Hướng dẫn học sinh tính thể tích khối đa diện

A. ĐẶT VẤN ĐỀ
I.Lí do chọn đề tài
Trong chương trình giáo dục phổ thông thì môn toán được nhiều học sinh yêu
thích và say mê, nhưng nói đến môn hình học thì lại mang nhiều khó khăn và trở
ngại cho không ít học sinh, thậm trí ta có thể dùng từ “sợ” học. Đặc biệt là hình học
không gian tổng hợp.
Một trong những nội dung quan trọng của hình học không gian tổng hợp đó là
tính thể tích khối đa diện. Đây là một nội dung khó vì liên quan đến nhiều kiến thức
ở chương trình hình học lớp 11 và yêu cầu học sinh phải tư duy linh hoạt, khả năng
phân tích tổng hợp và tưởng tượng. Nhưng là phần rất quan trọng có trong cấu trúc
đề thi tốt nghiệp, cao đẳng, đại học và thường xuyên xuất hiện trong các đề thi
tuyển chọn học sinh giỏi và có khả năng phát triển tư duy cho sinh.
Qua thực tế một số năm giảng dạy khối 12 ở Trường THPT Lê Văn Linh, tôi
thấy học sinh khi học phần này thường rất lúng túng không định hướng được cách
tính thể tích và hay mắc phải số sai lầm. Nguyên nhân là do các em không nắm
vững lí thuyết, việc luyện tập còn ít.
Là một giáo viên dạy toán, bản thân tôi luôn đặt ra câu hỏi? dạy như thế nào
để học sinh dễ tiếp thu, nắm chắc kiến thức, vận dụng tốt vào giải toán, và phù hợp
với nhiều đối tượng. Đó là vấn đề mà tôi luôn trăn trở và tìm tòi trong quá trình
giảng dạy và mong muốn được trao đổi với các thầy cô giáo đồng nghiệp.
Nhằm giúp học sinh vượt qua khó khăn, trở ngại đó và ngày càng yêu thích
môn toán hơn tôi mạnh dạn chọn đề tài “ Hướng dẫn học sinh tính thể tích khối
đa diện”.
II. Mục đích của đề tài
* Nhằm giúp các em học sinh có được phương pháp phù hợp khi giải bài toán tính
thể tích khối đa diện, tránh những sai sót phổ biến khi học phần này.
* Góp phần đổi mới phương pháp giảng dạy lấy học sinh làm trung tâm, phát huy
tính chủ động, tích cực, sáng tạo của học sinh.
* Giúp các em có niềm đam mê khi học toán, bồi dưỡng khả năng tự học , tự suy
luận, phát triển tư duy tưởng tượng, phát huy tính sáng tạo, nhằm phát triển tư duy
toán học cho học sinh.

* Là tài liệu cho cho học sinh và các đồng nghiệp tham khảo.
III. Nhiệm vụ của đề tài
* Đưa ra hệ thống lí thuyết và các công thức có liên quan đến bài toán tính thể tích
khối đa diện.
* Các phương pháp tính thể tích khối đa diện.
* Một số sai lầm mà học sinh thường mắc phải.
* Đưa ra một số bài tập tham khảo.
IV. Đối tượng nghiên cứu

1


Đối tượng nghiên cứu: Học sinh lớp 12A, 12B – Năm học 2012 - 2013 của
Trường THPT Lê Văn Linh.
V. Phương pháp nghiên cứu:
- Qua nghiên cứu tài liệu: Đọc kỹ sách giáo khoa, sách tham khảo có liên quan.
- Qua kinh nghiệm giảng dạy tại trường THPT Lê Văn Linh.
- Điều tra tình hình học sinh khi làm bài.
- Dùng phương pháp kiểm nghiệm học sinh thông qua việc ra đề kiểm tra.
- Qua trao đổi và học hỏi các thầy cô giáo trong trường và đồng nghiệp.

B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I.Cơ sở lí luận:
1. Khái niệm khối đa diện: Khối đa diện là phần không gian được giới hạn bởi
một hình đa diện, kể cả hình đa diện đó.
2. Khái niệm về thể tích khối đa diện: Thể tích khối đa diện (H) là một số thực
dương, kí hiệu V(H) và thỏa mãn các tính chất sau:
+) Nếu (H) là 1 khối lập phương có cạnh bằng 1 thì V(H) = 1.
+) Nếu hai khối đa diện (H1) và (H2) bằng nhau thì V( H1 ) = V( H 2 ) .
+) Nếu khối đa diện (H) được phân chia thành hai khối đa diện (H1) và (H2) thì

V(H) = V( H1 ) + V( H 2 ) .
* Chú ý: Khối lập phương có cạnh bằng 1 được gọi là khối lập phương đơn vị.
3. Các công thức tính thể tích khối đa diện:
3.1 Thể tích khối lăng trụ: Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h
là: V = Bh.
* Chú ý:1, Trong trường hợp đặc biệt nếu khối đa diện là khối hộp chữ nhật hoặc
khối lập phương thì:
+) Thể tích khối hộp chữ nhật có ba kích thước a, b, c là: V = abc.
+) Thể tích khối lập phương có cạnh bằng a la: V= a3.
2, B: Diện tích đáy,
h: chiều cao( là khoảng cách giữa hai đáy).
3.2 Thể tích khối chóp: Thể tích khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao h là:
1
V = Bh.
3
* Chú ý: B: diện tích đáy,
h: chiều cao( là khoảng cách từ đỉnh tới đáy)
2


