skkn phương pháp tọa độ trong hình học phẳng (một số bài toán liên quan đến đường thẳng và đường tròn)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯNG YÊN
TRƯỜNG THPT TIÊN LỮ

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
(MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐƯỜNG THẲNG VÀ
ĐƯỜNG TRÒN)

Môn: Toán THPT
Tên tác giả: Nguyễn Thị Thu Hiền
Giáo viên môn: Toán

Năm học 2013 - 2014


Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

MỞ ĐẦU
I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trong các kỳ thi đại học, cao đẳng và học sinh giỏi chúng ta thường bắt gặp
các dạng toán trong phần phương pháp tọa độ trong mặt phẳng. Đó là những dạng
toán khó đối với học sinh, có nhiều bài không thể giải được hoặc có thể giải được
nhưng gặp nhiều khó khăn, phức tạp. Hơn nữa kiến thức áp dụng rất rộng được
xuyên suốt từ THCS đến THPT. Khi gặp dạng toán này học sinh thường lúng túng
về phương pháp cũng như tính toán. Để giúp các em nhớ lại và hiểu sâu hon về
một số dạng toán có liên quan đến đường thẳng và đường tròn tôi xin lựa chọn đề
tài "Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng"; Cụ thể là: "Một số bài toán có liên quan
đến đường thẳng và đường tròn".

II. PHẠM VI NGHIÊN CỨU
- Tìm hiểu đối tượng là học sinh trường trung học phổ thông Tiên Lữ

- Kết quả nghiên cứu được khảo sát trong các tiết giảng ôn luyện thi Đại học,
Cao đẳng và học sinh giỏi môn Toán cho các em học sinh.
- Phân loại các dạng toán thường gặp và phương pháp giải mỗi dạng.

III. CƠ SỞ LÍ LUẬN
Chương trình giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ
động sáng tạo của học sinh phù hợp với đặc trưng môn học, đặc điểm đối tượng
học sinh, điều kiện của từng lớp học; Bồi dưỡng học sinh phương pháp tự học, khả
năng hợp tác; Rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; Tác động đến
tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú và trách nhiệm học tập cho học sinh. Quá
trình dạy học với các nhiệm vụ cơ bản là hình thành tri thức, rèn luyện các kỹ năng
hoạt động nhận thức, hình thành thái độ tích cực... được xây dựng trên quá trình
hoạt động thống nhất giữa thầy và trò, trò và trò, tính tự giác, tích cực tổ chức, tự
điều khiển hoạt động học nhằm thực hiện tốt các nhiệm vụ đã được đề ra.

IV. THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ
Qua thực tiễn học tập và giảng dạy, tôi nhận thấy giải các bài toán liên quan
đến đường thẳng và đường tròn học sinh thường không mạnh dạn, tự tin, thường
Người viết: Nguyễn Thị Thu Hiền – Trường THPT Tiên Lữ

2


Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
lúng túng về phương pháp cũng như tính toán. Phương pháp tọa độ trong mặt
phẳng học sinh bắt đầu được làm quen ở chương trình THCS, đến cấp THPT học
sinh đã được tiếp xúc với rất nhiều bài toán về dạng này, nhưng học sinh không
nhận diện được các dạng toán và chưa được hướng dẫn một cách hệ thống phương
pháp để giải quyết bài toán trọn vẹn. Số lượng bài toán thuộc các dạng toán nêu
trên xuất hiện ngày càng nhiều trong các đề thi tuyển sinh vào Đại học, cao đẳng

và học sinh giỏi những năm gần đây

V. CÁC BIỆN PHÁP ĐÃ TIẾN HÀNH GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
Trong thực tiễn giảng dạy cho học sinh tôi đã giúp học sinh hệ thống dạng
toán và phương pháp giải theo các dạng

VI. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Giúp học sinh nhận dạng được các bài toán có một phương pháp mang lại
hiệu quả rõ nét. Bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kỹ năng giải toán. Qua
đó học sinh nâng cao khả năng tư duy, sáng tạo. Nâng cao khả năng tự học, tự bồi
dưỡng và khả năng giải các bài toán trong kỳ thi tuyển sinh vào Đại học môn Toán.

VII. ĐIỂM MỚI TRONG KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
Điểm mới trong kết quả nghiên cứu: Hệ thống các dạng toán có liên quan
đến đường thẳng và dường tròn và áp dụng vào giảng dạy thực tế các lớp 11A2,
11A3 trường THPT Tiên Lữ.

Người viết: Nguyễn Thị Thu Hiền – Trường THPT Tiên Lữ

3


Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

NỘI DUNG
CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
1. Toạ độ vectơ: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy
1) a = (a1; a2) <=> a = a1 i +a2 j
2) Cho a = (a1; a2), b = (b1; b2). Ta có:
a  b = (a1  b1; a2  b2)

3) Cho a = (a1; a2), b = (b1; b2). Ta có:
a . b = a1b1 + a2b2

a=

a12  a22 ;

cos( a , b ) =

a.b
a .b

2. Toạ độ điểm: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy
uuuur

1) M  xM ; yM   OM   xM ; yM 
2) Cho A(xA; yA), B(xB; yB). Ta có:
AB = (xB-xA; yB-yA)

và AB =

( xB  x A ) 2  ( y B  y A ) 2
uuur

uuur

3) Nếu điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (k  1 )  MA  kMB thì
x A  kxB


x

M

1 k

y A  kyB
 yM 
1 k

x A  xB

x

M

2
Đặc biệt khi M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì 
y A  yB
 yM 
2


x A  x B  xC

 xG 
3
Nếu G là trọng tâm  ABC thì 
y A  y B  yC
 yG 

3


3. Liên hệ giữa toạ độ hai vectơ vuông góc, cùng phương
Cho a = (a1; a2), b = (b1; b2). Ta có:

Người viết: Nguyễn Thị Thu Hiền – Trường THPT Tiên Lữ

4


Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
1) a  b 

a .b = 0

 a1b1 + a2b2 = 0




a1 a2

nÕu b1  0 vµ b2  0 
b1 b2


uuur
uuur
3) Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi AB vµ AC cùng phương

