Nâng cao năng lực giải một số dạng bài toán hình học không gian bằng ba phương pháp khác nhau ở trường THPT lam kinh
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (776.92 KB, 24 trang )
SỞ GD & ĐT THANH HOÁ
TRƯỜNG THPT LAM KINH
***
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
NÂNG CAO NĂNG LỰC GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TOÁN
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BẰNG BA PHƯƠNG PHÁP
KHÁC NHAU Ở TRƯỜNG THPT LAM KINH.
Người thực hiện: Nguyễn Văn Tình
Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn.
SKKN thuộc môn: TOÁN
THANH HOÁ,NĂM 2013
MỤC LỤC
Trang
MỞ ĐẦU
1
I
Lý do chọn đề tài …………………………………………........
1
II
Mục đích nghiên cứu…………………………………..............
2
III
Giả thuyết khoa học……………………………………….......
2
IV
Nhiệm vụ nghiên cứu………………………............................
2
V
Phương pháp nghiên cứu……………………………………..
2
5.1
Nghiên cứu lý luận...................................................................
2
5.2
Điều tra tìm hiểu......................................................................
2
5.3
Thực nghiệm sư phạm.............................................................
2
NỘI DUNG
3
I
Những căn cứ………………………………………………....
3
1.1
Căn cứ lý luận ……………………………..............................
3
1.1.1
Vài nét về sự hình thành vec tơ và toạ độ…………………....
3
1 .1.2
Căn cứ vào bản chất của kiến thức hình học…………….......
3
1.2
Căn cứ thực tiễn……………………………………………..
4
II
Thực hành giải một số dạng bài toán hình học không gian thông
5
qua khai thác ba phương pháp khác nhau.
2.1
Các bài toán về tính thẳng hàng................................................
5
2.2.
Các bài toán về quan hệ song song………………...................
8
2.3
Các bài toán về quan hệ vuông góc………………………......
11
2.4
Các bài toán về tính khoảng cách………………….................
15
2.5
Các bài toán về tính góc…………….......................................
17
III
Thực nghiệm sư phạm
19
KẾT LUẬN
20
Tài liệu tham khảo…………………………………………...
1
MỞ ĐẦU
I – LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Mạch logic của sách giáo khoa hình học trung học phổ thông là sự kết hợp các
phương pháp: tổng hợp,vec tơ và toạ độ.
Từ hệ thống kiến thức hình học trình bày bằng con đường tổng hợp theo tinh thần
của phương pháp tiên đề,sách giáo khoa đã đưa ra các kiến thức về vec tơ và phép
biến hình,sau đó mới dựa vào véc tơ để trình bày tiếp các kiến thức về toạ độ.Việc tổ
chức dạy học các kiến thức hình học bằng các phương pháp khác nhau trên cơ sở sử
dụng các loại ngôn ngữ khác nhau: tổng hợp,vec tơ và toạ độ không những giúp cho
học sinh hình thành kỹ năng diễn đạt một tri thức toán học dưới các hình thức khác
nhau mà còn giúp cho các em khai thác được tiềm năng phong phú của mỗi phương
pháp toán học ở mỗi loại ngôn ngữ đó.
Nhờ việc chuyển từ phương pháp này sang phương pháp khác mà các em đựoc phát triển
năng lực sử dụng chính xác ngôn ngữ,ký hiệu toán học để mô tả,nhận thức sự kiện.
Thực trạng hiện nay,tại trường THPT Lam Kinh và trên quy mô rộng hơn,việc học
hình học với một bộ phận học sinh là điều miễn cưỡng,môn hình chỉ đưa lại say mê
với số ít học sinh khá và giỏi thì việc tạo ra cho các em hứng thú trong học hình
bằng các cách tiếp cận đối với một bài toán bằng các phương pháp khác nhau là
một việc nên làm.Điều đó sẽ góp phần làm cho các em nắm vững kiến thức hình
học,hiểu được bản chất các đối tượng hình học trong chương trình phỏ thông.
Hình học không gian chiếm một vị trí quan trọng trong chương trình toán cấp
THPT,do vậy việc tìm kiếm các con đường tổ chức dạy học cho phần hình học
không gian luôn được nhiều người quan tâm.Đặc biệt,hiện nay với những tiện ích do
việc sử dụng phương tiện dạy học hiện đại đưa lại,giáo viên có thể trình chiếu và
nhanh chóng phân tích,so sánh những phương pháp giải khác nhau cho một bài toán
cụ thể trong một đơn vị thời gian nhất định,cách làm này đã tạo được ấn tượng rất
tốt và thực sự có hiệu quả đối với học sinh.
Trong năm học 2007 – 2008,với bản SKKN của mình,chúng tôi đã đề cập đến nội
dung này,nhưng khi đó mới chỉ tìm tòi mối liên hệ giữa hai phương pháp là vec tơ
và toạ độ,vì thế trong năm học này chúng tôi đưa thêm vào phương pháp tổng hợp
và mạnh dạn phát triển đề tài của mình là:
2
Nâng cao năng lực giải một số dạng bài toán hình học không gian bằng ba
phương pháp khác nhau ở trường THPT Lam Kinh.
II- MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Mục đích nghiên cứu của đề tài là xây dựng hệ thống các dạng bài tập hình học
không gian giải bằng các phương pháp khác nhau.
III- GIẢ THUYẾT KHOA HỌC
Nếu thường xuyên quan tâm đúng mức việc rèn luyện năng lực chuyển đổi ngôn
ngữ trên cơ sở xây dựng và sử dụng quy trình giải các bài toán hình học không gian
bằng các phương pháp khác nhau sẽ góp phần nâng cao chất lượng dạy học hình học
ở trường THPT.
IV – NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
Xây dựng cơ sở lý luận và thực tiễn của việc rèn luyện năng lực chuyển đổi của ba phương
pháp.
Xây dựng hệ thống các dạng bài tập hình học không gian giải bằng các phương
pháp khác nhau.
Tiến hành thực nghiệm sư phạm nhằm đánh giá mục đích,giả thuyết khoa học của đề tài.
V – PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
5.1 Nghiên cứu lý luận:
Nghiên cứu các tài liệu về phương pháp giảng dạy toán,sách giáo khoa,sách giáo
viên về chương trình hình học ở cấp THPT.
5.2 Điều tra tìm hiểu
Tìm hiểu về việc dạy và học hình học ở trường THPT Lam Kinh theo các chủ
đề:hình học tổng hợp,vec tơ và toạ độ.
