Công thức khảo sát hàm số

Công thức khảo sát hàm số
CÁC DẠNG TOÁN KHẢO SÁT HÀM SỐ
CHUYÊN ĐỀ 1: BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
I. Các dạng bài tập thường gặp
Dạng 1: Tìm cực trị của một hàm số trên một đoạn, trên một khoảng.
Phương pháp:
- Tìm cực trị của hàm số: y = f(x) trên đoạn [a ; b].
- Tìm cực trị của hàm số y = f(x) trên khoảng (a ; b).
Qui tắc 1: Lập BBT (Tổng quát)
Qui tắc 2: Sử dụng ĐH cấp 2.(Đối với hàm đa thức)
Dạng 2: Cho hàm số y = f(x) (m : tham số). Xác định m để hàm số có cực trị?
Phương pháp:
- Hàm bậc 3:

.

TXĐ:
Ta có:

.

Đối với hàm số bậc 3, cực trị của hàm số có thể xảy ra 2 trường hợp sau:
(1)
TH1: Pt (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép

thì hàm số không có cực trị.


TH2: Pt (1) có 2 nghiệm phân biệt

thì hàm số có CĐ, CT.

- Hàm trùng phương:
TXĐ:
Ta có:
Đối với hàm t. phương, để có cực trị ta xét các trường hợp sau

TH1: Pt (1) có một nghiệm thì hàm số có một cực trị.
TH2: Pt (1) có 3 nghiệm thì hàm số có 3 cực trị.

- Hàm phân thức:

TXĐ:

(công thức tính đạo hàm nhanh của hàm phân thức)
Hàm số luôn ĐB hoặc NB nên hàm số không có cực trị.
Dạng 3: Cho hàm số y = f(x) (m : tham số). Chứng minh rằng với mọi m hàm số
luôn có cực trị (hoặc không có cực trị).
- - Hàm bậc 3:
TXĐ:

.


Ta có:

.

Xét p.t y' = 0, ta c/m:
mọi m.

với mọi m. Vậy hs luôn có cực trị với

Dạng 4: Cho hàm số y = f(x) (m : tham số). Xác định m để hàm số đạt cực đại (cực
tiểu) tại x0.
Phương pháp:
TXĐ: D
Ta có: y' = f'(x).

Để hàm số đạt cực đại tại x0 thì

Để hàm số đạt cực tiểu tại x0 thì
Dạng 5: Cho hàm số y = f(x) (m : tham số). Xác định m để hàm số đạt cực trị bằng
h tại x0.
Phương pháp:
TXĐ: D
Ta có: y' = f'(x).

Để hàm số đạt cực đại tại x0 thì
Dạng 6: Xác định điều kiện của m để hàm số bậc 3 có CĐ, CT nằm về 2 phía đối với đường thẳng (d)?
Phương pháp:


+ Điều kiện để hàm số có C Đ, CT:
0).

. (x1, x2 là các nghiệm của pt y' =

+Đường thẳng (d) có thể xảy ra 3 trường hợp:
1) Nếu (d) là trục 0y thì ycbt

x1 < 0 < x2 (2 nghiệm trái dấu khi và chỉ khi a.c < 0).

2) Nếu (d) là đường thẳng x =m thì: x1 < m < x2
3) Nếu (d): ax + by + c = 0 thì ycbt

Dạng 7: Xác định điều kiện của m để hàm số bậc 3 có CĐ, CT nằm về một phía đối với đường thẳng (d)?
Phương pháp:
+ Điều kiện để hàm số có CĐ, CT:
0).

. (x1, x2 là các nghiệm của pt y' =

+Đường thẳng (d) có thể xảy ra 3 trường hợp:
1) Nếu (d) là trục 0y thì ycbt

x1 < x2 < 0 v 0 < x1 < x2 (2 nghiệm cùng dấu)

ĐK 2 nghiệm cùng dấu:
2) Nếu (d) là đường thẳng x =m thì: x1 < x2 < m v m < x1 < x2
3) Nếu (d): ax + by + c = 0 thì ycbt

Dạng 8: Lập phương trình đường thằng đi qua 2 điểm cực trị (CĐ, CT) của hàm số bậc 3 (Cm).
Phương pháp:
TH1: Hàm bậc 3 tìm được 2 cực trị:

.