4. Các kiến thức có liên quan
4.1 Góc giữa hai đường thẳng trong không gian a và b: Là góc giữa hai đường
thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm và lần lượt song sng với a và b.
Chú ý: Để xác định góc giữa hai đường thẳng a và b ta có thể lấy điểm O thuộc một
trong hai đường thẳng đó rồi vẽ một đường thẳng song song với đường thẳng còn
lại.
4.2 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (α)
là góc giữa d và hình chiếu d’ của nó trên (α)
Chú ý: * Nếu d vuông góc với mp(α) thì ta nói rằng góc giữa d và (α) bằng 900.
* Nếu d không vuông góc với (α) và cắt (α) tại điểm O thì ta xác định góc giữa d và

(α) như sau:
+) Ta lấy một điểm A tùy ý trên d khác với điểm O.
+) Xác định hình chiếu vuông góc của A lên (α) là điểm H.
ˆ
+) Khi đó góc giữa d và (α) là φ và ϕ = AOH
4.3 Góc giữa hai mặt phẳng: Là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với
hai mặt phẳng đó.
Chú ý: Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau (α) và (β)
+) Xác định giao tuyến c của hai mặt phẳng.
+) Chọn điểm I trên giao tuyến c , từ điểm I ta dựng trong (α) đường thẳng a và
trong (β) đường thẳng b cùng vuông góc với c.
+) Khi đó góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng a và b.
4.4 Khoảng cách:
+) Khoảng cách từ một điểm O đến một đường thẳng a là độ dài đoạn OH( H là
hình chiếu vuông góc của O lên a).
+) Khoảng cách từ một điểm O đến một mặt phẳng (α) là độ dài đoạn OH ( trong
đó H là hình chiếu vuông góc của O lên (α).
Chú ý: Cách tìm điểm H : Chọn mp(β) chứa O, vuông góc với (α) và cắt (α) theo
giao tuyến d. Trong (β) từ O dựng đường thẳng vuông góc với d tại H. Khi đó H là
hình chiếu vuông góc của O lên (α).
+) Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (α) song song là khoảng cách từ
một điểm bất kì của a đến mặt phẳng (α).
+) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì
của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
+) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b là độ dài đoạn MN
( M ∈ a, N ∈ b, MN ⊥ a, MN ⊥ b).
Chú ý: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một
trong hai đường thẳng đó đến mặt phẳng song song với nó và chứa đường thẳng
còn lại, bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường
thẳng đó.

3


II.Thc trng ca vn :
+) Cõu hỡnh hc khụng gian cú trong cỏc thi v thng l khú i vi hc sinh
mc dự õy cha phi l cõu khú trong thi.
+) Hc sinh cú tõm lớ chung l ngi hc hỡnh, c bit l hỡnh hc khụng tng hp
trong ú phi núi n phn tớnh th tớch khi a din.
+) i vi hc sinh Trng THPT Lờ Vn Linh thỡ cht lng u vo thp hn so
vi mt s trng ca huyn. Dn n nhiu khú khn cho giỏo viờn khi dy hc
phn ny.
+) Thc t thi gian hc chớnh khúa dnh cho phn ny rt ớt, vi chng trỡnh
chun hỡnh hc 12 ch phõn phi cú 2 tit lớ thuyt v 1 tit bi tp. Sỏch giỏo khoa
mi ch nờu cụng thc tớnh th tớch, nờu mt vớ d v a ra mt s bi tp.
+) Hc sinh khụng nm vng lớ thuyt, thi gian luyn tp ớt.
Chớnh vỡ th nờn khi gp bi toỏn tớnh th tớch khi a din a s hc sinh rt lỳng
tỳng khi lm bi, cha phõn loi v nh hng c cỏch gii, hoc mc phi mt
s sai lm. Dn n kt qu thi kim tra lp trng, thi i hc rt thp.
III. Gii phỏp v t chc thc hin.
Dng 1: Tớnh trc tip
Tớnh ng cao v din tớch ỏy. Sau ú ỏp dng cụng thc tớnh th tớch khi a
din.
p dng cụng thc:
+) Th tớch ca khi chúp c tớnh theo cụng thc :
V = B.h
trong ú : B l din tớch ỏy,
h l chiu cao ca hỡnh chúp( tc l khong cỏch t nh ca hỡnh chúp
ti mt phng ỏy)
+) Th tớch ca khi lng tr l:

V = B. h
trong ú : B l din tớch ỏy,
h l chiu cao ca hỡnh lng tr ( l khong cỏch gia 2 ỏy)
Vic ỏp dng cụng thc thụng thng yờu cu:
a) Xỏc nh ng cao ( cú th bi toỏn cho sn ng cao, hoc cú th phi dng,
hoc cú khi phi k ng cao ph,)
b)Tớnh di ng cao v din tớch mt ỏy.
* xỏc nh ng cao ta lu ý :
Hỡnh chúp u cú chõn ng cao trựng vi tõm ca ỏy nờn chiều cao của hình
chóp là khoảng cách từ đỉnh đến tâm của đáy.
Hỡnh chúp cú cỏc cnh bờn bng nhau thỡ chõn ng cao trựng vi tõm ng
trũn ngoi tip mt ỏy.

