Xõy dựng và sử dụng phương tiện trực quan nhằm giúp học sinh phát huy tính tự học và tự rèn luyện kỹ năng trong quá trình giải toán phần hàm số mũ, hàm số logarít

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (745.49 KB, 31 trang )

Mở đầu
I. Lý do chọn đề tài:

Thực hiện chủ trương của Đảng, của Bộ giáo dục và
đào tạo, đáp ứng yêu cầu phát triển mới của xã hội, quá
trình dạy học nói chung và dạy học toán nói riêng đã có
nhiều sự thay đổi.
Một trong những hướng quan trọng của sự phát triển
phương pháp hiện đại trong dạy học toán là xây dựng các
phương tiện dạy học và chỉ dẫn phương pháp sử dụng
chúng trong các giờ toán, nhằm hình thành ở học sinh
các hình ảnh cảm tính của đối tượng nghiên cứu, gợi cho
học sinh các tình huống có vấn đề, tạo nên sự hứng thú
trong các giờ học toán.
Trong thời gian gần đây dưới ảnh hướng của sự tiến
bộ khoa học kỹ thuật và sự phát triển lý luận dạy học,
nhiều dạng phương tiện dạy học đã xuất hiện ở trường
phổ thông. Nó không chỉ là nguồn kiến thức, cho hình
ảnh minh họa mà còn là phương tiện tổ chức, điều khiển
hoạt động nhận thức của học sinh, là phương tiện tổ
chức khoa học lao động sư phạm của giáo viên và học
sinh.
Thực tế dạy học ở nhà trường Trung học phổ thông
nước ta cho thấy học sinh thường gặp không ít khó khăn
khi lĩnh hội khái niệm hàm số mũ, hàm số logarít, nhiều
học sinh có thể nhớ các biểu thức, học thuộc khái niệm,
nhưng không giải thích được đầy đủ ý nghĩa và bản chất
của nó, từ đó dẫn tới việc vận dụng một cách máy móc,
hoặc không biết hướng vận dụng. Do vậy việc sử dụng các
phương tiện trực quan vào quá trình dạy học là việc làm
cần thiết và phù hợp với xu thế đổi mới phương pháp dạy

học hiện nay ở trường phổ thông.
Từ nhận thức ấy tôi chọn đề tài

của mình với tiêu

đề:
Xõy dựng và sử dụng phương tiện trực quan nhằm
giúp học sinh phát huy tính tự học vàtự rèn luyện kỹ
năng trong quá trình giải toán phần hàm số mũ, hàm số
logarít

1

II. Mục đích nghiên cứu

Xác định một số dạng phương tiện dạy học trực quan
cần thiết Giải toán phần hàm số mũ, hàm số logarít.
III. Nhiệm vụ nghiên cứu

Hình thành các yêu cầu sư phạm của các dạng phương
tiện trực quan trong dạy học phần hàm số mũ, hàm số
logarít và thể hiện cụ thể qua một số dạng phương tiện
trực quan tương ứng với các hoạt động chủ yếu trong dạy
học.
IV. Giả thuyết khoa học

Trên cơ sở chương trình sách giáo khoa,chúng tôi
cho rằng nếu xây dựng được các phương tiện dạy học trực
quan và có chỉ dẫn phương pháp sử dụng hợp lý thì sẽ

góp phần nâng cao chất lượng dạy học
V. Phương pháp nghiên cứu

1. Nghiên cứu lý luận
Nghiên cứu các tài liệu về cơ sở tâm lý học, giáo
dục học, phương pháp dạy học toán và sách giáo khoa,
sách giáo viên, sách tham khảo có liên quan đến đề tài
nghiên cứu.
Nghiên cứu các bài báo về khoa học toán học, các
luận văn, luận án, các công trình nghiên cứu liên quan
trực tiếp đến đề tài.
2. Quan sát
Dự giờ, quan sát việc dạy của giáo viên và việc học
của học sinh về hàm số mũ, hàm số logarít có sử dụng
các phương tiện dạy học trực quan.
Phân tích những khó khăn và sai lầm của học sinh
khi học phần hàm số mũ, hàm số logarít làm cơ sở cho
việc xây dựng và sử dụng các phương tiện dạy học trực
quan.

