.com

GV: NGUYỄN THANH NHÀN


MATH-EDUCARE
MATH-EDUCARE

 ÔN THI TN VÀ LTĐH 2012

x

x

Phương
trình y '  0
O

y

O

y

x

x

TH

MA

có nghiệm
kép

Phương
trình y '  0
vô nghiệm

O

y

O

y

ED

Đồ thị nhận điểm uốn làm tâm đối xứng.

b) Hàm số trùng phương: y  ax 4  bx 2  c  a  0 
a0

Phương
trình y '  0
có 3 nghiệm

phân biệt

UC

x

a0

y

x

x

y
O

E

Phương
trình y '  0
có 1 nghiệm

y
O

AR

O

x

y

O

12
TRƯỜNG THPT NGÔ GIA TỰ
www.matheducare.com
www.matheducare.com




MATH-EDUCARE
MATH-EDUCARE
 LÍ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 12
Đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng.
c) Đồ thị hàm số y 

ax  b
 c  0 ; ad  bc  0
cx  d

D  ad  bc  0  y '  0 

D  ad  bc  0  y '  0 

MA

x

x

I

I

O

y

y

O

TH

Đồ thị nhận giao điểm I của hai tiệm cận làm tâm đối xứng.

ED

* Chú ý: M  x0 ; y0    C  : y  f  x   y0  f  x 0 


UC

Bài 6: MỘT SỐ BÀI TOÁN
LIÊN QUAN ĐẾN HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ
Bài toán 1: Sự tương giao của các đồ thị (bằng phương trình hoành độ giao

điểm)
Cho hai đường cong  C1  : y  f  x  ,  C2  : y  g  x  .

điểm f  x   g  x  (1)

AR

Để xét sự tương giao giữa  C1  ,  C2  ta lập phương trình hoành độ giao

1.  C1  không có điểm chung với  C2   pt (1) vô nghiệm.

E

2.  C1  cắt  C2  tại n điểm phân biệt  pt (1) có n nghiệm phân biệt.
Đồng thời nghiệm của pt (1) là hoành độ giao điểm của  C1  và  C2  .
Chú ý:
* Nếu phương trình hoành độ giao điểm có dạng Ax 2  Bx  C  0 .Ta biện
luận theo A và  . Tức là:
13
: 0987.503.911
www.matheducare.com
www.matheducare.com

GV: NGUYỄN THANH NHÀN


MATH-EDUCARE
MATH-EDUCARE

 ÔN THI TN VÀ LTĐH 2012

- Nếu A=0. Ta có kết luận cụ thể về giao điểm của (C1) và (C2).
- Nếu A  0. Tính 
+   0 : không có giao điểm.
+   0 : Có 1 giao điểm.
+   0 : có hai giao điểm.

MA

* Nếu phương trình hoành độ giao điểm có dạng ax 3  bx 2  cx  d  0 .
Đưa phương trình này về dạng:

 x     Ax

2



 Bx  C  0 (Chia Horner, a  0 )

TH

x  
 2
 Ax  Bx  C  0 1
Biện luận theo phương trình (1) ta suy ra được số giao điểm.
Bài toán 2: Dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình
F  x , m   0 (1)

ED

1. Biến đổi F  x , m   0 về dạng f  x   g  m  .
2. Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số
y  f  x  và đường thẳng y  g  m 

3. Dựa vào đồ thị để biện luận các trường hợp.
điểm có tung độ bẳng g  m 

UC

Chú ý: y  g  m  là đường thẳng song song với trục Ox và cắt trục Oy tại

y

1

g(m)

x

y=g(m)

E

y=f(x)

AR

O

Bài toán 3: Phương trình tiếp tuyến – Điều kiện tiếp xúc
Dạng 1: Phương trình tiếp tuyến tại điểm thuộc đồ thị:

Phương trình tiếp tuyến của (C): y  f  x  tại điểm M  xo ; yo    C  là:
14
TRƯỜNG THPT NGÔ GIA TỰ
www.matheducare.com
www.matheducare.com




MATH-EDUCARE
MATH-EDUCARE
 LÍ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 12
y  y0  f '  x 0  x  x 0 

Trong đó:

+ M  x0 ; y0  gọi là tiếp điểm.

