Đề thi tuyển sinh toán 10 chuyên đề chung bà rịa vũng tàu năm học 2016 2017(có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH BÀ RỊA – VŨNG TÀU

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2016 – 2017
Môn: TOÁN (Dùng chung cho tất cả các thí sinh)
Thời gian làm bài: 120 phút
Ngày thi: 30/5/2016

ĐỀ CHÍNH THỨC

Câu 1 (2,5 điểm).
1
1
2 2− 6
+
+
3 +1
3 −1
2

A=
a) Rút gọn biểu thức

b) Giải hệ phương trình

3x − y = 1

2 x + 3 y = 8

x2 + 2 x − 8 = 0

c) Giải phương trình

.

.

.

Câu 2 (2,0 điểm).
Cho parabol

( P) : y = − x 2

(d ) : y = 4 x − m

và đường thẳng

.

a) Vẽ parabol (P).
b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để (d) và (P) có đúng một điểm chung.
Câu 3 (1,5 điểm).
a) Cho phương trình

x 2 − 5 x + 3m + 1 = 0

(m là tham số). Tìm tất cả các giá trị của m để
x12 − x22 = 15
x1 , x2

phương trình trên có hai nghiệm phân biệt
thỏa mãn
.
b) Giải phương trình

( x − 1)

4

= x2 − 2x + 3
.

Câu 4 (3,5 điểm).
Cho nửa đường tròn (O) có đường kính AB = 2R. CD là dây cung thay đổi của nửa đường
tròn sao cho CD = R và C thuộc cung AD (C khác A và D khác B). AD cắt BC tại H; hai đường
thẳng AC và BD cắt nhau tại F.
a) Chứng minh tứ giác CFDH nội tiếp.
CF .CA = CH .CB
b) Chứng minh

.

c) Gọi I là trung điểm của HF. Chứng minh tia OI là tia phân giác của góc
d) Chứng minh điểm I thuộc một đường tròn cố định khi CD thay đổi.
Câu 5 (0,5 điểm).
Cho a, b, c là 3 số dương thỏa mãn

ab + bc + ca = 3abc

. Chứng minh:

·
COD

.


a
b
c
3
+ 2
+ 2
≤ .
a + bc b + ca c + ab 2
2

------------ HẾT -----------Chữ ký của giám thị 1: ………………………………………………………………..…………
Họ và tên thí sinh: ……………..……………………….… Số báo danh ………………………
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH BÀ RỊA – VŨNG TÀU

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2016 – 2017

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC
MÔN THI: TOÁN (Dùng chung cho tất cả các thí sinh)
(Hướng dẫn này gồm 03 trang)
Câu
Câu 1.

Nội dung

Điểm
A=

a) (1 điểm) Rút gọn biểu thức:
2 3
A=
+ 2− 3
3 +1 3 −1

(

)(

1
1
2 2− 6
+
+
3 +1
3 −1
2

)

.
0,25x2

= 3+2− 3 = 2

0,25x2

3x − y = 1

2 x + 3 y = 8

b) (0,75 điểm) Giải hệ phương trình:
.
3
x
−
y
=
1
9
x
−
3
y
=
3
11
x
=
11
x
=
1





⇔
⇔
⇔

2 x + 3 y = 8
2 x + 3 y = 8
2 x + 3 y = 8
y = 2
c) (0,75 điểm) Giải phương trình:
∆ = 36 > 0 ⇒ ∆ = 6

x2 + 2 x − 8 = 0

.

x1 = 2, x2 = −4
Câu 2.

Phương trình có 2 nghiệm
a) (1 điểm) Vẽ parabol
( P) : y = −x2
.
Lập bảng giá trị
x
-2
-1

0,5
y
-4
-1
(Nếu học sinh lấy đúng 3 giá
trị thì được 0,25 điểm)
Biểu diễn đúng các điểm thuộc (P) trên mặt phẳng tọa độ
Vẽ đúng đồ thị

0,25x3

0,25
0,25x2

0,25
0,25


- x^2
1
1

b) (1 điểm) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để (d) và (P) có đúng
một điểm chung.
Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P):
− x2 = 4x − m ⇔ x2 + 4x − m = 0
0,25
(*)
∆ = 16 + 4m
0,25

⇔∆=0

(d) và (P) có đúng một điểm chung
⇔ m = −4
Câu 3.