Chương 1
Cơ sở lý luận và thực tiễn.
1. Tính hiệu quả của quá trình học tập nhờ sử dụng
phương tiện trực quan.
2. Đặc điểm yêu cầu và thực tiễn dạy học phần hàm
số mũ, hàm số logarít ở trường phổ thông.
3.Kết luận chương I.
2

Chương 2
Xõy dựng và sử dụng phương tiện trực quan nhằm giúp
học sinh phát huy tính tự học và tự rèn luyện kỹ năng
trong quá trình giải toán phần hàm số mũ, hàm số
logarít

Chương 1
Cơ sở lý luận và thực tiễn.
i. Tính hiệu quả của quá trình học tập nhờ sử dụng phương
tiện trực quan

Khi xây dựng và sử dụng đúng đắn các phương tiện
trực quan phục vụ cho việc dạy học theo một chủ đề thì
vừa đạt được mục đích dạy học nói chung, vừa đạt được
mục đích dạy học một chủ đề nói riêng, đồng thời phải
góp phần nâng cao hiệu quả của quá trình dạy học. Việc
phân tích đánh giá hiệu quả của quá trình dạy học theo
một chủ đề, không chỉ thể hiện ở việc đánh giá kết quả
học tập nhất thời của học sinh mà còn phải xem xét việc
lựa chọn phương tiện và cả quá trình sử dụng phương
tiện của thầy cô và trò ở lớp. Nếu đã lựa chọn phương
tiện dạy một cách thích hợp thì khi sử dụng nó có thể
khai thác được các chức năng của phương tiện nhằm đạt
được yêu cầu đặt ra cho nó và như thế sẽ góp phần nâng
cao hiệu quả dạy học.
1. Các yêu cầu của việc lựa chọn và sử dụng phương
tiện trong quá trình dạy học
a) Thông tin được trình bày trong phương tiện dạy
học phải hướng vào mục đích giáo dục toàn diện. Những
thông tin này vừa đảm bảo tính khoa học, phù hợp với

chương trình môn học tạo điều kiện hình thành có hiệu
quả những tri thức cơ bản phát triển năng lực nhận thức
và khả năng công tác tự lập.
b) Phương tiện dạy học phải kích thích và tạo điều
kiện sử dụng những phương pháp dạy học đa dạng và có
hiệu quả.

3

c) Phương tiện dạy học phải đảm bảo việc tổ chức
hợp lý lao động sư phạm của giáo viên và học sinh, các
phương tiện phải hấp dẫn, phù hợp về hình dáng, kích
thước…
d) Phương tiện dạy học phải đảm bảo những yêu cầu về
kinh tế, kỹ thuật đòi hỏi phương tiện dạy học phải có
chất lượng phản ánh cao.
2. Hiệu quả của quá trình học tập nhờ sử dụng
phương tiện trực quan
Kết quả của việc giảng dạy khi sử dụng phương tiện
trực quan phụ thuộc vào việc lựa chọn đúng đắn các
phương tiện trực quan và việc sử dụng đúng đắn các
phương tiện đó trong quá trình dạy học toán
Thực tiễn dạy học cho thấy rằng nếu có ý thức và kỹ
năng sử dụng các phương tiện trực quan một cách hợp lý
thì sẽ góp phần:
- Tạo điều kiện thuận lợi cho hoạt động dạy học.
- Cung cấp cho học sinh những kiến thức bền vững,
chính xác trong dạng ngắn gọn, rèn luyện những kỹ năng,
kỹ xảo cần thiết cho lao động sản xuất và đời sống

Có thể nói rằng: Giảng dạy trực quan có nghĩa là
giảng dạy dựa trên các hình tượng hiểu biết của học
sinh.
Vận dụng đúng đắn nguyên tắc trực quan trong quá
trình giảng dạy là đảm bảo sự chuyển từ “Trực quan sinh
động sang tư duy trừu tượng”. Do đặc thù của môn toán
đòi hỏi phải đạt tới một trình độ trừu tượng, khái quát
cao hơn so với các môn học khác. Vì thế, nếu sử dụng
hợp lý các phương tiện trực quan sẽ góp phần vào việc
phát triển tư duy trừu tượng, nâng cao hiệu quả của quá
trình dạy và học
ii. Đặc điểm, yêu cầu và thực tiễn dạy học phần hàm số mũ,
hàm số logarít ở trường phổ thông

Xuất phát từ mục tiêu đào tạo của trường Trung học
phổ thông chúng tôi phân tích đặc điểm, yêu cầu dạy học
phần hàm số mũ, hàm số logarít nhằm xác định các nhiệm
vụ và yêu cầu sư phạm của phương tiện trực quan trong
quá trình dạy và học.

