Kết cấu tấm vỏ 2016 ( Bài giảng Cao học Xây Dựng Bách Khoa Tp.HCM)

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP.HCM
KHOA KỸ THUẬT XÂY DỰNG, BỘ MÔN SỨC BỀN KẾT CẤU
Địa chỉ: 268 Lý Thường Kiệt, Phường 14, Quận 10, Tp.HCM
Email:

Website: www.hcmut.edu.vn


BÀI GIẢNG CAO HỌC XÂY DỰNG

KẾT CẤU TẤM & VỎ
PLATE & SHELL STRUCTURES
PGS. TS. LƯƠNG VĂN HẢI

Tp. Hồ Chí Minh, năm 2016


Cao học Kết cấu Tấm vỏ - Tham khảo từ Bài giảng của Thầy PGS. TS. Chu Quốc Thắng

MỤC LỤC
Trang

MỤC LỤC --------------------------------------------------------------------------------------------- i
CÁC KÝ HIỆU ĐÃ SỬ SỤNG ----------------------------------------------------------------- iii
1.

TẤM CHỊU UỐN: ----------------------------------------------------------------------------- 4
1.1. Các khái niệm và giả thiết: .............................................................................. 4
1.1.1. Khái niệm tấm: ........................................................................................... 4
1.1.2. Các giả thiết khi tính toán tấm:................................................................... 4

1.2. Chuyển vò và biến dạng trong tấm (Kinematical Relationships): .................... 5
1.3. Ứng suất và nội lực trong tấm (Material law): ................................................. 6
1.4. Phương trình vi phân chủ đạo của tấm chòu uốn: ........................................... 10
1.5. Các điều kiện biên trên chu vi tấm: ............................................................... 11
1.6. Tấm ELIP: ...................................................................................................... 13
1.7. Tấm chữ nhật biên tựa với nghiệm Navier: ................................................... 15
1.7.1. Cơ sở lý thuyết: ......................................................................................... 15
1.7.2. Một số trường hợp tải trọng cụ thể: .......................................................... 16
1.8. Tấm chữ nhật biên tựa chòu tải phân bố đều với lời giải Levy:..................... 19
1.9. Tấm chữ nhật chòu uốn bởi momen phân bố tại các cạnh: ............................ 21
1.9.1. Trường hợp đối xứng f1(x) = f2(x) = f(x): .................................................. 21
1.9.2. Trường hợp phản xứng f1(x) = –f2(x): ....................................................... 22
1.9.3. Trường hợp tổng quát: ............................................................................... 23
1.9.4. Trường hợp đặt biệt:.................................................................................. 23
1.10. Tấm chữ nhật có 2 cạnh tựa cố đònh, còn 2 cạnh kia là ngàm: ...................... 23
1.11. Tấm chữ nhật có 3 cạnh tựa và 1 cạnh ngàm:................................................ 24
1.12. Các phương trình cơ bản của tấm tròn chòu uốn: ............................................ 25
1.13. Tấm tròn chòu uốn đối xứng trục: ................................................................... 26
1.13.1. Bài toán tấm tròn biên tựa cố đònh và chòu tải trọng phân bố đều: .......... 27
1.13.2. Bài toán tấm tròn biên ngàm và chòu tải phân bố đều: ............................ 28
1.13.3. Bài toán tấm có tròn có lỗ, biên ngàm và chòu tải trọng phân bố đều: .... 29
1.14. Thế năng toàn phần:....................................................................................... 30
1.15. Phương pháp Rayleigh – Ritz: ........................................................................ 31
1.15.1. Vận dụng pp Rayleigh – Ritz vào giải bài toán tấm chòu uốn: ................ 31
1.15.2. Bài toán tấm chữ nhật biên ngàm chòu tải trọng phân bố đều: ................ 32
1.16. Giới thiệu về lý thuyết tấm dày MINDLIN – REISSNER: ........................... 33
1.17. Tấm bò uốn do tác dụng đồng thời của tải trọng ngang và lực trong mặt
phẳng tấm: ................................................................................................................. 36
1.18. Ổn đònh của tấm chữ nhật biên tựa chòu nén đều: ......................................... 39
1.19. Tấm chữ nhật biên tựa, chòu nén 2 phương: ................................................... 42

1.20. Tấm dò hướng chòu uốn: .................................................................................. 43

Giảng viên: PGS. TS. Lương Văn Hải –


Cao học Kết cấu Tấm vỏ - Tham khảo từ Bài giảng của Thầy PGS. TS. Chu Quốc Thắng

1.20.1. Phương trình vi phân tấm: ......................................................................... 43
1.20.2. Xác đònh độ cứng trong các trường hợp riêng:.......................................... 44
2.

LÝ THUYẾT VỎ: ---------------------------------------------------------------------------- 47
2.1. Một số khái niệm của lý thuyết mặt cong:..................................................... 47
2.1.1. Phương trình mặt cong: ............................................................................. 47
2.1.2. Mặt phẳng tiếp xúc và pháp tuyến mặt cong: .......................................... 47
2.1.3. Các thiết tuyến và bán kính cong của chúng: ........................................... 48
2.1.4. Bán kính cong của thiết tuyến thẳng góc: ................................................ 48
2.1.5. Các đường độ cong: (Lines of curvature) ................................................. 50
2.1.6. Phân loại kết cấu vỏ: ................................................................................ 50
2.2. Lý thuyết vỏ màng (vỏ phi momen): ............................................................. 50
2.2.1. Các giả thiết cơ bản trong lý thuyết vỏ màng: ......................................... 50
2.2.2. Lý thuyết màng trong hệ tọa độ vuông góc:............................................. 52
2.2.2.1. Hình chiếu nội lực hay nội lực quy chiếu: .......................................... 52
2.2.2.2. Phương trình vi phân của vỏ màng – Hàm ứng suất: ......................... 53
2.2.2.3. Điều kiện biên: ................................................................................... 55
2.2.2.4. Tải trọng của vỏ màng: ...................................................................... 55
2.2.3. Ứng dụng lý thuyết vỏ màng trong hệ tọa độ vuông góc: ........................ 56
2.2.4. Lý thuyết màng trong hệ tọa độ trụ .......................................................... 64
2.2.4.1. Lý thuyết chung: ................................................................................. 64
2.2.4.2. Vỏ tròn xoay chòu tải đối xứng trục:................................................... 65

2.2.4.3. Vỏ paraboloid tròn xoay với biên tròn: .............................................. 66
2.2.5. Lý thuyết vỏ màng trong hệ tọa độ tự nhiên: ........................................... 68
2.2.5.1. Lý thuyết chung đối với vỏ tròn xoay: ............................................... 68
2.2.5.2. Tải trọng: ............................................................................................ 71
2.2.5.3. Áp dụng và thí dụ: .............................................................................. 71
2.2.6. Vỏ tròn xoay chòu tải trọng gió: ................................................................ 73
2.2.6.1. Phương pháp chung:............................................................................ 73
2.2.6.2. Vỏ cầu chòu tải trọng gió: ................................................................... 75
2.3. Vỏ chòu uốn: ................................................................................................... 77
2.3.1. Phương trình vi phân tổng quát: ................................................................ 77
2.3.2. Tìm nghiệm tổng quát: .............................................................................. 79

Giảng viên: PGS. TS. Lương Văn Hải –


Cao học Kết cấu Tấm vỏ - Tham khảo từ Bài giảng của Thầy PGS. TS. Chu Quốc Thắng

CÁC KÝ HIỆU ĐÃ SỬ SỤNG
 x , y , z
 x , y

Biến dạng dài theo các phương x, y và z

 xy , yz , zx

Ứng suất cắt trên các mặt có véctơ pháp tuyến là x, y và z và có chiều trùng
với phương y, z và x
Ứng suất pháp tuyến theo trục x, y và z

 x , y , z

Độ cong của tấm theo phương trục x và trục y.