+ k  f '  x 0  là hệ số góc của tiếp tuyến.

MA

Dạng 2: Phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc k:
- Nếu tiếp tuyến song song với đường thẳng y  ax  b thì k  a
1
a
- Tiếp tuyến hợp với chiều dương của trục hoành một góc  thì

k  tan 

- Nếu tiếp tuyến vuông góc đường thẳng y  ax  b thì k  

TH

1. Giải phương trình f '  x   k tìm x0 là hoành độ tiếp điểm.
2. Tính y0  f  x 0  .

3. Phương trình tiếp tuyến là y  k  x  x0   y0

ED

Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến (d) biết tiếp tuyến tạo với đường
thẳng (  ): y=ax+b một góc bằng  ( 0    90 ):
1. Gọi  ,  lần lượt là góc hợp bởi tiếp tuyến (d), đường thẳng (  )
với chiều dương trục hoành. Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến, khi đó

UC

ta có:      suy ra:

tan   tan     tan     

tan   tan 
k a

(1)
1  tan  tan 
1  ak



AR

2. Giải phương trình (1) tìm được hệ số góc k của tiếp tuyến.
3. Làm tương tự như dạng 2 ta có được phương trình tiếp tuyến.
Bài toán 4: Điều kiện để hàm bậc 3 cắt Ox tại 3 điểm phân biệt:
* Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và trục hoành là:



ax 3  bx 2  cx  d  0   x    Ax 2  Bx  C  0 (chia Horner)

E

x  
 2
(đặt g  x   Ax 2  Bx  C )
Ax

Bx

C

0
1




15
: 0987.503.911
www.matheducare.com
www.matheducare.com

GV: NGUYỄN THANH NHÀN


MATH-EDUCARE
MATH-EDUCARE

 ÔN THI TN VÀ LTĐH 2012

* Điều kiện để ycbt được thỏa là (1) phải có 2 nghiệm phân biệt khác
1  0

 . Khi đó 
 g    0

Bài toán 5: Điều kiện để hàm trùng phương y  ax 4  bx 2  c cắt Ox tại 4

MA

điểm phân biệt:
* Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và Ox:

TH

2

 t  x  0
ax 4  bx 2  c  0   2
 at  bt  c  0(1)
* Điều kiện để ycbt được thỏa là (1) phải có hai nghiệm dương phân

  0

biệt. Khi đó P  0
S  0


ED

Bài toán 6: Điều kiện để hàm trùng phương cắt Ox tại 4 điểm phân biệt lập
thành CSC:
* Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và Ox:

  0

biệt. Khi đó P  0 (*)
S  0


AR

UC

2
 t  x  0
ax 4  bx 2  c  0   2

 at  bt  c  0(1)
* Điều kiện để ycbt được thỏa là (1) phải có hai nghiệm dương phân

* Với điều kiện (*) được thỏa ta có 4 điểm có hoành độ lập thành CSC
nên (1) phải có hai nghiệm dương phân biệt thỏa t2  9t1 (2).

E


b
t1  t2   a (3)
Theo định lí Viét 
t .t  c (4)
 1 2 a
* Từ (2), (3), (4) ta giải ra tham số, chỉ nhận tham số khi m thỏa điều
kiện (*).

16
TRƯỜNG THPT NGÔ GIA TỰ
www.matheducare.com
www.matheducare.com




MATH-EDUCARE
MATH-EDUCARE
 LÍ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 12
Bài toán 7: Tìm m để d: y  m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho
AB=l:

* Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d. Biến đổi phương
trình này về dạng Ax 2  Bx  C  0 (1)

MA

 A  0
* Điều kiện để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt là 
 *
 (1)  0

* Gọi A  x1 ; m  , B  x2 ; m  là hai giao điểm của (C) và d; x1 , x2 là nghiệm
của (1). Ta có:

 2 '

 l . Từ đó tìm
|a|
|a|
được m, chỉ nhận những m thỏa điều kiện (*).
Bài toán 8: Tìm m để d: y  m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho
2

TH

AB 

x

2

 x1  | x1  x 2 || x2  x1 |

ED

AB có độ dài ngắn nhất:
* Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d. Biến đổi phương
trình này về dạng Ax 2  Bx  C  0 (1)

 A  0
* Điều kiện để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt là 
(*)
 (1)  0

của (1). Ta có AB 

x

UC

* Gọi A  x1 ; m  , B  x2 ; m  là hai giao điểm của (C) và d; x1 , x2 là nghiệm
2

2

 x1   x1  x2  x2  x1 

 2 '

. Từ
a

a

AR

đó tìm điều kiện của m để AB nhỏ nhất, chỉ nhận m thỏa (*).
Bài toán 9: Tìm m để d: y  m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho
OA  OB với O là gốc tọa độ:
* Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d. Biến đổi phương

trình này về dạng Ax 2  Bx  C  0 (1)

E

 A  0
* Điều kiện để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt là 
(*)
 (1)  0

17
: 0987.503.911
www.matheducare.com
www.matheducare.com

GV: NGUYỄN THANH NHÀN


MATH-EDUCARE
MATH-EDUCARE

 ÔN THI TN VÀ LTĐH 2012

* Gọi A  x1 ; m  , B  x2 ; m  là hai giao điểm của (C) và d; x1 , x2 là nghiệm
 
của (1). Ta có OA  OB nên ta có OA.OB  0 . Từ đây tìm được m, chỉ
nhận những m thỏa (*).
Bài toán 10: Tìm m để d: y  ax  b cắt (C) tại hai điểm phân biệt trên cùng

MA

một nhánh của (C):
* Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d. Biến đổi phương
trình này về dạng Ax 2  Bx  C  0 (1).

TH


A  0

* Điều kiện ycbt được thỏa là 1  0
với  là nghiệm

 x1     x2     0

của mẫu số và x1 , x2 là 2 nghiệm của (1).
Bài toán 11: Tìm m để d: y  ax  b cắt (C) tại hai điểm phân biệt trên cùng

ED

hai nhánh khác nhau của (C)
* Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d. Biến đổi phương

trình này về dạng Ax 2  Bx  C  0 (1).

UC


A  0

* Điều kiện ycbt được thỏa là 1  0
với  là nghiệm

 x1    x2     0

của mẫu số và x1 , x2 là 2 nghiệm của (1).
góc với đường thẳng y  ax  b .

AR

Bài toán 12: Tìm những điểm trên (C): y  f  x  mà tại đó tiếp tuyến vuông
* Gọi M 0  x0 ; y0    C  . Hệ số góc của tiếp tuyến tại M 0 là f '  x 0  .

E

Giải phương trình f '  x 0  .a  1 . Từ đây tìm được x0 và có được M 0 .
Bài toán 13: CMR mọi tiếp tuyến của (C): y  f  x  đều không qua giao
điểm hai tiệm cận:
* Tọa độ giao điểm I hai tiệm cận là nghiệm của hệ phương trình:

18
TRƯỜNG THPT NGÔ GIA TỰ
www.matheducare.com

www.matheducare.com




MATH-EDUCARE
MATH-EDUCARE
 LÍ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN 12
Tiệm cận đứng

Tiệm cận xiên (hay TCN)
* Lập phương trình tiếp tuyến qua I, kết quả là khơng có tiếp tuyến. Từ
đó ta có điều phải chứng minh.

MA

Bài tốn 14: Cho M   C  , tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận của (C) tại A,
B, gọi I là giao điểm hai tiệm cận. CMR M là trung điểm của AB. Tính diện
tích tam giác IAB:





* Gọi M x0 ; f  x0   C  . Phương trình tiếp tuyến tại M là

TH

y  y0  f '  x 0  x  x0   y  f '  x0  x  x 0   y0 .

