Phan tich bai thi mon TOI UU KET CAU cao hoc xay dung

PHÂN TÍCH BÀI THI MÔN TỐI ƯU KẾT CẤU
(CAO HỌC XÂY DỰNG)

Bài 1: Cho hệ 3 thanh dàn như hình vẽ. Các thanh có môđun đàn hồi E,
l1=L,L2=L,L3= L/=1.( Thực hiện tương tự với mọi b >0, F>0).
Như trong ví dụ hệ 2 thanh dàn ( mục 2.1) chúng tan đã tối ưu hóa trọng lượng với
ràng buộc là các ứng suất. Các biến thiết kế là A1, A2, A3. Để đơn giản, giả thiết
A1= A3.

Hàm mục tiêu (tổng trọng lượng của thanh dàn) trở thành

Trong đó  là tỷ trọng của các thanh.
Điều kiện ràng buộc là:

Nhưng A1, A2, A3 bắt buộc phải khác 0.
Mặt khác ta có điều kiện
Tách nút như hình 2.11. Phương trình cân bằng theo trục x và y là:

Viết lại dưới dạng ma trận:


Lưu ý rằng,ngược lại với hệ 2 thanh dàn trong mục 2.3, chúng ta không thể tính
được nội lực thanh lớn hơn số bậc tự do ( số ẩn lớn hơn số phương trình). Hay có
thể nói hệ siêu tĩnh ( không tĩnh định). Để xác định nội lực, ứng suất trong hệ trên
chúng ta phải sử dụng định luật Hook và điều điện về hình học
Ta có

Viết lại dưới dạng ma trận : s = D 
Trong đó

Do = Bu ( theo 2.14), => s = D Bu. (2.30)

Phương trình 2.29 trở thành:

Trong đó K = B
T
DB là ma trận độ chứng toàn hệ. Dễ dàng tính được

Từ 2.31 ta có

Từ 2.30, ứng suất được tính là

Trong đó:

Tính trực tiếp ta được:


F, A1, A2 >0 suy ra thanh 1 và 2 chịu kéo, thanh 3 chịu nén. Điều kiện ràng buộc
về ứng suất là:

1
<= 
1
max
, 
2
<= 
2
max;

3
<= 

3
max

Do b =1 nên l3 = L. Từ 
1
<= 
1
max
, 
2
<= 
2
max;

3
<= 
3
max
lần lượt suy ra 3
phương trình:



Chúng ta được pt mục tiêu và hệ ràng buộc là:

Để diễn tả rằng hệ dàn có thể không có phương án tối ưu , có thể có một hoặc
nhiều hoặc vô hạn phương án ( lời giải). Chúng ta giải bài toàn trên trong năm
trường hợp phụ thuộc vào mật độ ( tỷ trọng)
Trường hợp A

Đặt:

Bài toán tối ưu trở thành:

Trong đó hàm mục tiêu đã được chia cho tỷ số Flo/o. bài toán được biểu diễn
trên hình 2.12. Lưu ý rằng ràng buộc s2 là tuyến tính, ràng buộc 1 bao 2 ràng
buộc còn lại, nghiệm nằm trên 1 = o ( ràg buộc  1). Do đó:


Các đường liền đậm có đường chấm kèm theo là các ràng buộc, đường liền mảng
là các đường đẳng trị của hàm mục tiêu. Miền nằm cùng phía với đường đứt so với
đường liền đậm không phải là miền thiết kế. Điểm A là nghiệm.
Suy ra:

Thế vào hàm mục tiêu , hàm mục tiêu trở thành: ( Đk x1 >0)

Hàm trên đạt cực trị khi đạo hàm bằng 0

Giải ra được , thay vào 2.41 ta dùng x1 = ½ +sqrt(2)/4 , cho
vì nghiệm còn lại cho x2 < 0.
Thế lại phương trình gốc ( 2.40) ta có:


Trường hợp B

Bài toán trở thành:


Hình 2.13: nghiệm là điểm B. Điểm A cũng có thể là nghiệm tuy nhiên nếu bỏ thanh
2 ( dẫn đến xóa bỏ ràng buộc 2) đi thì B là nghiệm.

Thay x2 = 0 vào ràng buộc s1. 2.5) Cho hệ 3 thanh dàn như hình vẽ ( 2.10). Các
thanh có môđun đàn hồi E, l1=L,L2=L,L3= L/=1.( Thực hiện tương tự với mọi b
>0, F>0).
Như trong ví dụ hệ 2 thanh dàn ( mục 2.1) chúng tan đã tối ưu hóa trọng lượng với
ràng buộc là các ứng suất. Các biến thiết kế là A1, A2, A3. Để đơn giản, giả thiết
A1= A3.

