Xây dựng lý thuyết và hệ thống bài tập phần tích phân cho giáo trình giải tích 1

BỘ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HCM
KHOA VẬT LÝ


BÙI QUỐC LONG

XÂY DỰNG LÝ THUYẾT
VÀ HỆ THỐNG BÀI TẬP PHẦN TÍCH
PHÂN CHO GIÁO TRÌNH GIẢI TÍCH 1
Giảng viên hướng dẫn:
TS. DƯƠNG MINH THÀNH
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

2016


LỜI CẢM ƠN
Để hoàn thành luận văn này, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy Dương
Minh Thành, người đã truyền cảm hứng toán học cho tôi, giúp đỡ tôi trong suốt quá
trình thực hiện luận văn với những ý kiến quý báu để giúp luận văn hoàn thành một
cách tốt nhất.

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến Ban chủ nhiệm và các thầy trong Tổ Toán lý
- Khoa Vật Lý - Trường Đại học Sư Phạm TP.HCM đã tạo điều kiện để tôi được thực
hiện luận văn này.

Cuối cùng, tôi xin cảm ơn hai bạn sinh viên K37: Lê Thị Phi Thuyền và
Nguyễn Minh Tuyến đã động viên và chia sẻ những buồn vui trong quá trình làm
luận văn.

Sinh viên thực hiện

Bùi Quốc Long


MỤC LỤC

CHƯƠNG 1 - PHẦN MỞ ĐẦU ................................................................................... 1
1.1.

Lý do chọn đề tài ................................................................................................ 1

1.2.

Mục đích nghiên cứu .......................................................................................... 2

1.3.

Khách thể và đối tượng nghiên cứu .................................................................... 3

1.4.

Giả thuyết khoa học ............................................................................................ 3

1.5.

Nhiệm vụ nghiên cứu .......................................................................................... 3

1.6.

Giới hạn nghiên cứu ............................................................................................ 3

1.7.

Những đóng góp mới của đề tài .......................................................................... 4

1.8.

Phương pháp nghiên cứu và cấu trúc của luận văn ............................................. 4

CHƯƠNG 2 - NHỮNG VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU TRỌNG TÂM .............................. 6
2.1.

Giáo trình phân tích ............................................................................................ 6

2.2.

Câu hỏi nghiên cứu ............................................................................................. 6

2.3.

Cấu trúc nội dung ............................................................................................... 7

2.4.

Nội dung trong đề cương chi tiết học phần Giải tích 1....................................... 8

CHƯƠNG 3 - PHÂN TÍCH & SO SÁNH PHẦN TÍCH PHÂN ............................... 10
3.1.

Phần lý thuyết ................................................................................................... 10

3.1.1.

Cách tiếp cận khái niệm Tích phân............................................................ 10

3.1.2.

Định nghĩa và tính chất của Tích phân ...................................................... 15

3.1.3.

Các phương pháp tính Tích phân ............................................................... 26

3.1.4.

Ứng dụng của Tích phân ............................................................................ 45

3.2.

Phần bài tập ...................................................................................................... 85

3.3.

Một vài kết luận ................................................................................................ 87

CHƯƠNG 4 - VIẾT MẪU PHẦN TÍCH PHÂN ....................................................... 92
TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................................................. 93

XÁC NHẬN CỦA HỘI ĐỒNG

Giảng viên hướng dẫn

Chủ tịch hội đồng


Chương 1: Phần mở đầu

Luận văn tốt nghiệp

CHƯƠNG 1 -

PHẦN MỞ ĐẦU

1.1. Lý do chọn đề tài
 Roger Bacon có một danh ngôn nổi tiếng “Toán học là cánh cửa và là chìa khóa
để đi vào các ngành khoa học khác”. Thật vậy, từ thời xa xưa, con người đã bắt
đầu với các tính toán cơ bản bắt nguồn từ việc đếm số. Cùng với sự phát triển
của khoa học và kỹ thuật, toán học dần trở nên một công cụ để giải quyết các
vấn đề thực tiễn. Chẳng hạn, nếu không có lượng giác ta không thể đo chiều cao
của một tòa tháp. Tương tự như vậy, nếu không có Giải tích thì ta không thể định
nghĩa chính xác được các khái niệm vận tốc, gia tốc…trong Vật lý.
 Ở cấp trung học phổ thông, ta chỉ tiếp cận Giải tích một cách tổng quan và ở
khía cạnh tính toán cơ bản, do đó, ta chưa thực sự hiểu nhiều về nó. Do vậy, ở
bậc Đại học và là một sinh viên Vật lý, ngoại trừ việc rèn luyện kỹ năng tính
toán, ta còn cần biết đến một số ứng dụng của nó trong Vật lý.
 Có thể nói Giải tích toán học là một môn học có những ứng dụng chi phối hầu
như toàn bộ các ngành khoa học - kỹ thuật và ngay cả Kinh tế. Chính vì thế môn
học này được đưa vào giảng dạy ở hầu hết các ngành khoa học tự nhiên. Với

những lý do đó, ngày càng có nhiều tài liệu về Giải tích toán học ra đời nhằm
phục vụ cho từng đối tượng khác nhau. Nhưng hầu như các tài liệu này chỉ mới
dừng lại ở việc cung cấp thông tin, phương pháp tính toán chứ chưa chú ý đến
nhấn mạnh tính ứng dụng của Toán học. Ở khía cạnh Vật lý, theo chúng tôi giáo
trình Giải tích toán học cần làm rõ thêm những khái niệm cơ bản của Cơ học đó
là Vận tốc và Gia tốc, …thông qua công cụ Giải tích. Từ đó, người đọc mới thấy
được mối liên hệ giữa Toán học và Vật lý.