5.3 Thực nghiệm sư phạm.
3
NỘI DUNG
I – NHỮNG CĂN CỨ
1.1 CĂN CỨ
LÝ LUẬN
1.1.2 Vài nét về sự hình thành kiến thức vec tơ và toạ độ.
Phương pháp toạ độ đã có nguồn gốc trong lịch sử cổ đại.Các nhà thiên văn học Hy
lạp(Hippocrates thế kỷ II-TCN,Ptolemaeus thế kỷ II )đã dùng các toạ độ cầu (vĩ độ
và kinh độ)để xác định các điểm khác nhau trên trái đất,tuy nhiên sự phát triển của
phương pháp toán học này đã bị kìm hãm do chưa có ký hiệu bằng chữ và quan
niệm tổng quát về số.
Việc không có những phương pháp toán học tổng quát để giải các bài toán và
chứng minh một số định lý hình học là một hạn chế rất lớn của hình học sơ
cấp.Trong vật lý,cơ học,kỹ thuật ... người ta thấy hạn chế này một cách sâu sắc khi
gặp những đường,những mặt phức tạp như đường Parabol,đường hypecbol,đường
elip...,mặt Paraboloit,mặt Hypecboloit,....Cho đến thế kỷ XVII,nhà toán học
Đêcac(R.Descartes)(1596-1650) đã sáng lập ra môn hình học giải tích một cách độc
lập với Phecma(P.Fermat)(1601-1665).Hai ông đã cống hiến cho khoa học một
phương pháp mới – phương pháp toạ độ làm cơ sở cho hình học giải tích ,môn học
đã dùng hệ toạ độ để chuyển những hình ảnh của hình học về ngôn ngữ của đại số.
Có thể nói,sự ra đời của khái niệm toạ độ và sau đó là khái niệm vec tơ đã góp
phần thúc đẩy sự phát triển của lý thuyết toán học và sự ứng dụng của toán học vào
thực tế đời sống.
1.1.2 Căn cứ vào bản chất toán học của kiến thức hình học.
Một nội dung,một khái niệm toán học có thể diễn đạt theo ngôn ngữ,ký hiệu khác
nhau.Chẳng hạn:
+ Khái niệm: “M là trung điểm của đoạn thẳng AB”
M AB
MA MB
(theo ngôn ngữ tổng hợp)
MA MB 0
( theo ngôn ngữ vec tơ)
x A xB
xM 2
y y A yB
M
2
(theo ngôn ngữ toạ độ)
+ Khái niệm: “đường thẳng AB”
4
M / AM t AB, t R.
( theo ngôn ngữ vec tơ)
x xA
y yA
M ( x; y ) /
xB x A yB y A
(theo ngôn ngữ toạ độ)
Như vậy,một khái niệm toán học có thể có những vỏ ngôn ngữ khác nhau và ta có
thể dựa vào mỗi cách diễn đạt theo các ngôn ngữ khác nhau ấy mà định hướng để
tìm ra các phương pháp khác nhau để giải quyết bài toán hình học.Chẳng hạn,dựa
vào cách diễn đạt khái niệm:”Hai mặt phẳng vuông góc với nhau trong không gian”
ta sẽ định hướng cách chứng minh hai mặt phẳng vuông góc:
1/ Theo ngôn ngữ tổng hợp: Để chứng minh hai mặt phẳng vuông góc với nhau,ta
chứng minh góc giữa hai mặt phẳng đó bằng 900.
2/ Theo ngôn ngữ vec tơ: Để chứng minh hai mặt phẳng vuông góc với nhau,ta
chứng minh tích vô hướng (qua phép biến đổi) của hai vec tơ pháp tuyến của hai
mặt phẳng bằng 0.
3/ Theo ngôn ngữ toạ độ:Để chứng minh hai mặt phẳng A1x + B1y + C1z + D1 = 0
và A2x + B2y + C+C2z + D2 = 0 vuông góc với nhau,ta chứng minh biểu thức toạ độ
của tích vô hướng hai vec tơ pháp tuyến của hai mặt phẳng bằng 0.
A1.A2 + B1.B2 + C1.C2 = 0
1.2 CĂN CỨ THỰC TIỄN
Căn cứ vào sự logic của việc trình bày các chủ đề hình học tổng hợp,vec tơ,toạ
độ ở sách giáo khoa hình học THPT.
Ở cấp THCS,học sinh học hình bằng phương pháp tổng hợp,khái niệm trục toạ
độ,hệ trục toạ độ được giới thiệu trong phần đại số ở lớp 7 và lớp 9.Đến lớp
10,chương trình đề cập đến vec tơ và mở đầu về toạ độ trong mặt phẳng,dùng véc tơ
để khảo sát các hệ thức trong tam giác,đường tròn và ứng dụng một phần để nghiên
cứu phép biến hình.Ơ lớp 11,học sinh học hình học không gian bằng phương pháp
tổng hợp.Sang lớp 12,các em dùng vec tơ để xây dựng hệ toạ độ trong mặt phẳng và
trong không gian.
Quy trình giải các bài toán hình học bằng phương pháp vec tơ tiến hành theo các
bước sau:
. Bước 1: + Lựa chọn hệ vec tơ mà ta gọi là:” Hệ vec tơ gốc”
+ Chuyển các giả thiết và kết luận của bài toán từ ngôn ngữ hình học
tổng hợp sang ngôn ngữ vec tơ.
5
Bước 2: Thực hiện các phép biến đổi các hệ thức vec tơ theo yêu cầu bài toán.
Bước 3: Chuyển kết luận từ ngôn ngữ vec tơ sang ngôn ngữ hình học.
Quy trình giải các bài toán hình học bằng phương pháp toạ độ tiến hành theo các
bước sau:
Bước 1: + Lựa chọn hệ trục toạ độ thích hợp
+ Chuyển các giả thiết và kết luận của bài toán từ ngôn ngữ hình
học tổng hợp sang ngôn ngữ toạ độ
Bước 2: Thực hiện các phép biến đổi toạ độ theo yêu cầu bài toán.
Bước 3: Chuyển kết luận từ ngôn ngữ toạ độ sang ngôn ngữ hình học.
Như vậy,nội dung hình học trình bày ở sách giáo khoa cấp phổ thông đã tạo
những mạch gắn kết giữa nội dung và hình thức: hình học tổng hợp là cơ sở nội
dung,cơ sở trực quan để trình bày phương pháp vec tơ,đến lượt mình,vec tơ lại là cơ
sở của trực quan của phương pháp toạ độ.
II – THỰC HÀNH GIẢI MỘT SỐ BÀI DẠNG BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
THÔNG QUA VIỆC KHAI THÁC CÁC PHƯƠNG PHÁP KHÁC NHAU.
2.1 CÁC BÀI TOÁN VỀ TÍNH THẲNG HÀNG
Dạng toán 1: Chứng minh ba điểm thẳng hàng
* Phương pháp tổng hợp: Để chứng minh ba điểm A,B,C thẳng hàng ta có thể sử
dụng một trong các hướng sau:
+ Chứng minh A,B,C cùng thuộc hai mặt phẳng khác nhau nào đó
+ Chứng minh AB và AC cùng song song với một đường thẳng nào đó...
