HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN ( ĐẦY ĐỦ)

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Bài 1: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
1. Tọa độ của điểm:
( )
; ;M x y z OM xi y j zk
⇔ = + +
uuuur r r r
O(0; 0; 0)
đặcbiệt:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
; ;0 ;0;0
0; ; 0; ;0
;0; 0;0;
M Oxy M x y M Ox M x
M Oyz M y z M Oy M y
M Oxz M x z M Oz M z
∈ ⇒ ∈ ⇒
∈ ⇒ ∈ ⇒
∈ ⇒ ∈ ⇒
2. Toạ độ vectơ:
( )
; ;u x y z u xi y j zk
= ⇔ = + +
r r r r r
(1;0;0); (0;1;0); (0;0;1)i j k= = =
r r r
3. Các công thức tính toạ độ vectơ:
( )
; ;

B A B A B A
AB x x y y z z
= − − −
uuur
Cho
( )
; ;u x y z=
r
và
( )
' '; '; 'u x y z=
ur
' { '; '; '}u u x x y y z z
= ⇔ = = =
r ur
( )
' '; '; 'u u x x y y z z
± = ± ± ±
r ur
( )
; ;ku kx ky kz
=
r
4. Tích vô hướng:
. ' . ' . ' . 'u u x x y y z z
= + +
r ur
. 0u v u v= ⇔ ⊥
r r r r
5. Các công thức tính độ dài và góc

2 2 2
u x y z= + +
r
( )
2
2 2
) ( ) (
B A B A B A
AB x x y y z z
= − + − + −
( )
2 2 2 2 2 2
. ' ' ' '
cos ; '
'
. ' ' '
u u xx yy zz
u u
u u
x y z x y z
+ +
= =
+ + + +
r ur
r ur
r ur
Bài tập: Xét các bài toán dưới đây trong hệ trục tọa độ Oxyz.
1. Cho
2 , 3 5( ), 2 3u i j v i j k w i j k= − = + − = + −
r r r ur r r r uur r r r

a) Tìm tọa độ các vecto đó
b) Tìm cosin của các góc
( ) ( )
; , ;u i v j
r r r r
c) Tính tích vô hướng của
. , . , .u v u w v w
r r r ur r ur
2. Cho M(a, b, c)
a) Tìm tọa độ hình chiếu của M lên các trục tọa độ
b) Tìm tọa độ hình chiếu của M lên các mp tọa độ
3. Cho hình bình hành ABCD có A(-3; -2; 0), B(3; -3; 1), C(5; 0; 2). Tìm tọa độ D và tính góc giữa hai
vecto
,AC BD
uuur uuur
4. Tính tích vô hướng của
.a b
r r
, biết
a)
( ) ( )
3;0; 6 ; 2; 4;0a b= − = −
r r
b)
( ) ( )
1; 5;2 ; 4;3; 5a b= − = −
r r
5. Tìm góc giữa hai vecto
;u v
r r

a)
( ) ( )
1;1;1 ; 2;1; 1u v= = −
r r
b)
3 4 , 2 3u i j v j k= + = − +
r r r ur r r
6. Tìm M trên Ox sao cho M cách đều A(1; 2; 3) và B(-3; -3; 2)
7. Cho tam giác ABC có A(1 ; -1 ; 1) , B(0 ; 1 ; 2), C(1 ; 0 ; 1)
a) Tìm tọa độ trọng tâm tam giác ABC
b) Tính độ dài đường trung tuyến AM
8. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có A(1; 0; 1), B(2; 1;2), D(1; -1; 1), C’(4; 5; -5). Tính tọa độ các đỉnh
còn lại.
9. Cho tam giác ABC với A(1; 4; -1), B(2; 4; 3) và C(2; 2; -1).Tìm toạ độ D sao cho tứ giác ABCD là hình
bình hành.
TRƯỜNG THPT ĐÔNG DƯƠNG – THỦ ĐỨC – TP HCM
1
10. Trong không gian cho 4 điểm A, B, C, D có toạ độ xác đònh bởi các hệ thức: A(2; 4; -1),
OB i 4j k= + −
uuur r r r
, C(2; 4; 3),
OD 2i 2j k= + −
uuur r r r
. Chứng minh :AB
⊥
AC, AC
⊥
AD, AD
⊥
AB