4

1. Đặc điểm, yêu cầu dạy học phần hàm số mũ, hàm số
logarít
Mục đích, nội dung, phương pháp, phương tiện và
hình thức dạy học vốn gắn bó chặt chẽ với nhau, trong
đó mục đích dạy học giữ vai trò chi phối, quyết định sự
liên hệ giữa các thành phần được thể hiện ở các đặc
điểm sau.

a) Về phương diện mục đích dạy học:
Dự thảo chương trình cải cách môn toán đã chỉ rõ:
Cung cấp cho học sinh một hệ thống vững chắc những tri
thức, kỹ năng phương pháp toán phổ thông, cơ bản, hiện
đại, tương đối hoàn chỉnh, thiết thực, sát thực tế Việt
Nam, theo tinh thần giáo dục kỹ thuật tổng hợp Khi dạy
học phần hàm số mũ, hàm số logarít có thể, thể hiện
tinh thần giáo dục kỹ thuật tổng hợp ở những điểm sau:
Làm cho học sinh nắm vững chắc những khái niệm về
hàm số mũ, hàm số logarít, các tính chất, định lý, các
dạng đồ thị, các phương trình, bất phương trình mũ,
logarít.
Giúp học sinh thấy được mối liên hệ giữa hàm số mũ
với hàm số logarít, chỉ ra các ứng dụng thực tế của hàm
số mũ và hàm số logarít (trong các ngành kỹ thuật,
trong hóa học, trong âm nhạc) và giải các bài toán
thích hợp .
Rèn luyện những kỹ năng, kỹ xảo cần thiết cho lao
động sản xuất và đời sống. Thông qua việc giảng dạy
phần hàm số mũ, hàm số logarít theo tinh thần giáo dục
kỹ thuật tổng hợp sẽ làm cho khả năng tư duy, nhận thức
của học sinh phát triển cao hơn. Đồng thời góp phần
hướng nghiệp cho các em, bởi vì một trong những nguyên
tắc hướng nghiệp là “Bảo đảm tính chất giáo dục kỹ thuật
tổng hợp trong hướng nghiệp”.
Việc dạy học phần hàm số mũ, hàm số logarít có mục
đích chủ yếu là cung cấp cho học sinh các khái niệm về
hàm số mũ, hàm số logarít, các phương pháp suy đồ thị,
giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương
trình theo tinh thần giáo dục tổng hợp. Các phương tiện

dạy học trực quan phải thể hiện được đặc điểm này của
việc dạy học phần hàm số mũ, hàm số logarít.
b) Về phương diện nội dung dạy học:

5

Nội dung chương trình phần hàm số mũ, hàm số
logarít được xây dựng bằng phương pháp tổng hợp, nhằm
cung cấp cho học sinh các kiến thức cơ bản về hàm số
mũ, hàm số ngược, hàm số logarít với những nội dung
chính sau:
- Mở rộng khái niệm về số mũ của các lũy thừa.
- Hàm số mũ, các tính chất hàm số mũ, khảo sát và vẽ
đồ thị hàm số mũ, so sánh các dạng lũy thừa, tìm giới
hạn của hàm số mũ, các phép suy đồ thị, phương trình,
bất phương trình, hệ phương trình và hệ bất phương trình
mũ.
- Hàm số ngược.
Trong quá trình giảng dạy phần hàm số mũ, hàm số
logarít về mặt phương diện nội dung dạy học, cần đạt
mức độ và yêu cầu sau:
* Về mặt lý thuyết:
Xây dựng khái niệm hàm số mũ y = ax (a > 0) với tập
xác định là toàn bộ R, đó là một hàm số liên tục, đồng
biến khi a > 1 và nghịch biến khi 0 < a < 1 và luôn luôn
có giá trị dương...
Việc học hàm số mũ có tác dụng quan trọng là chuẩn
bị cho việc học hàm số logarít, để dẫn tới logarít là
một vấn đề có ý nghĩa về mặt thực tiễn.

