Tuyển tập các bài tập bất đẳng thức côsi

Tuyển tập các bài tập bất đẳng thức Côsi - đáp án chi tiết
A Kiến thức cơ bản:
* Một số bất đẳng thức cần nhớ:
- Bất đẳng thức Côsi

Với
Dấu bằng xảy ra khi
1.
2.
3,

4.

Các bất đẳng thức khác :


5.

6.

với a ,b > 0

7.

, Với mọi

Bài 1: Cho x,y,z là các số dương và x + y + z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức

P=

Lời giải: Ta có P =

( 1)

Theo bất đẳng thức Cô si ta có :

.(2)

Mặt khác theo giả thiết x+ y+ z = 1 nên từ(2) ta có

Từ (3) và (1) Ta có P

. Dấu bằng xảy ra khi x = y = z = .

(3)


Vậy Max P =

khi và chỉ khi x = y = z = .

Bài 2: Cho x, y , z là các số dương thay đổi và thỏa điều kiện : xy2z2 +
x2z +y = 3 z2

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P =

Lời giải: Ta xét

Từ giả thiết suy ra xy2 +

. Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có :

(1)

1+

1+ x4 + y4 +y4

(2)

= 4xy2 (3) . Cộng vế với vế các BĐT (1),

(2),(3) ta được
3 +3(
)
Dấu bằng xảy ra khi x =y = z = 1.

3

P

.


Vậy Max P = khi và chỉ khi x =y = z = 1.
Bài 3 Cho a, b, c là các số thục dương thỏa điều kiện abc = 1. Tìm giá trị
lớn nhất của biểu thức P =
Lời giải : Do a2+b2 2ab, b2 + 1 2b khi đó :

Tương tự

và

Khi đó P

P

. ( Do

và ac = )

Dấu bằng trong BĐT trên xảy ra khi a = b = c = 1

Vậy Max P = khi và chỉ khi a = b = c = 1
Bài 4 ( Đề thi HSG Tỉnh Hưng Yên)


Cho a, b, c là các số dương tùy ý và thỏa điề kiện a + b + c = 2. Tìm giá
trị lớn nhất của biểu thức P =
Lời giải: Ta có 2c + ab = c( a+b+c) + ab = c2 + c( a+b) + ab = ( c+a)
( c+b)

Vậy

(1). Tương tự ta có :

(2)

(3) . Cộng vế với vế các BĐT (1),(2),(3) ta
được

P

P = 1 khi a = b = c = .

=

.


Vậy Max P = 1 khi và chỉ khi a = b = c = .

Bài 5 Cho a,b,c là ba số dương thỏa điều kiện a+ b+ c = . Tìm giá trị
nhỏ nhất của biểu thức P =

.

Lời giải: Áp dụng BĐT (x+y+z)

9 ta có

9

Khi đó P

. Mặt khác theo BĐT Cô si ta có :

=

Hay

Suy ra

Vậy P

, tương tự

+

+

và

=3

3 . Dầu bằng xảy ra khi a = b =c = .


Kết luận : Min P = 3 khi a = b = c = .
Bài 6 Cho các số không âm x , y, z thỏa mãn x2 + y2 +z2 3 y . Tìm
giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =
Lời giải : Ta có 2x + 4y + 2z ( x2 + 1) + ( y2 + 4) + (z2 + 1) 3y + 6

Suy ra x + y + 2z

6 Dấu bằng xảy ra khi x = = z = 1.

Với a và b là các số dương ta có :
Áp dụng BĐT (1) ta được :

Vậy Min P = 1 khi x = 1, y = 2 , z = 1

( 1)


Bài 7 Cho x,y,z dương và thỏa mãn xy + yz + zx = 5. Tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức P = 3x2 + 3y2 + z2
Lời giải: Ta có 2P = ( 4x2 + z2) + (4y2+ z2) +(2x2+ 2y2)
Áp dụng BĐT Cô si ta có 4x2 + z2
4xy

4xz , 4y2 + z2 4yz, 2x2 + 2y2

Khi đó 2P 4( xy + yz + zx) = 20 hay P

10 .

