skkn cải tiến phương pháp dạy chuyên đề số phức

.

.
Chuyên đề số phức lớp 12
Đ
ỉ

.
12

ồ
ắ

bài toán

ũ

ầ
ài toán

ắ

ễ

ỏ

, nó

ắ

ỏ

ữ

ữ
ầ

ữ
ặ

ũ

quen. Đồ
ỹ

ầ

ừ
ữ
Đ

H

ao

ỏ
,Đ

Chính vì
ẹ
:"

Số

ứ ".

N II
ph p c

h

n l

.
:

D

ừ

ỉ

Ứ
S

1.

ữ
ầ

chúng
ắ

:
ữ

ễ

2.
H
3. H
l
4. H

ầ
sinh không
en

g
ỏ
10
ừ

.


ph p ớ c
Đ
ắ

n.
ữ

:

1

:K

ầ

ầ

c

ễ
é

ừ

,

ặ
.
2

ữ

Ứ

.
3 H

cách sáng
gả
ớ:

1. H
2. Ứ

.
ắ

ũ.

é
ắ

ầ

Q

bài, các em
ặ

10

.
sáng

3.

H

, gi
H
.K

ẽ ắ
4. H

ẽ
ừ

t

y

.
C

h ơn ph p n h nh
I. Ả
Á 1 C
I.1. CÁC
Á
ố ứ

CẤ LÍ T

a  bi
z  a  bi

Đ

YẾT VỀ SỐ

a, b  ¡ , i 2  1
a ph n h c, b

ỨC
số phức
z.

ph n

£.

:


 S
 S 0
Số ứ
H

a
bi

¡ £ .
b¡

ừ

a  c
b  d

ứ

số hu n
ừ
; i
ầ

: a  bi  c  di  
Số

ố

ố

ứ

0: a  a  0i

ầ
(
ầ

ặ số )
đơn

.

z  a  bi , a, b  ¡ , i 2  1
z
z
z

 S
 S

ố
Đ
đ

 z  a  bi .
z  a  bi .
z

ứ
ặ

M (a; b)

n số phức z  a  bi .
ố ứ

u

ễ
M (a; b)
z  a  bi

uuuur
ôđun c số phức z
OM
uuuur
: | z || OM | hay | z | a 2  b 2 .
: | z ||  z || z | .
I.2. CÁC

ặ

Đ
| z|.

T Á

é

é

ừ

ắ

ừ hai

.
:

(a  bi )  (c  di )  (a  c)  (b  d )i
(a  bi )  (c  di )  (a  c)  (b  d )i

é

quy ắ

ồ

i 2  1

.
:

(a  bi).(c  di)  (ac  bd )  (ad  bc)i.

:


é

é

ầ

é

é

.
z  a  bi , a, b  ¡ , i 2  1


ố
a  bi  0

ứ

: z  z  2a ; z.z | z |2 .

c  di
a  bi

a  bi
c  di (c  di )(a  bi ) ac bd ad bc
:



i.
a  bi (a  bi )(a  bi ) a 2 b 2 a 2 b 2

I.1.3. TÍ




C ẤT C
SỐ
ỨC
2
z  a  bi , a, b  ¡ , i  1

z
1: S
zz
z
2: S
 z  z
z1  a1  b1i; z2  a2  b2i; a1 , b1 , a2 , b2  ¡



3: z1  z2  z1  z2



4: z1.z2  z1.z2

:


 z1  z1
  ; z2  0
 z2  z2



5: 



6: | z1.z2 || z1 | . | z2 |



7:

z1 | z1 |

; z2  0
z2 | z2 |
8: | z1  z2 |  | z1 |  | z2 |


14

Ả
ứ

T

T

T

TẬ

C

hai
hai: az  bz  c  0 (a  0)

é

2



Ợ SỐ

  b 2 4ac

H1:


0



0



  0    i 2 ()

z

z

2 nghi
z

é
ương

b
2a

b  
2a

2

b  i 
2a

 TH2:
 0

z

é

b
2a

   0;   a  bi  ( x  iy ) 2
K

z

hai

b  ( x  yi )
2a

2.


2
2

.
'

 K
.


z1 , z2

2
K

az 2  bz  c  0 (a  0) a
b

 z1  z2  a
:
 z .z  c
 1 2 a

Ả
Á 2 C
T À
CÁC C Y
Ể
Ỏ
1 C
Y
Ề 1 Tính
n rên ập hợp số phức
II.1.1. ạn 1 Th c h ện c c phép ính rên ập hợp số phức X c đ nh ph n
h c, ph n
ính ôđun c
ộ số phức
A h ơn ph p
 S d ng các qui tắc c ng, trừ, nhân, chia s ph
tính toán giá tr các bi u
th c.