S x , S y , S xy






xy
A
a, b
d
E
F
G
h
M
Mx , My
Mxy
Nxy
P
p  x, y 

Biến dạng trượt của tấm
Hệ số Poisson của vật liệu làm tấm
Độ cong của tấm
Ứng suất cắt
Thế năng

Độ xoắn của tấm
Công ngọai lực
Chiều dài các cạnh theo phương x, y của tấm
Độ cứng uốn của tấm
Mô đun đàn hồi
Diện tích tiết diện
Môđun đàn hồi trượt
Bề dày tấm
Mômen trên mỗi đơn vò chiều dài, mômen tổng
Mômen uốn trên mỗi đơn vò chiều dài theo trục x, y trong mặt phẳng Oxy
Mômen xoắn trên mỗi đơn vò chiều dài trong mặt phẳng Oxz
Lực trượt trên mỗi đơn vò chiều dài trên mặt phẳng x và có chiều trùng với trục y
Lực tập trung
Tải trọng mặt tác dụng lên mặt phẳng Oxy

pmn
Qx , Qy
rx, ry
U
u, v
w
x, y, z

Hệ số chuỗi tải trọng
Lực cắt trên mỗi đơn vò chiều dài trên mặt phẳng Oxy
Các bán kính cong của tấm trong mặt phẳng Oxz và Oyz
Năng lượng biến dạng
Chuyển vò của tấm theo phương x, y
Độ võng của tấm theo phương z
Tên hệ trục tọa độ

Giảng viên: PGS. TS. Lương Văn Hải –


4

1.

TẤM CHỊU UỐN:

1.1.

Các khái niệm và giả thiết:

1.1.1.

Khái niệm tấm:

 Tấm là vật thể lăng trụ hoặc hình trụ có chiều cao h nhỏ hơn rất nhiều so với kích
thước của 2 phương còn lại.
Mặt phẳng cách đều 2 mặt bên trên và dưới của tấm được gọi là mặt trung bình của
tấm. Khi chòu uốn mặt trung bình của tấm bò cong đi.
Giao tuyến của mặt trung bình và các mặt biên cạnh tấm được gọi là cạnh biên của
tấm (hay chu vi tấm).

Để tiện nghiên cứu và khảo sát: thường
O
chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ, thường
b
mặt phẳng Oxy nằm trong mặt trung bình

tấm. Trục z hướng xuống, vò trí của gốc tọa độ
y
z
O sẽ được chọn tùy thuộc vào hình dạng chu vi
tấm và các đặc trưng liên kết của biên tấm sao h: chiếu dày tấm
cho cho phù hợp trong các bài toán cụ thể.

a

x
h

 Tấm được sử dụng rộng rãi trong xây dựng: các tấm sàn, panel, tấm lợp nhà công
nghiệp, …
 Phần lớn tấm dùng trong xây dựng tấm mỏng (tấm theo giả thiết Kirchhoff).
1 h 1
+ Tấm được gọi là tấm mỏng nếu:
  (trong đó: b là kích thước nhỏ nhất của
80 b 5
h
h 1
mặt trung bình) và độ võng wmax  (cũng có thể sử dụng lý thuyết tấm mỏng với  )
4
b 3
h 1
1
+ Trường hợp tấm có  (hoặc > ) thì ta có tấm dày.
b 5
3
h

+ Nếu tấm có độ võng wmax  thì cần tính theo lý thuyết tấm có độ võng lớn hay
4
tấm mềm (hay lý thuyết màng).

1.1.2.

Các giả thiết khi tính toán tấm:

Tấm mỏng được tính toán ứng dụng theo lý thuyết tấm chòu uốn sau đây và dựa trên
các giả thiết sau (còn được gọi là giả thiết Kirchhoff).
1) Giả thiết về các đoạn thẳng pháp tuyến: các đoạn thẳng vuông góc với mặt trung
bình của tấm sẽ còn thẳng và vuông góc với mặt trung bình khi chòu uốn và độ dài
của chúng là không đổi.
+ Từ giả thiết này dễ thấy rằng các góc vuông tạo bởi các phần tử thẳng vuông góc
với mặt trung bình (và có phương dọc trục z) với các trục x, y vẫn còn là góc vuông trong quá
trình biến dạng, như vậy không có sự trượt trong các mặt phẳng đó.
 yz  0
Hay: 
(1.1)
 xz  0
+ Vì độ dài của các đoạn thẳng vuông góc này không thay đổi nên dễ thấy rằng biến
dạng dài theo phương z là bằng 0.
Giảng viên: PGS. TS. Lương Văn Hải –


5
Hay:  z  0

(1.2)

2) Giả thiết về mặt trung bình: tại mặt trung bình tấm không hề có biến dạng kéo,
nén hay trượt. Khi bò uốn mặt trung bình là mặt trung hòa. Từ đó dễ thấy trên mặt
trung bình, các chuyển vò:
u0  v0  0
hay
u z 0  v z 0  0
(1.3)



 



3) Giả thiết về sự tương tác giữa các lớp của tấm: sự tương tác giữa các lớp song song
với mặt trung bình có thể bỏ qua. Tức là ứng suất pháp  z có thể bỏ qua (vì là nhỏ
so với  x và  y )

1.2.

Chuyển vò và biến dạng trong tấm (Kinematical Relationships):

Chúng ta sẽ nghiên cứu tấm chòu tải trọng ngang, tức tải trọng vuông góc với mặt
trung bình của tấm. Để xác đònh biến dạng và chuyển vò ta sẽ dựa vào các giả thiết ở 1.1.2:
w
 Theo giả thiết , vì  z  0 nên theo công thức Cauchy:  z 
 0  độ võng w
z
của tấm không phụ thuộc vào z hay: w  wx, y  . Điều này có nghóa là tất cả các điểm nằm
trên cùng đoạn thẳng vuông góc mặt trung bình tấm sẽ có cùng độ võng.

 yz  0
 Cũng từ giả thiết , từ điều kiện về biến dạng trượt 
, sử dụng công thức
 xz  0
Cauchy:
v w
w

 u
 yz  z  y  0
 z   x
ta được: 

  w  u  0
 v   w
 xz x z
 z
y
Bằng cách tích phân, biểu thức vừa nhận được theo z, ta có:
w

u   z x  f1  x, y 

v   z w  f 2  x, y 
y


(a)

Các hàm f1 x, y  và f 2 x, y  được xác đònh bằng cách sử dụng giả thiết  về tính

không biến dạng kéo, nén của mặt trung bình.
Theo giả thiết này các chuyển vò u0 và v0 của các điểm trên mặt trung bình là bằng 0
u 0  u | z 0  f1  x, y   0
nên: 
v0  v | z 0  f 2  x, y   0

w

u   z x
(1.4)
Vậy tóm lại, theo (a) ta có: 
v   z w

y
Điều này có nghóa là các chuyển vò thành phần của tấm đều biểu diễn được qua hàm
độ võng w của mặt trung bình.
 Các thành phần biến dạng khác được tìm thấy bằng cách sử dụng công thức
Cauchy:

Giảng viên: PGS. TS. Lương Văn Hải –


6

u
2w





z
 x
x
x 2


v
2w
(1.5)




z
 y
y
y 2


u v
2w

 2 x
 xy 
y x
xy

 Như vậy là cũng như là các chuyển vò thành phần, các thành phần biến dạng cũng
được biểu diễn qua hàm độ võng w.