11. Cho A(1;-1;1) ,B(2;-3;2), C(4;-2;2),D(3;0;1),E(1;2;3)
a)Chứng tỏ rằng ABCD là hình chữ nhật.Tính diện tích của nó.
b)Tính cos các góc của tam giác ABC
c)Tìm trên đường thẳng Oy điểm cách đều hai điểm AB
Bài 2: MẶT CẦU
1. Phương trình mặt cầu:
Mặt cầu có tâm I(a; b; c) và bán kính R :
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
x a y b z c R
− + − + − =
(1)
Phương trình mặt cầu dạng khai triển:
x
2
+y
2
+z
2
– 2ax – 2by – 2cz + d = 0, đk: a
2
+ b
2
+ c
2
– d >0 (2)
Tâm I(a; b; c) và bán kính R=
2 2 2
a b c d+ + −

2. Chú ý:
a) Mặt cầu có tâm I và qua A thì R = IA =
( ) ( ) ( )
2 2 2
A I A I A I
x x y y z z− + − + −
b) Mặt cầu có đường kính AB thì R =
1
2
AB
và tâm I là trung điểm AB
; ;
2 2 2
A B A B A B
x x y y z z
I
+ + +
 
⇒
 ÷
 
c) Mặt cầu qua 4 điểm A, B,C, D thì viết phương trình mặt cầu ở dạng (2) rồi thay tọa độ từng
điểm vào phương trình và giải hệ để tìm a, b, c, d.
Bài 1: Xác định tâm và bán kính mặt cầu:
a) x
2
+ y
2
+ z
2

-6x +4y -2z – 86 = 0
b) x
2
+y
2
+z
2
+3x + 4y – 5z +6 = 0
c) x
2
+y
2
+z
2
–6x + 4y + 2z – 11 = 0
d) (x - 1)
2
+(y +3 )
2
+(z – 2)
2
= 49
e) x
2
+y
2
+z
2
–2x +2z – 2 = 0
Bài 2: Viết phương trình mặt cầu biết:

a) mặt cầu có đường kính AB với A(4; -3; 7), B(2; 1; 3)
b) mặt cầu đi qua điểm A(5; -2; 1) và có tâm C(3; -3; 1)
c) mặt cầu qua 4 điểm A(2; 4; -1), B(1; 4; -1), C(2; 4; 3), D(2; 2; -1)
d) mặt cầu qua 4 điểm A(1 ; 0 ; -1), B(3 ; 4 ; -2), C(4 ; -1 ; 1), D(3 ; 0 ; 3)
Bài 3: Trong không gian Oxyz cho A(1; -1; 2), B(1; 3; 2), C(4; 3; 2), D(4; -1; 2)Gọi A’ là hình chiếu
của A lên Oxy. Viết phương trình mặt cầu (S) qua A’, B, C, D.
Bài 4: Lập pt mặt cầu đi qua 3 điểm A(1;2;-4), B(1;-3;1) , C(2;2;3) và có tâm nằm trên mp Oxy
Bài 5 : Chứng tỏ rằng phương trình
2 2 2 2
4 2 4 4 0x y z mx my z m m+ + + − + + + =
ln là phương trình
của một mặt cầu. Tìm m để bán kính mặt cầu là nhỏ nhất.
Bài 6 : Chứng tỏ rằng phương trình
2 2 2 2
2 os . 2sin . 4 4 4sin 0x y z c x y z
α α α
+ + + − + − − =
ln là
phương trình của một mặt cầu. Tìm
α
để bán kính mặt cầu là lớn nhất.
Bài 3: TÍCH CĨ HƯỚNG CỦA HAI VEC TƠ
Cơng thức tích có hướng
Cho
( )
; ;u x y z=
r
và
( )
' '; '; 'u x y z=

ur
;
' ; ; ( ' '; ' '; ' ')
' ' ' ' ' '
y z z x x y
u u yz zy zx xz xy yx
y z z x x y
 