GVHD: TS. Dương Minh Thành

1

SVTH: Bùi Quốc Long


Chương 1: Phần mở đầu

Luận văn tốt nghiệp

 Ở năm 2015, chúng tôi đã thực hiện luận văn [8] để nghiên cứu xem các giáo
trình Giải tích hiện tại có ảnh hưởng như thế nào đến cách dạy & học của giảng
viên cũng như sinh viên Khoa Vật Lý - Trường Đại Học Sư Phạm TP.HCM. Ở
đó, chúng tôi phân tích giữa các giáo trình Giải tích đang được sử dụng tại các
trường Đại học có đào tạo ngành Vật lý, chẳng hạn [1], [2], và so sánh với giáo
trình nước ngoài [10] để nhận thấy một số điểm mạnh và yếu của chúng. Từ đó,
chúng tôi đưa ra một cấu trúc kèm theo những yêu cầu và dựa theo đó viết mẫu
phần Đạo hàm trong [8] để minh họa.
 Để tiếp tục đi đến mục tiêu hoàn thiện một giáo trình Giải tích bằng tiếng Việt
với ngôn ngữ viết gần gũi, dễ hiểu và có các giải thích chi tiết cũng như đưa thêm
các ứng dụng Vật lý cụ thể nhằm mục đích có thêm tài liệu tham khảo phù hợp

cho các sinh viên ngành Vật lý, chúng tôi quyết định thực hiện luận văn này dựa
trên cấu trúc đã có ở [8] để phân tích và so sánh phần Tích phân giữa các giáo
trình trong nước [1], [2] với giáo trình nước ngoài [10] và cuối cùng là viết mẫu
phần Tích phân dựa trên những phân tích và so sánh đó. Chúng tôi cũng đưa
thêm các ứng dụng Vật lý cụ thể được tham khảo từ các tài liệu Vật lý [6], [7].

1.2. Mục đích nghiên cứu
 Đề tài đặt ra nhằm hoàn thiện ý tưởng viết một giáo trình Giải tích hoàn thiện
bằng tiếng Việt có thể dùng làm tài liệu tham khảo cho sinh viên Vật lý trường
Đại học Sư Phạm TP.HCM. Ở luận văn này, chúng tôi chú trọng đến khái niệm
Tích phân của hàm một biến số - định nghĩa và ứng dụng của nó.
 Các kết quả cần đạt được trong luận văn này là:
-

Phân tích và so sánh khái niệm Tích phân giữa [1], [2] và [10] để rút ra những
điểm mạnh và điểm yếu của chúng.

GVHD: TS. Dương Minh Thành

2

SVTH: Bùi Quốc Long


Chương 1: Phần mở đầu

-

Luận văn tốt nghiệp

Dựa vào cấu trúc của một chương cụ thể trong [7] để viết phần Tích phân
thỏa mãn các yêu cầu đó.

1.3. Khách thể và đối tượng nghiên cứu
 Chương trình giải tích Toán học và Vật lý.
 Mối liên hệ và việc ứng dụng của Toán học trong Vật lý.

1.4. Giả thuyết khoa học
 Nếu luận văn này được hoàn thiện sẽ giúp ích cho các sinh viên năm 1 khi được
học về Giải tích toán học một cách hoàn thiện hơn ở phổ thông, đồng thời thấy
được ứng dụng cụ thể của Toán học trong Vật lý, đặc biệt là ở khía cạnh Giải
tích.

1.5. Nhiệm vụ nghiên cứu
 Tìm hiểu các giáo trình giải tích được sử dụng tại Khoa Vật lý của một số trường
Đại học có đào tạo ngành Vật lý.
 Phân tích các giáo trình trên và so sánh nó với giáo trình nước ngoài, từ đó, rút
ra kết luận để đi đến việc viết phần Tích phân.

1.6. Giới hạn nghiên cứu
 Vì thời gian có hạn nên trong luận văn này, chúng tôi chỉ nêu ra sự khác nhau
của khái niệm Tích phân của các giáo trình trong nước và nước ngoài, đồng thời
phân tích kiến thức của phần Tích phân trong các giáo trình trên và tiến hành
viết mẫu chương Tích phân theo mẫu đã có ở [8].
 Trong luận văn này, chúng tôi chưa đủ thời gian để phân tích và viết phần Tích
phân suy rộng.