4


• Hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy thì chiều cao của hình chóp là độ dài

cạnh bên đó
• Hình chóp có các mặt bên cùng tạo với đáy những góc bằng nhau thì chân đường
cao chính là tâm đường tròn nội tiếp mặt đáy.
• Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy thì chân đường cao nằm trên giao
tuyến của mặt phẳng đó và đáy.
• Hình chóp có hai mặt bên cùng vuông góc với đáy thì đường cao nằm trên giao
tuyến của hai mp đó.
• Hình lăng trụ : chiều cao là khoảng cách từ 1 đỉnh tới mặt đáy còn lại nên tương
tự như hình chóp.
* Để tính độ dài đường cao ta thường áp dụng:
• Các hệ thức lượng trong tam giác: Định lí Cosin, Sin,.. đặc biệt là các hệ thức
lượng trong tam giác vuông.

• Dựa vào định lí Talets,…
*Để tính diện tích mặt đáy cần lưu ý:
Đáy là một trong các hình sau thì diện tích được tính như sau:
+) ∆ ABC vuông tại A thì S = AB. AC = AH. BC ( AH là đường cao) ,
+)

ABC đều cạnh a thì S =

,

+) ABCD là hình vuông cạnh a thì S = a2,
+) ABCD là hình chữ nhật cạnh a, b thì S = a.b,
+) ABCD là hình thoi thì S = AC. BD , …
Sau đây là một số hình vẽ minh họa cho các hình đặc biệt:
Hình chóp tam giác đều
S

A

C

H

Hình chóp tứ giác đều

S
B

D

C

H
A

5
B


S

Hình chóp có một mặt bên
(SBC) vuông góc với mặt đáy
B

Hình chóp có hai mặt bên kề nhau (SAC)
và (SAB) vuông góc với đáy. SA là đờng cao.

C

H

S

A

C

A

B

Vớ d 1: Cho hỡnh chúp S.ABC, ỏy ABC l tam giỏc vuụng cú cnh huyn
BC=2a , gúc
. Cỏc cnh bờn ca hỡnh chúp hp vi ỏy nhng gúc bng
nhau v bng . Tớnh th tớchca khi chúp.
* Phõn tớch: Bi toỏn ny rt ngn gn, gi thit ca bi toỏn ớt , tuy nhiờn gi
thit th 2 khú xỏc nh hn, ũi hi hc sinh phi cú k nng xỏc nh gúc gia
ng thng v mt phng.
Yờu cu ca bi toỏn tớnh th tớch ca khi chúp tam giỏc: Hc sinh phi xỏc nh
ng cao, tớnh din tớch tam giỏc ỏy, ỏp dng ỳng cụng thc.
Li gii:
Trc ht gi H l hỡnh chiu vuụng gúc ca S xung mp(ABC), hỡnh chúp ó cho
ã
ã
ã S = nờn t
cú cỏc cnh bờn hp vi ỏy nhng gúc bng nhau SAH
= SBH
= SCH
ú suy ra rng HA=HB=HC, tc l chõn ng cao H phi trựng vi tõm ng
trũn ngoi tip tam giỏc ABC.
Mt khỏc ABC l tam giỏc vuụng ti A, nờn H chớnh l trung im ca cnh
huyn BC.
C

H

B

6

A


Dựa vào hình vẽ này ta có BC=2a,
1
1
SH = a.tan β ⇒ V = SH .S ∆ABC = .(a tan β ).(a 2 sin 2α );
3
3
3
a .tan β .sin 2α
Do đó: V =
3

S

*Nhận xét: Ở bài này học sinh rất dễ mắc phải sai lầm sau :
J
Kẻ SH ⊥ mp(ABC) ( hình vẽ),
C
·
·
·
ta có: SAH
= SBH
= SCH
= α , như vậy nhìn vào
hình vẽ học sinh không tính được SH, do không định
H
I

K
vị được điểm H.
Hình vẽ trên sai do học sinh không vận dụng
A
hết các điều đã cho trong giả thiết ( các cạnh bên tạo
với đáy một góc bằng nhau và đáy là tam giác vuông ).
Do đó nó không gợi ý một sự liên hệ nào có thể giúp chúng ta thực hiện được việc
tính toán.
Chú ý: Nếu các cạnh bên tạo với đáy các góc bằng nhau thì chân đường cao chính
là tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
Ví dụ 2:
Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thoi với các đường chéo AC=4a,
BD=2a, đường cao SO=h=2a
của hình chóp có chân O là giao điểm của AC và
BD. Mặt phẳng qua A và vuông góc với SC cắt SB, SC, SD lần lượt tại B', C', D'.
Khi đó hãy tính thể tích của S. AB'C'D'.
* Phân tích: Bài toán này các giả thiết đầu xác định được ngay trên hình, tuy nhiên
giả thiết cuối cùng đòi hỏi học sinh phải xác định các điểm B’, C’, D’ cho đúng, Vẽ
hình thì phải vẽ đáy là hình bình hành, lấy tâm O, từ O dựng đường vuông góc với
mặt đáy, trên đường thẳng đó lấy S, nối S với các đỉnh. Đây là bài toán tính thể tích
của khối chóp tứ giác, vẽ hình xong thì có thể gợi ý cho học sinh nhiều cách tính
tuy nhiên lựa chọn cách nào cho đơn giản nhất. Sau khi phân tích ta chọn cách tính
trực tiếp, xác định h và B
* Lời giải : Do SC
và đáy là AB’C’D’.