Bằng việc sử dụng các phương tiện trực quan hợp lý
khi giảng dạy giáo viên phải làm cho học sinh thấy được
ý nghĩa lý thuyết và thực tế, tác dụng giáo dục của
toàn chương, nắm vững khái niệm, tính chất, các định lý
về logarít và ý nghĩa của định lý đó. Trên cơ sở đó học
sinh mới có ý thức trong việc rèn luyện kỹ năng sử dụng
logarít vào việc giải các bài toán và thực tiễn.
* Về phương diện bài tập:
Hệ thống hóa bài tập trong sách giáo khoa phần hàm
số mũ, hàm số logarít được lựa chọn nhằm mục đích: Củng
cố kiến thức cơ bản, rèn luyện tư duy lôgíc, khả năng
trừu tượng hóa và bổ sung một số kiến thức không đề cập
trong sách giáo khoa.
Bằng các hình ảnh minh họa trực quan cần rèn luyện
cho học sinh đạt được những kỹ năng sau đây: Giúp học
sinh biết lập luận có căn cứ, trình bày lời giải một
cách mạch lạc, biết vận dụng công thức một cách sáng

6

tạo khi giải các bài toán về phương trình, bất phương
trình, hệ phương trình mũ và logarít.
Biết khai thác các ứng dụng của hàm mũ và hàm số
logarít vào thực tiễn, đồng thời rèn luyện các phẩm
chất tư duy linh hoạt, độc lập, sáng tạo, tự kiểm tra
đánh giá...
c) Về phương diện phương pháp dạy học:
Tất cả các tính chất của hàm số mũ, hàm số logarít
không chứng minh vì phép chứng minh phần lớn vượt ra

ngoài chương trình toán bậc phổ thông; vì thế các em
không khỏi băn khoăn ngờ vực, thậm chí thiếu niềm tin
vào tính đúng đắn của nội dung các tính chất.
Điều đó sẽ cản trở học sinh lĩnh hội chúng một cách
tự giác, học sinh sẽ thiếu cơ sở để tiến hành lập luận
có căn cứ.
Nếu thừa nhận rằng dạy toán là dạy “hoạt động toán
học” theo cách nói của A.A. Xtoliar, thì theo ông giai
đoạn đầu tiên, giai đoạn tích lũy các sự kiện nhờ quan
sát, quy nạp, tương tự, khái quát hóa là cơ sở cho giai
đoạn tiếp theo.
Việc giảng dạy phần hàm số mũ, hàm số logarít cần
coi trọng đặc biệt giai đoạn đầu. Có thể giải quyết vấn
đề này bằng việc sử dụng hợp lý các phương tiện trực
quan, đồng thời làm chỗ dựa vững chắc cho việc hình
thành các khái niệm và tính chất, lập luận có căn cứ.
Tóm lại, bằng phương pháp trực quan, các phương
tiện trực quan khi dạy học phần hàm số mũ, hàm số
logarít có thể tạo điều kiện thuận lợi cho cho hoạt
động dạy học, kích thích quá trình học tập, cung cấp
cho học sinh những kiến thức bền vững, chính xác.
Sự phân tích các đặc điểm nêu trên cho phép kết
luận rằng:
Yêu cầu sư phạm của việc xây dựng và sử dụng phương
tiện trực quan dùng cho việc dạy học phần hàm số mũ,
hàm số logarít phải góp phần:
- Tạo ra các hình ảnh ban đầu, các biểu tượng về
đối tượng nghiên cứu
- Tái tạo lại nội dung các vấn đề nghiên cứu trong
dạng ngắn gọn, nhằm giúp học sinh củng cố ghi nhớ, áp

dụng kiến thức.

7

- Hướng dẫn học sinh lập luận có căn cứ.
- Tạo điều kiện cho quá trình suy diễn trừu tượng
phát triển thuận lợi.
2. Thực tiễn dạy học phần hàm số mũ, hàm số logarít
ở trường Trung học phổ thông
Việc phân tích thực tế dạy học phần hàm số mũ, hàm
số logarít là việc làm rất cần thiết. Điều đó cho chúng
tôi có thêm cơ sở xác định đúng đắn các yêu cầu sư phạm
đối với các phương tiện dạy học trực quan.
Thực tiễn dạy học ở trường Trung học phổ thông cho
thấy chất lượng dạy học phần hàm số mũ, hàm số logarít
chưa cao, học sinh nắm kiến thức một cách hình thức,
lẫn lộn giữa đẳng thức định nghĩa với định lý. Chẳng
hạn cho rằng lý luận dẫn đến định nghĩa số mũ 0, a0 =
1(a  0 ) là một chứng minh.
Nhiều học sinh còn mơ hồ hoặc là không nắm được các
tính chất, không hiểu được bản chất của các định lý về
hàm số mũ, hàm số logarít.
Chẳng hạn: “4 3 nghĩa là gì” thì câu trả lời của đa
số học sinh còn thiếu chính xác. Bên cạnh đó, do việc
không nắm chắc các giả thiết, định lý, các công thức…
nhiều học sinh còn phạm phải sai lầm.
Ví dụ như cho rằng:
+) logaA.B = logaA.logbB (A,B > 0 và
a,b  1)