2) a cùng phương với b  a1b2 - a2b1 = 0  

Nhắc lại:
1. Trọng tâm của một tam giác là giao điểm của 3 đường trung tuyến. Khoảng cách
từ đỉnh tam giác đến trọng tâm bằng

2
độ dài trung tuyến.
3

2. Trực tâm của một tam giác là giao điểm của 3 đường cao.
uuur uuur

 AH .BC  0
H(x; y) là trực tâm của tam giác ABC  uuur uuur

BH .AC  0

3. Tâm đường tròn ngoại tiếp của một tam giác là giao điểm của 3 đường trung
trực của 3 cạnh tam giác đó.
IA  IB

I(x; y) là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC  

IA  IC

Hoặc I  d1  d2 với d1, d2 là trung trực của hai cạnh của tam giác ABC
4. Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của 3 đường phân giác trong của
tam giác đó

5. Cho tam giác ABC có phân giác trong AD và phân giác ngoài AE thì
DB EB AB


 D, E  BC 
DC EC AC

Chú ý:
a) Nếu tam giác ABC đều thì tâm đường tròn nội, ngoại tiếp, trọng tâm và trực tâm
của tam giác trùng nhau.
b) Nếu tam giác ABC cân thì tại đỉnh cân, trung tuyến, đường cao, trung trực, phân
giác trong của tam giác trùng nhau

Người viết: Nguyễn Thị Thu Hiền – Trường THPT Tiên Lữ

5


Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
A. ĐƯỜNG THẲNG
I. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
1) Đường thẳng d đi qua 1 điểm cho trước và có vectơ pháp tuyến cho trước
g ®iÓm M 0  x0 ; y0   d
r
g VTPT n   A; B : A2  B2  0

gPTTQ : A x  x0   B  y  y0   0

2) Đường thẳng d đi qua 1 điểm cho trước và có vectơ chỉ phương cho trước

g ®iÓm M0  x0 ; y0   (d )
r
gVTCP u   a1; a2 
 x  x0  a1t
gPTTS 
 t  R
y

y

a
t

0
2
Và phương trình chính tắc là

x  x0 y  y0
 a1  0 vµ a2  0
a1 = a2

3) Phương trình đường thẳng d qua 2 điểm A và B với A xA; yA  , B xB; yB  là
x  xA
y  yA

xB  xA yB  yA

4) Đường thẳng d đi qua điểm M0  x0; y0  và vuông góc với đường thẳng  :
Ax + By + C = 0
- d vuông góc với  : Ax + By + C = 0 nên phương trình d có dạng:

– Bx + Ay + C’ = 0
-

M0  x0 ; y0   d  C '  Bx0  Ay 0

5) Đường thẳng d đi qua điểm M0(x0; y0) và song song với  : Ax + By+ C = 0
- d song song với  : Ax + By+ C = 0 nên phương trình d có dạng:
Ax + By + C’ = 0 (C’  C )
-

M0  x0 ; y0   d  C '   Ax0  By 0

6) Phương trình đường thẳng d đi qua A a; 0 , B 0; b   a  0 vµb  0 là

x y
 1
a b

(phương trình đoạn chắn).
Người viết: Nguyễn Thị Thu Hiền – Trường THPT Tiên Lữ

6


Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
7) Phương trình đường phân giác: Cho hai đường thẳng cắt nhau
(1): A1x + B1y + C1 = 0  A12  B12  0 
(2): A2x + B2y + C2 = 0

A

2
2

 B22  0 

Phương trình hai đường phân giác của các góc hợp bởi (1) và (2) là:
A1 x  B1 y  C1
A12  B12

=

A2 x  B2 y  C 2
A22  B22

8) Đường thẳng d đi qua điểm M0(x0; y0) và tạo với đường thẳng
 : Ax + By+ C = 0 một góc 

Gọi

r
n   A'; B ' 

A

'2

 B '2  0  là VTPT của đường thẳng d thì phương trình d có

dạng A'  x  x0   B'  y  y0   0

d tạo với  một góc  nên

cos 

AA' BB '
A2  B2 . A'2  B '2

9) Đường thẳng d đi qua điểm M0(x0; y0) và cách điểm N  xN ; yN  một khoảng k cho
trước
Gọi

r
n   A; B

A

2

 B 2  0  là VTPT của đường thẳng d thì phương trình d có dạng

A x  x0   B  y  y0   0

 Ax  By  Ax0  By0  0
d cách điểm N một khoảng k nên d  N , d   k 

AxN  ByN  Ax0  By0
A2  B2

k

II. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG
Cho 2 đường thẳng:
(1): A1x + B1y + C1 = 0 (1)  A12  B12  0 
(2): A2x + B2y + C2 = 0 (2)  A22  B22  0 
Toạ độ giao điểm của 1 và 2, nếu có là nghiệm của hệ 2 phương trình (1)
và (2)
Ta có kết quả sau:

Người viết: Nguyễn Thị Thu Hiền – Trường THPT Tiên Lữ

7


Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
- Nếu

A1
B
 1 thì 1 cắt 2
A2
B2

- Nếu

A1
B
C
= 1  1 thì 1 // 2
A2
B2 C 2

- Nếu

A1
B
C
= 1 = 1 thì 1  2
A2
B2
C2

Lưu ý: 1  2 <=> A1A2 + B1B2 = 0
III. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG - KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM
ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG
1. Góc giữa hai đường thẳng
Cho 2 đường thẳng 1 và 2cắt nhau, lần lượt có các vectơ pháp tuyến là n1
và n 2
Gọi  là góc hợp bởi 1 và 2, ta có: cos =

n1.n 2
n1 . n2

(0    900)

2. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:
Định lý: Khoảng cách từ 1 điểm M0(x0; y0) đến đường thẳng :
Ax + By + C = 0 được cho bởi:
d(M0; ) =

Ax0  By 0  C

A2  B 2

Lưu ý:
1. Tìm một số x tương đương dạng toán lập phương trình ẩn số x và giải.
2. Tìm hai số x, y tương đương dạng toán lập phương trình 2 ẩn số x và y rồi
giải.
3. Tìm tọa độ điểm A(x; y) tương đương dạng toán lập hệ phương trình 2 ẩn
số x và y rồi giải.
Cho d: y = f(x); d’: y = g(x)
 y  f ( x)
 y  g  x 

Nếu A = d  d’ thì tọa độ cuả A là nghiệm của hệ 

Người viết: Nguyễn Thị Thu Hiền – Trường THPT Tiên Lữ

8


Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
4. Phương pháp loại bớt ẩn số khi lập phương trình



TH1: A  : y  f  x   A x; y  f  x 



(đã loại bớt ẩn y của điểm A)

TH2: M là trung điểm của AB và nếu biết tọa độ của điểm A và điểm M thì có thể
tính được tọa độ của điểm B theo tọa độ của A và M. VD A(a; b); M(c; d) thì
B(2c-a; 2d-b)
TH3: G là trọng tâm của tam giác ABC thì tọa độ điểm B có thể tính theo tọa độ
các điểm A, C và G.
5. Phương pháp khai thác giả thiết khi bài toán cho đường phân giác trong
của một góc của một tam giác: Cho tam giác ABC có phân giác trong góc A là At,
nếu từ B kẻ By vuông góc với At và cắt AC tại B’ thì tam giác ABB’ cân tại A. Từ
đó nếu biết được phương trình At và tọa độ điểm B thì tính được tọa độ điểm B’
thuộc đường thẳng AC như sau:
 B  By
 By  At

B1: Viết phương trình đường thẳng By: 
B2: Tìm tọa độ I  At  By

B3: ABB ' cân tại A nên I là trung điểm của đoạn BB’. Biết tọa độ điểm B
và điểm I ta suy ra tọa độ điểm B’.
B. ĐƯỜNG TRÒN
I. Phương trình đường tròn
1. Định lý 1: Phương trình đường tròn (C) có tâm I(a; b) bán kính R trong hệ
toạ độ Oxy là:
(x-a)2 + (y-b)2 = R2
2. Định lý 2: Phương trình x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0 với A2 + B2 – C > 0
là phương trình đường tròn tâm I(-A;-B), bán kính R =

A2  B 2  C

* Lưu ý: Nếu điểm M cách điểm I cố định một khoảng không đổi R thì M
nằm trên đường tròn tâm I bán kính R (suy từ định nghĩa).

II. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn
Cho đường thẳng  và đường tròn (C) có tâm I và bán kính R
Gọi d là khoảng cách từ I đến đường thẳng 
Người viết: Nguyễn Thị Thu Hiền – Trường THPT Tiên Lữ

9


Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
 Nếu d > R thì  và (C) không có điểm chung.
 Nếu d = R thì  và (C) có một điểm chung duy nhất. Khi đó  gọi là
tiếp tuyến của đường tròn (C) và điểm chung gọi là tiếp điểm.
 Nếu d < R thì  và (C) có hai điểm chung.
III. Tính chất của tiếp tuyến của đường tròn:
- Tiếp tuyến của đường tròn thì vuông góc với bán kính tại tiếp điểm.
- Khoảng cách từ tâm của đường tròn đến tiếp tuyến bằng bán kính.
 Lưu ý: Tiếp tuyến của một đường tròn cũng là một đường thẳng nên bài toán
viết phương trình tiếp tuyến chính là bài toán viết phương trình đường thẳng.
Ví dụ 1. Trong mặt phẳng Oxy cho A( 2;-1), B( -2;2)
a. Viết phương trình đường tròn đường kính AB
b. Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn tại A
Giải:
a.Tâm I của đường tròn là trung điểm của AB nên I(0;1/2)
Bán kính R =