0,25
0,25

x − 5 x + 3m + 1 = 0
a) (1 điểm) Cho phương trình:
(m là tham số). Tìm
tất cả các giá trị của m để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt
x12 − x22 = 15
x1 , x2
thỏa mãn
.
2

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt
7
⇔ 25 − 4 ( 3m + 1) > 0 ⇔ m <
4

0,25

⇔∆>0

x1 + x2 = 5, x1 x2 = 3m + 1

0,25

Theo hệ thức Vi – et ta có:
x12 − x22 = 15 ⇔ ( x1 + x2 ) ( x1 − x2 ) = 15 ⇔ x1 − x2 = 3

0,25

⇔ ( x1 − x2 ) = 9 ⇔ ( x1 + x2 ) − 4 x1 x2 = 9 ⇔ 21 − 12m = 9
2

⇔ m =1

2

0,25
(thỏa mãn điều kiện)

( x − 1)

4

= x2 − 2x + 3

b) (0,5 điểm) Giải phương trình
4
2
⇔ ( x − 1) = ( x − 1) + 2
(1)
2
t = ( x − 1) , t ≥ 0

Đặt
.
t2 = t + 2 ⇔ t2 − t − 2 = 0
Phương trình (1) trở thành:
t=2
t = −1
Phương trình có nghiệm
(loại),
(nhận)

(1)

0,25

0,25


( x − 1)

t=2

Câu 4.

2

= 2 ⇔ x2 − 2x − 1 = 0 ⇔ x = 1 ± 2

Với
ta có
a) (1 điểm) Chứng minh tứ giác CFDH nội tiếp.

Hình vẽ
F

I

0,25

D

C
H
A
·ACB = 900
·ADB = 900
⇒

B

O

(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

tứ giác CFDH nội tiếp

b) (1 điểm) Chứng minh

·
⇒ FCH
= 900

0,25

·
⇒ FDH
= 900

0,25
0,25

CF .CA = CH .CB

·
·
CFH
= CDH

Mà

·
·
CDH
= CBA

0,25

nên

·
·

CFH
= CBA

0,25

⇒ ∆CHF : ∆CAB

0,25

⇒ CF .CA = CH .CB
0,25

c) (1 điểm) Chứng minh tia OI là tia phân giác của góc
OC = OD
Tứ giác CFDH nội tiếp đường tròn tâm I
Do đó

·
COD

⇒ IC = ID

.

0,25
0,25

∆OCI = ∆ODI

0,25

·
·
⇒ COI
= DOI

·
COD

0,25
. Vậy tia OI là tia phân giác của góc
d) (0,5 điểm) Chứng minh điểm I thuộc một đường tròn cố định khi CD 0,25
thay đổi.
Ta có

·
·
·
·
ICF
= IFC
= CBA
= BCO

.


·
·
·

·
·
·
⇒ ICO
= BCO
+ BCI
= ICF
+ BCI
= BCF
= 900

OC
2R
1·
·
=
COI
= COD
= 300 ⇒ OI =
0
cos30
3
2

Lại có
Vậy điểm I thuộc một đường tròn cố định.
Câu 5.

(0,5 điểm) Cho a, b, c là 3 số dương thỏa mãn

0,25

ab + bc + ca = 3abc

.

a
b
c
3
+ 2
+ 2
≤
a + bc b + ca c + ab 2
2

Chứng minh:
(*)
Đặt vế trái của (*) là P. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có

a 2 + bc ≥ 2a bc ⇒

0,25

a
1
11 1
≤
≤  + ÷
a + bc 2 bc 4  b c 

2

b
11 1
c
11 1
≤  + ÷, 2
≤  + ÷
b + ca 4  c a  c + ab 4  a b 
2

Tương tự ta có

Do đó

1  1 1 1  1 ab + bc + ca 3
P ≤  + + ÷= .
=
2a b c 2
abc
2

0,25
.

……………HẾT……………