(AB’C’D’) nên đường cao của hình chóp S. AB'C'D' là SC’

SAC cân có đường cao SO = 2a
của SC => SC’ =

=

=>

SAC đều .Vậy C' là trung điểm

= 2a.

7

B


Tính diện tích đáy : Tứ giác AB’C’D’ có AC’
nên S = dt(AB'C'D')=

B’D’

1
AC '.B ' D ' .
2

AC' là đường cao trong tam giác đều SAC cạnh 4a nên AC’= 2a
Gọi K là giao điểm của các đường chéo, ta có:
S

C'

D'

D

K

C
B'

O
A

B

Mặt khác do K là trực tâm của ∆SAC nên K là trọng tâm của tam giác SAC
TA có (AB’C’D’) SC, BD SC => DB // B’D’
SK 2
4a
= BD =
SO 3
3
1
4a 2 3
Vậy dt(AB'C'D')= AC '.B ' D ' =
.
2
3

Do đó: B'D' =BD.

8a 3 3
Vậy thể tích của khối chóp cần tính là: V = =

.
9

*Nhận xét: Ở bài này học sinh thường mắc phải một số sai lầm sau:
Vẽ hình sai, thường là học sinh lấy điểm B’, C’, D’ tùy ý vì không nắm chắc giả
thiết của bài toán.
VS . ABCD
SA SB SC SD
= '. '. '. '
Thứ 2 là học sinh sẽ sử dụng công thức :
VS . A'B'C 'D' SA SB SC SD
Tính thể tích của khối chóp S.ABCD , các tỉ số trên , từ đó học sinh suy ra thể tích
của khối chóp S.AB’C’D’
Những sai lầm trên đây là do thiếu một số hiểu biết cần thiết trong việc vẽ một số
hình quen thuộc, và do học sinh không nắm vững lí thuyết.

8


Công thức trên chỉ đúng đối với khối chóp tam giác, trong khi đó học sinh lại áp
dụng đối với khối chóp tứ giác. Bài này học sinh muốn sử dụng công thức này phải
chia khối chóp thành 2 khối chóp tam giác.
Ví dụ 3:
( Đề thi Đại học khối A - 2010)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung
điểm của các cạnh AB, AD; H là giao điểm của CN và MD. Biết SH vuông góc với
mp(ABCD) và SH =
. Tính thể tích khối chóp S.CDMN.
* Phân tích: Gỉa thiết và kết luận của bài toán rất cụ thể và dễ xác định. Chỉ lưu ý
học sinh khi vẽ hình: vẽ đáy là hình bình hành, lấy M, N, xác định giao điểm H, Từ

H dựng đường thẳng vuông góc với đáy trên đó lấy điểm S, nối S với các đỉnh.
Yêu cầu: Đây là bài toán tính thể tích khối chóp tứ giác, cần xác định chiều cao và
đáy
S
* Lời giải: Do SH ⟘ (ABCD) ,
suy ra SH là chiều cao của hình cóp S.CDMN
SCDMN = SABCD– SAMN – SBCM
= a2 -

A
M

Vậy V =

N

D

H

B

C

Ví dụ 4: Cho lăng trụ tam giác đều ABCA'B'C' có cạnh đáy bằng a, đường chéo
BC' của mặt bên (BCC'B') hợp với mặt bên (BAA'B') một góc α. Tính thể tích khối
lăng trụ.
*Phân tích: Bài toán đơn giản, giả thiết ít, tuy nhiên xác định giả thiết thứ 2 học
sinh phải có kĩ năng xác định góc giữa đường và mặt phẳng.
Yêu cầu của bài toán: Đây là bài toán tính thể tích khối lăng trụ tam giác đều, đáy

là tam giác đều, chiều cao là độ dài cạnh
A'
C'
bên, từ đó ta có lời giải sau.
I

*Lời giải :
Xác định được góc giữa đường thẳng
BC’ và ((BAA'B').
Theo định nghĩa góc giữa đường
thẳng và mặt phẳng ta phải tìm góc giữa
đường thẳng với hình chiếu của nó trên

B'

A

C

9
B


mặt phẳng và việc đầu tiên là phải xác định hình chiếu của BC' trên mặt phẳng
(BAA'B'). Để xác định hình chiếu của BC' trên mặt phẳng (BAA'B') ta xác định
hình chiếu của điểm C' lên mặt phẳng (BAA'B'). Ta để ý đến trung điểm I của cạnh
A'B'. Lăng trụ ABC.A'B'C' là lăng trụ đều nên BB' ⊥ mp(A'B'C')
=> BB' ⊥ IC' (1).
Tam giác A'B'C' là tam giác đều nên
A'B' ⊥ IC' (2).