∧ = = − − −
 ÷
 
r ur
Nhận xét:
1.
;u v
r r
cùng phương thì
( )
0 0;0;0u v∧ = =
r r r
2.
u v v u∧ = − ∧
r r r r
3.
( ); ( )u u v v u v⊥ ∧ ⊥ ∧
r r r r r r
4. Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi
0AB AC∧ =
uuur uuur r
Bài tập:

1. Tính tích có hướng của các vect ơ:
TRƯỜNG THPT ĐƠNG DƯƠNG – THỦ ĐỨC – TP HCM
2
a)
( ) ( )
3;0; 6 ; 2; 4;0a b= − = −
r r
b)
( ) ( )
1; 5;2 ; 4;3; 5a b= − = −
r r
c)
( ) ( )
1;1;1 ; 2;1; 1u v= = −
r r
d)
3 4 , 2 3u i j v j k= + = − +
r r r ur r r
2. Cho 4 điểm A(-2; 6; 3), B(1; 0; 6), C(0; 2; -1), D(1; 4; 0)
a) Tính
; ;AB AC BA BC∧ ∧
uuur uuur uuur uuur
b) Tính
( ); ( )AD AB AC BD BA BC∧ ∧
uuur uuur uuuur uuur uuur uuur
3. Cho 4 điểm A(1; 0;0) , B(0; 1; 0), C(0;0;1), D(-2; 1; -1)
a) Chứng minh A, B, C không thẳng hàng
b) Tìm góc giữa hai vecto
;AB CD
uuur uuur

Tính
( ); ( )AD AB AC BD BA BC∧ ∧
uuur uuur uuuur uuur uuur uuur
4. Cho M(1 ; -2 ; 3). Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu của M lên các trục Ox, Oy, Oz. Tính :
;HI HK IK KH∧ ∧
uuur uuur uur uuur
5. Cho M(1 ; -2 ; 3). Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu của M lên các mặt phẳng tọa độ Oxy, Oyz, Ozx.
Tính :
;HI HK IK KH∧ ∧
uuur uuur uur uuur
6. Trong khoâng gian Oxyz cho B(1; 1; 1), C(1/3; 1/3; 1/3).Chöùng minh O, B, C thaúng haøng.
Bài 4 : MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN
I. Phương trình mặt phẳng:
1. Phương trình tổng quát của mặt phẳng:
B1: Tìm toạ độ vectơ pháp tuyến
( ; ; )n A B C=
r
( là vectơ vuông góc với mặt phẳng)
B2: Tìm toạ độ điểm M
0
(x
0
; y
0
; z
0
) thuộc mặt phẳng
B3: Thế vàp pt: A(x –x
0
) + B(y-y

0
) +C(z-z
0
) = 0, khai triển đưa pt về dạng: Ax + By +Cz + D = 0
2. Chú ý:
Cho mp (P) :Ax + By +Cz + D = 0
a. VTPT của (P)
( ; ; )n A B C=
r
b. Nếu điểm M(x
1
; y
1
; z
1
)
∈
(P) thì Ax
1
+By
1
+Cz
1
+D=0
Trong trường hợp chưa tìm được vectơ pháp tuyến thì tìm hai vectơ không cùng phương
; 'u u
r ur
có giá
song
song hoặc nằm trong mp . Khi đó VTPT của mp là:

'n u u= ∧
r r ur
3. Các trường hợp đặc biệt:
a) Phương trình mp tọa độ: mp(Oxy): z = 0, mp(Oyz): x = 0, mp(Oxz): y = 0
b) Mp song song với các mặt tọa độ:
song song với (Oxy): Cz + D = 0,
song song với (Oyz): Ax + D = 0 ,
song song với (Oxz): By + D = 0
c) Mp song song hoặc chứa các trục tọa độ:
song song với Ox: By + Cz + D = 0
song song với Oy: Ax + Cz + D = 0
song song với Oz: Ax + By + D = 0
chứa trục Ox: By + Cz = 0
chứa trục Oy: Ax + Cz = 0
chứa trục Oz: Ax + By = 0
d) Mp chứa gốc tọa độO(0; 0; 0): Ax + By + Cz = 0
e) Đặc biệt mp(P) qua A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) có phương trình dạng:
1
x y z
a b c
+ + =
Bài tập:
1. Cho A(-1;2;3), B(2;-4;3), C(4;5;6)
a)Viết phương trình mp đi qua A và nhận vectơ
(1; 1;5)n −
r
làm vectơ pháp tuyến
b)Viết phương trình mp đi qua A biết rằng hai véctơ có giá song song mp đó là
(1;2; 1), (2; 1;3)a b− −
r

r
c)Viết phương trình mp qua C và vuông góc với đường thẳng AB
d)Viết phương trình mp trung trực của đoạn AC
e)Viết phương trình mp (ABC)
2. Viết phương trình mặt phẳng (
α
) trong các trường hợp sau:
TRƯỜNG THPT ĐÔNG DƯƠNG – THỦ ĐỨC – TP HCM
3
a) (
α
) vuông góc với AB tại A, biết A(1;0;−2), B(2;1;1). b) (
α
) qua ba điểm M(2;−1;3), N(4;2;1),
P(−1;2;3).
3. Trong không gian cho A(−1;2;1),
3OB j k= +
uuur r r
,
4OC i k= +
uuur r r
.
a) Chứng minh ABC là tam giác vuông.
b) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (ABC).
4. Trong không gian Oxyz, cho A(-2; 2; 4) , B(-2; 2; 0), C(-5; 2; 0), D(-2; 1; 0).
Viết phương trình mặt phẳng (ABC).Chứng tỏ A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện.
5. Viết phương trình mặt phẳng:
a) chứa trục Ox và điểm A(1; 2; 3) b) chứa trục Oy và điểm B(- 2 ; 3 ; 5)
c) chứa trục Oz và điểm C(2 ; -1 ; 2)
6. Cho tứ diện ABCD có A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0; 4), D(4; 0; 6)

a) Viết phương trình mp (ACD) và (BCD)
b) Viết phương trình mp chứa AB và song song CD
c) viết phương trình mp chứa CD và song song AB.
7. Viết phương trình các mp qua M(1; 3; -5) và lần lượt song song các mp tọa độ.
8. Cho điểm M(-2; 3; 1). Viết phương trình mp đi qua các điểm lần lượt là hình chiếu của M lên các trục toạ
độ.
9. Cho điểm M(-2; 3; 1). Viết phương trình mp đi qua các điểm lần lượt là hình chiếu của M lên các mp toạ
độ
10. ( TN 07 -08)
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(1; 4; -1), B(2; 4; 3) và C(2; 2; -1). Viết
phương trình mp đi qua A và vuông góc với đường thẳng BC
11.( ĐH khối B năm 07 -08) Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm A(0; 1; 2), B(2; -2; 1), C(-2; 0 1)
a) Viết phương trình mặt phẳng qua 3 điểm A, B, C ( đs: x + 2y – 4z + 6 = 0)
b) Tìm M thuộc mặt phẳng (P): 2x + 2y + z – 3 = 0 sao cho MA = MB = MC. ( Đáp án: M(2; 3; -7)
II. Vị trí tương đối giữa hai mp:
Cho mp (P) :Ax + By +Cz + D = 0 và (P’): A’x + B’y +C’z + D’ = 0
Khi đó (P) và (P’) lần lượt có các vecto pháp tuyến là
( )
( ; ; ); ' '; '; 'n A B C n A B C= =
r ur
1. (P) // (P’)
( ) ( )
; ; '; '; '
'
'
'
A B C k A B C
n kn
D kD
D kD


