Ứng dụng phương pháp tọa độ trong hình học doc

NG DNG PHNG PHP TA VO HèNH HC
ứNG DụNG PHƯƠNG PHáP TọA Độ TRONG
HìNH HọC
I.Kiến thức cơ bản :
1.Kiến thức : (Theo chơng trình Hình Học 10 nâng cao)
Tọa độ của điểm, véc tơ trong mặt phẳng và các kiến thức liên quan.
Đờng thẳng.
Đờng tròn.
Các đờng Cônic : Elip, Hyperbol, Parabol.
2.Các dạng bài toán áp dụng :
.Bài toán hình học khó áp dụng đợc cho các tính chất hình học thuần tuý (hình học cổ điển) .
.Bài toán hình học mà việc chứng minh hoặc tính toán quá phức tạp.
.Bài toán hình học chứa đựng các yếu tố : tọa độ, véctơ, đờng Cônic . . .
3.Nhận dạng :
.Dạng 1: bài toán hình giải tích thuần tuý (chứa đựng sẳn các yếu tố về hình giải tích)
.Dạng 2: bài toán hình cổ điển chuyển về bài toán véc tơ (không sử dụng tọa độ)
.Dạng 3: bài toán hình cổ điển chuyển về bài toán tọa độ.
4.Phơng pháp áp dụng :
.Chọn hệ trục tọa độ thích hợp (hệ tọa độ Đêcac hoặc Afin) tùy theo bài toán sao cho việc tính toán đơn giản, dễ
biểu diển.
.Tìm toạ độ các đối tợng đã cho và các đối tợng liên quan.
.Từ đó rút ra các tính chất hình học cần tìm theo yêu cầu của bài toán.
II.Các bài toán minh họa :
Bài 1: ( Đề thi học sinh giỏi quốc gia 2006-2007)
Cho tam giác ABC có hai đỉnh B, C cố định và đỉnh A thay đổi. Gọi H, G lần lợt là trực tâm và trọng tâm của
tam giác ABC. Tìm quỹ tích điểm A, biết rằng trung điểm K của HG thuộc đờng thẳng BC.
Giải :
Chọn hệ trục Oxy với O trung điểm BC và trục Ox là đờng thẳng BC
.Đặt
02 >= aBC
. Khi đó tọa độ

)0,(;)0,( aCaB
. Giả sử
0),(
000
yyxA
. Khi đó trực tâm H là nghiệm hệ phơng trình



=+
=
0))((
00
0
yyxaax
xx










0
2
0
2

0
,
y
xa
xH
.Trọng tâm






3
;
3
00
yx
G
, suy ra trung điểm








+
0
2

0
2
0
2
0
6
33
;
3
2
y
yxax
K
.K thuộc đờng thẳng BC khi và chỉ khi
)0(1
3
033
0
2
2
0
2
2
0
2
0
2
0
2
==+ y

a
y
a
x
yxa
.Vậy quỹ tích A là hyperbol 1
3
2
2
2
2
=
a
y
a
x
bỏ đi hai điểm B, C
Bài 2 :
( Đề thi OLYMPIC Lê Hồng Phong 2008-2009) Cho tam giác ABC có hai đỉnh B, C cố định và đỉnh A
thay đổi. Qua B dựng đờng thẳng d vuông góc với BC, d cắt đờng trung tuyến AI của tam giác ABC tại K.Gọi
H là trực tâm của tam giác ABC. Tìm quỹ tích điểm A, biết rằng IH song song với KC.
Giải :
Chọn hệ trục Oxy với O trùng I và trục Ox là đờng thẳng BC.
Đặt
02 >= aBC
.Khi đó toạ độ
)0;(;)0;( aCaB
Giả sử tọa độ điểm
);(
00

yxA
với
0
0
y
SƯU TầM Boxmath
/>NG DNG PHNG PHP TA VO HèNH HC
^y
>x
I
H
A
K
B
C
.Khi đó trực tâm H là nghiệm hệ phơng trình

=+
=
0
2
0
2
0
00
0
;
0))((
y
xa
xH
yyxaax
xx
)(AIdK =
là nghiệm hệ phơng trình





=
=
x
x
y
y

ax
0
0









0
0
;
x
y
aaK
với
0
0
x
Theo giả thiết, ta có

IH
cùng phơng

KC
0.2.
0

2
0
2
0
0
0
=


y
xa
ax
x
y
a
1
2
2
2
0
2
2
0
=+
a
y
a
x
Vậy quỹ tích A là elip
1

2
2
2
0
2
2
0
=+
a
y
a
x
bỏ đi 4 điểm B, C,
)2;0(
1
aA
,
)2;0(
2
aA
là 4 đỉnh của elip
Bài 3:
Trong mặt phẳng cho đờng tròn (O,R) và một điểm A cố định. I là điểm di động trên (O). Đờng tròn
tâm I luôn đi qua A. Chứng minh rằng trục đẳng phơng của hai đờng tròn (O) và (I) luôn tiếp xúc với một
đờng tròn cố định .
Giải :
Chọn hệ trục (Oxy) nh hình vẽ (OA là trục Oy) . Ta có A(0,b) , (O) :
222
Ryx =+
.