+) loga(A+B) = logaA + logaB
+) log2-8 = -3 (họ lý giải rằng (-2)3 =
- 8)
+) logax = logax; n a. m a = m n a ….
Trước hết phải thấy rằng do học sinh nắm kiến thức
thiếu vững chắc dẫn tới việc vận dụng vào các bài toán
cụ thể thường mắc sai lầm. giáo viên lại không có biện
pháp thích hợp để khắc phục. Thực tế đó giúp ta hiểu
rằng càng phải chuẩn bị cho giáo viên những điều kiện
cần thiết, trong đó có việc hướng dẫn giáo viên tạo ra
và sử dụng các phương tiện dạy học một cách thích hợp,

8

để họ có thể dạy tốt phần hàm số mũ, hàm số logarít theo
yêu cầu của chương trình sách giáo khoa.
1.5. Kết luận chương I
Từ sự phân tích cơ sở lý luận và thực tiễn dạy học
toán ở trường phổ thông đối chiếu với những quan điểm
đổi mới phương pháp dạy toán trong giai đoạn hiện nay,
chúng tôi cho rằng:
Để giáo dục toán cho học sinh ở trường Trung học
phổ thông qua dạy học toán cần quan tâm tới phương pháp
dạy học trực quan, để từ đó thông qua việc tổ chức hoạt
động toán học, học sinh tự giác tìm tòi kiến thức mới.
Chương 2
XÂY DỰNG VÀ sử dụng phương tiện trực quan nhằm giúp
học sinh phát huy tính tự học và tỰ rèn luyện kỹ năng
trong quá trình giải toán phần hàm số mũ, hàm số

logarít
xÂY DỰNG VÀ sử dụng phương tiện trực quan nhằm giúp học
sinh vận dụng tri thức và kỹ năng trong quá trình giải toán phần
hàm số mũ, hàm số logarít

Trên cơ sở phân tích các nguyên tắc ở mục chương 1.
Để đạt được kết quả nhất định trong việc giải toán phần
hàm số mũ, hàm số logarít theo hướng vận dụng các phương
tiện dạy học trực quan chúng tôi đề xuất một số biện
pháp sau:
Biện pháp 1: Sử dụng hợp lý các phương tiện trực
quan nhằm giúp học sinh chiếm lĩnh tri thức. Đồng thời
rèn luyện cho học sinh ý thức và khả năng vận dụng các
phương tiện trực quan trong quá trình giải toán phần
hàm số mũ, hàm số logarít.
Do đặc điểm của môn toán, phương pháp trực quan rất
cần thiết trong dạy học bộ môn giúp học sinh khắc phục
khó khăn ban đầu, tiếp thu vận dụng được các khái niệm
tính chất và suy luận trừu tượng trong quá trình giải
toán.
Các dạng trực quan bao gồm: Trực quan tĩnh và trực
quan động
9

- Trực quan động thường dựa vào máy tính được xây
dựng từ các phần mềm dạy học (gọi là trực quan ảo).
- Trực quan tĩnh thường là hình ảnh vật chất, hình
biểu diễn, sơ đồ, ký hiệu…
Hình thức trực quan được sử dụng rộng rãi nhất

trong môn toán là trực quan tượng trưng (hình vẽ, sơ
đồ, đồ thị, bảng, công thức…) ([3]).
Trong quá trình giải toán phần hàm số mũ và hàm số
logarít việc sử dụng hợp lý các phương tiện trực quan
tượng trưng sẽ giúp học sinh tìm ra hướng giải quyết
bài toán đỡ khó khăn hơn, cách lập luận sẽ có căn cứ
xác đáng hơn, rèn luyện được kỹ năng nhiều hơn, những
sai sót trong tính toán sẽ ít mắc phải hơn...
Thực tiễn sư phạm cho thấy đa số học sinh khi giải
các phương trình và bất phương trình mũ, logarít không
gặp nhiều khó khăn lắm khi vận dụng các phương pháp
- Phương pháp đưa về cùng cơ số
- Phương pháp logarit hóa và mũ hoá
- Phương pháp đặt ẩn phụ
- Phương pháp đánh giá
Nhưng đối với một số dạng phương trình đặc biệt là
các bài toán có chứa tham số học sinh sẽ gặp rất nhiều
khó khăn, bằng việc sử dụng hợp lý các phương tiện trực
quan sẽ làm cho học sinh hiểu rõ các vấn đề và mấu chốt
của bài toán
Chẳng hạn ta xét các bài toán sau:
Bài toán 1. Giải và biện luận theo m số nghiệm của
phương trình
Bằng
quan
Giáo
kiện t >