1.3.

Ứng suất và nội lực trong tấm (Material law):
 Để tìm ứng suất, ta sử dụng công thức đònh luật Hooke (dạng ngược) với chú ý rằng

 z  0 . Dễ dàng có được bằng cách sử dụng (1.5):


E
E  2w
2w 







z




 x 
x
y
y 2 
1  2
1  2  x 2



E
E  2w
2w 





(1.6)
z







 y 
y
x
1  2
1  2  y 2
x 2 


E
E
2w
 xy 

z
 xy  
21   
1   xy

 Với  yz và  zx , nếu theo đònh luật Hooke và công thức (1.1) thì sẽ bằng 0. Tuy

nhiên điều này mâu thuẫn với điều kiện cân bằng và thực ra thì  yz và  zx là khác 0. Để tìm
chúng, ta sử dụng điều kiện cân bằng:

  ij
x j

 X i  0 i  1, 2 , 3 

Từ phương trình vi phân cân bằng thứ nhất, bỏ qua lực khối, ta thấy:

 xz

  x  xy
z
x
y
Thay  x và  xy trong (1.6) và ta có:
 xz
E

z
1  2


 3w
 3w 
E
3w


z  3 
z
xy 2  1  xy 2
 x

E
E
  2w 2w 

 2  2  
z
z 2w
2
2
y  1  x
1  x  x

Tích phân theo biến z, ta có:
Ez 2  2
 xz 
 w  f1  x, y 
21  2  x
Hàm f1  x, y  được xác đònh từ điều kiện mặt trên và mặt dưới tấm không có ứng suất

tiếp (vì không có tải song song bề mặt tấm), tức là:
Eh 2
 2
 w  f1  x, y   0
 xz z  h  0 
2
2
8 1   x
Suy ra: f1 x, y   

Eh 2  2
 w
8 1  2 x





Giảng viên: PGS. TS. Lương Văn Hải –


7

 h2
 
  z 2   2 w 
 4
 x

(1.7)


2
h
E
2 
2 
Tương tự với  yz :  yz  
  z   w

2 1   2  4
 y

 Sự phân bố theo bề dày h của các thành phần ứng suất vừa tìm có thể thấy qua hình
vẽ bên:

 xz  

Vậy

E
2 1  2









x

xz
x
y

yz

yx

y

xy

 Cũng bằng cách khảo sát phương trình vi phân cân bằng thứ 3, dựa vào các điều
kiện biên trên và dưới của tấm, người ta viết được biểu thức tính  z và thấy rõ răøng  z có
cùng bậc với cường độ tài trọng phân bố mặt trên và dưới và là không đáng kể so với
 x và  y
Cụ thể:

q1 (x,y)

z 

q 2  q1
E

2
2 1  2





 h2 z z3  4

  w
3
 4

h
q2 (x,y)
z
 Cũng tương tự trong sức bền, hợp lực của các ứng suất phân bố theo bề dày tấm
trên 1 đơn vò dài được gọi là các thành phần ứng lực (nội lực) của tấm hay thường gọi là nội
lực tấm:
h
2w  h2
E  2w


dF  1.dx 

N x   h2  x .1.dz  

zdz  0

1  2  x 2
y 2   h 2
2

Tương tự ta cũng có: N y  0
Gọi Mx là mômen uốn trên 1 đơn vò dài mặt cắt có pháp tuyến là trục x:
h
E  2w
2w  h2 2


M x   h2  x .z.dF  

z dz


1  2  x 2
y 2   h 2
2
 2w
2w 
M x   D 2   2 
y 
 x

trong đó: D 

Eh 3
12 1  2





Giảng viên: PGS. TS. Lương Văn Hải –

(1.8)


8

được gọi là độ cứng trụ của vì nó là đặc trưng về vật liệu và hình học của tấm chòu uốn.
Cũng trên mặt cắt có pháp tuyến x còn có lực cắt Qx:
h


E
 2 h2  h2
Qx   h2  xz dF  
 w h   z 2 .1.dz   D  2 w
2


x
21   x
2
2 4

Lực trượt (lực tiếp) Nxy (là tổng hình chiếu lên phương y của các ứng suất  xy )
E 2w h2
zdz  0

1   xy  h 2
2

Mômen xoắn Mxy (do  xy ) trên mặt cắt này:
h

N xy   h2  xy dF  

2w

xy
2
 Tương tự, trên mặt cắt có pháp tuyến là trục y, ta có các thành phần nội lực phân bố
trên 1 đơn vò dài:
 2w
2w 

Mômen uốn: M y   D 2   2 
x 
 y
h

M xy   h2  xy zdF   D1  

Lực cắt: Q y   D

 2
 w
y

Mômen xoắn: M yx   D 1  

2w

 M xy
xy

 Vậy ta đã tìm được các thành
phần nội lực của tấm khi chòu lực
ngang. Hình vẽ bên biểu diễn các giá
trò dương của nội lực thành phần.

Mxy

Mx

Nx

My
M yx
Ny

N xy

N xy

Qx

Qy

 Ngoài ra, như đã biết: khi biến dạng và chuyển vò là nhỏ có thể xem đạo hàm bậc
hai của hàm độ võng w là các độ cong của mặt võng.
Với hệ trục như hình vẽ thì:
2w 1

2w 1
 2   x
và
 2   y
x
rx
y
ry
và độ xoắn: 

2w
1

  xy
xy rxy

Từ đó, các mômen có thể được biểu diễn qua các độ cong như sau:

1
1
 M x  D     D  x  y 
ry 

 rx

1
1

 M y  D      D  y  x 
rx 


 ry

1
 M xy  D 1    D 1    xy
rxy



Giảng viên: PGS. TS. Lương Văn Hải –


9
Hay ở dạng ma trận:

 1 
Mx 
0   rx    x 
0  M x 
 1 
1 
 1    12 






0 
0   M y 

 1
  y  

 M y   D  1
3

ry
Eh
M 
 0
 0 0 1    1   xy 
0 1   M xy 
 xy 
 r 
 xy 
Các phương trình trên là các phương trình vật lý của tấm. Nó cho biết mối liên hệ
giữa nội lực và biến dạng của mặt trung bình.
Tóm lại: Từ các phương trình biến dạng (kinematical) và các phương trình ứng xử vật
liệu (đònh luật Hooke) ta có các phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa nội lực và biến
dạng mặt trung bình như sau:

 2w
2w 



M


D


 x
 x 2
y 2 



 2
2w 
 M y   D  w



 y 2
x 2 



2w



1

(1.9)




M

M
D
 yx
xy
xy


 2
Q x   D  w
x

 2

Q y   D y  w


Kết hợp (1.6) và (1.7) ta có các biểu thức tính ứng suất qua nội lực:
Mx
Mx

 x  h3 z  I z

12

M
My
y
 
z
z

y
3

h
I
12


M
M
 yx   xy  3 xy z  xy z
h
I

12

2

3 Qx 
z 
1
4




 xz
  
2 h 
 h  



2
  3 Qy 1  4  z  
 
 yz 2 h 
 h  


 z  0
Cũng có thể thấy rằng, tương tự trong dầm chòu uốn, ứng suất tiếp  xz , yz biến thiên
theo luật bậc hai và là nhỏ so với ứng suất  xy . Ngoài ra, ứng suất đạt giá trò lớn nhất tại mặt
trung bình:

 xz max 

3 Qx
;
2 h

 

yz max



3 Qy
2 h

Giảng viên: PGS. TS. Lương Văn Hải –

10

1.4.

Phương trình vi phân chủ đạo của tấm chòu uốn:

 Ở trên ta đã thấy rằng: tất cả các thành phần ứng suất hay nội lực, biến dạng của
tấm đều được biểu diễn qua hàm độ võng w(x,y) của mặt trung bình. Do vậy trước hết và đầu
tiên là cần tìm được hàm độ võng w(x,y).
 Khảo sát sự cân bằng của 1 phân tố mặt trung bình có kích thước: dxdy. Đặt các lực
lên phân tố (gồm cả ngoại lực và nội lực) như hình vẽ:
Qy

Qx

M yx

Mx

My
Mx 

M xy

dy

y

My 

z

pz
M yx 

M y
dy
y
Qy 

dx
M yx
dy
y

Q y
dy
y

M x
dx
x

M xy 
Qx 

x

M xy
dx
x

Q x
dx
x

+ Từ phương trình cân bằng (chiếu lên phương trục z). Ta có:
Q y
Q x
dxdy  p z dxdy  0
dxdy 
y
x
Q x Q y

 pz  0
(a)
Hay:
x
y
+ Từ phương trình mômen với trục y, bỏ qua các đại lượng vô cùng bé bậc cao, ta có
M yx
M x
dxdy 
dxdy  Qx dxdy  0
x
y
M x M yx


 Qx
(b)
Hay:
x
y
+ Từ phương trình mômen với trục x, tương tự ta có:
M xy M y

 Qy
(c)
x
y
Thay (b) , (c) vào (a); loại bỏ lực cắt ta nhận được:
 2 M xy  2 M y
2M x
2


  pz
x 2
xy
y 2
Thay các biểu thức tính M x , M xy , M y theo hàm độ võng w(x,y) từ (1.9) vào ta có:
4w
4w
4w
4w
4w 
 D  4   2 2  21    2 2  4   2 2    p z

x y
x y
y
x y 
 x
4w
4w
4w
Hay: D  4  2 2 2  4   p z
x y
y 
 x

Hay: D 4 w  p z

Giảng viên: PGS. TS. Lương Văn Hải –


11
Hay  w 
4

pz
D

(1.10)

 Phương trình (1.10) là phương trình vi phân của mặt trung bình khi võng. Nó còn
được gọi là phương trình vi phân tấm chòu uốn (Phương trình Cofy German).
Phương trình (1.10) có dạng vi phân cấp 4. Nó là phương trình vi phân chủ đạo của bài

toán tấm mỏng chòu uốn và biểu diễn theo hàm độ võng w của mặt trung bình.
 Đôi lúc phương trình vi phân này được biểu diễn ở dạng vi phân cấp 2 bằng cách
đưa ra hàm mômen M (moment function) hay còn gọi là hàm mômen tổng (moment sum):
Mx  My
 2w 2w 
M 
  D 2  2    D 2 w
1 
y 
 x
Khi đó các lực cắt sẽ là:
M
M
và
Qy 
Qx 
y
x
Và cuối cùng dễ dàng nhận thấy rằng phương trình vi phân cấp 4 được thay thế bằng
2 phương trình vi phân cấp 2:
2M 2M
  pz

2M 
y 2
x 2
(1.11)
M
2w 2w
2

 w 2  2 
D
y
x

Các điều kiện biên trên chu vi tấm:
O

b

biên tựa

biên nằm trên dầm

a
biên tư do

Tùy thuộc vào điều kiện liên kết ở mép tấm
mà trong thực tế ta thường gặp các điều kiện biên
sau:

biên ngàm

1.5.

x

y

1) Cạnh biên ngàm: (fixed or clamped or built in edge) (x=0): khi đó liên kết ngăn

cản mọi chuyển dòch thẳng và xoay trong mặt phẳng xz, tức là:
w  0

(1.12)
Tại x = 0 cần có:  w
 x  0
2) Biên tựa cố đònh: (simple support, hinge pinted) (y=0): Trên cạnh này sẽ không có
chuyển vò đứng và mômen uốn My .
w  0

Hay tại y = 0 có: 
(1.13)
 2w
2w 

0



M
D

2 
 y
 y 2
x 


w  0


Hay tại y = 0 có:   2 w
(1.14a)
2w



0
2
2
 y
x


Giảng viên: PGS. TS. Lương Văn Hải –


12
w  0

Hay độ cong bằng không, (tại y = 0) có: 
(1.14b)
1
2w


0

0



y
2

ry
y

3) Biên tự do: (cạnh x = a): Rõ ràng trên cạnh biên tự do, các mômen uốn, lực cắt,
mômen xoắn (Mx, Qx, Mxy) cần là bằng 0. Tuy nhiên vì phương trình vi phân đạo
hàm riêng của bài toán là cấp 4 nên trên mỗi cạnh chỉ có 2 điều kiện biên cần có.
Do đó cần tìm những điều kiện biên phù hợp và thống nhất với 3 điều kiện nêu
trên. Điều này làm được nếu các yêu cầu về mômen xoắn và lực cắt trên biên là
bằng 0 được thay thế bởi một điều kiện tương đương như dưới đây.
Qua hình vẽ, ta thay mômen xoắn Mxy phân bố trên đoạn dy bằng cặp lực ngược chiều
M xy dy

với cách tay đòn dy, và trên các đoạn thẳng có chiều dài dy khác cũng tương tự và do
dy
đó, từ hình vẽ dễ thấy rằng trên cạnh x=a, có lực phân bố thẳng đứng tác dụng với cường độ
M xy
bằng
:
y
(M xy dM xy )dy

M xy dy

M xy
dy

dy

M xy

M xy 

M xy
dy
y

M xy
dy

y 0

y

M xy
M xy
M xy 
dy
y

xa

xa
yb

M xy
y

z

dy

Còn lại các điểm đầu và điểm cuối của biên có các lực tập trung có giá trò Mxy (a,0)
và Mxy (a,b).
M xy
Và như vậy ta xem rằng trên cạnh x=a có lực cắt Qx và lực phân bố
cùng tác
y
dụng và hợp lực của chúng gọi là lực quy đổi Kirchhoff.
M xy
Q xqđ  Q x 
y
Sử dụng các công thức tính nội lực đã có, ta nhận được:
M xy
 qđ
 2w
2w