GVHD: TS. Dương Minh Thành

3

SVTH: Bùi Quốc Long


Chương 1: Phần mở đầu

Luận văn tốt nghiệp

1.7. Những đóng góp mới của đề tài
 Trong luận văn này, chúng tôi đã viết được phần Tích phân theo ngôn ngữ gần
gũi và dễ hiểu hơn thông qua những giải thích cụ thể đi từ những khó khăn đã
từng gặp phải. Ở đây, chúng tôi đã lược bỏ một số chứng minh, suy luận toán
học chặt chẽ mà chúng tôi cho rằng nó không phù hợp với sinh viên Vật lý.
 Chúng tôi cũng chú ý đến nội dung, cách trình bày, phông chữ, màu sắc, cùng
với các hình ảnh làm cho nội dung trở nên sinh động hơn. Điều quan trọng nhất
chính là bổ sung thêm các bài toán Vật lý để sinh viên có cái nhìn khái quát trong
các môn Vật lý sẽ được học tiếp theo. Những thay đổi này sẽ được đề cập trong
phần 4 của luận văn - Viết mẫu phần Tích phân.

1.8. Phương pháp nghiên cứu và cấu trúc của luận văn
 Chương 1: Phần mở đầu
Chúng tôi trình bày tổng quan về luận văn, cụ thể là lý do chọn đề tài, mục đích
nghiên cứu, khách thể và đối tượng nghiên cứu, giả thuyết khoa học, nhiêm vụ
nghiên cứu, giới hạn và đóng góp mới của đề tài để thấy được sơ lược về vấn đề
nghiên cứu của luận văn.
 Chương 2: Đặt vấn đề và câu hỏi nghiên cứu
Để tìm hiểu vấn đề nghiên cứu một cách có hệ thống và hiệu quả, chúng tôi đặt
ra một số câu hỏi và sẽ trả lời nó sau khi phân tích phần Tích phân trong Chương
3.
 Chương 3: Phân tích và so sánh phần Tích phân

Ở chương này, chúng tôi sử dụng phương pháp tổng hợp và phân tích lý thuyết
cùng với phương pháp phân loại và hệ thống hóa lý thuyết để tìm hiểu sâu sắc
về phần Tích phân được trình bày trong các giáo trình. Từ đó, chúng tôi phân
GVHD: TS. Dương Minh Thành

4

SVTH: Bùi Quốc Long


Chương 1: Phần mở đầu

Luận văn tốt nghiệp

loại và so sánh chúng để đi đến các kết luận nhằm trả lời các câu hỏi trong
Chương 2.
 Chương 4: Viết mẫu phần Tích phân

Ở chương này, chúng tôi sử dụng các kết quả ở Chương 3 để tổng hợp các kiến
thức vừa phân tích được, đồng thời kết hợp hài hòa giữa những ưu - nhược điểm
giữa các giáo trình trong nước và nước ngoài để tiến hành viết phần Tích phân
sao cho phù hợp với sinh viên Vật lý nhưng vẫn thỏa mãn các yêu cầu về kỹ
thuật tính toán.

GVHD: TS. Dương Minh Thành

5

SVTH: Bùi Quốc Long

Chương 2: Giáo trình & câu hỏi nghiên cứu

CHƯƠNG 2 -

Luận văn tốt nghiệp

NHỮNG VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU TRỌNG TÂM

2.1. Giáo trình phân tích
 Để thấy rõ điểm tương đồng giữa các giáo trình trong nước ở một số trường Đại
học có đào tạo ngành Vật lý và giáo trình nước ngoài, chúng tôi chọn các giáo
trình sau để tiến hành phân tích
[1] Đậu Thế Cấp (2007), Giải tích toán học, Nhà xuất bản Giáo dục (giáo trình
sử dụng tại Khoa Vật Lý - Đại học Sư Phạm TP.HCM).
[2] Đỗ Công Khanh (2010), Toán cao cấp – Giải tích hàm một biến, lý thuyết
chuỗi, Nhà xuất bản Đại học Quốc Gia TP.HCM (giáo trình sử dụng trường Đại
học Khoa Học Tự Nhiên TP.HCM và Đại học Bách Khoa TP.HCM).
=> Với những nét tương đồng ở [1] và [2] chúng tôi gọi chúng là giáo trình G1.
[10] James Stewart, Single variable calculus, Canada.
=> Gọi là giáo trình G2.

2.2. Câu hỏi nghiên cứu
 Để việc phân tích có hiệu quả và có hệ thống chúng tôi đặt ra một số câu hỏi sau
mà câu trả lời của nó sẽ làm rõ vấn đề mà chúng tôi nghiên cứu. Cũng cần nói
thêm là trong Chương 3, chúng tôi sử dụng lại các kết quả đã có ở [8] và sẽ bổ
sung thêm phần phân tích và so sánh ứng dụng của Tích phân.
 Cụ thể,
C1: Khái niệm Tích phân được G1 và G2 tiếp cận như thế nào? G1 và G2 có dẫn
dắt để đi đến định nghĩa Tích phân hay không?