AB
16  9 5


2

2
2
1
2

Phương trình đường tròn là: x2 + ( y  ) 2 

25
4

uuur

b. Tiếp tuyến tại A có vec tơ pháp tuyến là: AB = (-4;3).
Phương trình tiếp tuyến là: -4x +3y + 11 = 0
Ví dụ 2: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm I(2 ; 3) và đường thẳng  : x - 2y -1 = 0
a. Viết phương trình đường tròn tâm I và tiếp xúc với đường thẳng 
b. Tìm tọa độ tiếp điểm
Giải:
a. Ta có bán kính R = d(I;  )= 5
Phương trình đường tròn: ( x -2)2 + ( y – 3)2 = 5
b. Tọa độ tiếp điểm là nghiệm của hệ:
2
2

x  3
 x  2    y – 3  5


y 1


 x - 2y - 1 = 0

Người viết: Nguyễn Thị Thu Hiền – Trường THPT Tiên Lữ

10


Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
Vậy tiếp điểm H(3;1)
Ví dụ 3: Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn ( C): x2 +y2 -6x +2y = 0
vuông góc với đường thẳng 3x – y +6 = 0
Giải: Ta có tâm của đường tròn I(3;-1), bán kính R = 10
Gọi  là đường thẳng vuông góc với đường thẳng: 3x – y +6 = 0 nên phương trình
đường thẳng  có dạng: x +3y +C = 0 .
Do  tiếp xúc với (C) nên d(I;  ) = R 

33C
10

 10  C  10

Vậy có hai tiếp tuyến là: x +3y +10 = 0, x +3y -10 = 0
Ví dụ 4: Cho đường tròn ( C): x2+y2 - 6x +2y +6 = 0 và A(1;3) .Viết phương trình
tiếp tuyến với đường tròn ( C) và qua A.
Giải: Gọi  : Ax +By + C = 0  A2  B 2  0 
Ta có tâm của đường tròn I(3;-1), bán kính R = 2
Do  qua A(1;3) nên: A +3B +C = 0
Và  tiếp xúc với đường tròn ( C) nên: d(I;  ) = R 

3A  B  C

A2  B 2

2

 (3A – B +C) = 4(A +B ) mà C = -A – 3B nên:
2

2

2

(2A -4B)2 = 4(A2+B2)
 4B(4A - 3B) = 0
B  0

B  4 A
3


Với B = 0, A tùy ý nên ta chọn A = 1 thì C = -1 ta có phương trình tiếp tuyến là:
x-1=0
4
3

Với B  A chọn A = 3 thì B = 4 và C = - 15 ta có phương trình tiếp tuyến là:
3x +4y – 15 = 0

Người viết: Nguyễn Thị Thu Hiền – Trường THPT Tiên Lữ

11

Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC vuông cân tại A,
biết các đỉnh A, B, C lần lượt nằm trên các đường thẳng d: x  y  5  0 ,
d1: x  1  0 , d2: y  2  0 . Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C, biết BC = 5 2 .
Hướng dẫn
d1  d2 và ABC vuông cân tại A nên A cách đều d1, d2  A là giao điểm
của d và đường phân giác của góc tạo bởi d1, d2  A(3; 2).
uuur

uuur

Giả sử B(–1; b)  d1, C(c; –2)  d2. AB  (4; b  2), AC  (c  3; 4).
uuur uuur

 AB.AC  0
Ta có:  2
  b  5, c  0   A(3;2), B(1;5), C(0; 2) .
 b  1, c  6
 A(3;2), B(1; 1), C(6; 2)

BC  50

Bài 2. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có diện tích bằng

3
,

2

A(2; –3), B(3; –2), trọng tâm của ABC nằm trên đường thẳng d: 3x – y –8 = 0.
Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm A, B, C.
Hướng dẫn
S ABC 

1
d  C ; AB   AB
2

Toạ độ điểm G
Tìm được

C (1; 1) , C2 (2; 10) .
1

 (C):

+ Với

C1(1; 1)

+ Với

C2 (2; 10)

x2  y2 

 (C):

11
11 16
x  y   0 
3
3
3

x2  y2 

91
91
416
x y
 0 
3
3
3

Bài 3
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường tròn đi qua

A(2; 1)

tiếp xúc với các trục toạ độ.
Hướng dẫn
Phương trình đường tròn có dạng:

( x  a) 2  ( y  a) 2  a2 (a)


2
2
2
(b)
( x  a)  ( y  a)  a

Người viết: Nguyễn Thị Thu Hiền – Trường THPT Tiên Lữ

12

và


Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
a) Giải hệ tìm được

a  1
a  5


b) Vô nghiệm.
Kết luận: ( x  1)2  ( y  1)2  1 và ( x  5)2  ( y  5)2  25
Bài 4
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có diện tích bằng

3
,
2

A(2;–3), B(3;–2). Tìm toạ độ điểm C, biết điểm C nằm trên đường thẳng

d: 3x – y – 4 = 0.
Hướng dẫn

x  t
1) PTTS của d:  y  4  3t . Giả sử C(t; –4 + 3t)  d.

S



uuur uuur
1
1
AB.AC.sin A 
AB2 .AC2  AB.AC
2
2



2

=

3

2

t  2
4t 2  4t  1  3  

t  1

 C(–2; –10) hoặc C(1;–1).
Bài 5
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có điểm M(–1; 1) là trung
điểm của cạnh BC, hai cạnh AB, AC lần lượt nằm trên hai đường thẳng
d1: x  y  2  0 và d2: 2x  6y  3  0 . Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C.
Hướng dẫn
Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ:  x  y  2  0

 15

7

 A ;   .
 4 4
2 x  6y  3  0




Giả sử: B(b;2  b)  d1, C  c;

3  2c 
  d2.
6 

b c

1

 2  1
b  4

M(–1; 1) là trung điểm của BC  

3  2c
c   9
2  b  6

1

4


2
 1 7
 4 4

 9 1
 4 4

 B ;  , C   ;  .