2

Q
Q


D





 x
x


y
x  x 2
y 2 

(1.15)

2
2
Q qđ  Q  M yx   D    w  2     w 
y


 y
x
y  y 2
x 2 

Và do đó điều kiện biên trên cạnh tự do x=a là:

Giảng viên: PGS. TS. Lương Văn Hải –


13
 2w

2w


0
 2
 M x  0
y 2
 x

 qđ
3w
Qx  0   3 w
  2  
0
3
 x
xy 2

(1.16)

Việc thay tương đương mômen xoắn và lực cắt bằng lực quy đổi tương đương tónh theo
nguyên lý Saint Venant chỉ ảnh hưởng đến ứng suất cục bộ.
4) Cạnh biên nằm trên dầm: (y = b) khi đó phải xem như cạnh nằm trên gối đàn hồi
và ngàm đàn hồi. Lúc đó, các lực quy đổi Kirchhoff ( Q yqđ ) và các mômen uốn
(My) xuất hiện trên biên tấm là phản lực do dầm tác dụng lên tấm và ngược lại
dầm cũng chòu các áp lực (như tải trọng) từ tấm truyền xuống qua các lực phân bố
và mômen xoắn phân bố trên dầm. Từ sự đồng thời biến dạng của biên tấm và
dầm, sử dụng các phương trình vi phân dầm như đã biết, ta có:

 4w 

  2w
2w 
2

E
J
D






 2
 d d 4 

y  y 2
x  y b
 x  y b

(1.17)

 2w 2w 
  2w 

d
 D  2  2 
Gd J xoắn x  xy 
y  y b



 x
y b


1.6.

Tấm ELIP:

Xét bài toán có hình dạng elip (như hình vẽ) chòu tải
trọng phân bố đều q và ngàm trên biên. Phương trình biên tấm
có dạng:
2b
x2 y 2
w
(a)

 1  0 và
0
n
a 2 b2

2a
O

x

y

Ta tìm hàm độ võng w trong dạng:

2

 x2 y 2 
w  C  2  2  1
(b)
b
a

trong đó: C là hằng số.
Để xác đònh C, ta đưa w vào phương trình vi phân chủ đạo của tấm (1.10):
24C
8C 24C q
2 2 2  4 
4
a
ab
b
D
q
(c)
Suy ra: C 
24 
 24 16
D 2  2 2  2 
ab
b 
a
Rõ ràng hàm độ võng w như trong công thức b) là thỏa mãn điều kiện ngàm trên biên.
Vì tại mọi điểm trên biên, hàm w đều cho giá trò w=0.
w 4Cx  x 2 y 2 

Và vì:
 2  2  2  1
x
a a
b

w 4Cy  x 2 y 2 
 2  2  2  1
y
b a
b

đều cho giá trò 0 trên biên, thỏa mãn điều kiện góc xoay trên biên bằng 0.

Giảng viên: PGS. TS. Lương Văn Hải –


14
Vậy hàm độ võng của tấm mà vừa thỏa mãn phương trình vi phân chủ đạo của tấm,
vừa thỏa mãn điều kiện biên là:
2

 x2 y 2 
q
w

 1
24   a 2 b 2
 24 16


D 2  2 2  2 
ab
b 
a
Độ võng lớn nhất tại tâm tấm là:
q
wmax 
C
24 
 24 16
D 2  2 2  2 
ab
b 
a
Các thành phần nội lực được xác đònh theo công thức (1.9) như sau:
 1  3x 2 y 2    x 2 3 y 2  
M x  4CD  2  2  2  1  2  2  2  1 
b
b
 b a

a  a
 1  x 2 3 y 2    3x 2 y 2  
M y  4CD  2  2  2  1  2  2  2  1 
b
b
 a  a

b  a
8CD

M xy  M yx   2 2 1   xy
ab
8CD
Qx   4 2 a 2  3b 2 x
ab
8CD
Qy   2 4 3a 2  b 2 y
ab
 Ví dụ hình dưới đây là biểu đồ momen và lực cắt trên 2 trục đối xứng tấm với tỷ lệ









a
 1,5 và hệ số poison   0,3
b
2a
Mx

My

Qy

-

q
x

O

2b

wmax

6,7

CD
a2

10,2

CD
a2

+
+

CD
5,4 2
a

y

q

wmax
CD
a2

6,7

CD
a2

CD
2,4 2
a

10,2

CD
a2

8,0

42

CD
a2

Mx

My

+

+

-

Qx

Giảng viên: PGS. TS. Lương Văn Hải –

CD
18,0 2
a

CD
93 3
a


15

 Với tấm tròn (cho a=b): dễ
thấy rằng độ võng lớn nhất tại tâm
tấm (x=0 và y=0):
q
wmax 
64 D
Do tính chất đối xứng tâm của
bài toán, người ta thường dùng Mr và
M thay vì Mx và My, trong đó:
+ Mr là momen uốn
trên mặt cắt vuông góc với bán kính.

+ M là momen uốn
trên mặt cắt trùng với bán kính.

x

O

y
2a

q

wmax
2

qa2
 0,125qa 2
8
0,038 qa

qa
 0,081qa 2
12

2

1.7.

Tấm chữ nhật biên tựa với nghiệm Navier:

1.7.1.

Cơ sở lý thuyết:

Xét 1 tấm chữ nhật có các cạnh là gối cố đònh như hình
và tấm chòu tải trọng phân bố p  x, y  .

0,081qa 2

My  M

+

O

Mx  Mr

biên tựa

a

x

b
y
Do các cạnh là gối tựa các điều kiện cần ban đầu là:
w  0

Tại x  0 và x  a :   2 w
2w


0

 x 2
y 2


w  0
Tại y  0 và y  b :   2 w
2w

0

 y 2
x 2

Ngoài ra, hàm độ võng w(x,y) phải thỏa mãn phương trình vi phân tấm (1.10):
4w
4w
 4w
D  4  2 2 2  4   p  x, y 
x y
y 
 x

(a)

Để thỏa mãn phương trình vi phân tấm (1.10) và các điều kiện biên (a), người ta tìm
hàm độ võng trong dạng chuỗi Fourier kép:

Giảng viên: PGS. TS. Lương Văn Hải –


16




w  x, y    Amn sin
m 1 n 1

m x
n y
sin
a
b

(c)

Amn là hệ số của chuỗi
m, n  *  m, n  1, 2,3,... ,

trong đó:

 Rõ ràng dễ nhận thấy rằng hàm độ võng (c) thỏa mãn các điều kiện biên (a).
+ Thật vậy, ví dụ trên biên x = a:
 
ny
0
w x, y    Amn sin m sin

b
m 1 n 1
2
 
 2w
mx
ny
 m 
sin
A


 sin
 2

mn 
a
a
b


 x
m 1 n 1
+ Ngoài ra, vì: 
2
2
 
mx
ny
 n 

 w
sin
sin
A





mn
 y 2
a
b
 b 
m 1 n 1


(d)