UC

ED

* Tìm giao điểm của tiếp tuyến với TCĐ là A
* Tìm giao điểm của tiếp tuyến với TCX là B.
* Tìm giao điểm I của hai tiệm cận.
* Kiểm tra cơng thức M là trung điểm AB, từ đó ta có điều phải chứng
minh.
 
* Tính vectơ IA, IB . Từ đó tính diện tích tam giác IAB (kết quả là một
hằng số.
Bài tốn 15: CMR tiếp tuyến tại điểm uốn là tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ
nhất (hoặc lớn nhất):
* Tìm hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm uốn I  x0 ; y0  là f '  x 0  .
* Gọi hệ số góc của tiếp tuyến bất kì là f '  x  . Ta chứng minh
f '  x   f '  x 0  (trong trường hợp lớn nhất ta làm ngược lại).

AR

Bài tốn 16:Tìm những điểm trên đường thẳng  : y  y0 mà từ đó có thể kẻ
được 2, 3 tiếp tuyến đến (C):

* Gọi M  a; y0      . Viết phương trình d qua M và có hệ số góc k là:

E

y  y0  k  x  a   y  k  x  a   y 0 .

 f  x   k  x  a   y0

* Điều kiện để d là tiếp tuyến của (C) 
(1) . Muốn
 f '  x   k
từ M vẽ được 2,3 tiếp tuyến thì (1) có 2,3 nghiệm.

19
: 0987.503.911
www.matheducare.com
www.matheducare.com

GV: NGUYỄN THANH NHÀN


MATH-EDUCARE
MATH-EDUCARE

 ÔN THI TN VÀ LTĐH 2012

Bài toán 17: CMR mọi tiếp tuyến của (C) tạo với hai tiệm cận 1 tam giác có
diện tích không đổi:





* Gọi M x0 ; f  x0   C  . Phương trình tiếp tuyến tại M là
y  y0  f '  x 0  x  x0   y  f '  x0  x  x 0   y0 .

MA

TH

* Tìm giao điểm của tiếp tuyến với TCĐ là A
* Tìm giao điểm của tiếp tuyến với TCX là B.
* Tìm giao điểm I của hai tiệm cận.
* Kiểm tra công thức M là trung điểm AB, từ đó ta có điều phải chứng
minh.
 
* Tính vectơ IA, IB . Từ đó tính diện tích tam giác IAB (kết quả là một
hằng số.
Bài toán 18:Tìm trên (C) những điểm có tọa độ là các số nguyên:
* Hàm số viết thành y  Thöông+

Soá dö
Maãu soá

(chia đa thức)

ED

* Do x, y nguyên nên Mẫu số =  ước của Số dư.
Bài toán 19: Tìm những điểm trên (C) cách đều hai trục tọa độ:
* Những điểm trên (C) cách đều hai trục tọa độ là nghiệm của hệ

UC

 y  f  x 
 y  f  x 
phương trình 
hoặc 

 y   x
 y  x
Bài toán 20: Tìm những điểm trên (C) đối xứng nhau qua gốc tọa độ:

* Gọi A  x 0 ; y0  , B   x 0 ;  y0  là hai điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ.



AR

* Thay tọa độ A, B vào phương trình của hàm số ta được hệ phương
trình. Giải hệ này ta được tọa độ điểm cần tìm.
Bài toán 21: Tìm những điểm trên đồ thị hàm nhất biến sao cho tổng
khoảng cách từ đó đến hai tiệm cận đạt GTNN:



* Gọi M x0 ; f  x0   C  . Tìm TCĐ, TCN.

E

* Tính d  d M,TCÑ  d M,TCN   2 dM,TCÑ .d M,TCN   A . Vậy mind=A.














Khi đó d M ,TCÑ  d M ,TCN  . Từ đó tìm được M










Bài toán 22: Tìm những điểm trên (C) đối xứng qua d: y  ax  b

20
TRƯỜNG THPT NGÔ GIA TỰ
www.matheducare.com
www.matheducare.com




MATH-EDUCARE
MATH-EDUCARE
 LÍ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 12

1
* Gọi   d . Vậy phương trình  : y   x  m . Tìm tọa độ giao điểm
a
I của d và 
* Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và  . Biến đổi phương

trình này về dạng Ax 2  Bx  C  0 (1).