* Phương pháp vec tơ
+ Chứng minh AC t. AB (t R)
+ Chứng minh với điểm O tuỳ ý có: OC t.OB (1 t ).OA (t 1)
+ Chứng minh với điểm O tuỳ ý có: OC t.OB l.OA (t l 1)
* Phương pháp toạ độ Chọn hệ trục toạ độ Oxyz
+ Biểu thị toạ độ A,B,C theo hệ toạ độ đã chọn: A(xA;yA;zA), B(xB;yB;zB) ,C(xC;yC;zC)
+ Tính toạ độ của AB( x B x A , y B y A , z B z A ) , AC( xC x A , yC y A , z C z A )
xC x A t.( x B x A
+ Chỉ ra sự tồn tại t R sao cho y C y A t.( y B y A )
z z t.( z z )
A
B
A
C
Hoặc thay toạ độ cuả điểm C vào phương trình đường thẳng AB thấy thoả mãn
6
Ví dụ 1:Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1.Gọi G là trọng tâm tam giác
A1BD.Chứng minh rằng A,G,C1 thẳng hàng.
Lời giải
* Phương pháp tổng hợp: Chứng minh A,G,C1 cùng thuộc hai mặt phẳng khác nhau.
A
Ta có: G A1O ( ACC1 A1 ) nên G ( ACC1 A1 ) .
D
O
Vậy A, G, C1 ( ACC1 A1 ) .
B
C
G
Mặt khác G DI ( ADC1 B1 ) nên G ( ADC1 B1 ) .
I
Vậy A, G, C1 ( ADC1 B1 ) .
A1
D1
Từ trên suy ra ba điểm A,G,C1 thẳng hàng
B1
C1
Phương pháp vec tơ. Quy trình giải bài toán gồm:
+ Bước 1: Chọn hệ vec tơ gốc,biểu diễn các dữ kiện của bài toán sang ngôn ngữ vec tơ:
- Chọn hệ vec tơ gốc AA1 , A1 B1 , A1 D1 .Theo bài ra,G là trọng tâm tam giác A1BD
2
3
nên A1G . A1O
.
- Để chứng minh rằng A,G,C1 thẳng hàng,ta chứng minh A1G t.AC1
+ Bước 2: Biến đổi các biểu thức vec tơ phù hợp với yêu cầu bài toán.
2
3
Ta có: AC1 AA1 A1C1 A1 A A1 B1 A1 D1 , AG AA1 A1G A1 A . A1O
1
3
1
3
1
3
= AA1 .( A1 B A1 D) = .( A1 A A1 B1 A1 D1 ) . AC1
+ Bước 3: Chuyển kết luận ra ngôn ngữ hình học tổng hợp
2
3
Như vậy,ta có: A1G . A1O
hay A,G,C1 thẳng hàng.
* Phương pháp toạ độ: Quy trình giải bài toán gồm:
+ Bước 1: Chọn hệ toạ độ,chuyễn các dữ
kiện bài toán sang ngôn ngữ toạ độ
B
Chọn hệ trục toạ độ Oxyz sao cho: O A1 ,
đó
ta
có:
D1 Ox , B1 Oy , A Oz .Khi
I
A1(0;0;0),D1(a;0;0),B1(0;b;0),A(0;0;c),B(0;b
;c),D(a;0;c),C1(a;b;0).Vì G là trọng tâm tam
a b c
giác nên: G = ; ; .
z
A
D
O
C
G
x
A1
D1
B1
3 3 3
y
C1
+ Bước 2: Biến đổi các biểu thức toạ độ.
a b
3 3
c
3
1
3
1
3
Ta có: AC1 (a; b;c) , AG ( ; ; ) (a; b;c) AC1
+ Bước 3: Chuyển kết luận ra ngôn ngữ hình học tổng hợp
1
AG . AC1
3
hay A,G,C1 thẳng hàng.
Dạng toán 2:Cho ba điểm A,B,C thẳng hàng,từ đó suy ra các tính chất khác.
Ví dụ 2: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1.P là điểm trên đường thẳng
3
2
CC1 sao cho CP .CC1 ,M là một điểm trên đường thẳng AD,N là điểm trên
7
đường thẳng BD1 sao cho M,N,P thẳng hàng.Tính
MD
.
MA
Lời giải:
* Phương pháp tổng hợp: Ta có: ADD1 A1 MP; BD1 MD1
BCC1 B1 MP; BD1 BP .Vì ADD1 A1 // BCC1 B1 nên MD1// BP,do đó
MD1D=.....suy ra MD1 D ... BPC ,vậy nên
MD 2
MD
MD DD1 2
từ đó
2.
hay
AD 3
MA
DC
CP 3
* Phương pháp vec tơ. Quy trình giải bài toán gồm:
+ Bước 1: Chọn hệ vec tơ gốc,biểu diễn các dữ kiện của bài toán sang ngôn ngữ vec tơ:
Chọn hệ vec tơ gốc : CB a , CC1 b , CD c
3
2
P
3
2
Theo giả thiết,ta có: CP .CC1 .b .Vì
D,M,A thẳng hàng nên: DM x.DA x.a .
Vì
M,N,P
thẳng
hàng
D1
A1
B1
N
nên:
CN .CM (1 ).CP .
Vì
B,N,D1
thẳng
C1
D
hàng
C
M
nên:
A
B
CN .CD1 (1 ).CB
+ Bước 2: Biến đổi các biểu thức vec tơ phù hợp với yêu cầu bài toán.
3
2
Tacó: CN .(CD DM ) (1 ).CP .(c x.a) (1 ). .b (1)
3
.x.a (1 ). .b .c .
2
3
2
Lại có CN .(CC1 CD) (1 ).CB .(b c) (1 ). a (1 ).a .b .c (2)
.x 1
3
Từ (1) và (2) suy ra: .(1 )
2
3
2
2
MD
; x .Vậy DM .DA
2.
5
3
3
MA
Phương pháp toạ độ: Quy trình giải bài toán gồm:
+ Bước 1: Chọn hệ toạ độ,chuyễn các dữ kiện bài toán sang ngôn ngữ toạ độ
Chọn hệ trục toạ độ Oxyz sao cho: C O , B Ox , D Oy , C1 Oz .Khi đó:
3c
C(0;0;0),B(a;0;0),D(0;b;0),C1(0;0;c),D1(0;b;c),D = 0;0; .
2
+ Bước 2: Biến đổi các biểu thức toạ độ.
8
Mặt phẳng (BD1P) (chứa N) đi qua B(a;0;0) có
z
P
vec tơ chỉ phương là
BP (a;0;
3c
) và BD1 (a; b; c)
2
D1
C1
A1
B1
nên có phương trình: 3bcx+acy+2abz-3abc = 0
N
(3)
y
x a.t
Đường thẳng AD có phương trình: y b
z 0
D
M
C
C
1
(4)
A
B
x
do đó M có toạ độ là nghiệm của hệ (3)
và (4) nên M=
2a
2a
a
; b;0 ,từ đó có DM ;0;0 , MA ;0;0 DM 2MA .