P =10 khi x = y = 1 , z =2
Kết luận Min P = 10 khi và chỉ khi x = y =1 , z= 2
Bài 8 Cho
thức

,

và

. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu

.

Lời giải : Ta có:

=

=

=

(vì x+y =1)


=

Đặt

=

. Khi đó

hay

Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P chính là giá trị lớn nhất và
nhỏ nhất của biểu thức

với

. Ta có f(t) = -5 +

.

Để f(t) lớn nhất thì tổng t +2 nhỏ nhất hay t = 0 vì
.

Để f(t) nhỏ nhất thì tổng t +2 lớn nhất hay t = vì
Vậy MaxP = 1 khi x= 1, y =0 hoặc x= 0 ,y= 1

MinP =

khi x = y=

Bài 9 Cho x, y là hai số thực thỏa mãn điều kiện:
lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P =

Lời giải: Ta có:

. Tìm giá trị


Đặt t = xy, t
Bài toán trở thành: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu
thức

trên đoạn

Sử dụng bảng biến thiên của hàm số bâc hai học sinh tìm
được:
Bài 10 Cho x, y, z

và

P=

Lời giải: Ta có: P + 3 =

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :


hay

Suy ra

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1. Vậy MinP =
Bài 11 Cho x, y, z là các số thực dương lớn hơn 1 và thoả mãn điều
kiện:
xy + yz + zx ³ 2xyz. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = (x - 1)(y 1)(z - 1).

Lời giải: Ta có

nên


Tương tự ta có

Nhân vế với vế của (1), (2), (3) ta được

. Suy ra A

Vậy MaxA =
Bài 12 Với mọi số thực dương

thỏa điều kiện

nhỏ nhất của biểu thức:

.

Lời giải: Áp dụng BĐT Cô-si :

(1). Dấu bằng xảy ra khi

Tương tự:

(2) và

Mà:

(4). Cộng (1),(2),(3),(4), ta có:

. Vậy MinP =

. Tìm giá trị

(3).

x=y=z=

.

.

Bài 13 Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn

. Tìm giá trị lớn

nhất của biểu thức:

Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức:

. Dấu bằng xảy ra khi a = b .

Ta có :

Hay

Tương tự

(1).

(2)

(3)
Cộng vế với vế của (1),(2),(3) và áp dụng giả thiết ta được P 1

Mà P =1 Khi x = y = z = . Vậy Max P = 1

x=y=z= .

Bài 14 Cho các số thực dương a,b,c thay đổi luôn thoả mãn : a+b+c=1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P =

Lời giải: .Ta có: P =

Và

Từ đó P

Vậy Min P = 2

. Để P = 2 thì a = b = c = .

a=b=c= .

Bài15 Cho hai số dương

thỏa mãn:

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Lời giải:

.


Thay

ở tỉ số cuối

được:

=

khi

Vậy Min P =

Bài 16 Cho x, y, z > 0 thỏa điều kiện xyz = 1.

Tìm GTNN của

.

Lời giải: Áp dụng BĐT Cô si cho 3 số dương ta có:

Tương tự:

;

Suyra:
bằng xảy ra khi x = y = z = 1.
Vậy MinS =

khi x = y = z = 1.

. Dấu


Bài 17 Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn: x2 + y2 + z2 £ 3. Tìm
giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Lời giải: Ta có:

Mà P =

khi x = y = z= 1

Vậy Min P =

x = y = z= 1

Bài 18 Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Lời giải: Ta có :

(*)

Nhận thấy : x2 + y2 – xy ³ xy "x, y Î

Do đó : x3 + y3 ³ xy(x + y) "x, y > 0 hay

"x, y > 0


Tương tự, ta có :

"y, z > 0 và

"x, z > 0

Cộng từng vế ba bất đẳng thức vừa nhận được ở trên, kết hợp với (*), ta
được:
P ³ 2(x + y + z) = 2 "x, y, z > 0 và x + y + z = 1

Hơn nữa, ta lại có P = 2 khi x = y = z = . Vì vậy Min P = 2.
Bài 19 Cho x, y, z là ba số thực dương thay đổi và thỏa mãn:
. Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Lời giải: Vì

, Áp dụng BĐT Côsi ta có:

.