Người viết: Nguyễn Thị Thu Hiền – Trường THPT Tiên Lữ

13


Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
Bài 6

Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD biết M(2;1); N(4; –2);
P(2;0); Q(1;2) lần lượt thuộc cạnh AB, BC, CD, AD. Hãy lập phương trình các
cạnh của hình vuông.
Hướng dẫn
r
Giả sử đường thẳng AB qua M và có VTPT là n  (a; b) (a2 + b2  0)
r

=> VTPT của BC là: n1  (b; a) .
Phương trình AB có dạng: a(x –2) +b(y –1)= 0

 ax

+ by –2a –b =0

BC có dạng: –b(x – 4) +a(y+ 2) =0  – bx + ay +4b + 2a =0
Do ABCD là hình vuông nên d(P; AB) = d(Q; BC)


b
a 2  b2



b  2a

a 2  b2
b   a

3b  4a

 b = –2a: AB: x – 2y = 0 ; CD: x – 2y –2 =0; BC: 2x +y – 6= 0;
AD: 2x + y – 4 =0
 b = –a: AB: –x + y+ 1 =0; BC: –x –y + 2= 0; AD: –x –y +3 =0;
CD: –x + y+ 2 =0
Bài 7
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng d: x  y  1  0 và hai đường
tròn có phương trình:

(C1): ( x  3)2  ( y  4)2  8 , (C2): ( x  5)2  ( y  4)2  32

Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I thuộc d và tiếp xúc ngoài với (C1) và
(C2).
Hướng dẫn
Gọi I, I1, I2, R, R1, R2 lần lượt là tâm và bán kính của (C), (C1), (C2).
Giả sử I(a; a – 1)  d. (C) tiếp xúc ngoài với (C1), (C2) nên
II1 = R + R1, II2 = R + R2  II1 – R1 = II2 – R2
 (a  3)2  (a  3)2  2 2  (a  5)2  (a  5)2  4 2  a = 0  I(0; –1),
R= 2
 Phương trình (C): x2  ( y  1)2  2 .

Người viết: Nguyễn Thị Thu Hiền – Trường THPT Tiên Lữ

14


Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
Bài 8
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 – 6x + 5 = 0. Tìm
điểm M thuộc trục tung sao cho qua M kẻ được hai tiếp tuyến của (C) mà góc giữa

hai tiếp tuyến đó bằng 600.
Hướng dẫn
(C) có tâm I(3;0) và bán kính R = 2. Gọi M(0; m)  Oy
·AMB  600 (1)
Qua M kẻ hai tiếp tuyến MA và MB  ·
 AMB  1200 (2)

Vì MI là phân giác của

·AMB

nên:

(1)  ·AMI = 300  MI 

IA
m2  9  4  m   7
0  MI = 2R 
sin 30

(2)  ·AMI = 600  MI 

IA
sin 600

 MI =

2 3
3

2
R  m 9 

4 3
3

(Vô nghiệm)
Vậy có hai điểm M1(0;

7)

và M2(0; 

7)

Bài 9
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): ( x  1)2  ( y  2)2  9 và
đường thẳng d: x  y  m  0 . Tìm m để trên đường thẳng d có duy nhất một điểm A
mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn (C) sao cho tam giác ABC
vuông (B, C là hai tiếp điểm).
Hướng dẫn
(C) có tâm I(1; –2), bán kính R = 3. Vì các tiếp tuyến AB, AC vuông góc nên
ABIC là hình vuông có cạnh bằng 3  IA = 3 2 . Giả sử A(x; –x – m)  d.
IA2  18  ( x  1)  (m  x  2)  18  2x  2(3  m) x  m  4m  13  0 (1)
2

2

2

2

Để chỉ có duy nhất một điểm A thì (1) có 1 nghiệm duy nhất
m  7
  =  m2  2m  35  0   m  5 .


Người viết: Nguyễn Thị Thu Hiền – Trường THPT Tiên Lữ

15


Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
Bài 10
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm A(2;–3), B(3;–2), tam giác ABC có
diện tích bằng

3
2 ; trọng tâm G của ABC nằm trên đường thẳng

d: 3x – y – 8 = 0. Tìm bán kính đường tròn nội tiếp  ABC.
Hướng dẫn
Gọi C(a; b), (AB): x –y –5 =0  d(C; AB) =

a b5



2SABC
AB

2

 a  b  8 (1)
 a  b  5  3  a  b  2 (2) ; Trọng tâm G


 a 5 b 5
;

d
3
3 


 3a –b =4 (3)
 (1), (3)  C(-2; -10)  r =

S
3

p
2  65  89

S
3
r


 (2), (3)  C(1; –1) 

p
22 5
Bài 11
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có
phương trình d1: x  y  1  0 . Phương trình đường cao vẽ từ B là
d2: x  2 y  2  0 . Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các
cạnh bên của tam giác ABC.
Hướng dẫn
uuur

B(0; –1). BM  (2; 2)  MB  BC.
Kẻ MN // BC cắt d2 tại N thì BCNM là hình chữ nhật.
8 1
3 3

phương trình đường thẳng MN: x  y  3  0 . N = MN  d2  N  ;  .
NC  BC  phương trình đường thẳng NC: x  y 