3
3
3
+ Bước 3: Chuyển kết luận ra ngôn ngữ hình học tổng hợp DM 2MA
MD
2.
MA
2.2 CÁC BÀI TOÁN VỀ QUAN HỆ SONG SONG.
Dạng toán 1: Chứng minh đường thẳng song song với đường thẳng,đường thẳng
song song với mặt phẳng,hai mặt phẳng song song.
Phương pháp tổng hợp:
+ Để chứng minh hai đường thẳng a và b song song với nhau,ta chứng minh chúng
đồng phẳng rồi áp dụng các cách chứng minh trong hình học phẳng như: tính chất
đường trung bình,định lý Talet đảo...hoặc chứng minh hai đường thẳng đó cùng
song song với một đường thẳng thứ ba,...
+ Để chứng minh a//(P) ta chứng minh a//b với b (P)
+ Để chứng minh hai mặt phẳng song song với nhau,ta chứng minh mặt phẳng này
chứa hai đường thẳg cắt nhau cùng song song với mặt phẳng kia,...
Phương pháp vec tơ,phương pháp toạ độ
Khi giải bài toán dạng này,ta có thể tiến hành:Chuyển các dữ kiện của bài toán ra
ngôn ngữ vec tơ hoặc toạ độ,sau đó biến đổi các đẳng thức vec tơ (hoặc toạ độ) thu
được về dạng các đẳng thức vec tơ (hoặc toạ độ) tương đương với các điều kiện
song song.
Ví dụ3: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1.M là điểm chia đoạn AD theo tỉ số
1
2
,N là điểm chia đoạn A1C theo tỉ số .Chứng minh: MN//(BC1D).
4
3
9
Lời giải * Phương pháp tổng hợp:
Đặt O = AC BD , I = MC BD ,J = A1C C1O
Ta có:
Mặt khác
C1
B1
JC
OC
1
suy ra
JA1 A1C1 2
1
1 5
CJ 5
CJ .CA1 . .CN Vậy
3
3 3
CN 9
D1
A1
N
J
(1).
IC
CB
AD 5
IM MD MD 4
D
M
C
I
O
A
B
IC
5
CJ
CI
.Từ (1) và (2) có:
hay MN//IJ ( BC1 D ),do đó MN//(BC1D).
CM 9
CN CM
* Phương pháp vec tơ. Quy trình giải bài toán gồm:
+ Bước 1: Chọn hệ vec tơ gốc,biểu diễn các dữ kiện của bài toán sang ngôn ngữ vec tơ:
Chọn hệ vec tơ gốc : BA a , BB1 b , BC c M là điểm chia đoạn AD theo tỉ số
1
1
2
2
,nên AM . AD N là điểm chia đoạn A1C theo tỉ số nên A1 N . A1C ,để chứng
5
4
3
5
minh: MN//(BC1D) ta sẽ chứng minh MN m.BD n.BC1
+ Bước 2: Biến đổi các biểu thức vec tơ phù hợp với yêu cầu bài toán.
Ta có: BD a c , BC1 b c , MN BN BM = BA AA1 A1 N BA AM
ab
2
3
2
1
2
3
1
2
3
(c a b) a c a b c (a c) (b c) BD BC1
5
5
5
5
5
5
5
5
5
2
5
3
5
+ Bước 3: Chuyển kết luận ra ngôn ngữ hình học tổng hợp MN BD BC1
* Phương pháp toạ độ: Quy trình giải bài toán gồm:
+ Bước 1: Chọn hệ toạ độ,chuyển các dữ kiện
z
P
bài toán sang ngôn ngữ toạ độ.
Chọn hệ trục toạ độ Oxyz sao cho: C O ,
D
1
B Ox , D Oy , C1 Oz .Giả sử ba kích thước của
A1
B
N
hình hộp là a,b,c,khiđó:
C(0;0;0),B(a;0;0),D(0;b;0),C1(0;0;c),A(a;b;0),A1
= a; b; c . M là điểm chia đoạn AD theo tỉ số
x
1
D
C
M
A
M
B
y
1
4a
3a 3b 3c
,nên M=( , b,0) ,N=( , , )
5
5 5 5
4
+ Bước 2: Biến đổi các biểu thức toạ độ.
10
Mặt phẳng (BC1D) có phương trình là:
x y z
1 3 bcx+acy+abz+abc = 0
a b c
a
5
Đường thẳng MN có vec tơ chi phương MN ( ,
2b 3c
, ).
5 5
+ Bước 3: Chuyển kết luận ra ngôn ngữ hình học tổng hợp
Vì n.MN 0 nên n MN hay MN//(BC1D)
Dạng toán 2:Cho biết các quan hệ song song,từ đó suy ra các tính chất hình học khác.
Ví dụ 4: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1.M là điểm trên đường chéo AC
của mặt phẳng (ABCD),N là điểm trên đường chéo thẳng C1D của mặt phẳng
(CDD1C1) sao cho MN//BD1.Tính tỉ só
MN
.
BD 1
* Phương pháp tổng hợp:
Đặt I = BM D1 N ,vì I BM ( ABCD ) và I D1 N (CDD1C1 ) nên I CD
Ta có:
IN
DN
DI
ND1 NC1 C1 D1
do CD // C1 D1 ,
IM CM CI
do AB // CD mặt khác
MB MA AB
IN
IM
do MN // BD1 . nên suy ra:
ND1 MB
DI
CI
do đó DI = CI hay I là trung
C1 D1 AB
A1
D1
B1
C1
N
A
điểm của CD.
M
B
Vậy
I
D
C
IM 1 MN
IM
1
hay
.
MB 2
IB 3 BD1
* Phương pháp vec tơ. Quy trình giải bài toán gồm:
+ Bước 1: Chọn hệ vec tơ gốc,biểu diễn các dữ kiện của bài toán sang ngôn ngữ vec tơ:
Chọn hệ vec tơ gốc : BA a , BB1 b , BC c Theobài ra,A,M,C thẳng hàng nên
MC x. AC , C1,N,D thẳng hàng nên C1 N y.C1 D ,vì MN//BD1 nên MN k.BD1
+ Bước 2: Biến đổi các biểu thức vec tơ phù hợp với yêu cầu bài toán.
Tacó:
MN k.(a b c) (1) AC c a , CC1 b , C1 D a b , MN MC CC1 C1 N =.