=
=
 
⇔ ⇔
 
≠
≠




r ur
2.
( ) ( )
( ) ( )
; ; '; '; '
'
'
'
'
A B C k A B C
n kn
P P
D kD
D kD

=
=
 

≡ ⇔ ⇔
 
=
=




r ur
3. (P) cắt (P’)
( ) ( )
' ; ; '; '; 'n kn A B C A B C⇔ ≠ ⇔ ≠
r ur
Trong trường hợp này nếu AA’ +BB’ +CC’ = 0
'n n⇔ ⊥ ⇔
r r
hai mặt phẳng vuông góc
Chú ý:
Cho mp (P): Ax + By + Cz + D = 0 suy ra (P) có VTPT
( ; ; )n A B C=
r
1. Nếu (P’) // (P) thì (P’) cũng nhận
( ; ; )n A B C=
r
là VTPT
2. Nếu
( ) ( )
'P P⊥
thì (P’) chứa hoặc chứa
( ; ; )n A B C=

r

Bài tập:
1. Viết phương trình mặt phẳng (
α
) trong các trường hợp sau:
a) (
α
) qua A(0; −2; 1) và song song với mặt phẳng (
β
): x−3z+1=0.
b) (
α
) qua B(2 ; 3 ; -2) và song song với mặt phẳng (
β
): x−3y + 2z - 1=0.
c) (
α
) qua C( -1 ; 2 ; -1) và song song với mặt phẳng (
β
): 2x + y - 2z+4=0
d) (
α
) qua gốc tọa độ và song song với mặt phẳng (
β
): 4x + y - z+1=0.
2. Viết phương trình mặt phẳng (
α
) trong các trường hợp sau:
a) (

α
) qua hai điểm A(3;1;−1), B(2;−1;4) và vuông góc với mặt phẳng (
β
):2x−y+3z+1=0.
b) (
α
) qua hai điểm
( ) ( )
1;0;3 , 5;2;3A B−
và vuông góc với mặt phẳng (
β
):
2 0x y z+ − =
c) (
α
) qua hai điểm
( ) ( )
1;0;1 , 1;2;4A B
và vuông góc với mặt phẳng (
β
):
3 0x z− + =
d) (
α
) qua hai điểm
( ) ( )
2; 1;2 , 1; 2;3A B− −
và vuông góc với mặt phẳng (
β
):

3 2 6 0x y+ − =
3. Viết phương trình mp qua B(4 ; -2 ; -1) và vuông góc với 2 mp (Oxy), mp (P) : x – y + 2z + 1 = 0
4. (TN 06 – 07)Trong không gian Oxyz, cho M(-1; -1; 0) và mp(P): x + y – 2z – 4 = 0. Viết mp(Q) qua M
và song song với (P)
TRƯỜNG THPT ĐÔNG DƯƠNG – THỦ ĐỨC – TP HCM
4
5. (CĐ 08 – 09) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các mặt phẳng (P
1
) : x + 2y + 3z + 4 = 0 và (P
2
)
: 3x + 2y − z + 1 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1; 1; 1), vuông góc với hai mặt
phẳng (P
1
) và (P
2
)
6. Xác định các giá trị của m, n để mỗi cặp mặt phẳng sau đây là một cặp mp song song với nhau
a) 2x + my + 3z – 5 = 0 và nx – 8y – 6z +2 = 0
b) 3x – 5y + mz - 3 = 0 và 2x + nx – 3y – 3z + 1 = 0
Tóm tắt một số cách viết phương trình mặt phẳng :
Loại 1 : Biết một điểm M
0
(x
0
;y
0
;z
0
) và một vectơ pháp tuyến

( )
≠
r ur
n= A;B;C 0
của mặt phẳng (α):
(α):
( ) ( ) ( )
0 0 0
A x- x +B y -y +C z-z = 0
(1)
Hay:
Ax+By+Cz+D= 0
Loại 2: (α) đi qua ba điểm M, N, P không thẳng hàng:
* Vectơ pháp tuyến:
∧
r uuur uuur
n=MN MP
.
* Điểm thuộc mặt phẳng: M (hoặc N hoặc P). Thay các kết quả vào (1).
Loại 3: (α) đi qua A(x
A
;y
A
;z
A
) và song song với mặt phẳng (β):
Ax+By+Cz+D= 0
* (α) có dạng
Ax+By+Cz+m=0
,