GVHD: TS. Dương Minh Thành

6

SVTH: Bùi Quốc Long


Chương 2: Giáo trình & câu hỏi nghiên cứu

Luận văn tốt nghiệp

C2: Khái niệm Tích phân được G1 và G2 định nghĩa như thế nào? Việc định
nghĩa như vậy có tác động gì đến việc tiếp thu kiến thức này?
C3: Các phương pháp tính tích phân được G1 và G2 trình bày theo hướng nào
dưới đây?
Hướng 1: Thông báo kiến thức mới rồi đưa ra bài tập ví dụ.
Hướng 2: Đưa ra tình huống có vấn đề rồi xây dựng kiến thức để giải quyết.
C4: Ứng dụng của Tích phân được G1 và G2 trình bày như thế nào? Sau khi học
xong, sinh viên có thể áp dụng được nó vào Vật lý hay không? Hệ thống bài tập
được xây dựng như thế nào, có trình bày các bài tập Vật lý hay không?
C5: Cách trình bày về nội dung, hình ảnh, màu sắc có được chú trọng? Việc trình
bày như vậy có tác động gì?

2.3. Cấu trúc nội dung
Trong phần này, chúng tôi cũng nhắc lại cấu trúc một chương đã được xây dựng ở
[8] để làm nền tảng xây dựng cho phần Tích phân.
 Phần mở đầu: nêu lên cách đặt vấn đề cũng như ý tưởng – giải quyết nội dung
của chương. Có phần dẫn dắt để sinh viên hiểu được nội dung và mục đích của
chương đó, giúp sinh viên thấy được các vấn đề được giải quyết.

 Nội dung và mục đích: trình bày nội dung từng phần và mục đích cần đạt được
sau khi học xong chương đó, tương tự như phần mục đích mà chúng tôi đã xây
dựng cho chương Đạo hàm trong phần 2.1 của luận văn này.
 Trình bày kiến thức: kiến thức được viết dưới dạng cột như đã nói, trước khi
trình bày một vấn đề nào đó, hãy cố gắng viết phần dẫn dắt rồi giải quyết một
vài trường hợp trước khi đi đến định nghĩa. Song song với việc đó, số lượng các

GVHD: TS. Dương Minh Thành

7

SVTH: Bùi Quốc Long


Chương 2: Giáo trình & câu hỏi nghiên cứu

Luận văn tốt nghiệp

Ví dụ phải bao quát được nội dung, giải thích được cho định nghĩa. Từ đó giúp
sinh viên tiếp cận bài tập dễ hơn.
 Chú ý và câu hỏi: dưới mỗi phần kiến thức hay ví dụ, hãy nên có một vài chú ý
các trường hợp ngoại lệ hay các lỗi sai thường mắc phải và có một vài câu hỏi ở
mức độ thông hiểu, vận dụng kiến thức vừa nêu.
 Phần ứng dụng: nhất thiết phải có phần này, trước hết là các ứng dụng trong
Toán học để làm cơ sở giải các bài toán thuần túy về mặt Toán học. Tiếp sau đó
là các ứng dụng trong Vật lý đi kèm với các ví dụ cụ thể với mục tiêu sinh viên
có thể áp dụng nó trong việc giải toán Vật lý.
 Hệ thống bài tập: các bài tập thuần túy Toán học vẫn chiếm đa số và phải trình
bày thêm các bài tập Vật lý cụ thể theo mức độ: bài tập cơ bản, bài tập nâng cao.
Còn về bài tập Vật lý có thể lấy các bài mức độ vừa phải, chỉ đáp ứng đến mức

thông hiểu, giải thích, không quá chú trọng vào việc tính toán.
 Tóm tắt: trình bày lại các nội dung trong chương một cách ngắn gọn nhất sao
cho có thể dùng bảng tóm tắt này tra cứu khi cần thiết.

2.4. Nội dung trong đề cương chi tiết học phần Giải tích 1
Chúng tôi cũng dựa theo Đề cương chi tiết học phần Giải tích 1 của Khoa Vật lý,
trường Đại học Sư Phạm TP.HCM để phân tích.
Chương 3. Tích phân
3.1 Nguyên hàm và tích phân bất định
3.1.1 Nguyên hàm
3.1.2 Định nghĩa và tính chất tích phân bất định
3.1.3 Hai phương pháp tính tích phân
3.2 Tích phân một số lớp hàm đặc bệt
GVHD: TS. Dương Minh Thành

8

SVTH: Bùi Quốc Long


Chương 2: Giáo trình & câu hỏi nghiên cứu

Luận văn tốt nghiệp

3.2.1 Tích phân hàm hữu tỉ
3.2.2 Tích phân hàm vô tỉ
3.2.3 Tích phân hàm lượng giác
3.3 Tích phân xác định
3.3.1 Tích phân xác định. Điều kiện khả tích
3.3.2 Các tính chất của tích phân xác định

3.3.3 Công thức Newton – Leibnitz. Hai phương pháp tính tích phân
3.4 Ứng dụng của tích phân xác định
3.4.1 Tính diện tích hình phẳng
3.4.2 Tính độ dài cung
3.4.3 Tính thể tích khối tròn xoay
3.4.4 Tính diện tích khối tròn xoay