7
 0.
3

 2 5
C = NC  d1  C  ;   .
 3 3

Người viết: Nguyễn Thị Thu Hiền – Trường THPT Tiên Lữ

16

Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
AB  CM  phương trình đường thẳng AB: x  2 y  2  0 .
AC  BN  phương trình đường thẳng AC: 6 x  3 y  1  0
Bài 12
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): (x – 1)2 + (y + 1)2 = 25
và điểm M(7; 3). Lập phương trình đường thẳng d đi qua M cắt (C) tại A, B phân
biệt sao cho MA = 3MB.
Hướng dẫn
M nằm ngoài (C). (C) có tâm I(1;–1) và R = 5.
uuur uuur
2
Mặt khác: MA.MB  3MB  MB  3 . Gọi H là hình chiếu của I lên AB
 BH  3  IH  R 2  BH 2  4  d  I ,(d ) 

Ta có: phương trình đường thẳng d: a(x – 7) + b(y – 3) = 0 (a2 + b2 > 0).
d  I ,(d )   4 

a  0
4
2
2
 a   12 b .
a b

5

6a  4b

Vậy d: y – 3 = 0 hoặc d: 12x – 5y – 69 = 0.

Bài 13
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho D ABC có cạnh AC đi qua điểm M(0;– 1).
Biết AB = 2AM, phương trình đường phân giác trong AD: x – y = 0, phương trình
đường cao CH: 2x + y + 3 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của D ABC .
Hướng dẫn
Gọi d là đường thẳng qua M vuông góc với AD cắt AD, AB lần lượt tại I và N, ta
 1


1

có: (d ) : x  y  1  0, I  (d )  ( AD)  I   2 ;  2   N (1; 0)


(I là trung điểm MN).

AB  CH  pt ( AB) : x  2 y  1  0, A  ( AB) I ( AD)  A(1; 1) .
AB = 2AM

 AB

= 2AN

N

là trung điểm AB  B  3; 1 .

 1

pt ( AM ) : 2 x  y  1  0, C  ( AM ) I (CH )  C   ; 2 

 2


Người viết: Nguyễn Thị Thu Hiền – Trường THPT Tiên Lữ

17


Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
Bài 14
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho 2 đường thẳng d1: x  7 y  17  0 ,
d2: x  y  5  0 . Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M(0;1) tạo với d1,
d2 một tam giác cân tại giao điểm của d1, d2.
Hướng dẫn
Phương trình đường phân giác góc tạo bởi d1, d2 là:
x  7 y  17
1  (7)
2

2



x y 5
1 1
2

2

 x  3 y  13  0 ( 1 )


3 x  y  4  0 ( 2 )

Đường thẳng cần tìm đi qua M(0;1) và song song với 1 , 2
KL: x  3 y  3  0 và 3x  y  1  0
Bài 15
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho D ABC cân có đáy là BC. Đỉnh A có tọa
độ là các số dương, hai điểm B và C nằm trên trục Ox, phương trình cạnh

AB : y = 3 7(x - 1) . Biết chu vi của D ABC bằng 18, tìm tọa độ các đỉnh A, B,
C.
Hướng dẫn
B  AB I Ox  B (1;0) , A  AB  A a;3 7(a  1)  a  1 (do x A  0, y A  0 ).

Gọi AH là đường cao ABC

 H (a;0)  C (2a  1;0)  BC  2(a  1), AB  AC  8(a  1) .
Chu vi  ABC  18  a  2  C (3;0), A  2;3 7  .

Bài 16
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm M(3;1). Viết phương trình đường
thẳng d đi qua M cắt các tia Ox, Oy tại A và B sao cho (OA+3OB) nhỏ nhất.
Hướng dẫn
x y
Phương trình đường thẳng d cắt tia Ox tại A(a;0), tia Oy tại B(0;b): a  b  1 (a,b

> 0)

Người viết: Nguyễn Thị Thu Hiền – Trường THPT Tiên Lữ

18


Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

3 1 Cô  si 3 1
M(3; 1)  d 1  a  b  2 a . b  ab  12 .
Mà OA  3OB  a  3b  2 3ab  12
 (OA  3OB) nhỏ nhất bằng 12
 a  3b
a  6

 3 1 1  
b  2
 a  b  2

x

y

Phương trình đường thẳng d là: 6  2  1  x  3 y  6  0
Bài 17
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho 4 điểm A(1;0), B(–2;4), C(–1;4), d(3;5).
Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng () : 3x  y  5  0 sao cho hai tam giác
MAB, MCD có diện tích bằng nhau.
Hướng dẫn

x  t
Phương trình tham số của :  y  3t  5 . M    M(t; 3t – 5)


SMAB  SMCD  d (M , AB). AB  d ( M , CD).CD

7
7
t


9

t

M (9; 32), M ( ; 2)


3
3
Bài 18
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có diện tích bằng
4. Biết A(1;0), B(0;2) và giao điểm I của hai đường chéo nằm trên đường thẳng
y = x. Tìm tọa độ các đỉnh C và d.
Hướng dẫn
uuur
Ta có: AB   1;2   AB  5 . Phương trình AB: 2 x  y  2  0 .

I  (d ) : y  x  I  t; t  . I là trung điểm của AC và BD nên:
C (2t  1; 2t ), D(2t; 2t  2)
Mặt khác: S ABCD  AB.CH  4 (CH: chiều cao)

 CH 

Người viết: Nguyễn Thị Thu Hiền – Trường THPT Tiên Lữ

4
5

.