Gọi I(m ; n) (O)
222
Rnm =+
và IA
222
)nb(m +=
.
Vậy (I) :
2222
)bn(m)ny()mx( +=+
.
Hay
0bnb2ny2mx2yx
222
=++
. Suy ra phơng trình của
trục đẳng phơng của (O) và(I) là (d) : 2mx + 2ny 2nb
+
0Rb
22
=+
.
Ta có d(A,d) =
R2
Rb
nm2
Rbnb2nb2
22
22
22

=
+
+
Bài 4: Cho tam giác ABC có đờng cao CH. Gọi I, K lần lợt là trung điểm của các đoạn AB, CH. Một đờng
thẳng d di động luôn luôn song song với cạnh AB cắt cạnh AC tại M và
cắt cạnh BC tại N. Dựng hình chữ nhật MNPQ với hai điểm P, Q nằm
trên cạnh AB. Gọi J là tâm hình chữ nhật MNPQ. Chứng minh ba điểm
I, J, K thẳng hàng.
Giải :
Chọn hệ trục Oxy sao cho
HO
, các điểm A, B nằm trên Ox, điểm C
nằm trên Oy
Ta có toạ độ các điểm H(0; 0), C(0; c) , A(a; 0) , B(b; 0).
Đờng thẳg d có phơng trình y = m (0<m<c)
(AC) : cx+ay-ac = 0 và (BC) : cx+by = 0







= );
)(
m
c
mca
MACdM

, tơng tự







m
c
mcb
N ;
)(
/>NG DNG PHNG PHP TA VO HèNH HC
Điểm P là hình chiếu vuông góc của N trên Ox







0;
)(
c
mcb
P
J là trung điểm của đoạn PM

+

2
;
2
))(( m
c
mcba
J
Từ đó ta có






+
=

2
;
2
cba
IK
và

+
=

2
;
2
)( m
c
bam
IJ
Vậy

IK
cùng phơng

IJ
, nên ba điểm I, J, K thẳng hàng.
Bài 5 :
Cho tam giác ABC đều có cạnh bằng 2a và (d) là đờng thẳng tùy ý cắt các đờng thẳng BC, CA, AB.
Gọi x, y, z tơng ứng là các góc giữa đờng thẳng (d) và các đờng thẳng BC, CA, AB. Chứng minh :
16
1
cos.cos.cossin.sin.sin
222222
=+ zyxzyx

.
Giải :
Chọn hệ trục tọa độ sao cho
)0;(),0;(),3;0( aCaBaA
. Khi đó
)3;( aaAB =

,
)3;( aaCA =

,
)0;2( aBC =

.
Gọi
);(
21
uuu =

là véc tơ chỉ phơng của đờng thẳng (d). Ta có :

+
=
2
2
2
1
2
1
2

cos
uu
u
x
2
2
2
1
2
2
2
sin
uu
u
x
+
=
( )

+

=
)(4
3
cos
2
2
2
1
2

21
2
uu
uu
y
( )
)(4
3
sin
2
2
2
1
2
21
2
uu
uu
y
+

=
( )

+
+
=
)(4
3
cos

2
2
2
1
2
21
2
uu
uu
z
( )
)(4
3
sin
2
2
2
1
2
21
2
uu
uu
z
+

=
zyxzyxS
222222
cos.cos.cossin.sin.sin +=

( ) ( )
( )
( )
16
1
16
33
16
33
3
2
2
2
1
6
2
4
2
2
1
2
2
4
1
6
1
3
2
2
2

1
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
1
2
1
=
+
+++
=
+
+
=
uu
uuuuuu
uu
uuuuuu
.
Bài 6 :
Cho đờng d trên đó lấy một điểm A. Cho trớc hai số dơng a, b sao cho a>b. Xét tất cả các điểm P, Q
sao cho AP = a, AQ = b và đờng thẳng d là phân giác của

PAQ
. ứng với mỗi cặp điểm P,Q xét điểm sao cho

+= AQAPAM
.Tìm quỹ tích điểm M.
Giải :
Chọn hệ tục tọa độ nh sau : lấy A làm gốc tọa độ, trục hoành là
d.Gọi M(x; y)Ta có
:

+= AQAPAM
);();();(
QQPP
yxyxyx +=



+=
+=

QP
QP
yyy
xxx
(1
)
Do AP = a và AQ = b nên

=+
=+
222
222
byx
ayx
QQ
PP
(2)
Nếu phơng trình (AP): y = kx thì (AQ): y = -kx
Từ (2) suy ra





=+
=+
2222
2222
bxkx
axkx
QQ
PP
/>NG DNG PHNG PHP TA VO HèNH HC
(1)
1

)()(
1
)(
2
1
)(
2
2
2
2
2
2
22
222
2
2
222
=

+
+








+

=++=
+
+
=++=

ba
y
ba
x
k
bak
yyyyy
k
ba
xxxxx
QPQP
QPQP
Vậy quỹ tích M là một elip
Bài 7:
Trên đờng thẳng d cho trớc, cho ba điểm A, B, C trong đó B nằm giữa A và C. Vẽ vòng tròn tiếp xúc
với d tại B. Gọi M là giao điểm của hai tiếp tuyến với vòng tròn trên vẽ từ A và C. Tìm quỹ tích điểm M.
Giải :
Gọi các tiếp điểm nh hình vẽ, ta có
== BCBAMCMA
hằng số (1)
.Nếu B là trung điểm của AC thì từ (1)
MCMA =
: quỹ tích
M là trung trực của AC.