Ta có ptđt:
TH2: Khi không tìm được 2 cực trị

+ Chia:

( cx + d: là phần dư của phép chia)

Suy ra: y = (ax + b).y' + cx +d hay y = (ax + b).f'(x) + cx +d
+ Gọi

là 2 điểm cực trị của hàm số suy ra:
f'(x1) = f'(x2) = 0

+ M1 và M2

(Cm) nên:

y1 = (ax1 + b).f'(x1) + cx1 +d

y1 = cx1 +d (1)

y2 = (ax2 + b).f'(x2) + cx2 +d

y2 = cx2 +d (2)

+ Từ (1) và (2) ta suy ra đt đi qua 2 điểm c.trị là: y = cx + d
Dạng 9: Xác định m để đồ thị hàm số bậc 3 có CĐ và CT đối xứng nhau qua đường thẳng y = ax +
b

.

Phương pháp:

+ Điều kiện để hàm số có CĐ, CT (1)
+ Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua 2 điểm cực trị.
+ Gọi I là trung điểm hai điểm C.Tr

ycbt
Dạng 10: Xác định ĐK m để hs bậc 3 có CĐ, CT thỏa mãn ĐK cho trước.
Phương pháp:


+ ĐK để hs có CĐ và CT.
+ Giả sử hàm số đạt CĐ, CT a tại x1, x2 (x1, x2 là nghiệm của pt y = 0)
Theo đ.lí vi-ét:

+ Biến đổi điều kiện 1 cách thích hợp rồi áp dụng vi-ét.
------------------------------------------------------------------------------------------------

II. Bài tập
Bài 1: Tìm cực trị của các hàm số sau:

Bài 2: Tìm cực trị của các hàm số sau:
a. y = sin2x

b. y = cosx - sinx

c. y = sin2x

Bài 3: CMR hàm số luôn có cực trị với mọi giá trị của m, n.

a.

b.
Bài 4: Xác định m đề hàm số sau có cực trị tại x = 1.

. Khi đó hàm số đạt CĐ hay CT? Tính cực trị tương ứng.
Bài 5: Tìm m để hàm số đạt CTr tại x = 2
.

ĐS: m = -17/12.


Bài 6: Xác định m để hs:

có giá trị CĐ bằng - 3.

Bài 7: Xác định m để hàm số sau không có cực trị

a.
b. y = (m - 3)x3 - 2mx + 1.

ĐS:

.

Bài 8: Xác định a và b để hs:

HD:

đạt CT tại x = 1, CĐ tại x = 2

. ĐS: a = -2/3, b = -1/6

Bài 9: Cho hàm số
y = x3 - 3(m - 1)x2 + (2m2 - 3m + 2)x - m(m - 1).
a. Tìm m để hs có CĐ và CT.
b. Viết pt đt đi qua điểm CĐ, CT.

c. Tìm m để đt đi qua điểm C Đ, CT song song với đt

.

ĐS:
Bài 10: Cho hs: y = x3 + mx2 - 3. Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm c.trị của hàm số.
Bài 11: Cho hs:

a.
thẳng y = x.

. Xác định m để hàm số có các điểm CĐ, CT đối xứng nhau qua đường


b.

. Xác định m để hs có CĐ, CT đối xứng nhau qua đường

thẳng

.

Bài 12: Cho hàm số:
của m để (Cm) có điểm CĐ và CT đối xứng nhau qua trục 0y.

. Xác định các g.trị

Bài 13: Cho hs: y = x4 - 4x3 + 8x.
a. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm CĐ, CT của hs.
b. CMR đt nối 2 điểm CĐ và CT song song với trục hoành.
Bài 14: Xác định m đê hs: y = x4 + mx2 - m - 5 luôn có 3 điểm c.trị.
Bài 14: Cho hs:
3x - 7.

. Xác định m để đt đi qua điểm CĐ, CT vuông góc với đt y =

Bài 15: Cho hs:
tọa độ O.