2
 
 2w
n y
 m 
0
 2  a, y    Amn 
 sin m sin
b
 2w
2w 

 a 
 x
m 1 n 1

nên 


0


2
2
2
 
y 2  x  a
 x
n y
 n 
 w
 y 2  a, y    Amn  b  sin m sin b  0
m 1 n 1


 Đưa hàm độ võng w(x,y) dạng (c) vào phương trình vi phân tấm  4 w  p , ta có:

 m2 n2
D  Amn  2  2
b
m 1 n 1
a

Để xác đònh các hệ số Amn, ta
4





2


mx
ny
 sin
(e)
sin
 p  x, y 
a
b

tiến hành khai triển hàm tải trọng p  x, y  theo dạng

chuỗi Fourier kép theo sin, ta có:

mx
ny
sin
a
b
m 1 n 1
pmn là hệ số chuỗi tải trọng.

trong đó:
mx
ny
4 a b
p mn 
p x, y sin
sin
dxdy


0
0
ab
a
b
Đưa (f) vào phương trình (e), ta nhận được:




p x, y    p mn sin

(f)

(g)

2

 m2 n2 
D Amn  2  2   p mn

b 
a
Sử dụng cả (g), ta có công thức xác đònh Amn:
a b
4
mx
ny
Amn 
p x, y sin
sin
dxdy
2
2 2 0 0
a
b
m
n 
4
D ab 2  2 
b 
a
4

(h)

Vậy hàm độ võng dạng (c) với các hệ số của chuỗi được xác đònh theo (h) vừa thỏa
mãn phương trình vi phân tấm và cả các điều kiện biên tấm nên là nghiệm của bài toán.

1.7.2.

Một số trường hợp tải trọng cụ thể:
1) Tải trọng phân bố đều p: p  x, y   p0  const

Giảng viên: PGS. TS. Lương Văn Hải –


17

a

x

p0

O
b
y
Khi đó:

Amn 

Amn 

z
4 p0

 m2 n 2 
D 4 ab  2  2 
b 
a

16 p0

2



a

0

2

sin

 m2 n 2 
D 6 mn  2  2 
b 
a
m x
n y
sin
  sin
16 p0
a
b
Vậy: w  x, y  
2
6 
2
2

D m 1 n 1
m n 
mn  2  2 
b 
a

b
m x
n y
dx  sin
dy
0
a
b

 m  1,3,5,... 


 n  1,3,5,... 

 m  1,3,5,... 


 n  1,3,5,... 

 Sử dụng (1.9) để tính nội lực, ta được kết quả sau:
m2
n2



16 p0 a 2  
a2
b 2 sin m x sin n y
Mx 

2
a
b
4 m n
 m2 n2 
mn  2  2 
b 
a
m2 n2

16 p0 a
a 2 b 2 sin m x sin n y
My 

2
4 m n
a
b
 m2 n2 
mn  2  2 
b 
a


2





a
a

Độ võng ở tâm tấm  x  ; y   :
2
2





 1

mn
1
2

mn

 
 1 2
192 p0
2
wmax



1



2
2
6
3
 Eh
m n
m n
 m2 n2 
 m2 n2 
mn  2  2 
mn  2  2 
b 
b 
a
a
Chuỗi này hội tụ nhanh và chỉ cần lấy số hạng đầu cũng cho kết quả đủ chính xác.
Thật vây, ví dụ trường hợp tấm vuông cạnh a, với =0.3, nếu chỉ lấy số hạng đầu (m=n=1):
4 p a4
p a4
p a4
wmax  0 6  0, 00416 0  0, 0454 0 3
(sai số 2,5%)
D
D
Eh

Tuy nhiên, đối với nội lực, do phép lấy đạo hàm, chuỗi hội tụ chậm hơn nhiều và phải
lấy nhiều số hạng hơn.
Để tiện tính toán thực hành, người ta thường lập bảng sẵn theo cách như sau:
p a4
+ Tính:
wmax   0 3
Eh

16 p0

D 6

với:  



192 1  2

6









m

n





 1

mn
1
2


a2 
mn  m 2  n 2 2 
b 


Giảng viên: PGS. TS. Lương Văn Hải –

2

1

 m, n  1,3,5,...


18

và  chỉ phụ thuộc vào tỉ số giữa 2 cạnh a

b
+ Cũng tương tự như vậy, người ta cũng lập bảng tính momen uốn lớn nhất tại
tâm bảng trong dạng:
 max M x   x p0 a 2

2
 max M y   y p0 a
trong đó:  x ,  y là các hệ số chỉ phụ thuộc vào tỉ số a
b
+ Các lực cắt Qx , Qy cũng vậy:
m x
n y
sin
Qx 
  a a 2b
3 m n
n  m2  n2 2 
b 

m x
n y
cos
  sin
16 p0b
a
b
Qy 

3

2



b
m n
m  m2 2  n2 
a


16 p0 a





cos

và lực cắt lớn nhất tại các điểm giữa các cạnh biên tấm.
2) Tấm chòu lực tập trung đặt tải điểm  x0 , y0  :
Bằng cách thay lực tập trung P
bằng lực phân bố trong phạm vi chữ nhật
có diện tích  x . y , lực phân bố này có

O
y0

P
thì dễ dàng tính được
cường độ: p 

x y

b

x
2
x
x0 
2





y
2
y
y0 
2
y0 

p  x, y  sin

x

x0

a

x

y

y

hệ số phân bố tải trọng như sau:
x0 

P

m x0
n y0
m x
n y
sin
sin
dxdy  P sin
a
b
a
b

Sử dụng công thức (h), ta có công thức tính hệ số chuỗi như sau:
4P
m x0
n y0
Amn 
sin
sin
2

a
b
 m2 n 2 
D 4 ab  2  2 
b 
a
Và hàm độ võng: w  x, y  





4P

D 4 ab m1 n1

sin

m x0
n y0
sin
a
b sin m x sin n y
2
2
2
a
b
m
n 

 2  2
b 
a

 Chuỗi này hội tụ chậm và các chuỗi momen, lực cắt còn hội tụ chậm hơn nữa nên
với bài toán này chỉ dùng để tính độ võng.

Giảng viên: PGS. TS. Lương Văn Hải –


19

1.8.

Tấm chữ nhật biên tựa chòu tải phân bố đều với lời giải Levy:
a
Lévy đưa ra lời giải của bài toán này bằng

cách chọn w có dạng:
w  w p  wh

(a)

b
2

x

b
2

y
trong đó: wp được xem là phương trình độ võng của 1 dải song song chòu tải
trọng phân bố đều và có dạng:
p
wp  0 x 4  2ax3  a 3 x
(b)
24 D
Rõ ràng wp thỏa mãn phương trình vi phân tấm (1.10):
4w
4w
4w p
(c)
4 w  4  2 2 2  4  0
D
x
x y
y
và điều kiện biên tại 2 cạnh tựa đối diện nhau: x = 0 và x = a
 Còn wh cần chọn sao cho thỏa mãn phương trình thuần nhất của (c), tức là:



4w 



4w
4w
4w


2

0
x 4
x 2 y 2 y 4

(d)

Và w  w p  wh thỏa mãn tất cả điều kiện biên của tấm.
Lévy đưa ra dạng chuỗi sau đối với wh (và vì tính đối xứng nên m = 1, 3, 5 …)

wp 





m 1, 3, 5...