.Nếu B không là trung điểm của AC thì từ (1): quỹ tích M là
hyperbol nhận A, C làm tiêu điểm (nh hình vẽ)
Bài 8 :
Cho đờng thẳng d và một điểm A cố định không nằm trên d. P và Q là hai điểm di động trên d
nhng PQ = a (trong đó a là số dơng cho trớc). Gọi M là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác APQ. Tìm
quỹ tích điểm M.
Giải :
Dựng hệ trục tọa độ nh hình vẽ
Gọi M (x; y), giả sử khoảng cách từ A đến d là h, khi đó A(0; h)
Ta có
4
2
22
a
MHMA =
4
)(
2
222
a
yhyx =+
h
ah
x
h
y
422
1
2
2

+=
Vậy quỹ tích điểm M là một Parabol
Bài 9: Qua tâm O của hai đờng tròn đồng tâm vẽ hai đờng thẳng vuông góc d
1
và d
2
. Đờng thẳng d di động
quay quanh O về cùng một hớng cắt các vòng tròn nhỏ và lớn lần lợt tại A và B. Qua A vẽ đờng thẳng
/
1
d
song song d
1
và qua B vẽ đờng thẳng
/
2
d
song song d
2
. Tìm quỹ tích điểm
/
2
/
1
ddM =
.
Giải :
/>NG DNG PHNG PHP TA VO HèNH HC
Lập hệ trục tọa độ nhận d
1

, d
2
à trục Ox và Oy.
Giả sử đờng thẳng d có phơng trình y = kx, A(x
A
; y
A
) , B(x
B
; y
B
).
Từ giả thiết, ta có x = x
B
, y = y
A
Ta có



=+
=+
222
222
Ryx
ryx
BB
AA
và

=
=
BB
AA
kxy
kxy
2
22
2
2
2
2
1
;
1 k
rk
y
R
R
x
AB
+
=
+
=
Từ đó ta có
1
2

2
2
2
2
2
2
2
=+=+
r
y
R
x
r
y
R
x
AB
Vậy quỹ tích điểm M là Elip 1
2
2
2
2
=+
r
y
R
x
Bài 10: Cho tam giác ABC vuông cân tại C. Trên các Cạnh BC, CA, AB lần lợt lấy các điểm M, N, P sao cho
PB
PA

NA
NC
MC
MB
==
. Chứng minh rằng
MNCP
và CP = MN
Giải :
Chọn hệ trục Oxy sao cho
CO
, tia Ox

CA và tia Oy

CB
Ta có toạ độ các điểm C(0; 0) , A(1; 0) , B(0; 1).
Từ giả thiết ta đặt
k
PB
PA
NA
NC
MC
MB
===
Do đó

++






+






+

+
+
+
=
+
=
+
=



k
k
k
P
k
k
N
k
M
CB
k
k

CA
k
CP
CA
k
k
CN
CB
k
CM
1
;
1
1
0;
1
1
1
;0
11
1
1
1
1
Từ đó
MNCP
k
k
k
k

CPMN =
+

+
=

0
)1()1(
.
22
2
2
2
2
)1(
1

=
+
+
= CP
k
k
MN
Bài 11: Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi At là tia phân giác của góc A. Qua trung điểm M của cạnh huyền
BC ta dựng đờng thẳng vuông góc với tia At cắt các đờng thẳng AB và AC lần lợt tại E và F. Chứng minh BE
= CF.
Giải :
Chọn hệ trục Oxy sao cho
AO

, tia Ox

AB và tia Oy

AC
Ta có toạ độ các điểm A(0; 0) , B(b; 0) , C(0; c).
Dễ dàng ta tìm đợc toạ độ






+
0;
2
cb
E
và






+
2
;0
cb
F

Từ đó suy ra
2
bc
BE

=
và
2
cb
CF

=
/>NG DNG PHNG PHP TA VO HèNH HC
Bài 12: Cho hai điểm A, B cố định và một đờng thẳng d vuông góc với AB, nhng không đi qua A, B. Môt
điểm M chạy trên d.Tìm tập hợp giao điểm N của các đờng thẳng vuông góc với MA, MB tại AvàB.
Giải :
Chọn hệ trục Oxy sao cho
ABdO =
, tia Ox

AB và tia Oy

d
Ta có toạ độ các điểm A(a; 0) , B(b; 0) , M(0; m).Gọi N(x; y)
Khi đó

=+
=+

=
=


0)(
0)(
0.
0.
myxbb
myxaa
NBMB
NAMA
Giải hệ ta đợc x = a+b. Vậy tập hợp giao điểm N là đờng thẳng
vuông góc Ox tại H có hoành độ
baOH +=