19


Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
 4
 5 8  8 2 
t


C
| 6t  4 | 4
 ; , D  ; 


 3
 3 3  3 3 
Ngoài ra: d  C; AB   CH 
5
5
t  0  C  1;0  , D  0; 2 
5 8

8 2

Vậy C  ;  , D  ;  hoặc C  1;0  , D  0; 2 
 3 3  3 3
Bài 19
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác có phương trình hai cạnh là
5x – 2y + 6 = 0 và 4x + 7y – 21 = 0. Viết phương trình cạnh thứ ba của tam giác
đó, biết rằng trực tâm của nó trùng với gốc tọa độ O.
Hướng dẫn
Giả sử AB: 5x – 2y + 6 = 0; AC: 4x + 7y – 21 = 0  A(0;3)
Phương trình đường cao BO: 7x – 4y = 0  B(–4; –7)
A nằm trên Oy, vậy đường cao AO nằm trên trục Oy  BC: y + 7 = 0
Bài 20
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: x – 3y – 4 = 0 và
đường tròn (C): x2 + y2 – 4y = 0. Tìm M thuộc d và N thuộc (C) sao cho chúng đối
xứng qua điểm A(3;1).
Hướng dẫn
M  d  M(3b+4; b)  N(2 – 3b; 2 – b)
N  (C)  (2 – 3b)2 + (2 – b)2 – 4(2 – b) = 0  b  0; b 

6
5

 38 6 
 8 4
; , N   ; 
 5 5
 5 5

Vậy có hai cặp điểm: M(4;0) và N(2;2) hoặc M 
Bài 21

Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm
A(1; 2) và cắt đường tròn (C) có phương trình ( x  2)2  ( y  1)2  25 theo một dây
cung có độ dài bằng 8.
Hướng dẫn
d: a(x – 1)+ b(y –2) = 0  ax + by – a – 2b = 0 ( a2 + b2 > 0)

Người viết: Nguyễn Thị Thu Hiền – Trường THPT Tiên Lữ

20


Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
Vì d cắt (C) theo dây cung có độ dài bằng 8 nên khoảng cách từ tâm I(2; –1)
của (C) đến d bằng 3.

d I,d  

2a  b  a  2b
a b
2

2

 3  a  3b  3 a 2  b 2

a  0
 8a  6ab  0  
a   3 b
4


2

 a = 0: chọn b = 1  Đường thẳng d: y – 2 = 0
a=

3
 b : chọn
4

a = 3, b = – 4  Đường thẳng d: 3x – 4 y + 5 = 0.

Bài 22
Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho cho hai đường thẳng

d1 : 2 x  y  5  0 .

d2: 3x + 6y – 7 = 0. Lập phương trình đường thẳng đi qua

điểm P( 2; –1) sao cho đường thẳng đó cắt hai đường thẳng d1 và d2 tạo ra một tam
giác cân có đỉnh là giao điểm của hai đường thẳng d1, d2.
Hướng dẫn
r

r

d1 có VTPT a1  (2; 1) ; d2 có VTPT a2  (3;6)
ur uur
a
Ta có: 1.a2  2.3  1.6  0 nên d1  d 2 và d1 cắt d2 tại một điểm I khác P. Gọi

d là đường thẳng đi qua P( 2; -1) có phương trình:
đường thẳng d : A( x  2)  B( y  1)  0  Ax  By  2 A  B  0
d cắt d1, d2 tạo ra một tam giác cân có đỉnh I  khi d tạo với d1 (hoặc d2) một
góc 450


 A  3B
 cos 450  3 A2  8 AB  3B 2  0  
22  (1) 2
 B  3 A

2A  B
A2  B 2

* Nếu A = 3B ta có đường thẳng d : 3x  y  5  0
* Nếu B = –3A ta có đường thẳng d : x  3 y  5  0
Vậy có hai đường thẳng thoả mãn yêu cầu bài toán. d : 3x  y  5  0 ;
d : x  3y  5  0

Bài 23
Người viết: Nguyễn Thị Thu Hiền – Trường THPT Tiên Lữ

21


Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho  ABC có đỉnh A(1;2), phương trình
đường trung tuyến BM: 2 x  y  1  0 và phân giác trong CD: x  y  1  0 . Viết
phương trình đường thẳng BC.
Hướng dẫn

Điểm C  CD : x  y  1  0  C  t;1  t  .
 t 1 3  t 

;
Suy ra trung điểm M của AC là M 
.
2 
 2

Từ A(1;2), kẻ AK  CD : x  y  1  0 tại I (điểm

K  BC ).

Suy ra AK :  x  1   y  2   0  x  y  1  0
x  y 1  0
 I  0;1
x  y  1  0

Tọa độ điểm I thỏa hệ: 

Tam giác ACK cân tại C nên I là trung điểm của AK  tọa độ của

K  1;0  .

Đường thẳng BC đi qua C, K nên có phương trình:
x 1 y
  4x  3 y  4  0
7  1 8

Bài 24

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1: x + y + 5 = 0,
d2: x + 2y – 7= 0 và tam giác ABC có A(2; 3), trọng tâm là điểm G(2; 0), điểm B
thuộc d1 và điểm C thuộc d2 . Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC.
Hướng dẫn
Do B  d1 nên B(m; – m – 5), C  d2 nên C(7 – 2n; n)

 2  m  7  2n  3.2
 m  1
Do G là trọng tâm ABC nên 3  m  5  n  3.0   n  1  B(–1; –4),


C(5; 1)
2
2
 phương trình đường tròn ngoại tiếp ABC: x  y 

83
17
338
x y
0
27
9
27

Bài 25

Người viết: Nguyễn Thị Thu Hiền – Trường THPT Tiên Lữ

22


Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường tròn nội tiếp tam


giác ABC với các đỉnh: A(–2;3), B  ;0  , C (2;0) .
1
4



Hướng dẫn
Điểm d(d;0) thuộc đoạn BC là chân đường phân giác trong của góc A
2

2
9
1
    3
d
DB AB
4
4
 4d  1  6  3d  d  1.
khi và chỉ khi DC  AC  2  d 
2
42   3