1 22x = m
(1)

việc kết hợp giữa suy diễn và mô hình trực
là đồ thị
viên hướng dẫn học sinh: đặt 2x = t với điều
0, rồi yêu cầu học sinh đưa phương trình về hệ

t2 + m2 = 1
(I
t > 0
Có thể hỏi học sinh như sau: Cứ
) giả sử rằng phương
trình (1) là có nghiệm khi đó hiển nhiên m phải có điều
kiện gì ? (m  0) nếu m < 0 phương trình (1) vô nghiệm
t2 + m2 = 1
10

(I) 
m  0
(II)
t > 0
Bài toán sẽ trở nên đơn giản nếu học sinh biết biểu
diễn miền nghiệm của t2 + m2 = 1 là đường tròn tâm 0(0,0)
bán kính R = 1 xét trong hệ tọa độ vuông góc t0m.
Dựa vào hình vẽ bằng trực quan học sinh sẽ dễ dàng
phát hiện: các điểm M(t,m) thỏa mãn (II) được biểu diễn
bằng đường đậm trong hình (cung tròn AB, bỏ điểm B).
Vậy: 0  m < 1 phương trình có nghiệm duy nhất
m < 0
Phương trình vô nghiệm
m

m  1
Hệ

Giáo viên yêu cầu học sinh giải
bài toán tương tự.

1B
A
00

2
2
log(x +y =) 1
Bài toán 2.
2(m+1)
Tìm m để hệ phương trình:
(x+y)2 = 4

t

1

có nghiệm.

Giáo viên yêu cầu học sinh tìm tập xác định của hệ
phương trình:
Điều kiện:

m >-1
m  -

Hệ phương trình 

1
2

x2 + y2 = 2(m + 1)
(1)

(x + y)2 = 4
Đối với hệ phương trình trên bằng cách đưa về hệ
(2)
đối xứng loại 1 học sinh có thể biện luận được để hệ
phương trình có nghiệm, nhưng học sinh dễ bị thiếu sót
các trường hợp, hoặc lầm lẫn trong tính toán, bằng sự

11

mô tả trên đồ thị học sinh sẽ phát hiện vấn đề một cách
rõ ràng trực quan hơn.
Giáo viên gợi ý để học sinh biểu diễn các tập
nghiệm của (1) và (2) lên mặt phẳng tọa độ 0xy.
Gọi x1, x2 lần lượt là tập nghiệm của (1) và (2)
Tâm 0(0,0)
- x1 là tập các điểm trên đường tròn
(c)
Bán kính
R =
- x2 là tập hợp các điểm trên các

thẳng (d1): x +
2(mđường
 1)
y + 2 = 0 và (d 2): x + y - 2 = 0.
Bằng sự minh họa trực quan
y
theo hình vẽ học sinh dễ dàng tìm
được điều kiện để hệ phương trình
2
có nghiệm, bao gồm các trường
hợp:
Trường hợp 1: (d1) và (d2)
2
-2
2
cùng là tiếp tuyến của đường tròn
0
x
02
(C)  R = 2  2(m  1)  2  m =
0 khi đó hệ phương trình có 2
x + y –2 =
-2
nghiệm phân biệt.
0
Trường hợp 2: (d1) và (d2)
x+y+2=0
cùng cắt (C) tại hai điểm phân
biệt


R
> 2
 2(m  1) > 2  m > 0
khi đó hệ phương trình có 4
nghiệm phân biệt.
Tóm lại, hệ phương trình có nghiệm khi m  0.
Giáo viên có thể ra cho học sinh làm các bài toán
tương tự sau:

Bài tập ôn luyện
1. Tìm a để phương trình sau có nghiệm duy nhất
x

x

 5  1
 5  1

  a

 2 
 2  1





Hướng dẫn: Ta có

 5  1  5  1 




 2  2   1




x

Đặt

 5  1


 2  t



12

Đưa phương trình về với ẩn t rồi dùng các phương
tiện trực quan là đồ thị để suy ra điều kiện của a
2. Tìm a để bất phương trình sau đúng  x  R
25x + (m +1)5x – 2m
+ 3  0
Hướng dẫn: Sử dụng bài toán 1.3
3. Tìm m để hệ phương trình
log2(x+y)(x 2 +y2) = 1

(x +y)2 = m
có 2 nghiệm
Hướng dẫn: Sử dụng bài toán 1.4
4. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình

1 - 22x = m –2x
Hướng dẫn: Đặt 2x = t, điều kiện t > 0, đưa phương
trình về hệ rồi biện luận tương tự bài toán 1.1.
5. Cho phương trình
4| x | - m.2| x | + 1 + 2 = 0
a. Giải phương trình với m = 3
b. Tìm m để phương trình có nghiệm
Hướng dẫn: đặt 2| x | = t điều kiện t  1, sử dụng các
phương tiện trực quan là đồ thị để suy ra điều kiện của
m.
Biện pháp 2: Việc sử dụng các phương tiện trực quan
có thể khai thác tiềm năng logíc bên trong của vấn đề
được trình bày trong SGK, nhờ đó học sinh nắm vững bản
chất vấn đề, tạo điều kiện giải quyết vấn đề đó rõ ràng
hơn, mạch lạc hơn.
Ta biết rằng, mỗi nội dung dạy học đều liên hệ mật
thiết với những hoạt động nhất định, đó là những hoạt
động đã được tiến hành trong quá trình hình thành vận
dụng nội dụng đó. Khi đứng trước một vấn đề, nếu thường
xuyên quan tâm đến việc khai thác tiềm năng từ logíc
bên trong để nắm được các thuộc tính bản chất thì chúng
ta sẽ phát hiện được những hoạt động tiềm tàng trong
mỗi vấn đề, nghĩa là lúc đó về thực chất chúng ta đã
vạch ra được con đường, cách thức giải quyết vấn đề.
13

Bài toán 1. Với giá trị nào của a thì phương trình
4x - 2x + a = 0 (1) có nghiệm.
Cách 1: giáo viên yều cầu học sinh đặt 2x = t điều
kiện t > 0 rồi đưa phương trình về dạng t2- t = -a (t >
y
0).
- Yêu cầu học sinh vẽ
parabol:
y = t2-t và đường
thẳng
y = -a trên cùng hệ
trục tọa độ t0y.
y = -a
Để phương trình (2) có
nghiệm
t > 0 thì -a phải là
1
2
một giá trị của hàm số y = t2
1
t
- t
với tập xác định là (0,
1
0
4
+)
Từ đồ thị học sinh sẽ suy

ra được: phương trình (2) có
nghiệm t > 0 thì đường thẳng
y = -a phải cắt đồ thị hàm số
f(t) = t2 – t trên (0,+)
 -a  -

1
4

 a 

1
4

Qua bài toán trên giáo viên có thể yêu cầu học sinh
phát biểu mệnh đề tổng quát: để giải và biện luận
phương trình f(x ) = g(m) (1)
Ta thực hiện các bước sau:
Bước 1:
Lập luận: Số nghiệm của (1) là hoành độ
giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x ) và đường thẳng
(d): y = g(m).
Bước 2: Xét hàm số y = f(x )
Tìm miền xác định (D)
Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
Bước 3: Kết luận: Phương trình có nghiệm
 min f(x )  g(m)  max f(x )
D
D
Nếu biện luận phương trình trên thì có thể tùy

thuộc vào số giao điểm của đồ thị y = f(x) và đường
thẳng y = g(m)

14

Bài toán 2. Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm
duy nhất.
22x +22y+2y+1 
m-1
22y+22x + 2x+1 
Giải: giáo m-1
viên gợi ý: vế trái của hệ luôn luôn
dương vậy để hệ phương trình có nghiệm thì tham số m
phải thỏa mãn điều kiện gì ?
(m-1 0  m  1)
u =
Yêu cầu học
điều kiện u,v > 0 hệ
2x
sinh đặt:
tương đương
v = 2y
u2 +(v+1)2 
m(1)
v2 + (u+1)2 
m (2)
Bài toán sẽ trở nên
đơn giản
nếu học sinh phát hiện ra rằng:

Gọi X1, X2 lần lượt là tập nghiệm
của (1) và (2)
X1 là tập các điểm trong hình
tròn
Tâm I (0,-1)
1

(C1)

v

u
I

0

1

I
Bán kính R1 =

m

2

X2 là tập các điểm trong hình
tròn
(C2)

Tâm I1(-1, 0)

Bán kính R2 =
m

Giáo viên có thể hỏi: từ các đồ thị trên hãy tìm
điều kiện để hai đường tròn trên tiếp xúc với nhau?
Bằng trực quan học sinh sẽ nhận ra rằng hệ bất phương
trình có nghiệm duy nhất khi (C1) tiếp xúc với (C2).
15



I1 I2 = R1 + R2



2 = 2 m  m =

1
2

1
thỏa mãn điều kiện đầu bài
2
Bằng cách lập luận tương tự bài toán 2. giáo viên
có thể yêu cầu học sinh giải bài toán sau:
Kết luận:

với m

=

Bài toán 3. Tìm m để hệ phương trình:
log(x2+y2) = 1
có 2
nghiệm
(x+y)2 = m
22x+ (2y+1)2 =
Bài toán 4. Cho hệ phương
m trình
(2x+1)2+22y =
2 4
Tìm m để hệ (x+y)
có nghiệm,
= m khi đó hãy khẳng định rằng
hệ có nghiệm duy nhất.
Hướng dẫn:
Đặt:
u = 2x
điều kiện
v = 2y u,v > 0
Yêu cầu học sinh vẽ đồ thị của 2 đường tròn (C1) và
(C2), đối với (C1) ta chỉ lấy cung AB (trên góc phần tư
thứ nhất).
Phương trình
Tâm I1(0,-1)
2
2
(1) là đường
Bán kính:R1 =

u +(v +1)
= m
Hệ 
tròn (C1) có
m
(1)
2
2
Tâm
I2((u+1) +v = 4
1,0)
Phương trình
(2)
R2 = 2
(2) là đường
Đối với (C2) chỉ lấy
cung
(trong góc phần tư thứ
tròn
(C2CD
) có
nhất). Vậy hệ có nghiệm khi cung AB và cung CD giao
nhau khác rỗng
 I1C < R1 < I1D  2 < m < 1+ 3
 2 < m < 4 +2 3

16

và khi đó vì cung AB và cung CD giao nhau tại điểm {M}

nên hệ có nghiệm duy nhất.
Vậy 2 < m < 4+2 3 hệ có nghiệm duy nhất.
Bài toán 5.
Tùy theo m biện luận số nghiệm của
phương trình
lg (m-x2) = lg (x2 –3x +2)
Phân tích lời giải: Biến đổi phương trình về ydạng
x< 1  x >2
x2-3x+2>0
4

y=m
m-x2 = x2-3x+2
(I)
2x2-3x+2 = m
Để
biện
luận
hệ
7
phương trình (I) bằng
8
các định lý đảo của tam
3
thức bậc 2 thì học sinh
x
0 41
2
sẽ phải phân chia làm
Hình 17

rất
nhiều
các
trường
hợp, sẽ không tránh khỏi
khó khăn và sai sót. Khi
học sinh đã biết kiến
thức về đồ thị hàm số:
f(x) = ax2 + bx + c (a0) ở lớp 10, bài toán sẽ trở nên
đơn giản, bằng sự mô tả đồ thị học sinh dễ dàng phát
hiện số nghiệm của phương trình là số giao điểm của
đường thẳng
y = m với đồ thị hàm số y = 2x2-3x+2
trên miền
(-,1)  (2,+).
Biện luận:
Với m

<

7
8

phương trình vô nghiệm,

 4 phương trình có một nghiệm,

7
8

m =

7
8

 1  m

< m < 1  m > 4

phương trình có hai nghiệm phân biệt
Bài toán 6. Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm
logm2 1 [x3 + (m - 3)x2 - mx - m2 + 2m + 1] >
logm2 1 (1 - x2)
Với các bất phương trình logarít có chứa
tham số
là một dạng toán gây nhiều khó khăn đối với học sinh,
học sinh thường áp dụng các phép biên đổi tương đương:
a > 1
logaf(x) <
log g(x) 

0 < f(x) <
g(x)
0 < a < 1

17

a>1
logaf(x) < b