.
Bài 13: Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm I. Gọi D là trung điểm của cạnh AB, E là trọng tâm của tam
giác ADC. Chứng minh rằng AB = AC thì IE vuông góc với CD.
Giải :
Ta có thể chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho O trùng với trung điểm BC, A thuộc Oy với A(0; a) , B(-c; 0) , C(c;
0).Khi đó ta có

2
;
2
ac
D
,






2
;
6
ac
E
Để tính tọa độ tâm
);0(
0
yI
, ta có
2
0
22

0
)( ycyaICIA +==
a
ca
y
2
22
0

=
Hệ số góc đờng thẳng IE là
a
c
xx
yy
k
IE
IE
3
=


=
.
Hệ số góc đờng thẳng CD là
c
a
xx
yy
k

CD
CD
3
/
=


=
Ta có
CDIEkk = 1.
/
.
Bài 14:
Tìm quỹ tích những điểm M trên mặt phẳng có tổng khoảng
đến một điểm cố định I và một đờng thẳng cố định

bằng một số a
dơng cho trớc.
Giải :
.Chọn hệ trục toạ độ vuông góc Oxy sao cho
+
O I
+
Ox
và

có phơng trình
x d 0= >
.Ta phải tìm quỹ tích những điểm M(x ; y) sao cho
2 2

x y x d a+ + =
(1)
.Nếu
x d
thì
2 2 2 2
x y x d x y d+ + +
.Nếu
x d<
thì
2 2 2 2
x y x d d ( x y x) d+ + = + +
.Nh vậy các trờng hợp xãy ra là
d > a : quỹ tích M là tập rỗng
d = a : từ lý luận trên (1)
y 0 =
,
0 x a
: quỹ tích M đoạn thẳng nối
từ I đến chân đờng vuông góc hạ từ I lên

.
/>NG DNG PHNG PHP TA VO HèNH HC
d < a : Khi
x d
, từ (1)
2
a d
y 2(a d)( x)
2

+
= +
Khi
x d<
, từ (1)
2
a d
y 2(a d)( x)
2

= +
Nh vậy quỹ tích M là 2 nhánh của 2 Parabol(khoảng giữa S1,S2) có phơng trình nh trên.
Bài 15:
Cho hai đờng thẳng cắt nhau a và b . Tìm tập hợp những điểm M sao cho tổng khoảng cách từ đó tới
a và b luôn luôn bằng số 1 không đổi .
Giải :
Ta chọn hệ trục tọa độ Oxy với O là giao điểm của a và b , Ox
là đờng thẳng a sao cho đờng thẳng b có phơng trình y =
kx (k > 0)
Giả sử M(x ; y) là điểm nào đó , kẻ MA

a , MB

b .
Khi đó , ta có thể tính đợc các khoảng cách MA và MB :
2
,
1
kx y
MA y MB

k

= =
+
Vậy , với điều kiện bài toán là
2
1
1
kx y
y
k

+ =
+
(1) . Ta chia
các trờng hợp sau :
a)
0y
và
y kx
. Dễ thấy rằng khi đó M nằm trong góc
xOz .
(
)
2 2
2
(1) 1 1 1 1 0 (2)
1
kx y
y kx k y k

k

+ = + + + =
+
Nh vậy , tập hợp M là phần đờng thẳng (2) nằm trong góc xOz , tức là đoạn PQ (hình vẽ) .
b)
0y
và
y kx
. Khi đó M nằm trong góc zOx và :
(
)
2 2
2
(1) 1 1 1 1 0 (3)
1
kx y
y kx k y k
k
+
+ = + + + + =
+
Nh vậy tập hợp M là phần đờng thẳng (3) nằm trong zOx, tức là đoạn thẳng PR (hình vẽ) .
Dễ thấy rằng tích vô hơng của hai vectơ pháp tuyến :
(
)
(
)
2 2
; 1 1 , ; 1 1

PQ PR
n k k n k k= + = + +

bằng 0 , tức là PQ

PR
Tơng tự nh trờng hợp a) và b) , ta xét các trờng hợp :
c)
0y
và
y kx
d)
0y
và
y kx
,
Ta đi đến kết luận :Tập hợp các điểm M là một hình chữ nhật QPRS có tâm là O và hai đờng chéonằm trên a và
b.
Bài 16:
Cho hai điểm A, B cố định, AB = a không đổi và hai điểm C, D di động sao cho CD = b không đổi,
AB

cùng hớng
CD

, AC + BD = 2(a+b). Tìm quĩ tích giao điểm M của AD và BC.
Giải :
Vẽ
// , // ( , )ME AC MF BD E F AB
Ta có:

;
MB AB a MA AB a
MC CD b MD CD b
= = = =
/>NG DNG PHNG PHP TA VO HèNH HC
Suy ra:
;
BE MB a AF AM a
BA BC a b AB AD a b
= = = =
+ +
2 2
,
a a
BE AF
a b a b
= =
+ +
Suy ra: E và F cố định.
Vì
;
ME BM a MF AM a
AC BC a b BD AD a b
= = = =
+ +
nên
. .
,
a AC a BD
ME MF

a b a b
= =
+ +
Suy ra:
.( )
2
a AC BD
ME MF a
a b
+
+ = =
+
không đổi.
Chọn hệ trục Oxy nh hình vẽ, với O là trung điểm của EF.
Ta có tập hợp điểm M là một Elip nhận E và F làm hai tiêu
điểm, có độ dài trục lớn là 2a
Bài 17:
Hình bình hành
ABCD
thay đổi trong đó
A
và
D
cố định thoả:
AC BD
AD BA
=
. Tìm tập hợp điểm
B
và

C
.
Giải :
Trong mặt phẳng
Oxy
, chọn
(0;0)A O
;
( ;0)D a
với
AD a=
(không đổi)
Theo giả thiết hình bình hành
ABCD
thay đổi nên lấy
( ; )B x y
và
( ; )C x a y+
bất kỳ với điều kiện
0y
.
Khi đó:
AC BD
AD BA
=
. .AC BA AD BD =
2 2 2 2 2 2
( ) . . ( )x a y x y a x a y + + + = +
2 2 2 2 2 2 2 2 2
( 2 ).( ) .( 2 )x y ax a x y a x y ax a + + + + = + +

2 2 2 2 2 3 4
( ) 2 ( ) 2 0x y ax x y a x a + + + + =
(*)
((*) là phơng trình bậc hai với ẩn
2 2
( )x y+
)
Tính
/ 2 3 4 2 2
( ) (2 ) ( )ax a x a a ax = =
2 2 2
2 2 2
( )
(*)
( )
x y ax a ax
x y ax a ax

+ = +


+ =

(vo õlyự)
2 2 2
2x ax y a + + =
2 2 2
( ) 2x a y a + + =
Vậy tập hợp điểm
B

là đờng tròn
( )C
có tâm
( ;0)I a
, bán kính
2
B
R a=
, bỏ hai điểm
( )
( )
2 1 ;0a +
và
( )
( )
2 1 ;0a
Do tứ giác
ABCD
là hình bình hành, ta có
BC AD=

. Vậy tập hợp điểm
C
là đờng tròn
/
( )C
là ảnh của đờng
tròn
( )C
qua phép tịnh tiến theo

AD

. Đờng tròn
/
( )C
có tâm
(0;0)A O
, bán kính
2
C
R a=
, bỏ hai điểm
( )
2;0a
và
( )
2;0a .
Bài 18: Cho đờng tròn (C) tâm O và tiếp tuyến d tiếp xúc với (C) tại một điểm A cố định trên (C). M là một
điểm trên mặt phẳng, kẻ tiếp tuyến MT với (C) và hạ MH vuông góc với d.
1.Tìm quỹ tích các điểm M thỏa MT = MH.
2. Chứng minh các đờng tròn tâm M bán kính MT luôn tiếp xúc với một đờng tròn cố định.
Giải :
/>NG DNG PHNG PHP TA VO HèNH HC
1.Chọn hệ trục Oxy sao cho A là gốc tọa độ, tia Ox

AO và tia Oy

d.Khi đó O(R; 0), giả sử M(x; y)
Ta có
2222

RMOMTMHMTMH ===
2222
)( RyRxx +=
Rxy 2
2
=
. Vậy quỹ tích M là parabol
2.Theo đn của parabol, ta có MF = MH
1
= MH + R/2
Suy ra MF = MT + R/2 , điều này chứng tỏ đờng tròn tâm M bán
kính MT tiếp xúc đờng tròn cố định tâm F bán kính R/2.
Bài 19:
Cho hình vuông cố định. Tìm tập hợp những điểm M trong
hình vuông đó và thỏa mãn điều kiện: Tích hai khoảng cách từ điểm
M đến hai cạnh của hình vuông cùng xuất phát từ một đỉnh bằng bình
phơng khoảng cách từ điểm M đến đờng chéo của hình vuông
không đi qua đỉnh đó.
Giải :
Không giảm tính tổng quát, xét hình vuông có cạnh
2
.
Đặt hình vuông ABCD lên mặt phẳng có hệ trục tọa độ Oxy sao cho
A(0;1), B(-1;0), C(0;-1), D(1;0).Gọi M(x;y) là điểm ở trong hình vuông
ABCD, hạ MN,MP, MQ lần lợt vuông góc với BD, DA, AB tại N, P, Q.
Do đó: MP.MQ = MN
2
(1) ( xét 2 cạnh hình vuông phát xuất từ đỉnh A)
AB: x y + 1 = 0, AD: x + y 1 = 0.
(1)