 Đ
nh phần th c, phần o và
a s ph c z thì ta ph i s d ng
các khái ni
n s ph c và các phép toán trên t p h p s ph c
bi
i s ph c z  a  bi(a; b  R ) K
: z có phần th c b ng a; phần
o b ng b; z  a 2  b 2
 Trong khi tính toán v s ph c ta có th s d ng các h

nh
th c.
B. Bài tập minh họa
z

1:

ng th

3 1
 i
2 2

: z; z 2 ;  z  ; 1  z  z 2
3

L i gi :
a) z 

3 1
3 1
 iz
 i
2 2
2 2
2

 3 1 
3 1
3

1
3
 i    i2 
i 
i
b) z  
4 4
2
2 2
 2 2 
2

3

3

2

2
3
 3 1   3
 3 1 
31  1 
 i  
c) z  
  3
  i   3  i    i   i
2
2
2

2
2 2  2 

 


 2 
3  3 1 3

i
d) 1  z  z 2 
2
2



3

 Nhận xét: V i bài t p trên, h c sinh dễ
c. Qua bài t p này m c
c sinh nh l i khái ni m s ph c liên h p và bi t cách tính toán
n v phép c ng, phép trừ s ph c và phép tính luỹ thừa c a m t s
ph c.
Bài 2:
A

4  3i 1  i

1  i 4  3i

B   2  3i 1  2i  
C
D

L

:
4i
3  2i

3  4i
1  4i  2  3i 

 3  2i   4  3i   1  2i 
5  4i

:
a) A 

 4  3i 1  i   1  i  4  3i   1  7i  1  7i  27  161 i
25
50 50
1  i 1  i   4  3i  4  3i  2
ắ
ồ

.


 4  3i   1  i 

A
 4  3i 1  i 
2

7  22i  7  22i  7  i  27 161



i
7i
 7  i  7  i  50 50

2



:
38 86
 i
13 13
22 79
C

i
169 169
71 17
D  i
41 41
B



hận xét:
 B
é
 Đ

é

é

é

ừ

é
ầ

ỏ

 Sau k
:
ắ

3:
a) z 



ỏ

,
ầ

ầ
:

 Đ
ầ
2 i

ỏ

ầ

ầ
:

 1  i 2 

ầ

z

:

2

b) 1  i   2  i  z  8  i  1  2i  z
2

c) z  1  i  ,
n

ỏ

:

log4  n  3  log4  n  9  3

 1  i   2i 
d) iz  
 

1 i  1 i 
11

L
z



:
:
2 i

8

 1  i 2    2  i
2

ầ

z

5;



: z  52   2



ầ





 2i 2 1  i 2  5  i 2  z  5  i 2

2

2

 2

3 3

b) 1  i   2  i  z  8  i  1  2i  z

2

z

8  i 1  2i   10  15i  2  3i
8i

1  2i 1  2i 1  2i 
5


ầ

z

2;

3 ; z  22   3  13
2

ầ

log4  n  3  log4  n  9  3

n  7( ỏ

)
z  1  i   8  8i
7

K

ầ

z

8;

8 ; z  82  (8)2  8 2

ầ

:
8
 1  i   2i 
11

 
  i  1  i   16  i
1 i  1 i 
16  i
z
 1  16i  z  1  16i
i
11

8

1 ;

ầ

z

4:

16; z  (1)2  162  257

ầ

:

Ai

109

i i i
43

60

54

B  1  i  i 2  i 3  i 4  ...  i 2014
C  1  1  i   1  i   ...  1  i 
2

1  i 

10

D

L



3i

 1  i 3 



10

5

10

:

a) A  i109  i 43  i 60  i54  i 4.271  i 4.103  i 4.15  i 4.132  i  i  1  1  2
Đ
ầ
ũ
2
3
4
5
4

6
4 2
: i  1; i  i; i  1; i  i i  i ; i  i i  1
B
:
i

4n

ừ
:

1

i 4 n1  i
i 4 n 2  1
i 4 n3  i
: i n  1;1; i; i, n  N *

:

1 i

2015

 1  i  1  i  i 2  i 3  i 4  ...  i 2014 

1  i 2015 1  i 4.5033 1  i 1  i 
B




 i
1 i
1 i
1 i
2
2



hận xé :
ũ
ừ

ẽ

)
.
11

u1  1,

Á

ầ

ầ

q  1 i

11

ầ

:


1  1  i 
1  q11 1  1  i 
C  u1


1 q
1  1  i 
i
11

11

1  i 

11

Đ

ầ

ách sau:
1: Đ



1  i 

11





 1  i 

 1  i    2i  1  i   32i

2 5

5

5

 32i 6  32  32i

2: Đ
1 


 1

1 i  2 


i   2  cos  i.sin 
4
4
2 

 2
11
11
11
11
1  i   2  cos  i.sin   32  32i
4
4 

: C  32  33i

 

K


hận xé : Đ

ỏ
Q

d)


1: Á
:

1  i 

10





 1  i 



2 5

  2i   32i 4..i  32i
5

   3  i  3  i
  3 3  9i  3 3i  i  3  2 3i  i 
 8i  2  2i 3   16 3  16i
 1  i 3   1  i 3   1  i 3   1  i 3    8 1  i 3 
3i

5

3

2

2

10

D



32i.16i. 1  i 3

 8



3

1  i 3 

:

  1

2: Á
:

7
7 


1  i  2  cos
 i sin

4
4 




3  i  2  cos  i sin 
6
6

4
4 

1  i 3  2  cos
 i sin

3
3 


D

:

2

3 3

10

D

3

3


35
35  5 
5
5 

 i sin
 i sin
 cos
 2  cos

2
2  
6
6 

D
40
40 

210  cos

 i sin

3
3 

 cos5  i sin 5  1

 

10

2



hận xé : Q



 

:  1  i  ;  3  i ; 1  i 3
n

n



n

 C ch 1:

 1  i 

n

  1  i 

2k  p

; k ; n; p  ¥ ;0  p  1

 3  i   3  i
 1  i 3    1  i 3 

3k  p

n

n

 C ch 2: B

1  i 

n



1  i 3 



3i



n

; k ; n; p  ¥ ,0  p  2

3k  p

; k ; n; p  ¥ ,0  p  2

ễ

:

 2   cos n4  i sin n4 
n

n

n
n 

 2n  cos
 i sin

3

3 

n
n 

 2n  cos
 i sin

6
6 


ầ
ễ

1  i 

n

1  i 3  ; 
n

;

3 i



:H
:

n



Đ

a; b

( a  b) n

õ

:
Bài 5:
0
2
4
2012
2014
a) S1  C2015
 C2015
 C2015
   C2015
 C2015
1
3
5
2013
2015

S2  C2015
 C2015
 C2015
   C2015
 C2015
0
4
8
2008
2014
b) S3  C2015
 C2015
 C2015
   C2015
 C2015
1
5
9
2009
2013
S4  C2015
 C2015
 C2015
   C2015
 C2015

0
3
6
2015

c) S5  C2015
 C2015
 C2015
   C2015
L
a) Ta có:
0
1
2
2014
2015
(1  i ) 2015  C2015
 C2015
 i  C2015
 i 2    C2015
 i 2014  C2015
 i 2015

0
2
4
2012
2014
1
3
5
2013
2015
  C2015
 C2015

 C2015
   C2015
 C2015
 C2015
 C2015
   C2015
 C2015
  C2015
i


 2
ặ
: (1  i )  

 2 
1
1
S1  1018 ; S 2   1018
2
2

2015

2015

b) L
2

2015

2015
2015

 i sin
 cos
4
4


1
1

  2018  2018 i
2
 2

:
C

0
2015

1
2
2014
2015
 C2015
 C2015
   C2015

 C2015

0
1
2
2014
2015
0  C2015
 C2015
 C2015
   C2015
 C2015

0
2
4
2012
2014
1
3
5
2013
2015
 A  C2015
 C2015
 C2015
   C2015
 C2015
 C2015
 C2015

 C2015
   C2015
 C2015
 22014

S1  A
1
S A
1
 1009  22013 ; S3  2
  1009  22013
2
2
2
2

z  1

1
3
c) z 3  1  ( z  1)( z 2  z  1)  0   z   
i
2 2

z   1  3 i

2 2
2
2
  cos

 i sin
thì z   ; z   2 ; z   3
3
3
z3  1
Nên 1   3k   6 k  3;1   3k 1   6 k 2  0;1   3k 2   6 k 4  0 k  1; n
S3 

Xét f ( x)  1  x 

2015

. Ta có:

2015

k
f (1)  22015 ; f ( )   C2015
k 
k 0

2015
1
3
1
3
k

i; f ( 2 )   C2015
  2k  

i
2 2
2 2
k 0

 f 1  f    f  2   22015  1

(1)

ặ

:
f 1  f    f  2  
671

 C
k 0

k
2015

 1    
3k

  C
671

6k

m0

m
2015

 1  

k
  C2015
 1   3k   6 k   3S5

3 m 1



6 m 2

  C
671

n 0

n
2015

 1   3n 2   6 n 4 

671

(2)

k 0

ừ (1 (2  S5 


22015  1
3

ỏ

II.1.2. ạn 2 T c n ậc h
A. h ơn ph p:


z  a  bi, a, b  ¡
z
z 0

S1; S2 ; S3 ; S4

c

ộ số phức

:0

ỏ






z a0

z

z a0

z

: a
: i a

z  a  bi, b  0
 G z1  x  yi



 x, y  ¡ 

 x2  y 2  a
: z  a  bi  
2 xy  b

 K

2
1



ừ

:
ập

B.