( )
α
uur uur
β
n =n
.
* Thay tọa độ điểm A vào (α) để tìm
( )
( )
A A A
m, m=- Ax +By +Cz
.
Loại 4: (α) đi qua hai điểm M, N và vuông góc với mặt phẳng (β):
Ax+By+Cz+D= 0
,
(MN không vuông góc với (β):
* (α) có
α
∧
uur uuur uur
β
n =MN n
.
* Điểm thuộc mặt phẳng: M (hoặc N). Thay các kết quả vào (1).
III. Khoảng cách từ một điểm đến 1 mặt phẳng:
Định lý: Cho điểm M(x
0
; y
0
; z

0
) và mp (P) :Ax + By +Cz + D = 0
0 0 0
2 2 2
( ,( ))
Ax By Cz D
d M P
A B C
+ + +
=
+ +
Bài tập:
Loại 1 : Khoảng cách từ M (x
M
;y
M
;z
M
) đến mặt phẳng (α):
Ax+By+Cz+D= 0
:
( )
α
M M M
2 2 2
Ax +By +CZ +D
d M, =
A +B +C
Loại 2: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (α), (β) song song: Lấy một điểm M tùy ý trên mặt phẳng này, tính
khoảng cách từ M điểm đó đến mặt phẳng kia.

1. Tính Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P), biết:
a) M (1; 2; 3), (P): 2x – y + 2z – 10 = 0
b) M( 2; -2; 3), (P): 4x – 3z + 3 = 0
c) M ( 0; -1; 3), (P): 3y – 11 = 0
2.Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng lần lượt có phương trình: x + 2y + 2z + 11 = 0 và x + 2y + 2z + 2 = 0
3.Trong không gian Oxyz, cho điểm A(-2; 4; 3) và mp (P) có phương trình: (P): 2x – 3y + 6z + 19 = 0
Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (Q) đi qua điểm A và song song với mặt phẳng (P). Tìm
khoảng cách giữa 2 mặt phẳng (P) và (Q).
4.Tìm m để khoảng cách từ M(m;0;1) đến mặt phẳng (
α
): 2x+y−2z+2=0 bằng
2
3
. ĐS: m=±1
5.Trong không gian Oxyz, cho 4 điểm A(-2; 6; 3), B(1; 0; 6), C(0; 2; -1), D(1; 4;0).
a) Viết phương trình mặt phẳng (BCD). Suy ra ABCD là một tứ diện.
b) Tính chiều cao AH của tứ diện ABCD

6.Cho 4 điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(-2; 1; -1). Tính độ dài đường cao của hình chóp A.BCD
7.Trong không gian Oxyz, cho 4 điểm A(1; 0; -1), B(3; 4; -2), C(4; -1; 1), D(3; 0; 3) .
a) Chứng minh tam giác ABC vuông tại A
b) Viết phương trình mặt phẳng (ABC). Chứng minh ABCD là một tứ diện
c) Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng (ABC)
TRƯỜNG THPT ĐÔNG DƯƠNG – THỦ ĐỨC – TP HCM
5
d) Tính thể tích tứ diện ABCD.
8. ( TN năm 07 – 08) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(3; -2; -2) và mp(P) có phương
trình: 2x – 2y + z – 1 = 0.Tính khoảng cách từ A đến mp(P). Viết phương trình của mp(Q) sao cho (Q)//
(P) và khoảng cách giữa (P) và (Q) bằng khoảng cách từ A đến (P).
9. (TN năm 08 – 09) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): (x-1)