Ym  y sin

mx
a

(e)

trong đó: Ym  y  chỉ là hàm riêng của biến y
Rõ ràng w  w p  wh thỏa mãn điều kiện biên w  0 &
diện nhau là x = 0 và x = a.

Thay wp vào (d), ta được:





 Y

IV
m

2

2w
 0 tại 2 cạnh biên đối
x 2

m 2 2
m 4 4 
m x


0
Y
Ym  sin
m
2
4
a
a

a



Và để thỏa mãn mọi giá trò của x, ta có:
m 2 2
m 4 4
(f)
YmIV  2 2 Ym  4 Ym  0
a
a
Nghiệm tổng quát của (f) được cho trong dạng:
p a4 
my
my 
my
my
my
my
 Bm
 C m sinh
 Dm
sinh
cosh
(g)
Ym  0  Am cosh

a
a 
a

a
a
a
D 
Vì bài toán đối xứng qua trục x nên trong (g) chỉ giữ lại các hàm chẵn của y hay suy ra
C m  Dm  0
m 1

 Vậy hàm độ võng w sẽ là:
w  wp  wh 


p0
pa 4
x 4  2ax 3  a 3 x 
24 D
D









  A
m 1

m

cosh

m y
m y
m y 
m x
sinh
 Bm
 sin
a
a
a 
a

Giảng viên: PGS. TS. Lương Văn Hải –

(h)


20

px 
và thỏa
D

 Rõ ràng w dạng (h) đã thỏa mãn phương trình vi phân tấm  4 w 

mãn điều kiện biên 2 biên tựa đối diện nhau x = 0 và x = a.
Các hằng số tích phân Am & Bm được xác đònh sao cho thỏa mãn điều kiện biên trên 2

biên còn lại là biên y   b
2
p
Muốn vậy, trước hết cần khai triển wp  0 x 4  2ax3  a 3 x thành chuỗi lượng giác:
24 D

mx
w p  x    wm sin
a
m 1
2 a
2 a p
m x
m x

dx    0 x 4  2ax3  a 3 x  sin
dx
trong đó: wm   wp  x  sin
a 0
a
a 0  24 D
a


4 p a4
1
wm  0 5 . 
D m 1,3,5,... m5







 wp 



p0
4 p a4 
1
m x
x 4  2ax3  a 3 x   0 5 . 
.sin

5
24 D
D m 1,3,5,... m
a

Và khi đó w có dạng:
p a4   4
m y
m y
m y 
m x
sinh
w 0
 Bm


 5 5  Am cosh
 sin
D m 1,3,5...   m
a
a
a 
a

(i)

2w
Tại biên y   b : từ điều kiện biên: w  0 & 2  0
2
y
Ta được 2 phương trình xác đònh Am & Bm ; với cách ký hiệu:

sinh x  cosh x
Chú ý: 
cosh x  sinh x

 tanh x  1  tanh 2 x

2
coth x  1  coth x

 4
 5 5  Am cosh  m   m Bm sinh  m  0
 m
 Am  2 Bm  cosh  m   m Bm sinh  m  0


Rút ra: Am  

2  m tanh  m  2 

 m cosh  m
5

mb
 m
2a

5

, Bm 

với: m lẻ

2
 m cosh  m
5

5

Thay vào (i), cuối cùng hàm độ võng có dạng như sau:
4 p0 a 4
w
D 5

1   m tanh  m  2

2 y
m
2y
2 y 
m x
1
cosh m 
sinh m  sin
5 
2 cosh  m
a
2 cosh  m a
a 
a
m 1,3,5,... m 




(j)

a


Độ võng lớn nhất tại tâm tấm  x  , y  0  :
2



 1

m 1
2

  m tanh  m  2 
(k)
1 

2 cosh  m 
m
m 1,3,5,...

Nhận xét: số hạng thứ I trong dấu ngoặc của (k) tương ứng với độ võng ở giữa dải
chòu tải trọng phân bố đều. Vậy có thể viết lại (k) trong dạng sau:


wmax

4 p a4
 05
D

wmax

5 p0 a 4 4 p0 a 4


384 D
D 5



5





m 1,3,5,...

 1
m

m 1
2

5

.

 m tanh  m  2
2 cosh  m

Giảng viên: PGS. TS. Lương Văn Hải –

(l)


21

Chuỗi ở số hạng thứ II hội tụ rất nhanh nên chỉ lấy số hạng đầu là đủ.
Ví dụ với bài toán tấm hình vuông, dễ thấy:
m 3
5 p0 a 4 4 p0 a 4  m 1
p0 a 4





wmax 
0,
68562
0,
00025
...
0,
00406


384 D
D 5 
D

và số hạng thứ II trong ngoặc là quá nhỏ so với số hạng đầu nên có thể bỏ qua.
Từ công thức (l) người ta cũng có thể tính độ võng lớn nhất tại tâm tấm chữ nhật biên
tựa và chòu tải trọng phân bố đều trong dạng sau:
p a4
wmax   . 0
D

với  là hệ số phụ thuộc vào tỉ số b và cho trong bảng lập sẵn.
a
Tương tự, dựa vào các công thức cơ bản đã có, ta cũng tìm được các thành phần nội lực.

1.9.

Tấm chữ nhật chòu uốn bởi momen phân bố tại các cạnh:
f2
Xét tấm tựa trên 4 cạnh biên và

bò uốn cong do momen phân bố dọc các
cạnh y   b . Hàm độ võng w phải
2
thỏa mãn phương trình vi phân tấm:
(a)
4 w  0
và các điều kiện biên sau:

2

O
2

y

a

x

f1

w  0

+ Trên biên x=0 và x=a:   2 w
 2 0
 x
w  0

2
 D   w   f  x

1
2 

 y  y  b
+ Trên biên y   b : 
2
2

2
 D   w 
 f2  x 
  y 2  y  b

2

với f1  x  , f 2  x  là momen uốn phân bố trên 2 biên y   b .
2
Sử dụng nghiệm dạng Levy: (luôn thỏa mãn điều kiện trên x=0, x=a)


m x
w   Ym sin
a
m 1
m y
m y
m y
m y
m y
m y
với: Ym  y   Am sinh
 Bm cosh
 Cm
sinh
 Dm
cosh
a
a
a
a
a
a

1.9.1.

b

b

(b)

(c )

(d )

(e)
(f)

Trường hợp đối xứng f1(x) = f2(x) = f(x):
Do bài toán là đối xứng nên Ym phải là hàm chẵn của y  Am  Dm  0 . Khi này, hàm

độ võng có dạng:


m y
m y
m y 
m x

w    Bm cosh
sinh
 Cm
 sin
a
a
a 
a
m 1 
Bm & Cm được xác đònh từ điều kiện biên (c) và (d) như sau:

Giảng viên: PGS. TS. Lương Văn Hải –

22

+ Từ (c), trên y   b

2

thì w  0 , ta có:

Bm cosh  m  Cm m sinh  m  0

với:  m 

Hay Bm  Cm m tanh  m

m b
2a


m y
m y 
m x
 m y
và w   Cm 
  m tanh  m cosh
sinh
 sin
a
a 

a
 a
m 1
+ Để tìm Cm, ta sử dụng điều kiện biên (d):

Trước hết cần khai triển f(x) thành chuỗi lượng giác (theo sin
m x
a
m 1
Khi momen phân bố là hằng số trên biên thì f  x   M 0

m x
):
a



f  x    Em sin

Dễ thấy: Em 

4M 0
m x
2 a
M 0 sin
dx 

0
a
a

m

 với m  1,3,5,...