(2) . Vì
1
x 3
y x k
2
a , b , c đồng phẳng nên từ (1) và (2) suy ra 1 y k y
như vậy
3
x k
1
k 3
1
MN .BD1
3
11
+ Bước 3: Chuyển kết luận ra ngôn ngữ hình học tổng hợp
MN 1
1
MN 1
MN .BD1
= .
hay
3
BD1 3
BD1 3
Phương pháp toạ độ: Quy trình giải bài toán gồm:
+ Bước 1: Chọn hệ toạ độ,chuyễn các dữ kiện bài toán sang ngôn ngữ toạ độ
Chọn hệ trục toạ độ Oxyz sao cho: A O , B Ox , D Oy , A1 Oz .Giả sử ba kích
thước của hình hộp là a,b,c,khiđó:
A(0;0;0),B(a;0;0),D1(0;b;c),C1(0;0;c),C(a;b;0),C1 = a; b; c .
Vì M AC nên M(xM;yM;0),Vì N DC1 nên
N=(xN;b;zN) + Bước 2: Biến đổi các biểu
thức toạ độ.
MN ( x N x M ; b y M ; z N ) , BD1 (a; b; c) ,
MC (a x M ; b y M ;0) , AC (a; b;0) ,
C1 N ( x N a;0; z N c) , C1 D (a;0;c) .Từ giả
thiết suy ra: MN//BD1 suy ra
z
A1
D1
B1
C1
N
A
D
M
B
y
C
x
x N x M ka
MN k.BD1 b y M kb
z kc
N
a x M xa
(2) ,
b y M xb
(1),M AC MC x AC
x N a ya
N C1 D C1 N yC1 D
z N c yc
1
x 3
y x k
2
(3) . Từ (1),(2),(3) suy ra 1 y k y
3
x k
1
k 3
1
3
như vậy MN .BD1
+ Bước 3: Chuyển kết luận ra ngôn ngữ hình học tổng hợp .
2.3 CÁC BÀI TOÁN VỀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC.
Dạng toán 1: Chứng minh tính vuông góc của các đường thẳng và mặt phẳng.
Phương pháp tổng hợp:
* Để chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P),ta có thể chứng minh:
+ a vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong (P).
+ a song song với dường thẳng b mà b (P)
+ Sử dụng định lý:” Nếu a thuộc mặt phẳng (P) mà (P) vuông góc với (Q) và a
vuuong góc với giao tuyến của (P) và (Q) thì a (P)”
+ Sử dụng định lý:” Nếu a là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) cùng vuông
góc với mặt phẳng (R) thì a vuông góc với mặt phẳng (R)”...
* Để chứng minh hai mặt phẳng vuông góc với nhau,ta có thể chứng minh :
12
+ Mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.
+ Góc giữa hai mặt phẳng có số đo bằng 900....
Phương pháp vec tơ:
Để chứng minh hai mặt phẳng vuông góc với nhau,ta quy về chứng minh đường
thẳng vuông góc với mặt phẳng, để chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt
phẳng,ta quy về chứng minh đường thẳng vuông góc với đường thẳng.Như vậy đối
với phương pháp vec tơ ta chỉ cần chú ý: AB CD AB.CD 0
Phương pháp toạ độ
+ Để chứng minh AB CD ta chứng minh:(xB-xA)(xD-xC)+ (yB-yA)(yD-yC)+ (zB-zA)(zDzC)=0
+ Để chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ta chứng minh vec tơ chỉ
phương của đưòng thẳng cùng phương với vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng.
+ Để chứng minh hai mặt phẳng A1x + B1y + C1z + D1 = 0 và A2x + B2y + C2z + D2
= 0 vuông góc với nhau,ta chứng minh A1.A2 + B1.B2 + C1.C2 = 0
Ví dụ5: Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1.Gọi P là trung điểm của AB,Q là
giao điểm của BC1 và CB1.Chứng minh rằng D1Q (PB1C).
Lời giải:
* Phương pháp tổng hợp:
B
C
Vì D1 B1C đều và Q là trung điểm của B1C
P
R
D
A
nên D1Q B1C (1).
Q
Gọi R và S lần lượt là trung điểm của CD và
CC1,khi đó: RC1//PB1, QS (CDD1C1) nên
QS RC1.Mặt khác D1S RC1 nên
RC1 (QSD1).Vậy RC1 D1Q nên .
S
B1
A1
C1
D1
D1Q PB1 (2).Từ (1) và (2) suy ra D1Q (PB1C).
Phương pháp vec tơ. Quy trình giải bài toán gồm:
+ Bước 1: Chọn hệ vec tơ gốc,biểu diễn các dữ kiện của bài toán sang ngôn ngữ vec
1
2
tơ: Chọn hệ vec tơ gốc D1Q ( D1 B1 D1C )
+ Bước 2: Biến đổi các biểu thức vec tơ phù hợp với yêu cầu bài toán.
1
2
1
2
1
2
Ta có B1 P .( B1 A B1 B) = .( B1 A1 2.B1 B) a b , B1C B1 B B1C1 b c
1
1
1
1
1
1
( D1 B1 D1C ) = ( a b c a ) = a b c
2
2
2
2
2
2
1
1
1
B1 P . D1Q = ( a b) .( a b c )= 0
2
2
2
1
1
B1C . D1Q (b c) . ( a b c) = 0
2
2
D1Q
+ Bước 3: Chuyển kết luận ra ngôn ngữ hình học tổng hợp
B1 P . D1Q = () D1Q PB1
B1C . D1Q = 0 D1Q B1C .Vậy D1Q B1C
13
* Phương pháp toạ độ: Quy trình giải bài toán gồm:
+ Bước 1: Chọn hệ toạ độ,chuyển các dữ kiện
bài toán sang ngôn ngữ toạ độ
Chọn hệ trục toạ độ Oxyz sao cho: B1 O ,
A
C1 Ox , B Oz , A1 Oy .Giả sử kích thước của
hình lập phương là a,khiđó:
B1(0;0;0),C1(a;0;0), P là trung điểm của AB
a
nên P (0; ; a) , B(0;0;a),C(a;0;a),
2
D1(a;a;0),A = 0; a; a .
a a
Q là trung điểm của B1C nên Q ( ;0; )
2 2
z
B
C
D
Q
x
B1
C1
A1
D1
y
+ Bước 2: Biến đổi các biểu thức toạ độ.
a
2
a
2
Ta có: QD1 ( ; a; ) là vec tơ chỉ phương của đường thẳng QD1.Mặt phẳng (PB1C)
qua B1 nhận hai vec tơ chỉ phương là B1 P và B1C nên có vec tơ pháp tuyến là
1
1
a
a
n ( ;1; ) cùng phương với QD1 ( ; a; ) nên D1Q (PB1C).
2
2
2
2
Dạng toán 2: Cho biết các đường thẳng hay mặt phẳng vuông góc rồi từ đó suy ra
các tính chất hình học khác.
Ví dụ 5 Cho hình chóp S.ABCD,đáy là nửa lục giác đều.AB = B = CD = a.Cạnh
bên SA vuông góc với đáy và SA a 3 .M là điểm trên cạnh SB sao cho M khác B và
AM MD.