. Xác định m để hs có CĐ, CT cách đều góc

Bài 16: Cho hs:
mãn:

. Tìm m để hs có cực trị tại x1 ; x2 thỏa
.

Bài 17. Cho hs:
mãn:

Bài 18. Cho hs:
nhỏ nhất.

. Tìm m để hs có cực trị tại x1 ; x2 thỏa

.

. Tìm m để hs có CĐ và CT và khoảng cách giữa chúng là

Bài 19. Cho hs:
c.trị cùng với gốc tọa độ tạo thành t.giác có S = 4.

. Tìm m để hs có CĐ, CT đồng thời các điểm


Bài 20. Cho hs:
thị tạo thành t.giác có

. Tìm m để hs có 3 điểm C.trị, đồng thời các điểm c.trị của đồ
.

Bài 21. Cho hs:
thành một tam giác vuông cân.

. Tìm m để hs có các điểm CĐ, CT tạo

Bài 22. Cho hs:
. Gọi A, B là các điểm CĐ và CT của đồ thị hs. Tìm điểm
M thuộc trục hoành sao cho t.giác ABM co diện tích bằng 2.

Bài 23. Cho hs:
thời các điểm c.trị tạo với gốc O 1 t.giác vuông tại O.
Bài 24. Cho hs :
xCT thỏa mãn: xCĐ2 = xCT.

Bài 25. Cho hs:
hoành độ là các số dương.

. Tìm m để hs có cực đại và cực tiểu, đồng

. Tìm m để hs có cực đại tại xCĐ và cực tiểu tại

. Tìm m để các điểm CĐ, CT của đồ thị hs có các

CHUYÊN ĐỀ 2: CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
I. Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Tìm điểm trên đồ thị hàm số (C):


sao cho: Tổng khoảng cách tới 2 tiệm cận là nhỏ nhất.
Phương pháp:
+ Xét điểm M0(x0 ; y0) thuộc (C)

ta có: y = thương + dư/mẫu.

+ Dùng BĐT Côsi. Suy ra KQ.

Dạng 2: Tìm đk để tiếp tuyến với đồ thị (C):
một t.giác có s = h (hằng số)

cắt 2 t.c của đ.t.h.s tạo thành

Phương pháp:
+ Gọi I là giao điểm của 2 t.c I(-d/c; a/c)

+ Gọi

là tọa độ tiếp điểm của tt với đồ thị (C)
pttt: y = f'(x0).(x- x0) + y0

tcđ:

;

tcn:

+ Tìm tọa độ giao điểm A, B của 2 t.c với pttt của đồ thị
+ Ta thấy t.giác ABI vuông tại I nên:

(Áp dụng c.thức k.c giữa 2 điểm)

II. Bài tập

Bài 1. Cho hs:
cân tại A

Bài 2. Cho hs:
t.giác có diện tích bằng 8.

. Gọi I là giao của hai t.c. Tìm M trên đồ thị sao cho t.giác AIB vuông

. Tìm m để t.tuyến b kỳ của hs cắt 2 đường t.c tạo thành một


Bài 3. Tìm điểm M thuộc đồ thị (C):

để tổng k.c từ M tới 2 t.c là nhỏ nhất.

Bài 4. Tìm điểm M thuộc đồ thị (C):

để tổng k.c từ M tới 2 t.c là nhỏ nhất.

Bài 5. Tìm điểm M thuộc đồ thị (C):

để tổng k.c từ M tới 2 t.c là nhỏ nhất.

Bài 6. Cho hs:

. Tìm các điểm M trên đồ thị có tổng k.c tới 2 t.c của đồ thị bằng 4.

CHUYÊN ĐỀ 3: CÁC BÀI TOÁN VỀ TIẾP TUYẾN
I. Các dạng toán về tiếp tuyến
Dạng 1: Cho hs có đồ thị (C): y = f(x) và M(x0 ; y0) thuộc (C). Viết PTTT với đồ thị tại điểm M.
Phương pháp:
Ta có: y' = f'(x)
Phương trình tt tại điểm M(x0 ; y0) là:

Các dạng thường gặp khác
1. Viết pttt với đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x0.
PP: Ta tìm y0 = f(x0). Từ đó suy ra pttt.
2. Viết pttt với đồ thị (C) tại điểm thỏa mãn pt f''(x0) = 0.
PP: + Tính: f'(x), f''(x).
+ Giải pt: f''(x0) = 0 suy ra x0.