GVHD: TS. Dương Minh Thành

9

SVTH: Bùi Quốc Long


Chương 3: Phân tích phần tích phân

CHƯƠNG 3 -

Luận văn tốt nghiệp

PHÂN TÍCH & SO SÁNH PHẦN TÍCH PHÂN

3.1. Phần lý thuyết
Giáo trình G1

Giáo trình G2

[1], [2]

[10]

3.1.1. Cách tiếp cận khái niệm Tích phân
Cách tiếp cận Nguyên hàm

Cách tiếp cận Nguyên hàm

Không có phần nào nói về cách tiếp

Nhà Vật lý là người mà biết rằng

cận khái niệm nguyên hàm.

vận tốc của một hạt có thể tìm được khi
biết vị trí của nó tại thời gian nhất định.
Người kỹ sư thì có thể đo lượng nước bị rò
rỉ của một bể chứa và muốn biết lượng rò
rỉ trong một thời gian nhất đinh. Nhà sinh
học thì biết tốc độ vi khuẩn gia tăng và họ
muốn biết quy mô của lượng vi khuẩn
trong thời gian tiếp theo. Trong mỗi
trường hợp, vấn đề là tìm một hàm số F
mà đạo hàm của nó là hàm số f . Nếu hàm
số F tồn tại, thì nó được gọi là nguyên
hàm của hàm số f .
Cách tiếp cận Tích phân bất định

Cách tiếp cận Tích phân bất định

Chúng ta cần một kí hiệu thuận

Không có phần nào nói về cách tiếp cận
khái niệm tích phân bất định.

tiện hơn cho các nguyên hàm để làm việc
với chúng dễ dàng hơn. Bởi vì mối quan

GVHD: TS. Dương Minh Thành

10

SVTH: Bùi Quốc Long


Chương 3: Phân tích phần tích phân

Luận văn tốt nghiệp

hệ được cho bởi Định lý tính tích phân (sẽ
nói trong phần Tích phân xác định ở phần
sau) giữa nguyên hàm và tích phân, nên kí
hiệu

 f ( x)dx được sử dụng một cách cổ

điển cho nguyên hàm của f và được gọi
là tích phân bất định.
Cách tiếp cận Tích phân xác định
Bài toán diện tích hình thang cong

Vấn đề diện tích

Hình có dạng như aABb trong hình

Ta bắt đầu với việc tính diện tích

được gọi là hình thang cong. Trong hình của một số hình đơn giản bằng cách chia
này

Aa  ab, Bb  ab và mọi đường nó thành các hình tam giác nhỏ hơn rồi

vuông góc với ab chỉ cắt cung đường cong tiến hành cộng các phần nhỏ lại. Sau đó đi
AB tại nhiều nhất một điểm. Các trường tính diện tích của một hình thang cong bất
hợp đặc biệt của hình thang cong là A trùng kỳ bằng cách chia nó thành các dải hình
chữ nhật nhỏ hơn rồi cũng cộng các phần

a hoặc B trùng b.

nhỏ đó lại. G2 cũng lập luận khi các dải
ngày càng lớn thì diện tích càng chính
xác, để mô tả điều đó, G2 sử dụng phép
toán giới hạn.
Hình 1

Ta gọi một hình phẳng thông thường
là hình có thể chia thành một số hữu hạn Hình 2
hình thang cong. Để định nghĩa diện tích
GVHD: TS. Dương Minh Thành

11

SVTH: Bùi Quốc Long


Chương 3: Phân tích phần tích phân

Luận văn tốt nghiệp

của một hình phẳng thông thường, ta chỉ

Trong việc cố gắng giải quyết vấn

cần định nghĩa diện tích của một hình thang đề diện tích, chúng ta hãy tự hỏi rằng: Từ
cong.

diện tích có ý nghĩa như thế nào? Câu hỏi
Chọn hệ trục toạ độ Oxy sao cho a, này sẽ được trả lời dễ dàng nếu hình được

b

nằm

trên

trục

hoành

và

đặt giới hạn bởi các đường thẳng. Với một

Oa  a, Ob  b , cung đường cong AB có hình chữ nhật, diện tích được định nghĩa
là tích của chiều dài và chiều rộng. Diện

phương trình y  f ( x )  0, x [a, b] .
Chia đoạn .. thành n đoạn nhỏ bởi

tích của một tam giác là tích của nửa đáy
với chiều cao. Diện tích của một đa giác

các điểm chia

được xây dựng bằng cách chia nó thành

a  x0  x1  x2  ...  xn  b

các tam giác và cộng các diện tích của các

(gọi là một phép phân hoạch P).
Kí

hiệu

 k  [ xk 1, xk ],  k  xk  xk 1 là độ dài của

đoạn  k và gọi P  max{  k } là đường
kính của phân hoạch P. Trên mỗi đoạn  k

tam giác đó.
Tuy nhiên, điều đó là không dễ khi

tìm diện tích của một miền với đường
cong. Chúng ta có một ý tưởng trực quan
về diện tích của một miền với đường cong.