.

0

nh họ

1:

:

a) w  4  6i 5
b) w  1  2i 6
L
:
a)
z  x  yi  x, y  ¡
:  x  yi 

K

z.

2



2
2

x  y  4
 4  6i 5  

2 xy  6 5
  x  3

 y  5
:
  x  3
  y   5

: z1  3  i 5; z2  3  i 5

w  1  2i 6

b)

z1  2  i 3; z2   2  i 3

ập

II.1.3.
1:

luyện
:

i  i  i  ...  i
i 2  i 4  i 6  ...  i 2016
B  1  (1  i ) 2  (1  i ) 4  ...  (1  i) 20
A

3

5

2015

C  (1  i ) 2015
1 i 
D

1 i 

2015

16

16

1 i 3 
1 i 3 
E 

 

1

i
3
1

i
3





2:
sau:

ầ

ầ

ừ

:


1
1 i 
10

a. z  
  (1  i )  (2  3i)(2  3i) 
i
1 i 
b. z  1  i  2i 2  3i 3  ...  2015i 2015
2

1  i  i 2  ...  i 2015
c. z 
1  2i  3i  4i  ...  2015i
(1  i )100
d. z 
( 3  i )91




e. z   cos  i sin  i15 (1  3)17
3
3


Bài 3:
0
5
10
2010
2015
: S  C2015
 C2015

 C2015
   C2015
 C2015

:
C  C  C48n    C44nn4  C44nn
0
4n

4
4n

C41n1  C45n1  C49n1    C44nn13  C44nn11

II.2. CHUY
Ề2 T
II.2.1. h ơn ph p:
 Ví ụ ở đ u
H
:
1
é

số phức z h

2(1  2i )
 7  8i .
1 i
2) Cho z  a  bi , a, b ¡ .

ãn đ ều k ện ch

r ớc

é

ầ
:

(2  i ).z 

:

(2 z  i)(1  i)  ( z  1)(1  i)  2  2i .

L

:

2(1  i )(1  i )
 7  8i  (2  i).z  4  7i
2
4  7i
(4  7i )(2  i )
z
z
 z  3  2i
2i
5
2) Cho z  a  bi , a, b  ¡  z  a  bi ừ

(2a  2bi  1)(1  i)  (a  bi  1)(1  i)  2  2i
 3a  3b  (a  b  2)i  2  2i
1

a

3a  3b  2

3


a  b  2  2
b  1

3
1) (2  i ).z 


1)

hận xé :
ũ

(2  i ).z 

2(1  2i )
 7  8i
1 i

:

:

:


(2 z  i)(1  i)  ( z  1)(1  i)  2  2i .

2)
H

ỏ

1

2

ỏ
ũ

S
ỏ
:

ỏ


ừ
ỉ

é

ặ z

.



ặ z

ặ

:

un ta
z  a  bi , a, b ¡ .

 G
 S



z  a  bi , a, b ¡ .

1
2
ẽ
ập

II.2.2.

é
.
nh họ
:

( z  1).(2  i) 3  i

(1)
2
z  2i
b) z 2  z  0 (2)
( z  i)2
c) | z | 5

a)

d) | z  1| 1
e) z 2  2z

.

(1  i)( z  1)
z

ầ
1
z

1.


.
3

:

z  2i K
(1)  2( z  1)(2  i)  (3  i)( z  2i)

Đ

 ( z  1)(4  2i)  3z  6i  iz  2i 2
 (1  3i) z  2i  4
2i  4 (2i  4)(1  3i ) 1 7
z


 i
1  3i
10
5 5
1 7
z
 i ( ỏ
).
5 5
z  a  bi , a, b  ¡  z  a  bi ừ
2
(a  bi )  (a  bi )  0  (a 2  b 2  a)  (2ab  b)i  0

:


 b  0
 2
 a  a  0
2
2
a  b  a  0

a  1
  a  1
 a  b  0; 
;

b

0



2ab  b  0
2

 2 3
 b 
4

1
3

i
ầ
: z  0; z  1; z  
2 2

1

a


2

b   3

2

: z  a  bi , a, b  ¡  | z | a 2  b 2

ầ

ừ

: | z | 5  a  b  5 (1)
2

2

( z  i ) 2  (a  bi  i ) 2  a 2  (b  1) 2  2a(b  1)i

Đ ( z  i)2

ừ (1
(2

a2  (b  1)2  0 (2)