+ Tìm y0. Từ đó viết pttt.
Dạng 2: Cho hs có đồ thị (C): y = f(x). Viết PTTT (d) của (C)
a. Song song với đường thẳng y = ax + b
b. Vuông góc với đt y= ax + b
Phương pháp:
a. Vì tt (d) song song với đt y = ax + b nên (d) có hệ số góc bằng a.
Ta có pt: f'(x0) = a (x0 là hoành độ tiếp điểm).
Suy ra x0, y0.
PTTT (d):
b. Vì tt (d) vuông góc với đt y = ax + b nên (d) có hệ số góc bằng -1/a.
Ta có pt: f'(x0) = -1/a (x0 là hoành độ tiếp điểm).
Suy ra x0, y0.
PTTT (d):
Dạng 3: Sự tiếp xúc của hai đường cong có pt y = f(x) và y = g(x).
Phương pháp:

Hai đường cong tiếp xúc nhau khi và chỉ khi:
điểm của 2 đ.c.

có nghiệm và nghiệm đó là hoành độ tiếp

Dạng 4: Cho hs có đồ thị (C): y = f(x) và A(x1 ; y1) ko thuộc (C). Viết PTTT với đồ thị (C) đi qua điểm A.
Phương pháp:
+ Ta có : y' = f'(x)
+ Ptđt (d) đi qua A(x1 ; y1) co hệ số góc k có dạng:
y = k(x - x1) + y1
+ Giả sử tọa độ tiếp điểm của (d) và (C) là M0(x0 ; y0)

+ Ta có hpt:

+ Pttt (d): y = k(x - x1) + y1

Dạng 5: Tìm điểm A, từ A kẻ được n tiếp tuyến tới đồ thị (C) y = f(x).
Phương pháp:
+ Giả sử A(x0 ; y0)
+ Pt đt đi qua A(x0 ; y0) có hệ số góc k có dạng: y = k(x - x0) + y0
+ Đường thẳng (d) tx với đồ thị (C) khi hệ sau có nghiệm

Thay pt (2) vào (1) ta đc pt (3)
Khi đó số nghiệm của pt (3) là số tiếp tuyến kẻ từ A tới đồ thị.

II. Bài tập
Bài. Cho hs

.

a. Viết pttt của đths tại điểm M(1 ; 3).
b. Viết pttt của đths tại điểm có hoành độ x0 = 2.
c. Viết pttt của đths tại điểm có hoành độ x0 thỏa mãn điều kiện f''(x0) = 12.
d. Viết pttt của đths song song với đường thẳng y = 9x - 2012.

e. Viết pttt của đths vuông góc với đt
Bài. Cho hs

.

.

a. Viết pttt của đths tại điểm M(1 ; - 2).

b. Viết pttt của đths tại điểm có hoành độ x0 = - 1.
c. Viết pttt của đths tại điểm có hoành độ x0 thỏa mãn điều kiện f''(x0) = 2.
d. Viết pttt của đths song song với đường thẳng y = 24x + 2012.


e. Viết pttt của đths vuông góc với đt

Bài 1. Viết pttt kẻ từ điểm

.

đến đồ thị hàm số

Bài 2. Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số (C)
đồ thị.

mà qua đó kẻ được một tiếp tuyến tới

Bài 3. Tìm những điểm thuộc đường thẳng y = 2 mà từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị
hs
Bài 4. Tìm những điểm thuộc trục tung mà từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị hs
Bài 5. Tìm những điểm thuộc đường thẳng x = 2 mà từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị
hs

Bài 6. Tìm những điểm thuộc trục tung mà từ đó kẻ được 1 tiếp tuyến đến đồ thị hs

Bài 7. Cho hs
trên hai trục tọa độ một t.giác có S = 8.