Từ (1) và (2) ta suy ra : IC'⊥ mp(BAA'B') hay I là chân đường vuông góc kể
từ C' đến mp(BAA'B'), nghĩa là BI là hình chiếu của BC' trên mp(BAA'B'). Vậy
· ' BI = α , từ đó ta có:
C
C 'I =

a 3
C 'I
a 3
; BC ' =
=
2
sin α 2sin α
2

 a 3 
a2
2
BB ' = BC ' − B ' C ' = 
−
a
=
(3 − 4sin 2 α )
÷
2
÷
4sin α
 2 sin α 
a
3 − 4sin 2 α

Suy ra: BB ' =
2sin α
a 3 3sin α
Thay vào ta được: V =
.
8 sin 3 α
2

2

2

*Nhận xét: Học sinh thường mắc phải sai lầm sau: Xác định góc giữa đường thẳng
BC’ và (BAA'B'), vì thế dẫn đến tính toán sai, cụ thể :
Nối BA'. Góc giữa đường chéo BC' với mặt bên (BAA'B') là góc C· ' BA ' . Vậy ta
có: C· ' BA ' = α .
A'

a

C'

B'

C
A

B

Xét ∆A’BC’ ta có:

BC '
a
=
sin A ' sin α

. Vì BC ' = BA ' ⇒ ∆A ' BC ' cân.

10


(1800 − α )
a sin A '
a
2
=
=
Từ đó suy ra: BC ' =
α
sin α
sin α
2sin
2
2
2
a
a
α
− a2 =
(1 − 4sin 2 )
2

2
2
α
α
Vậy CC' =BC' -BC = 4sin 2
2
4sin 2
2
2
a
α
CC ' =
1 − 4 sin 2
Suy ra :
α
2
2sin
2
2
a 3
a
α
V=
.
1 − 4 sin 2
Vậy
4 2sin α
2 ;
2
2

a 3
a
α
V=
.
1 − 4 sin 2
Đáp số:
4 2sin α
2 .
2
a sin

Nhận xét : Sai lầm chính của lời giải trên đây là việc xác định góc giữa
đường thẳng BC' với mặt phẳng (BAA'B') không đúng .
Để khắc phục sai lầm này thì yêu cầu học sinh nhắc lại các bước tìm góc
giữa đường thẳng và mặt phẳng.
*Lưu ý: Nếu lăng trụ đứng thì chiều cao của hình chóp là độ dài cạnh bên,
Nếu khối hộp chữ nhật có 3 kích thước a, b, c thì V = a.b.c
Nếu khối lập phương cạnh a thì V = a3
Ví dụ 5: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có 6 mặt đều là những hình thoi và cạnh
đều bằng a, hình thoi có góc đỉnh A bằng 600. Tính thể tích hình hộp.
* Phân tích :Bài toán này giả thiết xác định đơn giản,
Yêu cầu bài toán tính thể tích khối hộp: lăng trụ này có đáy là hình thoi, còn
lại phải xác định chiều cao của hình hộp.
Từ giả thiết của bài toán, phân tích dự đoán, xác định đúng chân đường
vuông góc.
* Lời giải :
1) Kẻ A'H ⊥ mp(ABCD), dễ thấy rằng các tam giác AA'D, AA’B, A’DB và
BAD đều nên tứ diện A'ABD là tứ diện đều, do đó H trùng với tâm của tam giác
D'

đều ABD.
C'
A'

B'

D
C
O

11

H
A

B


HA =

2
2a 3 a 3
AO =
=
3
3 2
3
2

 a 3  6a 2

A ' H = A ' A − HA = a − 
÷
÷ = 9 . Suy ra
 3 
2

2

h = A' H =

a 6
3

2

Vậy V = h.S ABCD = 2.

2

a 2 3 a 6 a3 2
.
=
.
4
3
2

* Nhận xét: Ở bài này học sinh thường vẽ hình sai, do xác định chân đường
vuông góc H sai vị trí và dẫn đến không định hướng được cách tính đoạn A’H .

Ví dụ 6: ( Đề thi đại học khối B - 2010)
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AB= a, góc giữa hai mặt
phẳng (A’BC) và (ABC) bằng 600. Gọi G là trọng tâm tam giác A’BC. Tính thể tích
khối lăng trụ đã cho và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a .
• Phân tích: GT của bài toán yêu cầu học xác định đúng góc giữa 2 mặt phẳng: Xác
định giao tuyến của 2 mp, chọn 2 đường thẳng nằm trong 2 mp lần lượt vuông góc
với giao tuyến tại 1 điểm trên giao tuyến , từ đó suy ra góc giữa 2 mp.
Yêu cầu của bài toán: ở yêu cầu thứ nhất thì học sinh cần phải xác định được
đường cao của lăng trụ.
Yêu cầu thứ 2 thì học sinh phải nhớ được cách xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp
hình chóp tam giác: xác định trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác đáy, xác định
trung trực của 1 cạnh bên, cắt nhau tại đâu thì đó là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
Tính bán kính là khoảng cách từ 1 đỉnh tới tâm.
• Lời giải:+) Thể tích khối lăng trụ:
(A’BC) và (ABC) có giao tuyến là BC.
A’
Gọi D là trung điểm của BC,
ta có: BC ⟘ AD ,
C’
theo định lí 3 đường vuông góc ,
suy ra BC ⟘ A’D.
B’
Suy ra góc giữa 2 mp này là
góc ADA’bằng 600.
Ta có V = AA’. SABC ,
G
E
A
SABC =
, AA’ = AD. tan

=
C

D

H
B

12


Vậy V =

.

+) Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC
Gọi H là trọng tâm tam giác ABC, suy ra: GH // AA’
Suy ra GH ⟘ (ABC), suy ra GH là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Gọi E
là trung điểm của AG. Trung trực của AG cắt GH tại I, suy ra I là tâm đường tròn
ngoại tiếp tứ diện GABC.
Ta có R = GI =
GH =

, AH =

,
, GA2 = GH2 + AH2 =
Do đó R =

,

,

Ví dụ 7: (Đề thi HSG 12 tỉnh Thanh hóa)
Cho hình lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác cân tại C, cạnh đáy
AB bằng 2a và ·ABC bằng 300. Tính thể tích của khối lăng trụ ABC. A ' B ' C ', biết
khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CB ' bằng

a
.
2

Lời giải: Vấn đề quan trọng là xác định khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo
nhau. Ta chọn mp( A’B’C) chứa B’C và song song với AB, bây giờ ta xác định
khoảng cách từ AB đến mp này.
A'
C'
N

B'

H

C

A
M
B

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và A'B' . Kẻ MH ⊥ CN ( H ∈ CN ).

Tam giác CAB cân tại C suy ra AB ⊥ CM.
Mặt khác AB ⊥CC’ ⇒ AB ⊥ (CMNC ') ⇒ A ' B ' ⊥ (CMNC ') ⇒ A ' B ' ⊥ MH

13


MH CN
MH (CA ' B ').
MH

A
'
B
'

AB
/ /(CA ' B ') d ( AB , CB ') = d (M , (CA ' B ') = MH .
Ta cú:

Nh vy

0
Tam giỏc BMC vuụng ti M, suy ra CM = BM .tan 30 =

a
3

Tam giỏc CMN vuụng ti M, cú MH l ng cao
1
1

1
4
3
1
=
+
2 = 2+
MN = a
2
2
2
MH
MC
MN
a
a
MN 2
1
a
a3 3
.
T ú VABC . A ' B 'C ' = S ABC .MN = .2a. .a =
2
3
3


Dng 2: Tớnh giỏn tip:
Ngha l ta s dng phõn chia lp ghộp khi a din, a v bi toỏn ỏp dng
tớnh th tớch theo cụng thc n gin hn hoc dựng bi toỏn tớnh t l th tớch hai

khi t din(chúp tam giỏc),
Đối với hình chóp tam giác thì ngoài công thức dng 1 ta có thể áp dụng cách
tính sau:
+) Nếu hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc thì V =
+) Nếu hình chóp ABCD có 2 cạnh đối diện lần lợt là a, b , góc giữa 2 cạnh đó bằng
, khoảng cách giữa 2 đờng thẳng đó bằng h thì thể tích của khối chóp ABCD là :
V=
+) Cho hỡnh chúp SABC. Trờn cỏc on thng SA, SB, SC ly ln lt ba im A1,
B1, C1 khỏc vi S thỡ
VS . A1B1C1
VS . ABC

=

SA1 SB1 SC1
.
.
SA SB SC

14


( Ta cú th k cỏc ng cao tng ng nh hỡnh v chng minh)
A
A1

B
B1

H

E

S

C1

C

Nh vậy nếu việc tính các tỉ số này và tính thể tích của một trong 2 hình dễ hơn thì
áp dụng công thức trên ta sẽ suy ra thể của hình còn lại.
+) Tứ diện ABCD có AB = a; S1, S2 là diện tích của 2 mặt chung cạnh AB, là góc
giữa 2 mặt phẳng (ABC) và (ABD). Khi đó thể tích của khối chóp là
V=

Vớ d 8: Cho hỡnh chúp S.ABC cú SA=a,SB=2a,SC=3a v BSA=600,
ASC=1200, CSB=900. Hóy tớnh th tớch chúp S.ABC.
Li gii:
Nhn xột cỏc mt õy khụng cú cỏc lu ý gỡ c bit nờn vic xỏc nh ng cao
l khú nhng ta thy cỏc gúc nh S l rt quen thuc. Vy ta cú li gii sau:
C

C1
A
S
B1
B

Trờn SB ly B1 sao cho SB1=a, Trờn SC ly C1 sao cho SC1=a,
Tớnh th tớch khi chúp S. A B1C1 :

A B1C1 cú A C1 = a 3 , B1C1 = a 2 , A B1 = a. Vy A B1C1 vuụng
1
2

Cú S= . B1A. B1C1=

a2 2
2

15


Gọi E là trung điểm của AC1 . Suy ra SE ⊥ ( A B1C1 )
Do đó SE chính là đường cao của khối chóp S. A B1C1
a
1
2 3
a3. 2
, VSAB1C1 = SE.S =
a . Ta có VSAB1C1 =
2
3
12
12
SA SB SC
a3. 2
• Tính thể tích khối chóp S.ABC : Ta có VSABC = SA . SB . SC .VSAB1C1 . =
1
1
2

SE =

Ví dụ 9 :
Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 có đáy là tam giác đều cạnh a. A1A =2a
và A1A tạo với mp(ABC) một góc 600. Tính thể tích khối tứ diện A1B1CA.
Lời giải : Gọi thể tích khối lăng trụ ABC.A1B1C1 là VLT
Ta chia khối lăng trụ thành 3 khối chóp CA1B1C1 , B1ABC , A1B1CA .
Cụ thể như sau:
Gọi H là hình chiếu của A1 trên mp(ABC).
Khi đó A1H=A1A.sinA1AH=2a.sin600=a. 3
Mà VLT=A1H.SABC= a. 3.