chọn điểm tuỳ ý ... Khi đó f (ck )  k là diện Nhưng một phần của vấn đề diện tích là
tích của hình chữ nhật gạch chéo trong hình để thực hiện ý tưởng trực quan này bằng
vẽ. Gọi S là diện tích của hình thang cong cách đưa ra chính xác định nghĩa về diện
k

nhỏ xk 1PQxk thì khi

k

bé ta có

Sk  f (ck )  k . Nếu S là diện tích của hình

thang

cong

aABb

tích.
Chúng ta bắt đầu bằng việc giải
quyết vấn đề diện tích sau: Tìm diện tích

thì của miền S nằm dưới đường cong

y  f ( x ) từ a tới b . Miền S được minh

GVHD: TS. Dương Minh Thành

12

SVTH: Bùi Quốc Long


Chương 3: Phân tích phần tích phân

Luận văn tốt nghiệp

n

n

hoạ bằng Hình 3, nó được giới hạn bởi đồ

k 1

k 1

thị của hàm số liên tục (nơi mà f ( x )  0 ),

S   Sk   f (ck )  k  S * , P càng bé

thì S * càng gần S . Do vậy, ta có định đường thẳng x  a , x  b và trục Ox .
nghĩa:
Diện tích S của hình thang cong
aABb

là

giới
n

S  lim S  lim  f (ck )  k ,
*

P 0

P 0

hạn
trong

đó

k 0

giới hạn được hiểu theo nghĩa: mọi   0 ,
tồn tại   0 sao cho mọi phân hoạch P có
P   và mọi cách chọn điểm

S*  S 

n

.. đều có Ví dụ (Ước tính diện tích) Sử dụng các

 f (ck )( xk  xk 1 )  S   .
k 1

Hình 3

hình chữ nhật để ước tính diện tích nằm
dưới parabol y  x 2 từ 0 đến 1?
Ví dụ Với miền S ở ví dụ trên, tổng của
những diện tích của hình chữ nhật xấp xỉ
trên tiến đến 1/3 , nghĩa là lim Rn 
n

1
.
3

Hãy xác nhận điều đó?
Vấn đề quãng đường
Đối với vấn đề quãng đường, ý
tưởng cũng tương tự như việc tính diện
tích của hình thang cong. Cụ thể, trên một
quãng đường chuyển động, vận tốc là
khác nhau, nhưng nếu ta chia quãng

GVHD: TS. Dương Minh Thành

13

SVTH: Bùi Quốc Long

Chương 3: Phân tích phần tích phân

Luận văn tốt nghiệp

đường thành từng đoạn nhỏ sao cho vận
tốc trên mỗi đoạn đường đó là không đổi
thì ta có thể tính được dễ dàng:
Quãng đường = vận tốc  thời gian.
Để tính quãng đường tổng cộng, ta
chỉ việc cộng từng quãng đường nhỏ lại
với nhau. G2 cũng lập luận, nếu ta chia
quãng đường thành các phần nhỏ đến mức
vận tốc có thể đọc được ở mỗi giây thì việc
ước tính quãng đường ngày càng chính
xác, chúng ta cũng có thể sử dụng phép
tính giới hạn để tổng quát hóa điều đó.
Đưa ra ví dụ
Ví dụ (Ước tính quãng đường) Giả sử
đồng hồ đo quãng đường đi được của một
chiếc xe bị hư và chúng ta muốn ước tính
quãng đường mà xe đi được trong khoảng
thời gian 30 giây. Chúng ta đọc được vận
tốc trên tốc kế (đồng hồ đo vận tốc) mỗi 5
giây và được cho trong bảng sau
Thời
gian

0

5

10

15

20

25

30

17

21

24

29

32

31

28

(s)
Vận
tốc
(mi/)

GVHD: TS. Dương Minh Thành

14

SVTH: Bùi Quốc Long


Chương 3: Phân tích phần tích phân

Luận văn tốt nghiệp

3.1.2. Định nghĩa và tính chất của Tích phân
Định nghĩa Nguyên hàm

Định nghĩa Nguyên hàm

Cho hàm f ( x ) xác định trên khoảng

Hàm số F được gọi là nguyên hàm

(a, b) . Hàm F ( x ) xác định trên (a, b) là của hàm f trên khoảng I nếu F( x )  f
một nguyên hàm của hàm

f ( x ) nếu với mọi x trong I.

F( x )  f ( x ) với mọi x  (a, b) .

Dẫn dắt thêm để đi đến chứng
minh F ( x )  C cũng là nguyên hàm của

Ta thấy ngay rằng, F ( x ) là một
nguyên hàm của f ( x ) thì F ( x )  C cũng

f ( x) .

là nguyên hàm của f ( x ) , với C là hằng

nguyên hàm của f trên khoảng I thì tổng

số.

quát nhất, nguyên hàm của f trên I là

Đưa ra định lý: Nếu F là

F ( x )  C với C là hằng số.

Định nghĩa Tích phân bất định

Định nghĩa Tích phân bất định

Cho hàm y  f ( x ) xác định trên

 f ( x)dx  F( x) nghĩa là F( x)  f ( x) .