Bài 8. Cho hs

đều.

Bài 9. Cho hs
t.giác có S = 8.

. Tìm m để tt tai giao điểm của (Cm) với trục Oy chắn

. Tìm điểm m để từ A(1 ; 2) kẻ đc 2 tt AB, AC đến đths sao cho t.giác ABC

. Tìm điểm m để tt b.kỳ của đths cắt 2 đường t.cận tạo thành


Bài 10. Cho hs

cho

. Tim M thuộc (C) sao cho tt tại M cắt 2 trục Ox, Oy tại A, B sao

.

Bài 11. Cho hs

. Viết pttt của (C) biết tt tạo với 2 trục tọa độ 1 tam giác có S = 8.

Bài 12. Tìm 2 điểm A, B thuộc đths
và

sao cho t.tuyến tại A, B song song với nhau

.

CHUYÊN ĐỀ 4: CÁC BÀI TOÁN VỀ SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ
I. Các dạng toán về sự tương giao của 2 đồ thị
Dạng 1: Tìm giao điểm của 2 đồ thị y = f(x) và y = g(x).
Phương pháp:
+ TXĐ:
+ Phương trình h.độ giao điểm của 2 đồ thị là: f(x) = g(x)

f(x) - g(x) = 0 (1)

+ Số nghiệm của pt (1) là số hoành độ g.điểm
+ Kết luận về tọa độ giao điểm.
Dạng 2: Biện luận về số giao điểm của 2 đồ thị (C1) = f(x) và (C2) y = g(x).

Phương pháp 1: (B.luận bằng PT)
+ TXĐ:
+ Phương trình h.độ giao điểm của 2 đồ thị là: f(x) = g(x)

f(x) - g(x) = 0 (1)

+ Số nghiệm của pt (1) là số giao điểm của hai đồ thị.

Dạng 3: Dựa vào đths (C): y = f(x), biện luận theo m số nghiệm của pt:


f(x) + g(m) = 0
Phương pháp:
+ Ta có: f(x) + g(m) = 0

f(x) = g(m) (1)

+ Số nghiệm của pt (1) chính là số giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng g(m).
+ Dựa vào đồ thị (C) ta có kết quả ...vv…

Dạng 4: Vẽ đồ thị các hàm
số
Phương pháp:
+ Vẽ đồ thị hàm số y = f(x)
1. Để vẽ đồ thị

(C)
ta thực hiện như sau:

Bỏ phần đt bên trái trục Oy, lấy đối xứng phần đt bên phải của (C) qua trục Oy.
2. Để vẽ đồ thị

ta thực hiện như sau:

Giữ nguyên phần đt bên trên trục Oy, Lấy đối xứng phần đt nằm dưới trục Ox qua trục Ox. Bỏ phần đt
nằm phía dưới trục Ox.

3. Để vẽ đồ thị

ta thực hiện như sau:

Thực hiện (C1), rồi thực hiện (C2) ta được đồ thị (C3)

II. Các dạng toán thường gặp

Bài 1. Cho hs

hàm số (C) và (d).

(C) và đường thẳng (d): y = 2x - 1. Xác định tọa độ giao điểm của hai đồ thị

Bài 2. Cho hs
và đường thẳng (d): y = 2x - 1. Xác định m sao cho (Cm) và (d)
cắt nhau tại điểm có hoành độ bằng 1. Xác định tọa độ giao điểm đó?


Bài 3. Cho hs

(C).

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đths
b. Dựa vào đồ thị (C) biện luận số nghiệm của phương trình

c. Dựa vào đths (C) biện luận số nghiệm của pt

Bài 4. Cho hs
a. Khảo sát sbt và vẽ đths

b. Tìm m để pt sau có tám nghiệm phân biệt

Bài 5. Cho hs
a. KS sbt và vẽ đths khi m =1/4

b. Biện luận theo m số nghiệm của pt

Bài 6. Cho hs
a. KS và vẽ (C)

b.Tìm m để pt

Bài 7. Tìm m để hs

có 4 nghiệm phân biệt.

có đt tiếp xúc với Ox.