2 2 2 2
| x y 1| | x y 1|
. | y | | x (y 1) | 2y
2 2
+ + +
= =
M(x;y) ở trong hình vuông nên x y + 1 > 0, và x + y 1 < 0.
Do đó: x
2
(y 1)
2
= (x y + 1)(x + y 1) < 0 nên (1) x
2
(y 1)
2
=-
2y
2
x
2
+ (y+1)
2
= 2
Vậy tập hợp các điểm M là cung BD, cung # đờng tròn C, bán kính
R =
2
.Từ kết quả trên ta kết luận: Tập hợp các điểm M là 4 cung #
đờng tròn tâm là các đỉnh của hình vuông và có bán kính bằng cạnh của hình vuông.
Bài 20:
Cho đờng thẳng cố định a và một điểm A cố định trên a. Gọi (C) là đờng tròn lu động ở trong một

nữa mặt phẳng () có bờ a. (C) có bán kính không đổi R và luôn tiếp xúc với a, gọi M là tiếp điểm. Gọi I là tâm
của đờng tròn (C).Chứng minh rằng trong mặt phẳng chứa đờng tròn (C), có một parabol (P) cố định sao cho
trục đẳng phơng của (C) và đờng tròn đờng kính AI luôn luôn tiếp xúc (P) khi M thay đổi trên a.
Giải :
Trong mặt phẳng chọn hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc Oxy, với Ox trùng
với a, nữa mặt phẳng là nữa mặt phẳng y > 0, O trùng A. Đặt M(m;0) có
tâm I(m;R).
Phơng trình của (C) là:
(C): (x - m)
2
+ (y - R)
2
= R
2
hay
C): x
2
+ y
2
2mx 2Ry + m
2
= 0.
Phơng trình đờng tròn đờng kính AI là:
(C): (x m/2)
2
+ (y R/2)
2
=
2 2
m + R

4
hay
(C): x
2
+ y
2
mx Ry = 0.
Phơng trình trục đẳng phơng của hai đờng tròn (C) và (C) là:
(d): mx + Ry m
2
= 0 (d): y = f(x) = -
2
m m
x
R R
+
.
Xét hàm số y = g(x) =
2
1
x
4R

.
/>NG DNG PHNG PHP TA VO HèNH HC
Hệ
2
2
2
m m 1

x x
f(x) g(x)
(x 2m) 0
R R 4R
x 2m
f '(x) g'(x)
m x x 2m
R 2R

+ =

=

=


=

=
=



=


.
Vậy Parabol y = f(x) =
2
1

x
4R

luôn tiếp xúc với trục đẳng phơng (d).
Bài 21:
Cho tam giác với 3 cạnh a, b, c mà 3 đỉnh có tọa độ nguyên. Gọi R là bán kính đờng tròn ngoại tiếp
tam giác. CMR: abc 2R.
Giải :
Gọi tam giác là A
1
A
2
A
3
nh hình vẽ
1 2 3
A A A
abc
S S
4R
= =
Do đó yêu cầu bài toán chứng minh
1
S
2

Giả sử: A
1
(x
1

, y
1
), A
2
(x
2
, y
2
), A
3
(x
3
,y
3
).Gọi A
1
, A
2
, A
3
là hình chiếu
của A
1
, A
2
, A
3
lên Oy.
Ta có: S =
' ' ' ' ' '

1 2 2 1 1 3 3 1 2 3 3 2
AA A A AA A A A A A A
S S S
' ' ' '
' '
' ' ' ' ' '
1 1 3 3 2 2 3 3
1 1 2 2
1 2 1 3 2 3
A A A A A A A A
A A A A
A A A A A A
2 2 2
+ +
+
=
2S
= (y
1
y
2
) (x
1
+ x
2
) - (y
1
y
3
) (x

1
+ x
3
) - (y
3
y
2
) (x
2
+ x
3
) (*)Vế trái
(*) là số nguyên (do đề bài cho x
i
, y
i
nguyên) 2S là số nguyên 2S
1 S #
Bài 22 :
Trên mặt phẳng xét một hình vuông ABCD và một tam giác đều EFG cắt nhau tạo thành một thất giác
lồi MBNPQRS.Chứng minh rằng nếu SM = NP = QR

MB = PQ và BN = RS.
Giải :
Chọn hệ trục Axy nh hình vẽ. Gọi a là cạnh của hình vuông.
Ta có A(0; 0), B(a; 0), C(a; a), D(0; a),M(m; 0), N(a; n), P(p; a),
Q(q; a), R(0; r), S(0; s)
.Nếu SM = NP = QR
Ta có

=== GEkQRFGkNPEFkSM ,,
với
EF
SM
k =
Ta có

=++=++ 00 QRNPSMEGFGEF



=
=




=
=




=+
=+

RSBN
PQMB
srn
qpma

rns
qapm
0
0
.Nêú MB = PQ và BN = RS thì

=+=+ 0,0 RSBNPQMB
kết
hợp

=++++++ 0RSQRPQNPBNMBSM


=++ 0QRNPSM


=++ 0GEzyFGEFx

= FGyzEFzx )()(
Vì

FGEF ,
không cùng phơng nên
== zyx
SM = NP = QR.
/>NG DNG PHNG PHP TA VO HèNH HC
III.Các bài tập tự giải :
Bài 1: Cho tam giác ABC nhọn. (D) là một đờng thẳng thay đổi. Gọi D, E, F lần lợt là hình chiếu vuông góc
của A, B, C lên (D). Biết rằng
ABC