2
+ (y -2)
2
+ (z -2)
2
= 36 và mặt phẳng
(P): x +2y + 2z + 18 = 0. Xác định tâm T và tính bán kính của mặt cầu (S). Tính khoảng cách từ T đến
(P).
10.Cho 4 điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(-2; 1; -1). Tính độ dài đường cao của hình chóp A.BCD
11. (ĐH – khối B – 09)Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD có A(1; 2; 1), B(-2; 1; 3), C(2; -1; 1) và
D(0; 3; 1). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ C đến (P) bằng khoảng
cách từ D đến (P).
Hướng dẫn: có 2 trường hợp :
(P) chứa AB và song song CD ( Đs : 4x + 2y + 7z – 15 = 0
(P) qua A, B và M là trung điểm của CD ( Đs : 2x + 3z – 5 = 0)
12.Trong không gian Oxyz, cho 4 điểm A(1; 0; -1), B(3; 4; -2), C(4; -1; 1), D(3; 0; 3) . Tính thể tích tứ diện
ABCD.
13. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp chữ nhật OABC.O’A’B’C’ có các đỉnh A(3; 0;
0), C(0; 4; 0), O’(0; 0; 5), O(0; 0; 0) và điểm B’ là đỉnh đối diện với O.
a) Viết phương trình mặt phẳng (ACO’) và tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng này.
b) Tìm tọa độ điểm B’. Tính khoảng cách từ O đến (ACB’)
14.Giải bài toán sau bằng phương pháp toạ độ:
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1.
a) Chứng minh (AB’D’)//(BC’D)
b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng nói trên
Sử dụng khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng để giải các bài toán liên
quan:
AD1: Viết phương trình mặt cầu có tâm và tiếp xúc với một mặt phẳng cho trước



Mặt cầu có tâm I và tiếp xúc mặt phẳng (P) thì có bán kính bằng khoảng cách từ tâm I đến mp(P)
15.Trong không gian Oxyz, cho 4 điểm A(3; -2; -2), B(3; 2; 0), C(0; 2; 1), D(-1; 1; 2). Viết phương trình
mặt cầu tâm A và tiếp xúc mặt phẳng (BCD)
16.Trong không gian Oxyz, cho A(-2; 2; 4) , B(-2; 2; 0), C(-5; 2; 0), D(-2; 1; 0).Viết phương trình mặt cầu
tâm D và tiếp xúc mp (ABC).
17.( TN năm 06 – 07) Trong không gian Oxyz, cho mp(α): x + 2y – 2z +6 = 0.Viết phương trình mặt cầu
tâm là gốc toạ độ và tiếp xúc với mp(α).
18.(Khối B – năm 2005)Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ đứngABC.A’B’C’ với A(0; -3; 0), B(4;
0; 0), C(0; 3; 0), B’(4; 0; 4). Tìm toạ độ điểm A’, C’. Viết phương trình mặt cầu có tâm A và tiếp xúc mặt
phẳng (BCC’B’)
AD2: Xét vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu:


Nhắc lại một số công thức:
Cho mặt cầu (S) có tâm I, bán kính R và mp(P)
Để xét vị trí tương đối của (S) và (P), ta tính khoảng cách từ I đến (P) và so sánh với bán kính R
a) Nếu
( )
( )
,d I P R>
thì mặt cầu (S) và mp(P) không có điểm chung
b) Nếu
( )
( )
,d I P R=
thì mặt cầu (S) và mp(P) có duy nhất 1 điểm chung.
Trường hợp này, ta nói (S) và (P) tiếp xúc
c) Nếu
( )
( )

,d I P R<
thì mặt cầu (S) và mp(P) cắt nhau theo 1 đường tròn (C) có tâm là
hình chiếu của I lên (P) và bán kính
( )
( )
,
2 2
I Pr R d= −
TRƯỜNG THPT ĐÔNG DƯƠNG – THỦ ĐỨC – TP HCM
6
19. Cho mặt cầu (S):
( ) ( ) ( )
2 2 2
3 2 1 100x y z− + + + − =
và mặt phẳng
( )
α
2x – 2y – z + 9 = 0. Chứng tỏ mặt
phẳng
( )
α
cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn (C). Hãy tính bán kính của đường tròn (C).
20. Cho mặt cầu (S) :
6 4 2 5
2 2 2
0
x x y z
y z
− + − +
+ + =