:

a  5  b
a 2  b 2  5
a  2 a  1



; 
b

1

 2


2
a  (b  1)
b  1
b  2
 b  2

ầ
: z  2  i; z  1 2i .
2

ầ

2

: z  a  bi , a, b  ¡  | z | a 2  b 2

ừ

ta
: | z  1| 1  (a  1)2  b2  1 (1)
(1  i)( z  1)  (1  i)(a  bi  1)  a  1  b  (a  b  1)i
a  b  1  1 (2)

ừ (1

(2

ầ

1 khi

:

a  2  b
a 2  b 2  2a  1  1 2b 2  2b  0
a  2 a  1


 b  1  

; 

b  0 b  1
a  b  2
a  2  b
 b  0

ầ
: z  2; z  1  i .

ầ

: z  a  bi , a, b  ¡  | z | a 2  b 2

ừ

:
z  2 z  (a  bi)2  2(a  bi)  (a 2  b 2  2a)  (2ab  2b)i
b  0

a  1
1
1
1
z
+) b  0  z  a  z   a  (
z
a
z


1 2  b2  1
b

i
+) a  1  z  1  bi  z  

z
1  b2  1  b2
1  b2 
2

2ab  2b  0


)
3



nên
3

1
z

z


 1
 cos( )


2
3
 1 b
b 3

b



 sin( )
 1  b 2
3

z  1  3i



ỉ ầ

:

ắ
, mo

:
ầ
ầ
é

ầ
ặ

,
. Sau k

chúng
ặ

:
a)
b)
c)
d)
e)
II.2.3.
1:
(

ữ

w  z 1 i

ũ

ừ

ầ
ầ

ừ
z
ặ
2015
z

| z | 5

ỏ

( z  i)

.
ầ

2

.

.
ập ận ụn
| z  2i | 5

ễ

: 3x –y +1 = 0.

: z  (1  3i) 2  iz. H

ỏ

i 3:

w  z

; 1  z | z  i |2 (iz  1)2 .

ỏ

2:

4: Cho | z || 2 z  3  i |
ễ
Bài 5:

Bài 6:

z

.
: z



: 



3
Ả

T
T
II. 3 1 h ơn ph p
ph ơn
 Tính   b 2 4ac

 D
II. 3.2.
ập nh họ
1:
a) z  2 z  5  0

ầ

6

(i  1) z
1  3  (1  3)i

ặ

4
z 1

ầ

.

2

,

z 2

3

z 1
1
z i
z  3i
1
zi

TẬ
Ợ SỐ
ỨC
2
r nh az  bz  c  0 (a  0)
(
:

I1

H


b) ( z 2  i)( z 2  2iz  1)  0
c) z 2  (1  3i) z  2(1  i)  0

L

:

a) z  2 z  5  0
2

'   4  4i 2  z  1  2i
 z 2  i
b) ( z  i)( z  2iz  1)  0   2
 z  2iz  1  0
2

2

1
1
1 i 
z  i  0  z  (2i)  z 2  (1  i)2  z 2  

2
2
 2
1
1

z  2  2 i

z   1  1 i

2

2
2
2
z  2iz  1  0  ( z  i )  0  z  i
c) z 2  (1  3i) z  2(1  i)  0
  (1  3i ) 2  8(1  i )  2i  (1  i) 2
3i  1  1  i

z 
 z  2i
2


z  i 1
 z  3i  1  1  i

2
2

2

2

:

:
ặ '





:
z  2 z  5  0  ( z  1)  4  0  ( z  1)  4i  0
 ( z  1) 2  4i 2  ( z  1) 2  (2i ) 2  z  1  2i .
2

2



2

ừ

2

ẽ
ũ

ắ
ỉ

ắ

.
2:

:

a) z  8  0
3

b) z 4  z 3  6 z 2  8z  16  0
c) ( z  3)2 .( z  3)2  4 z 2  0
 z i
d)
 1
 z i 
2

L

:

a) z  8  0  ( z  2)( z 2  2 z  4)  0
3

ữ


 z  2

  z  1  3i
 z  1  3i


b) z 4  z 3  6 z 2  8z  16  0  ( z  1)( z  2)( z 2  8)  0

 z  1


 z  2
 z  2 2i

c) ( z  3)2 .( z  3)2  4 z 2  0  ( z 2  9)2  4 z 2  0  ( z 2  9)2  4i 2 z 2  0
z  i  2 2
 z 2  2iz  9  0
 2

 z  2iz  9  0
 z  i  2 2
Đ
: zi
 z  i  2
z i
z i

1 
 1
4
 1

 z i 
 z i
z i
z i
2




 1  
2
 z i 
 z  i  i  z  i  i
 z  i   1 
z i
z i
 z  i 
z  i  z  i
z  0
z  i  i  z

  z  1 ( ỏ
)
 z  i  ( z  i )i
 z  1

 z  i  ( z  i )i

:

:


ầ

ầ

2

:

é
(

).