(a, b) . Ta gọi tích phân bất định của f ( x ) ,
kí hiệu

 f ( x )dx

Chúng ta nên phân biệt cẩn thận

là họ tất cả các nguyên

hàm của f ( x ) . Nếu F ( x ) là một nguyên
hàm của f ( x ) thì

 f ( x)dx  F( x)  C ,

trong đó C là hằng số tuỳ ý.

giữa tích phân xác định và bất định. Tích
phân xác định



b

a

f ( x )dx là một “số”,

trong khi tích phân bất định

 f ( x )dx

là

Để tìm tích phân bất định ta chỉ cần một “hàm số” (hoặc họ của một hàm số).

tìm một nguyên hàm của nó.

Mối liên hệ giữa chúng được cho bởi Định

Ví dụ

GVHD: TS. Dương Minh Thành

15

SVTH: Bùi Quốc Long


Chương 3: Phân tích phần tích phân

Luận văn tốt nghiệp

lý tính tích phân: Nếu f liên tục trên

 x 3 
x3
2
 x dx  3  C vì  3   x .
2

 cos xdx  sin x  C .



[a, b] thì

vì  sin x   cos x .

b

a

b

f ( x )   f ( x )dx .
a

Nhớ lại trong phần cuối của

Tính chất

chương đạo hàm, nếu F là nguyên hàm

Tính chất 1

của f trên khoảng I thì một cách tổng quát,

  f ( x)dx   f ( x), d   f ( x)dx   f ( x)dx.

ta có nguyên hàm của f trên I là F ( x )  C
với C là hằng số tùy ý. Lấy một ví dụ, với
1

 x dx  ln x  C

Tính chất 2

 dF( x)  F( x)  C .

là hợp lý (trên bất kỳ

khoảng nào không chứa số 0) bởi vì
d
1
ln x  . Vì vậy tích phân xác định
dx
x



Tính chất 3

  f ( x)  g( x)   f ( x)dx   g( x) dx .



 f ( x )dx

Tính chất 4

có thể đại diện cho một trong

hai nguyên hàm của f hay toàn thể họ các

  f ( x)dx    f ( x)dx (  R,  0) .

nguyên hàm.

Định nghĩa Tích phân xác định

Định nghĩa Tích phân xác định

Cho hàm y  f ( x ) xác định trên Chúng ta có giới hạn dạng
đoạn [a, b] . Chia đoạn [a, b] thành n đoạn

n

lim  f ( xi* )x
n 

nhỏ bởi phân hoạch P:
a  x0  x1  x2  ...  xn  b .

i 1

 lim  f ( x1* )x  f ( x2* )x  ...  f ( xn* )x 
n

phát sinh khi chúng ta tính diện tích. Nó
chỉ ra rằng tồn tại cùng một loại giới hạn
xảy ra khi hàm f không nhất thiết phải là

GVHD: TS. Dương Minh Thành

16

SVTH: Bùi Quốc Long


Chương 3: Phân tích phần tích phân

Luận văn tốt nghiệp

Trong mỗi đoạn  k  [ xk 1, xk ] , một hàm số dương. Chúng ta sẽ cho dạng
chọn điểm tuỳ ý ck , ta gọi đó là một phép giới hạn đặc biệt này một cái tên và kí
hiệu.

chọn C .

2 Nếu f là một hàm số xác định

Khi đó tổng
n

trong khoảng a  x  b , chúng ta hãy chia

k 1

khoảng [a, b] thành n khoảng con với

 p   f (ck )( xk  xk 1 )
gọi là tổng tích phân của hàm f ( x ) ứng
với phân hoạch P và phép chọn C.
Kí hiệu

P  max{xk  xk 1}

chiều rộng mỗi khoảng là x 

ba
.
n

là Chúng ta lấy x0 ( a), x1, x2 ,..., xn ( b) là

đường kính của phân hoạch P. Khi đó nếu điểm cuối của các khoảng và chúng ta lấy
nghĩa

x1* , x2* ,..., xn* là các điểm mẫu bất kỳ trong

  0,   0 ,  phân hoạch P mà

các khoảng con, vì vậy xi* nằm ở vị trí thứ

P   , mọi phép chọn C đều có

i trong khoảng [ xi 1, xi ] . Tích phân xác

tồn

tại lim  p  I .
P 0

p  I 

định

n

 f (c )( x
k

k 1

Theo

k

 xk 1 )  I   thì I

b

f

b

từ

a

đến

b

là

n

*
 f ( x )dx  lim  f ( xi )x với điều kiện
a

gọi là tích phân xác định của hàm f ( x ) trên

[a, b] , hàm f ( x ) gọi là khả tích trên [a, b]

của

n

i 1

là giới hạn đó tồn tại. Nếu giới hạn đó tồn
tại, ta nói rằng f khả tích trên [a, b] .

và kí hiệu I   f ( x )dx .