Phương trình AD:
AC:

x  2 y 3

 x  y 1  0 ;
3
3

x  2 y 3

 3x  4 y  6  0
4
3

Giả sử tâm I của đường tròn nội tiếp có tung độ là b. Khi đó hoành độ là

1  b và bán kính cũng bằng b . Vì khoảng cách từ I tới AC cũng phải bằng
b nên ta có:
3

b  3  5b  b  

3 1  b   4b  6
4
 b  b3 5 b  
2
2
1
b  3  5b  b 

3 4

2
2

2

1 
1
1

Vậy, phương trình của đường tròn nội tiếp ABC là:  x     y   
2 
2
4

2

hoặc

2

7 
3
9

x   y   
4 
4  16


Bài 26
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình tiếp tuyến chung của hai
đường tròn (C1): x2 + y2 – 2x – 2y – 2 = 0, (C2): x2 + y2 – 8x – 2y + 16 = 0.
Hướng dẫn
2
2
(C1): ( x  1)  ( y  1)  4 có tâm I1 (1; 1) , bán kính R1 = 2.

2
2
(C2): ( x  4)  ( y  1)  1 có tâm I 2 (4; 1) , bán kính R2 = 1.

Ta có: I1 I 2  3  R1  R2

 (C1) và (C2) tiếp xúc ngoài nhau tại A(3; 1)

Người viết: Nguyễn Thị Thu Hiền – Trường THPT Tiên Lữ

23


Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
 (C1) và (C2) có 3 tiếp tuyến, trong đó có 1 tiếp tuyến chung trong tại A là
x = 3 song song với Oy.
* Xét 2 tiếp tuyến chung ngoài: () : y  ax  b  () : ax  y  b  0 ta có:
 a  b 1


2

2
2

a

a


2
d
(
I
;

)

R
 1
 a 1


1
4
4
 

hay 

d ( I 2 ; )  R2
 4a  b  1  1

b  4  7 2
b  4  7 2
 a2  1


4
4


Vậy, có 3 tiếp tuyến chung:

(1 ) : x  3, ( 2) : y  

2
4 7 2
2
4 7 2
x
, ( 3) y 
x
4
4
4
4

Bài 27
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1; 0), B(3; 1) và đường thẳng
: x  2y 1 = 0. Tìm điểm C thuộc đường thẳng  sao cho diện tích tam giác ABC
bằng 6.
Hướng dẫn

Phương trình AB: x + 2y  1 = 0 ; AB  5 .
Gọi hc là đường cao hạ từ C của ABC. S ABC 
Giả sử C(2a + 1 ; a)  (). Vì hc 

12
5



1
12
AB.hc  6  hc 
2
5

| 2a  1  2a  1|
5



12
5

 a  3

Vậy có hai điểm cần tìm: C1(7; 3) và C2(5; 3)
Bài 28
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng
12, tâm I thuộc đường thẳng (d ) : x  y  3  0 và có hoành độ xI 

9
, trung điểm
2

của một cạnh là giao điểm của d và trục Ox. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ
nhật.
Hướng dẫn

Người viết: Nguyễn Thị Thu Hiền – Trường THPT Tiên Lữ

24


Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
I có hoành độ xI 

9
9 3
và I   d  : x  y  3  0  I  ; 
2
2 2

Gọi M = d  Ox là trung điểm của cạnh AD, suy ra M(3;0).
AB  2 IM  2

 xI  xM 

2

  y I  yM   2

2

S ABCD  AB. AD = 12  AD =
 AD  (d )
,

 M  AD

9 9
 3 2
4 4

S ABCD
12

 2 2.
AB
3 2

suy ra phương trình AD: 1.( x  3) 1.( y 0) 0  x  y 3  0 .

Lại có MA = MD =

2

.

Vậy tọa độ A, D là nghiệm của hệ phương trình:
 x  y  3  0
x  4

y  3 x
x  2
 y  x  3



hoặc 
.

2
2
2
2
 x  3  1  y  1
 y  1
 ( x  3)  y  2
( x  3)  y  2

Vậy A(2;1), D(4;-1),
x x

xI  A C

 xC  2 xI  xA  9  2  7
9 3
2
I  ;  là trung điểm của AC, suy ra: 

2 2
 yC  2 yI  y A  3 1  2

 y  y A  yC
I

2


Tương tự I cũng là trung điểm BD nên ta có: B(5;4).
Vậy tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật là (2;1), (5;4), (7;2), (4;-1).
Bài 29
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 – 4y – 5 = 0. Hãy
4 2



viết phương trình đường tròn (C) đối xứng với đường tròn (C) qua điểm M  ; 
5 5
Hướng dẫn
(C) có tâm I(0;2), bán kính R = 3. Gọi I’ là điểm đối xứng của I qua M
 8 6 
 I  ;   (C):
5 5 

2

2

8 
6

x   y  9

5 
5


Bài 30
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) và đường thẳng  định
bởi: (C ) : x 2  y 2  4 x  2 y  0;  : x  2 y  12  0 . Tìm điểm M trên  sao cho từ M
Người viết: Nguyễn Thị Thu Hiền – Trường THPT Tiên Lữ

25