 K

ặ

2 ẽ
:

3:

:

a) 2 z  2 z  z  2 z  2  0
4

3

2

b) ( z  3)4  ( z  5)4  2

c) ( z 2  z )( z  3)( z  2)  10
d ) z 4  4 z 3  11z 2  14 z  10  0
e) ( z 2  3z  6)2  2 z( z 2  3z  6)  3z 2  0

L

:

a) 2 z  2 z 3  z 2  2 z  2  0
+) z  0
+) z  0
4

.
:


1 1 1
1
1 1
  2  0  (z2  2 )  (z  )   0
2 z z
z
z 2
1 
1 5

  z   2 z     0
z 
z 2

1
1  3i

Đặ t  z 
: 2t 2  2t  5  0  t 
z
2
1  3i
t
:
2
z  1 i
1 1  3i
2
z 
 2 z  (1  3i) z  2  0  
 z  1  1 i
z
2

2 2
1  3i
t
:
2
z  1 i
1 1  3i
2
z 
 2 z  (1  3i ) z  2  0  
 z  1  1 i
z
2


2 2
4
4
b) ( z  3)  ( z  5)  2
Đặ t  z  4 ,
:
4
4
4
2
(t  1)  (t  1)  2  t  6t  0
t 2  0
t  0
 2

t   6i
t  6  0
t  0  z  4
t  6i  z  4  6i
t  - 6i  z  4  6i
c) ( z 2  z)( z  3)( z  2)  10  ( z 2  2 z)( z 2  2 z  3)  10
z2  z 

Đặ t  z 2  2z

:

t  5
t  t  3   10  t 2 3 t 10  0  

t  2
t  5  z 2  2 z  5  z  1  6
t  2  z 2  2z  2  z  1  i

d ) z 4  4 z 3  11z 2  14 z  10  0   z 2  2 z   7  z 2  2 z   10  0
2

 z 2  2 z  2
z  1 i
 2

 z  1  2i
 z  2 z  5
e) ( z 2  3z  6)2  2 z( z 2  3z  6)  3z 2  0

Đặ t  z 2  3z  6
t  z
t 2  2 zt  3z 2  0  
t  3z

:


t  z  z 2  3z  6  z  z  1  5i
t  3 z  z 2  3 z  6  3z  z  3  3

hận xé :


ữ

õ

ẹ
ầ

ặ

ầ
ặ

:
2

e
d 
1) az  bz  cz  dz  e  0,   
a
b
 TH1: K
z 0
 TH2: z  0
 2  d 2 
d 

 a z      b z    c  0
bz 
 bz  



2

3

2

z2

d
bz
: az 2  bz 3  cz 2  bz  a  0

 Đặ t  z 


:

2

.

2) ( z  a)4  ( z  b)4  c
ab
 Đặ t  z 
2
3)( z  a).( z  b).( z  c)( z  d )  e

ab  cd

 Đặ t  z  (a  b) z

 K

2

2

.
.

 z1  z2  4  i
z1 , z 2 sau:  2
2
 z1  z2  5  2i

4:
L

:

 z1  z2  4  i
z  z  4  i
 1 2
nên z1 , z 2
 2 2
z
.
z

5(1


i
)
z

z

5

2
i
 1 2
 1
2
z  3  i
z 2  (4  i ) z  5(1  i )  0  
 z  1  2i
( z1 , z 2
(3  i;1  2i)

ập p ụn

II.3.3
1:

:

1) z  4 z  5  0
4

2

2)  z 3  8z  3  0
3) (4 z  1)(12 z  1)(3z  2)( z  1)  4

4) ( z  1)4  ( z  5)4  256

2:

(1  2i;3  i)


z2
 z 1  0
2
6) z 4  4 z 2  16 z  16  0

5) z 4  z 3 

7) 3( z 2  z  1)2  7( z 2  z)  1  0

8) 2 z 2  iz  1  0
 z i
9) 
 1
iz
2
 iz  3 
 iz  3 
10) 
  3. 