Hàm mục tiêu (tổng trọng lượng của thanh dàn) trở thành

Trong đó  là tỷ trọng của các thanh.
Điều kiện ràng buộc là:

Nhưng A1, A2, A3 bắt buộc phải khác 0.
Mặt khác ta có điều kiện
Tách nút như hình 2.11. Phương trình cân bằng theo trục x và y là:

Viết lại dưới dạng ma trận:


Lưu ý rằng,ngược lại với hệ 2 thanh dàn trong mục 2.3, chúng ta không thể tính
được nội lực thanh lớn hơn số bậc tự do ( số ẩn lớn hơn số phương trình). Hay có
thể nói hệ siêu tĩnh ( không tĩnh định). Để xác định nội lực, ứng suất trong hệ trên
chúng ta phải sử dụng định luật Hook và điều điện về hình học
Ta có

Viết lại dưới dạng ma trận : s = D 
Trong đó

Do = Bu ( theo 2.14), => s = D Bu. (2.30)
Phương trình 2.29 trở thành:

Trong đó K = B
T
DB là ma trận độ chứng toàn hệ. Dễ dàng tính được

Từ 2.31 ta có

Từ 2.30, ứng suất được tính là

Trong đó:

Tính trực tiếp ta được:


F, A1, A2 >0 suy ra thanh 1 và 2 chịu kéo, thanh 3 chịu nén. Điều kiện ràng buộc
về ứng suất là:

1
<= 
1
max
, 
2
<= 
2
max;

3
<= 
3

max

Do b =1 nên l3 = L. Từ 
1
<= 
1
max
, 
2
<= 
2
max;

3
<= 
3
max
lần lượt suy ra 3
phương trình:



Chúng ta được pt mục tiêu và hệ ràng buộc là:

Để diễn tả rằng hệ dàn có thể không có phương án tối ưu , có thể có một hoặc
nhiều hoặc vô hạn phương án ( lời giải). Chúng ta giải bài toàn trên trong năm
trường hợp phụ thuộc vào mật độ ( tỷ trọng)
Trường hợp A

Đặt:

Bài toán tối ưu trở thành:

Trong đó hàm mục tiêu đã được chia cho tỷ số Flo/o. bài toán được biểu diễn
trên hình 2.12. Lưu ý rằng ràng buộc s2 là tuyến tính, ràng buộc 1 bao 2 ràng
buộc còn lại, nghiệm nằm trên 1 = o ( ràg buộc  1). Do đó:


Các đường liền đậm có đường chấm kèm theo là các ràng buộc, đường liền mảng
là các đường đẳng trị của hàm mục tiêu. Miền nằm cùng phía với đường đứt so với
đường liền đậm không phải là miền thiết kế. Điểm A là nghiệm.
Suy ra:

Thế vào hàm mục tiêu , hàm mục tiêu trở thành: ( Đk x1 >0)

Hàm trên đạt cực trị khi đạo hàm bằng 0

Giải ra được , thay vào 2.41 ta dùng x1 = ½ +sqrt(2)/4 , cho vì
nghiệm còn lại cho x2 <0.
Thế lại phương trình gốc ( 2.40) ta có:


Trường hợp B

Bài toán trở thành:


Hình 2.13: nghiệm là điểm B. Điểm A cũng có thể là nghiệm tuy nhiên nếu bỏ thanh
2 ( dẫn đến xóa bỏ ràng buộc 2) đi thì B là nghiệm.
Thay x2 = 0 vào ràng buộc 1:

Pt có nghiệm là x1 = 0.5; (loai x1 = 0). Nghiệ làm của bài toán tối ưu là:

Trường hợp C

Tỷ trọng của thanh 1 tăng một chút so với trường hợp B. Phương trình mục tiêu
thay đổi, pht ràng buộc giống trường hợp B.

Dựa vào hình vẽ chưa kết luận được điểm A hay B là nghiệm
Điểm A được tính băng cách giải hai pt ràng buộc s1 và s2.



Điểm B ( ứng với không có thanh 2)

Cả 2 đều làm hàm mục tiêu đạt giá tri
Trường hợp D

Bài toán trở thành (chỉ hàm mục tiêu thay đổi)

Nghiệm, tương tự đã tính trong trường hợp C, tính được

Giá trị của hàm mục tiêu

Trường hợp E

Bài toán trở thành

Nghiệm của bài toán là điểm B , dàn tối ưu không có thanh 2

Gía trị hàm mục tiêu

Mặc dù tỉ trọng thanh 2 lớn hơn 2 lần trường hợp b nhưng vẫn có cùng nghiệm tất
nhiên là do thanh 2 có thể lược bỏ.
Giả sử rằng A2 có thể rất nhỏ A2 >= 0.1 F/ o, có nghĩa là x2 >= 0.1. Ràng buộc
2 sẽ song song với các đường đẳng trị ( đường của hàm mục tiêu). -> có vô số
nghiệm nằm giữa điểm A và C mà có x2 > 0.1