Sử dụng điều kiện biên (d), ta tìm được: Cm  

a 2 Em
2 Dm 2 2 cosh  m

Và cuối cùng ta có hàm độ võng như sau:
m x
sin

a2
m y m y
m y 

a
sinh

w  x, y  
Em   m tanh  m cosh


2
2
a
a
a 
2 D m 1,3,5,... m cosh  m


Khi momen phân bố đều có cường độ M0 thì hàm độ võng có dạng:
2M 0 a 2 
m y m y
m y 
m x
1

sinh
w  x, y  


  m tanh  m cosh
 sin
3
2
D m 1,3,5,... m cosh  m 
a
a
a 
a

1.9.2.

(g)

(h)

Trường hợp phản xứng f1(x) = –f2(x):


m x
f1  x    f 2  x    Em sin

(i)
a
Do tính chất phản xứng, w sẽ là hàm lẻ của y, do đó, trong công thức (f) thì
Bm  Cm  0 . Nên:
m 1


m y
m y
m y 
m x

w    Am sin
cosh
 Dm
 sin
a
a
a 
a
m 1 
Từ điều kiện biên (c), w = 0 tại y   b , ta suy ra:
2
Am sinh  m  Dm m cosh  m  0
1
Hay Dm  
tanh  m Am

m



m y 1
m y
m y 
m x
w   Am  sin
tanh  m
cosh

 sin
a
a
a 
a
m
m 1

Sử dụng điều kiện biên (d) để xác đònh Am, ta có:
m
a2
Am 
Em 2
2
m sinh  m tanh  m
2 D

Và:

Và:

w

a2
2 D 2



m
m 1

2

Em
m y m y
m y 
m x

cosh

  m coth  m sinh
 sin
a
a
a 
a
sinh  m 

Giảng viên: PGS. TS. Lương Văn Hải –

(j)


23

1.9.3.

Trường hợp tổng quát:



f1  f2
f1

1.9.4.

1
( f - f2 )
2 1

1
( f + f2 )
2 1

f2



đối xứng

phản xứng
1
( f - f2 )
2 1

1
( f + f2 )
2 1

Trường hợp đặt biệt:
Khi momen phân bố chỉ trên 1 cạnh biên y 

tổng quát với f 2  0 , tức sơ đồ:

b
chẳng hạn thì ta sẽ sử dụng kết quả
2

f1
2

f1
2





f1
2

f1

f1
2

và kết quả là:
w

1.10.

2

a
4 D 2





m 1

Em sin

m x
a

m2

 1
m y m y
m y  

 cosh    m tanh  m cosh a  a sinh a  
 
m 


1 
m y m y
m y  
cosh


  m coth  m sinh

a
a
a  
 sinh  m 

(k)

Tấm chữ nhật có 2 cạnh tựa cố đònh, còn 2 cạnh kia là ngàm:
O
b

a

x

y
Giả sử 2 cạnh biên tựa là x=0 và x=a. Hai cạnh biên ngàm là y   b . Để giải bài
2
toán này, trước hết ta xem tất cả các cạnh biên là tựa, sau đó đặt momen uốn trên các cạnh
y   b sao cho chúng khử được góc xoay do tải trọng ngang gây ra tại các cạnh này và sau
2
đó có thể sử dụng các kết quả trước.
 Trường hợp tấm chòu tải phân bố đều có cường độ p0. Sử dụng lời giải Levy (công
thức (j) trong mục 1.8) khi xem các biên tấm là tựa:
4 p a4 
1
m x   m tanh  m  2
2 y
m
m y
2 y 
(a)
w 0 5 
sin
cosh m 
sinh m 
1 
5
D m 1,3,5,... m
a 
2 cosh  m
a

2 cosh  m a
a 
Dễ thấy góc xoay (hay độ dốc) của mặt võng tại cạnh y 

Giảng viên: PGS. TS. Lương Văn Hải –

b
là:
2


24
 w 
2 p0 a 3



D 4
 y  y  b
2

m x
1
 m  tanh  m 1   m tanh  m  
sin
4
a 
m 1,3,5,... m




(b)

 Còn trong trường hợp 4 biên tựa này chòu momen phân bố trên 2 biên y  b thì độ
b
dốc của mặt võng (hay góc xoay của tấm) tại cạnh y  dễ dàng tìm được từ công thức (g)
2
trong mục 1.9 như sau:
m x
sin

 w2 
a
a E  tanh   tanh   1   
(c)



m 
m
m
m
m

b


2
y

D
m
m

1,3,5,...

 y
2

 w 
 w 
Như đã nói ở trên, từ điều kiện:  1 
(điều kiện khử góc xoay tại
  2 
 y  y  b
 y  y  b
2

2

ngàm), ta rút ra hệ số của chuỗi tải trọng momen phân bố trên biên bảo đảm khử góc xoay:
4 p a 2   tanh  m 1   m tanh  m 
Em  30 3 . m
(d)
 m  m  tanh  m  m tanh  m  1
Thay giá trò của Em từ (d) vào công thức (g) trong mục 1.9, ta tìm được w2, tức là độ
võng do momen phân bố trên biên ngàm gây ra:
m x
sin
2 p0 a 4 

a .  m  tanh  m 1   m tanh  m  .  m y sinh m y   tanh  cosh m y 
w2  
m
m


5 
5
D m 1 m cosh  m  m  tanh  m  m tanh  m  1  a
a
a 
và độ võng cuối cùng cần tính là: w  w1  w2

1.11.

Tấm chữ nhật có 3 cạnh tựa và 1 cạnh ngàm:

Tìm w bằng cách kết hợp các kết quả
đã có trên: w  w1  w2
O
x
a
trong đó: w1 là độ võng của tấm biên
b
tựa chòu tải trọng ngang.
w2 là độ võng của tấm biên
y
tựa chòu momen phân bố tại 1 cạnh biên tại
b
y  . Mà momen phân bố này có giá trò được xác đònh từ điều kiện khử góc xoay tại cạnh

2
b
biên y  hay cụ thể:
2
 w2 
 w 
  1 


 y  y  b
 y  y  b
2

2

trong đó: w1 sử dụng công thức (j) trong mục 1.8. (khi lực ngang là phân bố đều).
w2 sử dụng công thức (k) trong mục 1.9.4 (khi lực ngang là phân bố đều).
Từ điều kiện này xác đònh được hệ số Em của chuỗi tải trọng momen phân bố trên

m x
biên:  M y   f   Em sin
biên
a
m 1,3,5,...

Giảng viên: PGS. TS. Lương Văn Hải –