4 0
 z  2i 
 z  2i 
2: z1 , z2
3

: 2(1  i) z 2  4(2  i) z  5  3 i  0

| z1 |2  | z2 |2

V C Y
Ề4
u
n h nh học c số phức
IV.4.1. ạn 1 T
ập hợp đ
u
n ch số phức z h
ãn đ ều k ện
ch r ớc
A. h ơn ph p
z trong ặ
z  x  yi ( x, y  R)  M ( x; y)

ễ
 D
 D

ữ

ữ x và y
ặ

ễ

z.

B
ập nh h ạ
Bài 1:
ặ
:
a) z  1

ễ

b) 1  z  2
c)

z
3
z i

d) z  2  3i 
L

3
2

:

z  x  yi ( x, y  R)  M ( x; y)

ễ

z trong

ặ

a) Ta có z  1  x 2  y 2  1  x 2  y 2  1
O  0;0  và bán kính R  1 .

tôi

ên h ớn ẫn khai thác: S k
ọ sn
y ổ g ả ế và ướng dẫn các em
là

oàn
n à ậ này, chúng
ương ứng.


a1 ) z  1  x 2  y 2  1 . Vậy ậ
R  1.
a2 ) z  1  x 2  y 2  1 . Vậy ậ
bán kính R  1.
a3 ) z  1  x 2  y 2  1 .Vậy ậ

ợ

M là ìn

ợ

M là

ợ

ròn â

ền rong ìn

M là n ững

ròn â O, n kín R  1 .
a4 ) z  1  x  y 2  1 . Vậy ậ ợ
bán kính R  1.
ừ
b) 1  z  2 
ữ
O  0;0  và bán kính R  1 ồ
R  2.
Ngoài ra còn c

O, bán kính
ròn â
k ông

O,

ộ

ền rong ìn

M là

2

c)

ền ngoà

ìn

ròn â

:
ữ
tâm O  0;0  và bán kính
(

ầ

…)

z
 3  x  yi  3 x  ( y  1)i  x 2  y 2  9 x 2  9( y  1) 2
z i
2

2

9  3

 8 x  8 y  18 y  9  0  x   y     
8 8

3
 9
I  0;  và bán kính R 
8
 8
3
3
9
d) Ta có z  2  3i  *  ( x  2)  ( y  3)i   ( x  2) 2  ( y  3) 2 
2
2
4
3
(
I  2; - 3 và bán kính R 
2
z
Bài 2:
ặ
ễ
2

2

2

:
a) z  2  4i  z  2i
b) z 2
zi
z i
z  3i
1
d)
z i

c)

L

O,

z  x  yi ( x, y  R)  M ( x; y)

ễ

z trong

a) Ta có
z  2  4i  z  2i

(*)  ( x  2)  ( y  4)i  x  ( y  2)i

 ( x  2) 2  (4  y ) 2  x 2  ( y  2) 2  y   x  4
y  x  4

b) Ta có z 2  x 2  y 2  2 xyi nên z 2

y  x
 x2  y 2  0  
 y  x

ặ

.


phân giác y  x và y   x

hai

z  i x  ( y  1) 2
2 xy
c) Ta có
 2
 2
i
2
z  i x  ( y  1)
x  ( y  1) 2
2

 x  0

 xy  0


   y  0
 x  (1  y )i  0
( x; y)  (0;1)

ỏ
M  0;1 .

zi
Nên
z i

d)
 Cách 1
z  3i
 1  z  3i  z  i  x  ( y  3)i  x  ( y  1)i
z i
 x 2  ( y  3) 2  x 2  ( y  1) 2  y  1
y  1.

Ta có

 Cách 2
ừ z  3i  z  i
A
B
là A  0;3 , B(0; 1) .
Ta có z  3i  z  i  MA  MB

y  1.
Bài 3:
ặ
sau:
a) 2 z  i  z  z  2i
b) z  i  z  i  4
c)

3i và i

ễ

AB
ễ

z 2  ( z )2  4

L
Đặ : z  x  yi ( x, y  R)  z có

ễ

là M  x; y .

ặ

x2
a) 2 z  i  z  z  2i  2 x  ( y  1)i  (1  y)i  y 
4
y

(
b) z  i  z  i  4  x 2  ( y  1)2  x 2  ( y  1)2  4 (*)
Đặ F1 (0; 1) ; F2 (0;1)
(*)  MF1  MF2  4  F1F2  2

Suy ra

(E

2

F1 , F2 .

x2 y 2
 2  1 (0  a  b; b 2  a 2  c 2 )
2
a
b
MF  MF2  2a
a  2
Ta có  1

 b2  a 2  c 2  5
c  1
 F1F2  2c

(E

x2

.
4


x2 y 2

1
4
5

(E

1

y

x
z 2  ( z ) 2  4  4 xyi  4  4 xy  4  xy  1  
y   1

x

c) Ta có

y

(H
ặ

Bài 4:

1
1
và y  
x
x

  (1  i 3) z  2

ễ
z 1  2 .