a 2 . 3 3a 3
=
4
4

A1

C1

Nhận thấy khối lăng trụ được chia làm ba
khối chóp: CA1B1C1, B1ABC, A1B1CA

B1

1
3

+) Khối chóp CA1B1C1 có VCA B C = VLT
1 1 1

C

A
1
+) Khối chóp B1ABC có VB1 ABC = VLT
3
1
a3
Do đó khối chóp A1B1CA có V A1B1 AC = VLT =
3
4

H
K
B

Lưu ý: Ở bài này học sinh thường hay mắc phải sai lầm: Giả thiết cho đáy là tam
giác đều thì học sinh thường nhầm là lăng trụ đều và suy ra đường cao là độ dài
cạnh bên.
Ví dụ 10:
Cho khối hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1 có AB=a, A1A=c, BC=b. Gọi E, F lần
lượt là trung điểm của B1C1 và C1D1. Mặt phẳng (FEA) chia khối hộp thành hai
phần. Hãy tính tỉ số thể tích hai khối đa diện đó.
Lời giải:
A1

C1

B1

A

C
H
K
B

16


A

D

B

C
K

D1

A1

J

H
F

E

B1

C1

I

mp(FEA) cắt các đoạn thẳng A1D1, A1B1, B1B, D1D lần lượt tại J, I, H, K
(hình vẽ)
Gọi V1,V2 lần lượt là thể tích phần dưới và phần trên mp (AEF).
Ta nhận thấy rằng hai phần khối đa diện chưa phải khối hình quen thuộc
nhưng khi ghép thêm hai phần chóp HIEB1 và chóp KFJD1 thì phần dưới là hình
chóp AIJA1
∆ IEB1 = ∆ EFC1 = ∆ FJD1 ( c.g.c )
KD1 JD1 1
=
=
AA1
JA1 3
1
1
1 1 a b c abc
VHIEB1 = .HB1. B1 E.B1 I = . . . . =
= VKFJD1
3
2
3 2 2 2 3 72
1

1
1 1 3a 3b
3abc
VAA1 JI = . AA1. . AI .JA = . . . .c =
3
2
3 2 2 2
8
3abc
abc 25abc
− 2.
=
V1= VAA1JI -2. VHIEB1 =
8
72
72
V
25
47abc
1
V2= Vhh-V1=
do vậy V = 47
72
2

HB

IB

1

1
1
Theo Đlí TA-LET AA = IA = 3 Và
1
1

•Nhận xét: Qua các ví dụ trên ta thấy để giải được bài toán hình không gian
ngoài việc học sinh phải nắm vững các phương pháp, các kiến thức có liên quan, kỹ
năng giải toán, thì hình vẽ đóng vai trò quan trọng, hình vẽ tốt giúp ta nhận ra được
hướng giải quyết, phát hiện ra được vấn đề của bài toán. Hình vẽ tốt là một hình vẽ
đảm bảo được các điều kiện sau:
17


- Đảm bảo được các quy tắc vẽ hình biểu diễn của một hình không gian
( SGK Hình học 11 trang 45, ban cơ bản).
- Hình vẽ phải rõ ràng, chính xác, thể hiện được tính thẩm mỹ .
- Biết cách xác định đối tượng trên hình vẽ sao cho phù hợp với yêu cầu của bài
toán.
- Hình vẽ không thừa cũng không thiếu dữ kiện của đề bài.
- Ngoài ra để có được một hình vẽ tốt cần phải nắm vững các khái niệm về hình
không gian như: hình chóp, hình tứ diện, hình chóp đều, hình lăng trụ, hình hộp,
hình hộp chữ nhật, hình lập phương…, phân biệt được hình đa diện với hình đa
giác, tứ diện với tứ giác.
Trên đây là một vài ví dụ mà tôi đã phân tích , đưa ra lời giải, nêu những sai
lầm học sinh thường mắc phải khi giải bài tập dạng này. Mong rằng các em sẽ có
được phương pháp giải đúng khi gặp bài toán này và tránh được những sai lầm
thường gặp. Hy vọng các em sẽ có niềm đam mê và cải tiến được phương pháp học
toán đặc biệt là khi học hình không gian.

BÀI TẬP THAM KHẢO
Sau khi đã trang bị phần phương pháp như vậy ta cũng giúp học sinh đưa ra
cách giải một bài toán linh hoạt bằng cả hai phương pháp để học sinh so sánh đối
chiếu lựa chọn và đưa ra bài tập ở mức độ tổng hợp.
Bài 1:

Cho khối lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có tất cả các cạnh đều bằng a.

a) Hãy tính thể tích khối tứ diện A1BB1C.
b) Mặt phẳng đi qua A1B1và trọng tâm tamgiác ABC cắt AC,BC lần lượt tại E,F.
Hãy tính thể tích chóp C.A1B1FE.
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hcn,AB=a,AD=a 3 ,SA=2a và
SA ⊥ ( ABCD), một mp đi qua A và vuông góc với SC,cắt SB,SC,SD lần lượt tại
H,I,K. Hãy tính thể tích khối chóp S.AHIK theo a.