MA

* Gọi A  x1 ; y1  , B  x2 ; y2  là hai giao điểm của  và (C). ta có I là trung
điểm AB. Vậy x1  x2  2 x I . Từ đây tìm được m. Thay vào (1) tìm A

TH

và B.
Bài toán 23: Tìm những điểm trên (C) mà khoảng cách từ đó đến Ox bằng k
lần khoảng cách từ đó đến Oy:





* Gọi M x0 ; f  x0   C  . Tính d M ,Ox  , d M ,Oy








* Giải phương trình: d M ,Ox   k .d  M ,Oy 








ED

Bài toán 24: CMR đồ thị (C) nhận điểm I  x0 ; y0  làm tâm đối xứng:

* Bằng phép tịnh tiến theo vectơ OI với I  x0 ; y0  , hệ trục Oxy thành hệ
 X  x  x 0
 x  X  x 0
trục IXY. Ta có công thức đổi trục: 
(1)

 y  Y  y0
Y  y  y0

UC

* Thay (1) vào hàm đã cho ta có Y  F  X  . Kiểm chứng F  X  là hàm
lẻ.

AR

Bài toán 25: CMR đồ thị (C) nhận đường thẳng x  x0 làm trục đối xứng:

* Bằng phép tịnh tiến theo vectơ OI với I  x0 ;0  , hệ trục Oxy thành hệ
 X  x  x 0
 x  X  x 0
trục IXY. Ta có công thức đổi trục: 
(1)

Y  y  0
 y  Y

* Thay (1) vào hàm đã cho ta có Y  F  X  . Kiểm chứng F  X  là hàm

E

chẵn.
Bài toán 26: Tìm tập hợp điểm (quỹ tích)

 x  g  m 
* Tìm tọa độ điểm M  x; y  theo một tham số 
 y  h  m 

21
: 0987.503.911
www.matheducare.com
www.matheducare.com

GV: NGUYỄN THANH NHÀN

MATH-EDUCARE
MATH-EDUCARE

 ÔN THI TN VÀ LTĐH 2012

* Khử m từ hệ trên ta được phương trình F  x; y   0 .
* Giới hạn: dựa vào điều kiện tồn tại điểm M hay điều kiện khi khử m
để tìm điều kiện của x hoặc y.
Kết luận: tập hợp điểm M là đường (L) có phương trình

MA

F  x; y   0 thỏa điều kiện ở bước 3.

Bài toán 27: Tìm điểm cố định mà họ  Cm  luôn đi qua:
* Biến đổi phương trình y  f  x , m  về dạng Am  B  0 (hay

TH

Am 2  Bm  C  0 (ẩn m)).
* Tọa độ điểm cố định là nghiệm của hệ phương trình

A  0

 B  0)
C  0

Bài toán 28: Sự tương giao giữa 2 đồ thị mà trong đó tham số m có bậc 1
(tức là trong biểu thức không chứa m2, m3)

Giả sử bài toán tìm giao điểm của đường cong qui về tìm nghiệm của
A  0
(hay

B  0

ED

phương trình f  x   g  x  (1)

Trong đó (1) không nhẩm được nghiệm và tham số m trong (1) có dạng bậc

UC

nhất (tức là trong (1) không chứa m 2 , m 3 ,... ), khi đó:

* Biến đổi (1) về dạng F  x   m (2), ở đây F(x) có thể là hàm phân
thức.

AR

* Lập bảng biến thiên của hàm số y  F  x 

Bài toán 29: Các phép biến đổi đồ thị:

E

* Dựa vào bảng biến thiên ta biện luận số nghiệm của (2), và từ đó suy
ra kết luận đối với (1).
Nhận xét: Phương pháp này cũng đặc biệt có ích cho bài toán tìm m để

nghiệm của phương trình, hệ phương trình,... thỏa điều kiện cho trước nào đó
và một số bài toán khác về tìm m.