L

:

z  a  bi (a; b  R) và   x  yi ( x; y  R)  M ( x; y)



ễ

ặ
z  1  2  (a  1)2  b 2  4 (1)

Ta có:
 x  a  3b  2

  (1  i 3) z  2  x  yi  (a  bi )(1  i 3)  2  

 y  3a  b

 x  3  a  3b  1

 y  3  3(a  1)  b
 ( x  3)2  ( y  3)2  4 (a  1) 2  b2   16 (do(1)).

 ( x  3)2  ( y  3)2  16 .

ầ
số phức z có h nh

II.4.2. ạn 2 T
A. h ơn ph p


I (3; 3) , bán kính R  4 .

u

n ch

(

r ớc
ễ

ặ

z

.

 K
ập
Bài 1:
a)

ễ

.

z

z ầ

nh h ạ
c z  m  (m  3)i, m  R
ễ

y  x .

y

ễ

b)

2
.

x

ễ

c)
L
S

ỏ

:

z  m  (m  3)i, m  R 
: M  m; m  3 .

Đ

ễ

z trên

y   x thì m  3   m  m 

ặ
3
.
2


y

Đ

2
x

thì

m  0
m  0
m  1
2

m3     2
 m  1  
m
m  2
m  3m  2  0
m  2



Đ

ừ

O

 m2  (m  3)2

ỏ

 
3 3
  2 m    
 
2  2 

z  a  bi,(a, b  R) Hỏ a, b
2

 (2m 2  6m  9)

Bài 2:
a) Đ
b) Đ
c) Đ
L
a) Đ

ỏ

ễ
ễ
ễ

m

ỏ

3
2

:
x  2 và x  2 ?
y  3 và y  3 ?
kính 2?

ữ 2
ữ 2
O
ễ

ữ 2

x  2 và

ễ

ữ 2

y  3 và

x  2 thì
2  a  2

b) Đ

ỏ

y  3 thì
3  b  3

Đ
ễ
II.4.3. ạn 3: Chứn
nh
phức h ặc ùn h nh
u
phức
h ơn ph p
chứn
đ ều k ện (T), hôn h n
 Đ
 D
(
ặ
.
ập nh h ạ
Bài 1:
ặ

O
2
a 2  b2  4 .
ính chấ l ên qu n đ n h nh
u
n c số
n c
số phức chứn

nh ính chấ c
số
nh c c đ
l
nh s u
ễ

u

n ch c c số phức h
.

O

A B
z  6 z  18  0 .

ầ

ễ
OAB

2

vuông cân.
L
i:

 z1  3  3i
 z  3  3i

 2

z 2  6 z  18  0 có  '  9  18  9  9i 2

ặ

A  3;3

ễ

z1
z2

ãn

ễ

B  3; 3

O
3 2 nên VABC
V
OAB cóuur OA  OB uuu
uur
r uuur
0 A(3;3),0B(3; 3)  OAOB
.
 0  OA  OB nên VABC
O
VOAB vuông

O


Bài 2:

é

A B

ặ

ễ

4i
2  6i
; (1  i)(1  2i) ;
.
1  i
3i

AB

a) C
b)
L
a) Ta có
z1 

ễ

D

AB D

4i
4i ( 1  i ) 4i  4


 2  2i  z1
1  i
11
2

z2  (1  i)(1  2i)  3  i  z2

ễ
B  3;1 .

ễ

2  6i (2  6i)(3  i) 6  2i  18i  6i 2


 2i  z3
3i
10
3i
Nên AB  10
BC  10

AC  20
 AB  BC
S
AB
B  2
2
2
 AB  BC  CA
uuur
D( x; y)  CD( x; y  2)
uuur
BA(1; 3)
uuur uuur
 x  1
 x  1

ABCD là hình vuông  BA  CD  
 y  2  3
 y  1
D
ễ
z  1  i .
z1 , z2 , z3 .
Bài 3:
A B
ễ
z3 

AB

a)
b) z1 , z2 , z3

A  2;2  .

ễ

C  0;2  .

ễ

?

z1  z2  z3

AB

ỉ

 z1  z2  z3  0 .

L
AB

a)

 x A  xB  xC y A  yB  yC 
;



3
3



ễ

z1  z2  z3
.
3

b)
Vì z1  z2  z3  OA  OB  OC  A B

O

R  z1

Đ AB

ầ

O

 xA  xB  xC
0

z z z
3


 1 2 3  0  z1  z2  z3  0
3
 y A  yB  yC  0

3

AB