Chú ý 1: Kí hiệu

a



được Leibnitz

Trong định nghĩa này, ta gọi f ( x ) đưa ra và được gọi là dấu tích phân. Nó
là hàm dưới dấu tích phân, f ( x )dx là biểu giống như một chữ S bị giãn dài ra bởi vì
thức dưới dấu tích phân, a gọi là cận dưới, tích phân là giới hạn của các tổng. Trong

GVHD: TS. Dương Minh Thành

17

SVTH: Bùi Quốc Long


Chương 3: Phân tích phần tích phân

Luận văn tốt nghiệp

b gọi là cận trên của tích phân, thường ta
đọc: tích phân từ a đến b của f ( x )dx .

kí hiệu

b

 f ( x )dx ,

f ( x ) được gọi là hàm

a

Khi a  b hoặc a  b ta định nghĩa: lấy tích phân và a, b được gọi là cận của
b

a

a

a

 f ( x )dx   f ( x )dx  0,
b

a

phép lấy tích phân, a là cận dưới, b là cận
trên. Tuy nhiên, bản thân dx không có ý

.

 f ( x )dx   f ( x )dx.
a

nghĩa, nhưng toàn bộ

b

định chỉ phụ thuộc vào hàm số, các cận trên

độc lập x.
Chú ý 2: Theo định nghĩa thì

độc lập, do đó

b

 f ( x )dx

b

 f ( x )dx   f (u)du   f (t )dt .
a

a

là một kí

hiệu. dx chỉ đơn giản là chỉ ra rằng biến

và dưới, không phụ thuộc vào kí hiệu biến

b

 f ( x )dx
a

Theo định nghĩa này, tích phân xác

b

b

a

là một con số, vì vậy nó không

a

phụ thuộc vào biến x. Trên thực tế, chúng
ta có thể sử dụng bất kì chữ cái nào thay
thế cho x mà không làm thay đổi giá trị
tích phân:
b

b

b

a

a

a

 f ( x )dx   f (t )dt   f (r )dr .
Chú ý 3: Tổng

n

 f ( x )x
i 1

*

i

trong

định nghĩa 2 gọi là Tổng Riemann được
tìm ra bởi nhà toán học người Đức
Bernhard Riemann (1826 – 1866). Định
nghĩa 2 nói rằng tích phân xác định của

GVHD: TS. Dương Minh Thành

18

SVTH: Bùi Quốc Long


Chương 3: Phân tích phần tích phân

Luận văn tốt nghiệp

một hàm số khả tích có thể xấp xỉ trong
một giới hạn chính xác bởi Tổng
Riemann.
Chúng ta biết rằng nếu f nằm trong
một miền dương, thì Tổng Riemann có thể
được giải thích như một tổng của các diện
tích của các hình chữ nhật xấp xỉ.
So sánh định nghĩa 2 với định
nghĩa của diện tích trong phần trên, chúng
ta thấy rằng tích phân xác định

b

 f ( x )dx
a

có thể được giải thích như là diện tích nằm
dưới đường cong y  f ( x ) từ a đến b.

Hình 4
Nếu f lấy mọi giá trị dương và âm,
như trong Hình 5(a), thì Tổng Riemann là
tổng của các diện tích của các hình chữ
nhật xấp xỉ nằm trên trục x và phần âm
của các diện tích của hình chữ nhật nằm
GVHD: TS. Dương Minh Thành

19

SVTH: Bùi Quốc Long


Chương 3: Phân tích phần tích phân

Luận văn tốt nghiệp

dưới trục x (phần các diện tích của các
hình chữ nhật màu xanh trừ đi phần diện
tích của các hình chữ nhật màu vàng). Khi
chúng ta lấy giới hạn của những Tổng

Riemann như vậy, chúng ta được minh
hoạ vị trí như Hình 5(b).

(a)

(b)

Hình 5
Tích phân xác định có thể được
giải thích như là diện tích lưới, đó là hiệu
b

số của các diện tích  f ( x )dx  A1  A2 ,
a

với A1 là diện tích của vùng nằm trên trục
x và dưới đồ thị của f, và A2 là diện tích
của phần nằm dưới trục x và trên đồ thị
của f.

GVHD: TS. Dương Minh Thành

20

SVTH: Bùi Quốc Long


Chương 3: Phân tích phần tích phân

Luận văn tốt nghiệp

Chú ý 4: Mặc dù chúng ta thường
chia [a, b] thành các khoảng con có chiều
rộng bằng nhau, nhưng có những trường
hợp mà sẽ thuận lợi với các khoảng con
không bằng nhau.
Nếu các khoảng con với chiều rộng
là x1, x2 ,..., xn , chúng ta phải đảm bảo
rằng tất cả các chiều rộng tiến đến 0 trong
quá trình tính giới hạn. Điều đó xảy ra nếu
chiều rộng lớn nhất, max xi tiến đến 0.
Vì vậy, trong trường hợp này định nghĩa
tích phân xác định trở thành



b

a

f ( x )dx  lim

max xi 0

n

 f ( x )x
i 1

*

i

i

.

Chú ý 5: Chúng ta có thể định
nghĩa tích phân xác định của một hàm số
khả tích, nhưng không phải tất cả hàm số
đều khả tích. Định lý sau sẽ cho ta thấy
rằng các hàm số phổ biến nhất là hàm thật
sự khả tích. Điều đó được chứng minh
trong những khóa học nâng cao hơn.

GVHD: TS. Dương Minh Thành

21

SVTH: Bùi Quốc Long