SCCFBBEAAD 2tantantan
222
=++
. Xác định vị trí của đờng thẳng (D)
để AD lớn nhất.
Giải:
.Chọn hệ trục nh hình vẽ (b , c >0)
.Ta có
c
a
C
b
a
B == tan,tan
bca
cba
CB
CB
A

+
=

+
=
2
)(
1tan.tan
tantan
tan

)(2 cbaS
ABC
+=
.Giả sử phơng trình (d) :
0cos.sin. =++ dyx

dadAdAD +==

cos),(
dbdBdBE +==

sin),(
dcdCdCF +==

sin),(
.Theo giả thiết
ABC
SCCFBBEAAD 2tantantan
222
=++
)()sin()sin(
)(
)cos(
22
2
2
cbadc
c
a
db

b
a
bca
cba
da +=++++

+
+

0cos.2cos.
22
2
=++
bc
da
adbc

0cos. =+ d
a
bc

.Điều này chứng tỏ (d) đi qua






a
bc

H ;0
là trực tâm tam giác ABC.
.Vậy AD max = AH, khi (d) đi qua H và song song với BC.
Bài 2:
Cho hình vuông ABCD có E trung điểm BC. M là điểm di động trên cạnh AB. Gọi N, P lần lợt là giao
điểm của MD và MC với AE. Gọi H là giao điểm của NC và DP, I là giao điểm của đờng trung trực đoạn DH
với đờng thẳng vuông góc với AH tại H. Chứng minh khi M di động trên cạnh AB thì I di động trên một đờng
tròn cố định.
Giải:
.Chọn hệ trục nh hình vẽ, ta có
)0;(mM
.Ta có
02:)( = yxAE
,
0:)( =+ mmyxDM
,
0)1(:)( =+ mymxCM
.






++
=
2
;
2
2

m
m
m
m
NMDAEN
,






++
=
1
;
1
2
m
m
m
m
PMCAEP
.Từ đó
022:)( =+ mmyxDP
,
0)2(2:)( =+ mymxNC
.

++
=
23
3
;
23
4
m
m
m
m
HNCDPH
.Suy ra
043:)( = yxdH
cố định.
.Theo giả thiết ta có
),( dIdIHID ==
, suy ra I thuộc parabol (P) có tiêu
điểm là D và đờng chuẩn (d).
Bài 3:
(Đề thi HSG quốc gia 2007-2008)
Cho tam giác ABC, trung tuyến AD .Cho đờng thẳng (d) vuông góc với đờng thẳng AD. Xét điểm M trên (d).
Gọi E, F lần lợt là trung điểm của MB và MC. Đờng thẳng đi qua E và vuông góc với (d) cắt đờng thẳng AB
^
a
c

-b
(d)
F
E
D
C
B
A
O
x
>
y
1
1
>x
^y
H
N
P
A
C
I
D
B
E
M
/>NG DNG PHNG PHP TA VO HèNH HC
tại P, đờng thẳng đi qua F và vuông góc với (d) cắt đờng thẳng AC tại Q. Chứng minh rằng đờng thẳng đi
qua M và vuông góc với PQ luôn đi qua một điểm cố định, khi M di động trên (d).
Giải:

.Chọn hệ trục nh hình vẽ
DAOyDO ,
.Khi đó
Ox
song song (d), A(0;a), B(b; c) , C(-b; -c)
.Phơng trình đờng thẳng
0)(: =+ abbyxcaAB
0)(: =++ abbyxcaAC
.
);( dxM
M
.Khi đó
2
:)(
1
M
xb
xd
+
=
,
2
:)(
2
M
xb
xd

=
.Từ đó suy ra tọa độ

ABdP =
1
,
ACdQ =
2
.Suy ra đờng thẳng đi qua M và vuông góc PQ có phơng trình
0)(
2
2
=








+







a
b
dybcax
a

bc
xb
M
.Suy ra đờng thẳng đi qua điểm cố định









a
b
d
a
bc
2
;
Bài 4: Cho tam giác ABC có hai đờng phân giác trong và ngoài góc A cắt cạnh BC tại D và E. Chứng minh
rằng nếu AD = AE thì
222
4RACAB =+
(trong đó R là bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC).
Giải:
.Chọn hệ trục nh hình vẽ
Theo giả thiết tam giác ADE vuông cân tại A.
.Khi đó OA = OE = OD nên
)0;(,)0;(,)0;(,);0(,)0;( cCaEaDaAbB

.Theo tính chất đờng phân giác
2
2
2
2
AC
AB
DC
DB
AC
AB
DC
DB
==
b
a
cabacacab
ac
ab
ac
ab
2
222222
22
22
2
2
)()()()(
)(
)(

=+=+
+
+
=



.Ta có
2
22
2
4
22222
)()(








+
=+++=+
b
ba
b
a
abaACAB
.Gọi I(x;y) là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC, ta có

