Công thức hình giải tích đầy đủ

Công thức hình học giải tích 12
I. Tọa độ trong không gian:
1. Cộng, trừ vectơ:
2. Nhân vectơ với một số thực:

k R.

3. Tích vô hướng của 2 vectơ:
4. Tích có hướng của 2 vectơ: [] = = .
5. Độ dài vectơ: .
6. Hai vectơ bằng nhau: .
7. Góc giữa hai vectơ: .
8. Hai vectơ vuông góc:

 

9. Hai vectơ và cùng phương  [] = 
 nếu .
10. Ba vectơ , và đồng phẳng  [, ]. = 0.
11. Diện tích tam giác: .
12. Thể tích tứ diện ABCD: .
13. Thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’: .
14. I là trung điểm đoạn thẳng AB  .
15. G là trọng tâm tam giác ABC  .
16. Tọa độ vectơ: (

II. Phương trình mặt cầu:
1. Mặt cầu đi qua M(x0; y0; z0)
bán kính R

có phương trình là: (x – x0)2 + (y – y0)2 + (z – z0)2 = R2.

2. Phương trình x2 + y2 + z2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0 với điều kiện a 2 + b2 + c2 – d > 0 là phương trình mặt cầu
tâm I(- a; - b; - c); bán kính R = .

III. Phương trình mặt phẳng:
1. Mặt phẳng đi qua M(x0; y0; z0)
có vectơ pháp tuyến (A; B; C) có phương trình là: A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0.
2. Mặt phẳng đi qua M(x0; y0; z0) và có 2 vectơ chỉ phương và thì có vectơ pháp tuyến là:
= [; .
3. Chú ý:
•
•
•
•

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì vectơ chỉ phương của đường thẳng là vectơ pháp tuyến của
mặt phẳng. (Tìm vtcp của đường thẳng => vtpt của mp)
Đường thẳng song song với mặt phẳng thì vtcp của đt là vtcp của mp.
Hai mặt phẳng song song với nhau thì vtpt của mp này là vtpt của mp kia và ngược lại.
Hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì vtpt của mp này là vtcp của mp kia.

IV. Phương trình đường thẳng:
1. Đường thẳng

đi qua M(x0; y0; z0)


có vectơ chỉ phương (a; b; c) có
a. Phương trình tham số là: .
b. Phương trình chính tắc là:

nếu abc ≠ 0.

2. Đường đi qua M(x0; y0; z0) và có 2 vectơ vuông góc (“pháp tuyến”) và thì có vectơ chỉ phương là:
= [; .
3. Chú ý:
•
•
•
•

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là vectơ chỉ phương của
đường thẳng. (Tìm vtpt của mp => vtcp của đường thẳng).
Đường thẳng song song với mặt phẳng thì vtpt của mp có giá vuông góc với đường thẳng.
Hai đường thẳng vuông góc với nhau thì vtcp của đường thẳng có giá vuông góc với đường thẳng kia.
Hai đường thẳng song song với nhau thì vtcp của đt này là vtcp của đt kia và ngược lại.

V. Góc:
1. Góc giữa hai đường thẳng: d1, d2 có vtcp lần lượt là và , α là góc giữa chúng thì: .
2. Góc giữa hai mặt phẳng: (P) và (Q) có vtpt lần lượt là và , α là góc giữa chúng thì .
3. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: d có vtcp , (P) có vtpt là , α là góc giữa chúng thì

VI. Khoảng cách:
1. Khoảng cách giữa hai điểm A và B: AB = = ||.
2. Khoảng cách từ điểm M(x0; y0; z0) đến mp(P) Ax + By + Cz + D = 0 là:

3. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng (P) ( // (P)): Lấy A d; d(,(P)) = d(A, (P)).
4. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (P) và (Q): Lấy A (P);

d((P),(Q)) = d(A, (Q)).

5. Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng : d(M, ) = (M0 thuộc ).
6. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song 1 // 2 : Lấy M thuộc 1 , d(1, 2) = d(M, 2).
7. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau 1 và 2 : 1; 2 , d(1, 2) = .