Tính tỉ số
SM
2)Tính diện tích thiết diện tạo bởi hình chóp và mặt phẳng (AMD)
SB
Lời giải:* Phương pháp tổng hợp:
S
BD AB
suy ra BD (SAB) và
BD SA
1) Ta có:
BD AM.Mặt khác AM MD nên AM (BMD),do
2
2
2
M
N
2
đó: AM SB.khi đó: SA -SM = AB – BM ,hơn
nữa SM + BM =SB.Suy ra:
3a
SM
SM BM 2a
2 SM 3
SB 4
SM BM 2a
BM a
2
2
2
2
A
D
B
C
2/ Thiết diện là hình thang AMND có diện tích S được tính theo công thức:
1
S .( MN AD).MH ,với MN là đường cao của hình thang và AD = 2a
2
3
3
, MN .BC a
4
4
14
1
1
1
với AM
2
2
MH
AM
MD 2
a 3
a 39
11 39a 2
13a 2
MH
, MD 2 SM 2 SD 2 2.SM .SD. cos DSM
.Vậy S
.
2
8
64
4
Tính
MH:
Vì
AM MD
nên:
=
* Phương pháp vec tơ. Quy trình giải bài toán gồm:
+ Bước 1: Chọn hệ vec tơ gốc,biểu diễn các dữ kiện của bài toán sang ngôn ngữ vec tơ:
Chọn hệ vec tơ gốc : AB a , AD b , AS c ; a a , b 2a , c a 3 khi đó ta có:
a.b a 2 , b.c a.c 0 . AM MD MA.MD 0
(1)
+ Bước 2: Biến đổi các biểu thức vec tơ phù hợp với yêu cầu bài toán.
1) Ta có
SM .SB ( AB SA) (a c) , D1Q
a
1
1
1
1
( D1 B1 D1C ) = ( a b c a ) =
2
2
2
2
1
1
b c ( Với 0 1, do M B);
2
2
MA SA SM = c (a c) MD MA AD = .a ( 1)c b .Khi đó (1)
[ c (a c) ].[ .a ( 1)c b ] = 0 4 7 3 0
2
1 (loai )
3
4
3
4
Vậy SM SB
Phương pháp toạ độ: Quy trình giải bài toán gồm:
+ Bước 1: Chọn hệ toạ độ,chuyễn các dữ kiện bài toán sang ngôn ngữ toạ độ
Chọn hệ trục toạ độ Oxyz sao cho: A O , D Ox , S Oz , Oy ( ABCD ) : Oy Oz .
a a 3
;0) .
2 2
khiđó: A(0;0;0),D(2a;0;0), S(0;0;a 3 ), B ( ;
+ Bước 2: Biến đổi các biểu thức toạ độ.
Đặt M= ( x0;y0;z0) SB .Đường thẳng SB có phương trình:
Vì M SB nên:
y 0 3x0
Mặt
z 0 a 3 2 3a
khác AM MD MA.MD 0
3a
x0 8
3a 3
ta tìm được: y 0
8
a 3
z0
4
Vậy SM (
y
x
za 3
.
a a 3
a 3
2
2
z
S
do đó
N
M
x
A
D
B
C
y
3a 3a 3 3a 3
a a 3
3
;
;
) ; SB ( ;
; a 3 ) do đó SM SB
8
8
4
4
2 2
15
2.4 CÁC BÀI TOÁN VỀ TÍNH KHOẢNG CÁCH
Dạng toán 1: Chứng minh tính vuông góc của các đường thẳng và mặt phẳng.
Phương pháp tổng hợp:
+ khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a: d(M;a) = MH ( MH a;H a )
+ khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) được xác định như sau:
- Chọn trong (P) một đường thẳng a rồi dựng mặt phẳng (Q) qua A vuông góc
với a( nên chọn a để mặt phẳng (Q) dễ xác định)
- Xác định b P Q
- Dựng AH b tại H, khi đó d(A;( P)) = AH
+ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b.
Ngoại trừ trường hợp đoạn vuông góc chung có sẵn,ta phải dựng đoạn vuông góc
chung bằng các cách sau:
Cách 1: (áp dụng cho trường hợp a b)
- Dựng mặt phẳng (P) chứa b và vuông góc với a tại A.
- Dựng AB b tại B,khi đó: d(a;b) = AB
Cách 2:
- Dựng mặt phẳng (P) chứa b và song song với a
- Chọn M a ,dựng MH (P) tại H
- Từ H dựng a///a; a / b B
- Từ B dựng đường thẳng song song với MH cắt a tại A,khi đó d(a;b) = AB.
Phương pháp vec tơ: đối với phươngpháp này,ta cần chú ý áp dụng tích vô
hướng của hai vec tơ để tính khoảng cách
- Khoảng cách giữa hai điểm A và B: AB AB AB
2
- Khoảng cách từ điểm M đến đuờng thẳng a: Giải theo trình tự sau:
Chọn A a và đặt AM b .Gọi N là hình chiếu vuông góc của điểm M trên a, khi
đó: MH AH AM = xa b .Tìm x nhờ điều kiện vuông góc của MH , a : ( xa b ).
a 0 suy ra MH
xa b
2
.
- Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) có cặp vec tơ chi phương là a , b :
Chọn A a và đặt AM m .Gọi H là hình chiếu vuông góc M trên mặt phẳng
(P),khi đó: MH AH AM = xa yb m .Ta tìm được các hệ số x,y nhờ điều kiẹn
2
vuông góc của MH ; a ; b từ đó suy ra khoảng cách cần tìm là: MH xa yb m .
+ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b lần lượt có hai vec tơ chỉ
phương a , b , Giải theo trình tự sau:
- Chọn A a và B b và đặt AB m .
- Gọi MN là đoạn vuông góc chung của a và b,khi đó:
MA x a
BN yb
MN .a 0
MN .b 0
- Biểu
không
diễn
MN
theo
các
vec
tơ
đồng
phẳng:
MN MA AB + BN = xa yb m .
16
- Ta tìm được các hệ số x,y nhờ điều kiẹn vuông góc của AB ; a ; b từ đó suy ra
2
khoảng cách cần tìm là: MH xa yb m .
* Phương pháp toạ độ:Đối với phương pháp này,ta cần chú ý một số công thức:
- Khoảng cách giữa hai điểm A và B: AB x B x A 2 y B y A 2 z B z A 2
- Khoảng cách từ một điểm M ( x0 ; y 0 ; z 0 ) đến đường thẳng đi qua điểm
M 1 x1 ; y1 ; z1 và có vec tơ chỉ phương u(a; b; c) :
d ( M ; )
MM ,u
1
u
- Khoảng cách từ điểm M x1 ; y1 ; z1 đến mặt phẳng (P):Ax + By +Cz +D =
d (M ; ( P))
Ax0 By 0 Cz 0 D
A2 B 2 C 2
- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b lần lượt đi qua hai điểm M,
M1 có hai vec tơ chỉ phương a , b : d (a; b)
a,bMM
a, b
1
Chú ý: - Việc tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau có thể quy về tính
khoảng cách giưã hai điểm hoặc giữa đường thẳng và mặt phẳng song song hoặc
giữa hai mặt phẳng song song.