+
=

=
=
a
b
ab
x
CIBI
BIAI
2
22
.Suy ra
2
22
2
2
22
22

)(
2
444








+
=








+

+
==
b
ab
aa
b
ab
AIR
.Từ đó suy ra
222
4RACAB =+
BàI TậP : ứNG DụNG HìNH HọC GIảI TíCH THUầN TúY
Bài 1 :
Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có B(1; 2). Đờng phân giác trong

của góc A có phơng
trình 2x + y -1 = 0, khoảng cách từ C đến

bằng 2 lần khoảng cách từ B đến

. Tìm tọa độ của A và C, biết
rằng C nằm trên trục tung.
Bài 2 :
Cho điểm A(1; 0) và hai đờng tròn
2:)(
22
1
=+ yxC
,
5:)(

22
2
=+ yxC
. Xét tam giác ABC có
)(
1
CB
và
)(
2
CC
. Tìm tọa độ B, C để diện tích tam giác ABC lớn nhất.
(d)
>x
^y
D
B
C
A
M
F
E
>x
^y
O
A
E
D
B
C

/>NG DNG PHNG PHP TA VO HèNH HC
Bài 3 : Cho đờng thẳng
02543: =+ yx
, điểm M chạy trên

. Trên tia OM lấy N sao cho OM.OM = 1.
Chứng minh N chạy trên đờng tròn cố định, viết phơng trình đờng tròn đó.
Bài 4 :
Cho parabol
)(
2
Pxy =
và đờng thẳng
)(1 dmxy =
. Chứng minh khi m thay đổi đờng thằng
)(d
luôn cắt
)(P
tại 2 điểm phân biệt M, N. Tìm quỹ tích tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác OMN.
Bài 5 :
Cho đờng tròn
1:)(
22
=+ yxC
. Đờng tròn (C) cắt trục tung ở A(1; 0) và B(-1; 0). Đờng thẳng
)10( <= mmy
cắt (C) tại J và S. Đờng thẳng qua A, J cắt đờng thẳng qua B, S tại P. Tìm tập hợp các điểm
P khi m thay đổi.
Bài 6 :
Cho elip (E) có tiêu điểm F. Ba tia xuất phát từ F cắt (E) tại M, N, P. Chứng minh

FPFNFM
111
++
không đổi khi M, N, P thay đổi.
Bài 7 :
Trên mp Oxy cho ba đờng thẳng
043:
1
= yxd
,
06:
2
=+ yxd
,
033:
1
=+ yxd
. Tìm các độ
các đỉnh của hình vuông ABCD biết rằng A và C thuộc
3
d
, B thuộc
1
d
, D thuộc
2
d
.
Bài 8 :
Trên mp Oxy cho ba đờng thẳng

022:
1
= yxd
,
01132:
2
=+ yxd
.Đờng thẳng d đi qua giao
điểm của
21
,dd
cắt hai tia Ox, Oy lần lợt tại A, B. Viết phơng trình đờng thẳng d sao cho
22
11
OBOA
+
nhỏ
nhất.
BàI TậP : ứNG DụNG HìNH HọC GIảI TíCH VàO BàI HìNH HọC TổNG HợP
Bài 1 :
Cho tam giác ABC nhọn có trọng tâm G và trực tâm H không trùng nhau. Chứng minh rằng
GH // BC
ACB tan2tantan =+
.
Bài 2 :
Cho tam giác ABC đều cạnh a. Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn :
2222
624 aMCMBMA =
Bài 3 : Trên đoạn AD cố định, dựng hình bình hành ABCD sao cho
AB

BD
AD
AC
=
. Tìm quỹ tích điểm B.
Bài 4 :
Cho hình vuông ABCD cạnh bằng 2. Gọi M là trung điểm cạnh CD, N là điểm di động trên cạnh BC sao
cho
)10( = nnBC
và P là điểm nằm trên cạnh AB sao cho DP song song với MN. Chứng minh đờng thẳng
PN luôn tiếp xúc với một đờng tròn cố định.
Bài 5 :
Cho tam giác ABC nhọn. (D) là một đờng thẳng thay đổi. Gọi D, E, F lần lợt là hình chiếu vuông góc
của A, B, C lên (D). Biết rằng
ABC
SCCFBBEAAD 2tantantan
222
=++
. Xác định vị trí của đờng thẳng (D)
để AD lớn nhất.
Bài 6 :
Cho tam giác ABC có hai đờng phân giác trong và ngoài góc A cắt cạnh BC tại D và E. Chứng minh
rằng nếu AD = AE thì
222
4RACAB =+
(trong đó R là bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC).
Bài 7 :
Cho tam giác ABC, trung tuyến AD .Cho đờng thẳng (d) vuông góc với đờng thẳng AD. Xét điểm M
trên (d). Gọi E, F lần lợt là trung điểm của MB và MC. Đờng thẳng đi qua E và vuông góc với (d) cắt đờng
thẳng AB tại P, đờng thẳng đi qua F và vuông góc với (d) cắt đờng thẳng AC tại Q. Chứng minh rằng đờng

thẳng đi qua M và vuông góc với PQ luôn đi qua một điểm cố định, khi M di động trên (d).
Bài 8 :
Cho tam giác ABC có hai đờng phân giác trong và ngoài góc A cắt cạnh BC tại D và E. Chứng minh
rằng nếu AD = AE thì
222
4RACAB =+
(trong đó R là bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC).

NGUYễN VĂN TRUNG
/>