18


Bài 3:

Cho hai đường thẳng chéo nhau x và y. Lấy đoạn thẳng AB có độ dài a

trượt trên x, đoạn thẳng CD có độ dài b trượt trên y. CMR VABCD không đổi.
Bài 4: Cho khối lăng trụ ABC.A1B1C1 có BB1=a. Góc giữa đường thẳng BB1 và
mp(ABC) bằng 600. Tam giác ABC vuông tại C và góc BAC bằng 600. Hình chiếu
vuông góc của điểm B1 lên mpABC trùng với trọng tâm tam giác ABC. Tính thể
tích khối tứ diện A1ABC theo a.
Bài 5 : Cho khối lăng trụ đều ABC.A1B1C1 có cạnh đáy bằng a,khoảng cách từ tâm

O của tam giác ABC đến mpA1BC bằng

a
. Hãy tính thể tích khối trụ đó.
6

Bài 6: Cho khối lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có đáy ABC là tam giác cân tại A,
góc giữa A1A và BC1 bằng 300, khoảng cách giữa chúng bằng a. Góc giữa hai mặt
bên qua A1A bằng 600. Hãy tính thể tích khối trụ.
Bài 7 Cho lăng trụ xiên ABC.A1B1C1 có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB=a,
BC=2a. Mặt bên (ABB1A1) là hình thoi nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy và
hợp với mặt bên một góc α . Hãy tính thể tích khối lăng trụ.
Bài 8: cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bầng a, cạnh bên hợp với
đáy góc 600, gọi M là điểm đối xứng với C qua D, N là trung điểm SC, mp(BMN)
chia khối S.ABCD thành hai phần. Hãy tính tỉ số thể tích của hai phần đó.
Bài 9: cho hình hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1 có AB=a, BC=2a, A1A=a, M
thuộc đoạn AD sao cho AM=3MD. Hãy tính thể tích khối tứ diện MAB1C1.

19


IV. Kiểm nghiệm: Khi tiến hành giảng dạy theo đề tài trên thì tôi nhận thấy đa
phần các em có hứng thú khi học hình không gian, có phương pháp giải bài toán
tính thể tích khối đa diện: biết phân tích đề bài, vẽ hình đúng, biết định hướng để
tìm lời giải,…
Kết quả thực nghiệm: Lớp 12E, 12G không dạy theo đề tài này, các lớp 12A, 12B
tiến hành dạy theo các nội dung của đề tài.
Kết quả kiểm tra đánh giá sau khi ôn tập và kiểm tra cùng một đề của bốn lớp 12A ,
12B, 12E, 12G như sau :
Lớp

Sĩ số

12A
12B
12E
12G

50
44
47
45

Tỉ lệ trên Trung bình
Trung bình
Khá giỏi
15/50 =30%
29/50 = 58%
17/44 =38,6% 25/44 = 56,8%
23/47 =48,9%
2/47 = 4,3%
20/45=44,4%
0/45= 0%

Đánh giá
Khá
Khá
Trung bình
Yếu

Như vậy ta thấy rằng sau khi triển khai dạy học sinh theo đề tài này thì đạt được

kết quả nhất định. Tôi mong rằng số học sinh khá giỏi, kể cả học sinh trung bình sẽ
làm được dạng bài tập này trong các kì thi.

C. KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT
*Qua đề tài này tôi đã làm được một số việc như sau:
+) Đưa ra một hệ thống lý thuyết có liên quan đến bài toán tính thể tích khối đa
diện.
+) Đưa ra một số bài tập cơ bản để học sinh luyện tập.
+) Hướng dẫn học sinh cách giải quyết bài toán tính thể tích khối đa diện.
+) Các phương pháp tính thể tích khối đa diện.
+)Khi thực hiện xong đề tài này bản thân tôi đã trau rồi được nhiều điều bổ ích.

20


*Để thực hiện đề tài này tôi đã tìm đọc một số tài liệu viết về phương pháp tính thể
tích khối đa diện, nghiên cứu lời giải cho từng dạng toán, lựa chọn bài tập phù hợp
với từng nội dung cần phân tích.
*Qua một số năm giảng dạy và đúc kết kinh nghiệm tôi nhận thấy rằng để dạy cho
học sinh học tốt môn hình học không gian thì cần phải giúp cho học sinh nắm vững
hệ thống lý thuyết: các định nghĩa, định lý, hệ quả, các phương pháp chứng minh,
các phương pháp tính các yếu tố định lượng. Ngoài ra cần giúp cho học sinh biết
cách tư duy hình ảnh, kỹ năng vẽ hình. Nắm vững các yếu tố trên sẽ giúp cho việc
giảng dạy của giáo viên được thuận lợi, hoc sinh tiếp thu kiến thức ngày một tốt
hơn.
Vì kinh nghiệm bản thân còn ít nên đề tài này không tránh khỏi những thiếu
sót, tôi rất mong nhận được các ý kiến đóng góp của các cấp lãnh đạo và các thầy
cô giáo để đề tài được hoàn thiện hơn.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ

ĐỖ VĂN THỌ

Thanh Hóa, ngày 01 tháng 4 năm 2013
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung của
người khác.

Lê Thị Mạnh

21