Dấu bằng xảy ra

. Vậy MaxP =

Bài 20 Cho x,y Î R và x, y > 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của

Lời giải: Đặt t = x + y ; t > 2. Áp dụng BĐT 4xy £ (x + y)2 ta có

. Do 3t - 2 > 0 và

Xét biểu thức f(t) =

Do đó min P =

nên ta có

. f(t) = 8 khi t = 4

= f(4) = 8 đạt được khi

I.2 Các bài toán giao về nhà cho học sinh thực hiện


Bài 21 Cho

Lời giải:

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P=

. Có

=2
Mặt khác:

=

Từ (1) và (2)

P

. Dấu “ = “

Vậy Min P =

khi x = y =

(1)

(2)

1–x=1–y

x=y=

Bài 22 Cho các số thực không âm x, y thay đổi và thỏa mãn x + y = 1.
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = (4x2 + 3y)
(4y2 + 3x) + 25xy.


Lời giải: S = (4x2 + 3y)(4y2 + 3x) + 25xy = 16x2y2 + 12(x3 + y3) +
34xy
= 16x2y2 + 12[(x + y)3 – 3xy(x + y)] + 34xy = 16x2y2 + 12(1
– 3xy) + 34xy
= 16x2y2 – 2xy + 12

Đặt t = x.y, vì x, y ³ 0 và x + y = 1 nên 0 £ t £ .
Khi đó S = 16t2 – 2t + 12 = f(t). Hàm số f(t) xét trên đoạn
0£t£

đạt giá trị lớn nhất tại t = , đạt giá trị nhỏ nhất tại t =

Max S =

khi x = y =

Min S =

khi

hay

Bài 23 Cho x, y, z là các biến số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức:


Lời giải: Với x, y > 0 ta chứng minh :
4(x3 + y3) ³ (x + y)3 (*) Dấu = xảy ra Û x = y
Thật vậy (*) Û 4(x + y)(x2 – xy + y2) ³ (x + y)3
Û 4(x2 – xy + y2) ³ (x + y)2 do x, y > 0
Û 3(x2 + y2 – 2xy) ³ 0 Û (x – y)2 ³ 0 (đúng)
Tương tự ta có

4(y3 + z3) ³ (y + z)3 Dấu = xảy ra Û y = z

4(z3 + x3) ³ (z + x)3 Dấu = xảy ra Û z = x

Do đó

Ta lại có

Dấu = xảy ra Û x = y = z

Suy ra

Dấu = xảy ra Û

x=y=z=1


Vậy minP = 12 khi x = y = z = 1
Bài 24 Cho hai số dương x, y thay đổi thỏa mãn điều kiện

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

Lời giải: Ta có

A =

ÞA

Với x = y = 2 thì A = .

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là

Bài 25 Cho

. Tìm GTLN của biểu thức

Lời giải: Ta có:

(1)

. Ta đặt a = 1/x, b = 1/y


Mà

(*).

Cách 1:
Ta có: A = ( a + b)2

Ta biết :
“ = “ xảy ra

( vì a + b > 0 )
a = b.

Từ đó suy ra :
“ = “ xảy ra

a = b = 2.

Vậy Max A = 16 khi 1/x = 1/y = 2.


Cách 2 :
Ta có: A= a3 + b3 = (a+b)(a2 –ab + b2 ) = (a + b)2.
Từ (1) suy ra : a + b = (a + b)2 -3ab
Mà:

Vậy MaxA = 16. khi x = y = ½.

Cách 3:
Đặt S = x + y , P = xy với S2 - 4P

Từ gt suy ra:

.

. Ta có


Khi đó

Vậy MaxA = 16 ( khi x = y =

).

Bài 26 Cho

Tìm GTLN của
Lời giải: Đk :

Ta có :

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 2 , y = 4 , z = 6.

Vậy Max M =

.

Bài 27 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P =

z là các

với x , y ,