- Việc tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng
song song có thể quy về tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng.
Ví dụ 6: Cho tứ diện OABC có các góc AOB=BOC=COA = 900 và OA = a,OB =
b,OC = c.Gọi D là trung điểm của OC.
1) Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng BD.
2) Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC).
Lời giải:
* Phương pháp tổng hợp:
1) Gọi M là hình chiếu vuông góc của A trên BD,khi đó có: OM BD
Xét tam giác vuông AOM có: AM2 = AO2+OM2 = a2+OM2
O
Mặt khác,xét tam giác vuông OBD có:
1
1
1
1
4
b 2 .c 2
2
OM
OM 2 OB 2 OD 2 b 2 c 2
4b 2 c 2
b 2 .c 2
d ( A; BD ) AM a 2 2
4b c 2
2) Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên
mặt phẳng (ABC) và £ AH BC .Vì OH
BC và OA BC nên BC (OAH) do đó
BC AH và BC OE
D
M
C
A
H
E
B
Ta có:
1
1
1
1
4
2
2
2
2
OH
OA
OE
a
OE 2
hay d (O; ( ABC ) OH
với ,vì vậy
1
1
1
1
1
4
2 2 2 2 2
2
OH
a
b
c
b
c
abc
a 2b 2 b 2 c 2 c 2 a 2
17
* Phương pháp vec tơ. Quy trình giải bài toán gồm:
+ Bước 1: Chọn hệ vec tơ gốc,biểu diễn các dữ kiện sang ngôn ngữ vec tơ:
Chọn hệ vec tơ gốc : OA a , OB b , OC c ;khi đó a a , b b , c c và
a.b b.c a.c 0 .D là trung điểm của OC nên .OD
1
1
OC c
2
2
+ Bước 2: Biến đổi các biểu thức vec tơ phù hợp với yêu cầu bài toán.
x
2
1) Ta có AM BM BA x.BD AB a (1 x).b c .Vì
x
4b 2
c
AM BD AM .BD 0 [ a (1 x)b c) ]. .( b) = 0 x= 2
Vậy
2
2
4b c 2
d ( A; BD ) AM AM a 2
b 2 .c 2
4b 2 c 2
*Phương pháp toạ độ: Quy trình giải bài toán gồm:
+ Bước 1: Chọn hệ toạ độ,chuyễn
O
các dữ kiện bài toán sang ngôn
D
ngữ toạ độ
Chọn hệ trục toạ độ Oxyz sao cho:
M
A Ox , B Oy , C Oz .
C
A
khiđó: O(0;0;0),A(a;0;0),B(0,b;0)
C(0;0;c), Vì D là trung điểm của
H
x
z
B
c
2
OC nên D (0;0; ) .
+ Bước 2: Biến đổi các biểu thức toạ độ.
1) Đặt
M
là
hình
chiếu
vuông
góc
của
A
trên
BD.Ta
có:
c
BD 0,b, ; BA a,b,0 .Vậy
2
d ( A; BD ) AM
BA, BD
a2
BD
b 2 .c 2
4b 2 c 2
2) Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên mặt phẳng (ABC),mặt phẳng (ABC)
có phương trình ( theo đoạn chắn) là:
đó d (O; ( ABC )) OH
x y z
1 bcx acy abz abc 0 do
a b c
abc
a 2b 2 b 2c 2 c 2 a 2
2.5 CÁC BÀI TOÁN VỀ TÍNH GÓC
* Phương pháp vec tơ:
+ Góc giữa hai đường thẳng d1 và d2 lần lượt có hai vec tơ chỉ phương a1 , a2 được
xác định: cos( d1 ; d 2 ) cos(a1 ;a 2 )
a1 ..a 2
a1 . a 2
18
+ Việc tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng quy về tính góc giữa đường thẳng
đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng.
+ Việc tính góc giữa hai mặt phẳng quy về tính góc giữa hai đường thẳng tương
ứng vuông góc với hai mặt phẳng đó.
* Phương pháp toạ độ:
+
Góc
giữa
hai
vec
tơ
xác
a1 ( x1 ; y1 ; z1 ) , a2 ( x2 ; y 2 ; z 2 ) được
định: cos(a1 ;a 2 )
x1 x 2 y1 y 2 z1 z 2
x1 y12 z12 . x 22 y 22 z 22
2
+ Góc giữa hai đường thẳng chéo nhau d1 và d2 lần lượt có hai vec tơ chỉ phương
a1 , a2 được xác định: cos( d1 ; d 2 ) cos( a1 ;a 2 )
a1 ..a 2
a1 . a 2
x x0 y y 0 z z 0
1 và mặt phẳng P):Ax + By +Cz +D = 0
a
b
c
Aa Bb Cc
được xác định: sin( d ; ( P))
A2 B 2 C 2 . a 2 b 2 c 2
+ Góc giữa đường thẳng d:
+ Góc giữa hai mặt phẳng (P):A1x + B1y + C1z + D1 = 0 và (Q): A2x + B2y + C2z +
D2 = 0 được xác định: cos(( P); (Q))
A1 A2 B1 B2 C1C 2
A1 B1 C1 . A2 B2 C 2
2
2
2
2
2
2
Ví dụ 7: Cho hai tia Ax1 và By1 hợp với nhau một góc 600.Đường thẳng AB vuông
góc với cả hai Ax1 và By1.AB = a.Hai điểm M , N lần lượt nằm trên hai tia Ax1 và
By1sao cho AM = m,BN = n. Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng MN và AB
theo a,m,n
Lời giải:
Phương pháp tổng hợp:
Dựng At//By1 và NH//AB ( H At )Ta
N
B
y1
có: AB AH , AB AM AB (MHA) .Mặt
khác NH//AB nên
NH (MHA) NH MH .Vì NH = AB =
A
a,MH2 = AM2 + AH2 - 2.AM.AH.cos600
H
t
M
x1
= m2 + n2 –m.n suy ra MN2 = MH2 + AH2 = m2 + n2 + a2 – m.n.
Vậy cos( MN ; AB) cos MNH
a
m 2 n 2 a 2 mn
* Phương pháp vec tơ. Quy trình giải bài toán gồm:
+ Bước 1: Chọn hệ vec tơ gốc,biểu diễn các dữ kiện sang ngôn ngữ vec tơ:
Chọn hệ vec tơ gốc : MA a , AB b , BN c ;khi đó a m , b a , c n và
a.b b.c 0; a.c
1
mn .