* Từ đồ thị hàm số y  f  x  C  suy ra đồ thị hàm số y  f  x   C '
1. Vẽ (C)
22
TRƯỜNG THPT NGÔ GIA TỰ
www.matheducare.com
www.matheducare.com




MATH-EDUCARE
MATH-EDUCARE
 LÍ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 12
2. Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía trên trục hoành; lấy đối xứng
của phần đồ thị (C) nằm phía dưới trục hoành qua trục hoành.
3. Xóa phần đồ thị nằm phía dưới trục hoành, đồ thị còn lại chính là
(C’)
y

MA

1

TH

x

Đồ thị hàm số y  f  x  (phần nét liền, nét đứt là phần được xóa)

 

ED

* Từ đồ thị hàm số y  f  x  C  suy ra đồ thị hàm số y  f x

UC

1. Vẽ (C)
2. Xóa phần đồ thị (C) nằm phía bên trái trục Oy và chừa lại phần đồ thị
nằm bên phải.
3. Lấy đối xứng phần đồ thị của (C) ở bên phải trục Oy qua Oy, ta có
được đồ thị (C’).
y

AR

1

x

E
  (phần nét liền, nét đứt là phần được xóa)

Đồ thị hàm số y  f x


23

: 0987.503.911
www.matheducare.com
www.matheducare.com

GV: NGUYỄN THANH NHÀN


MATH-EDUCARE
MATH-EDUCARE

ễN THI TN V LTH 2012

Chng II. HM S LY THA, HM S M
V HM S LOGARIT
M, LY THA V LOGARIT

MA

1. Ly tha, cn bc n:
a) nh ngha:
.
a.......
* an a

a a , n *

* a0 1; a n

n thửứa soỏ

1
an

TH

b) Tớnh cht:
Vi a, b *; m, n ta cú:
* am a n a m n
n

* ab a n b n
n

a mn

am
a m n
an
n

a an
* n
b b

ED



* am

*

* Nu: 0 a b thỡ: a n b n , n 0

UC

a n b n , n 0

* Nu a 1 v m n thỡ: am a n

* Nu 0 a 1 v m n thỡ: am a n
c) Cỏc tớnh cht ca cn bc n:
Gi s cỏc biu thc di õy u cú ngha. Khi ú:

*

a . n b n ab

a
n

n m

m

*

n am

*

a mn a
m

n

n

a
b



n

a
b

a,khi n leỷ
an
| a |,khi n chaỹn

E

*

n

AR

n

*

n
* Ly tha vi s m hu t: a n a m

24
TRNG THPT NGễ GIA T
www.matheducare.com
www.matheducare.com




MATH-EDUCARE
MATH-EDUCARE
 LÍ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 12
2. Lôgarit:

 0  a  1, b  0 

a)Định nghĩa: log a b  c  b  a c

b) Tính chất:
Cho a,b>0, a  1 . Các tính chất sau được suy trực tiếp từ định nghĩa:
* log a a  1

MA

* log a 1  0
* a

log a b

* log a a k  k  k   

b

c) So sánh logarit:
Cho a,b,c>0, c  1 . Ta có:

TH

*log c a  logc b  a  b
*Neáu c  1thì: logc a  log c b  a  b
*Neáu 0  c  1thì: logc a  logc b  a  b

d) Các quy tắc tính logarit:
* Logarit của một tích:

ED

Cho a, x1 , x2  0, a  1. Ta có: log a  x1 x2   loga x1  log a x2
* Logarit của một thương:

Cho a, x1 , x2  0, a  1. Ta có: log a

UC

* Logarit của một lũy thừa:

x1
 log a x1  log a x2
x2

Cho a, b  0, a  1 . Ta có: log a b k  k log a b  k   

 loga b 

logc b
logc a

1
 b  1
logb a

 loga b  log a c.logc b  0  c  1

E

1
 loga k b  .log a b  k  0 
k

AR

Đổi cơ số: log a b 

* Logarit thập phân:

- Logarit cơ số 10 gọi là logarit thập phân
25
: 0987.503.911
www.matheducare.com
www.matheducare.com

GV: NGUYỄN THANH NHÀN