2
+ Bước 2: Biến đổi các biểu thức vec tơ phù hợp với yêu cầu bài toán.
19
Ta
có:
MN MA AB .BN a b c ;
AB b a ;
AB..MN b.(a b c) a 2 ;
MN (a b c) 2 m 2 n 2 a 2 m.n
* Phương pháp toạ độ: Quy trình giải bài
y
B
toán gồm:+ Bước 1: Chọn hệ toạ
N
y1
độ,chuyển các dữ kiện bài toán sang ngôn
ngữ toạ độ.Chọn hệ trục toạ độ Oxyz sao
A
cho: O A ,
Ox Ax1 , B Oz , Oy (Oxz ), Oy Oz, .khiđó:
H
t
M
x1
A(0;0;0),M(m;0;0),B(0,0;a),.
n
Bước 2: Biến đổi các biểu thức toạ độ. Ta có: MN m,
, a , AB 0,0, a suy
2
2
n 3
ra MN m 2 n 2 a 2 m.n ; AB a ; MN . AB a 2 .
Vậy cos( MN ; AB)
a
m n a 2 mn
2
2
III - THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM
3.1 Mục đích thực nghiệm: Nhằm đánh giá tính khả thi,kiểm tra tính đúng đắn của
gỉả thuyết khoa học,tính hiệu quả của quy trình giải các bài toán bằng các phương
pháp khác nhau:tổng hợp,vec tơ và toạ độ .
3.2
Nội dung thực nghiệm: Các tiết thực nghiệm là tiết 34,chương 3 và một bài
kiểm tra 45 phút trong chương trình lớp 12 ban khoa học tự nhiên.Sau khi đã dạy
cho học sinh quy trình giải bài toán bằng các phương pháp khác nhau,ở tiết bài tập
34 ,chúng tôi muốn kiểm tra kỹ năng vận dụng quy trình đó của các em.
3.3 Tổ chức thực nghiệm
Chúng tôi tiến hành thực nghiệm tại hai lớp ban khoa học tự nhiên của trường
THPT Lam Kinh,lớp thực nghiệm là 12C1 và chọn lớp đối chứng là lớp 12C2.
Thời gian thực nghiệm: Năm học 2012-2013
Bài kiểm tra 45 phút
Hãy giải các bài toán sau bằng các phương pháp khác nhau:
Bài 1: Cho tứ diện OABC có các tam giác AOB,BOC,COA là những tam giác vuông đỉnh
O và OA =a,OB = b,OC = c.Tính khoảng cách từ O tới mặt phẳng (ABC).
Bài 2: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1.Gọi M,N lần lượt là các điểm chia
1
2
hai đoạn thẳng CA và DC1 theo tỉ số .Chứng minh rằng MN//(ABC1D1).
20
3.4 Kết quả thực nghiệm
Điểm
2
3
Lớp
Thực
0
nghiệm
Đối
2
chứng
Kết quả sơ bộ:
4
5
6
7
8
9
10
Số
bài
2
1
5
15
12
11
4
1
51
4
12
14
9
6
2
1
0
50
+ Lớp thực nghiệm tỉ lệ học sinh đạt kết quả trung bình trở lên là:47 ( tỉ lệ khá giỏi là:55% )
+ Lớp đối chứng tỉ lệ học sinh đạt kết quả trung bình trở lên là:22 ( tỉ lệ khá giỏi là:18% )
3.5 Kết luận thực nghiệm
+ Việc dạy học cho học sinh quy trình giải các bài toán hình học không gian bằng các
phương pháp khác nhau thông qua một số tiết và dạng bài tập đã giúp cho các em thấy
được các mối liên hệ giữa các chủ đề hình học tổng hợp,vec to và toạ độ
+ Giúp các em có kỹ năng thực sự giả một bài toán hình theo quy trình đã đưa ra,
+ Việc tổ chức dạy học tốt nhờ ứng dụng công nghệ thông tin,dùng các phương tiện
dạy học hiện đại đã gây cho học sinh hứng thú học tập môn hình,nâng cao hiệu quả
của giờ dạy.
Như vậy,mục đích thực nghiệm đã đạt và giả thuyết khoa học của đề tài là chấp nhận được.
KẾT LUẬN
Qua quá trình nghiên cứu đề tài: “ Nâng cao năng lực giải một số dạng bài toán
hình học không gian bằng ba phương pháp khác nhau ở trường THPT Lam
Kinh” đã thu được một số kết quả:
1. Đề tài đã làm sáng tỏ các căn cứ lý luận và thực tiễn của việc rèn luyện năng lực
chuyển đổi ngôn ngữ.
2. Đề tài đã đưa ra quy trình giải một lớp các bài toán bằng các phương pháp hìmh
học tổng hợp,vec tơ và toạ độ.
3.Dựa trên kinh nghiệm thực tế của giáo viên và qua kết quả thực nghiệm cho phép
xác nhận giả thuyết của đề tài là chấp nhận được,có tính hiệu quả và mục đích
nghiên cứu đã hoàn thành.
21
Xác nhận của thủ trưởng đơn vị
Thanh hoá,ngày 20 tháng5 năm 2013
Tôi xin cam đoan đây là SKKN do mình
viết,không sao chép nội dung của người khác.
Người viết
Nguyễn Văn Tình
22
Sở GD - ĐT Thanh Hoá
HĐKH trường THPT Lam Kinh
Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc
PHIẾU ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI SKKN NĂM HỌC 2012 – 2013
Tên SKKN: “ Nâng cao năng lực giải một số dạng bài toán hình học không gian
bằng ba phương pháp khác nhau ở trường THPT Lam Kinh”.
Tác giả: NGUYỄN VĂN TÌNH , cấp THPT
Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn
Đơn vị công tác: Trường THPT Lam Kinh
Các tiêu chuấn đánh giá:
Tiêu chuẩn
Nội dung nhận xét về từng tiêu chuẩn
Điểm các tiêu chuẩn
2,5
2,0
1,5
Phù hợp với thực tiễn,giúp học sinh nắm
1. Tính thiết thực được quy trình giải một số dạng bài toán
*
HHKG bằng các phương pháp khác nhau
Có cải tiến về phương pháp giảng dạy một số
2. Tính sáng tạo
dạng bài tập HHKG nhờ áp dụng công nghệ
*
thông tin
3. Tính khoa học
4. Tính hiệu quả
Tổng số điểm:
Xếp loại:
Có cơ sở lý luận và thực tiễn,khảo sát đối
chứng đầy đủ,khách quan.
*
Có hiệu quả rõ rệt trong việc giúp học sinh
học tập môn hình học ở trường THPT Lam
Kinh
*
Bằng số: 9.5 Bằng chữ: Chín phẩy năm
A
Thọ Xuân,ngày 20 tháng 5 năm 2013
Người đánh giá xếp loại
Lê Thị Hương
23
1,0