và mặt phẳng
( )
α
x + 2y + 2z + 11 = 0. Chứng tỏ
mặt phẳng
( )
α
không cắt mặt cầu (S) .
21. Cho mặt cầu (S):
4 6 6 17
2 2 2
0
x x y z
y z
− + + +
+ + =
và mặt phẳng
( )
α
x – 2y +2z + 1 = 0. Chứng tỏ
mặt phẳng
( )
α
cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn (C). Hãy tính bán kính của đường tròn (C).
22. Cho tứ diện ABCD có A(3; 6; -2), B(6; 0; 1), C(-1; 2; 0), D(0; 4; 1).
a) Viết pt mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD. Xác định tâm và tính bán kính mc (S)
b) Viết phương trình mặt phẳng (ABC)
c) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
23. (ĐH – Khối B - 07) Cho mặt cầu (S): x
2

+ y
2
+ z
2
– 2x +4y +2z -3 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (Q)
chứa trục Ox và cắt (S) theo 1 đường tròn có bán kính bằng 3.
24.Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng(P) có phương trình: 2x + 2y + z – m
2
– 3m = 0 và mặt cầu (S):
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 1 1 9x y z− + + + − =
. Tìm m để (P) tiếp xúc mặt cầu.
Hướng dẫn : dùng điều kiện tiếp xúc. Đáp số: m = - 5 hoặc m = 2
AD3: Vận dụng khoảng cách để viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu

Nhắc lại công thức: Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S)
( )
( )
,d I P R=⇔
25. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) và mặt phẳng ( P) lần lượt có phương trình
x
2
+ y
2
+z
2
- 2x + 2y +4z - 3 = 0 ; x – y – 2z + 1 = 0 .
Viết phương trình mặt phẳng
( )

α
tiếp xúc với mặt cầu (S) và song song với mp (P)
26.Trong không gian Oxyz, cho 4 điểm A(2; 4; -1), B(1; 4; -1), C(2; 4; 3), D(2; 2; -1)
a) Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua 4 điểm A, B, C, D.
b) Viết phương trình mặt phẳng
( )
α
tiếp xúc với mặt cầu (S) và song song với mp(ABD)
Đs: a) x
2
+ y
2
+ z
2
–3x – 6y – 2z + 7 =0 b)
21
1 0
2
z ± − =
Bài 5 : ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
I. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
1. Viết PTTS, PTCT của đường thẳng
B1: Tìm toạ độ vectơ chỉ phương (a; b; c) ( là vectơ có giá song song hoặc trùng với đường thẳng đó.
B2: Tìm toạ độ điểm M
0
(x
0
; y
0
; z

0
) thuộc đường thẳng
B3: PTTS:
0
0
0
x x at
y y bt
z z ct
= +


= +


= +

PTCT:
0 0 0
; , , 0
x x y y z z
a b c
a b c
− − −
= = ≠
2. Chú ý
a) Nếu đường thẳng d là giao tuyến của hai mp (P) :Ax + By +Cz + D = 0 và (P’): A’x + B’y +C’z +
D’ = 0
Khi đó đt d có VTCP:
'

; ;
' ' ' ' ' '
P P
B C C A A B
u n n
B C C A A B
 
= ∧ =
 ÷
 
r uur uur
Muốn tìm một điểm thuộc d thì ta cho x = x
0
(thường cho x = 0), giải hệ phương trình tìm y, z
b) Đường thẳng d qua 2 điểm A, B thì d có VTCP là
AB
uuur
c) Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng(P) thì d có VTCP là VTPT của (P)
d) đường thẳng d song song với đường thẳng
∆
thì d và
∆
có cùng VTCP
e) hai đường thẳng vuông góc thì hai vectơ chỉ phương của chúng vuông góc

BÀI TẬP:
TRƯỜNG THPT ĐÔNG DƯƠNG – THỦ ĐỨC – TP HCM
7
1. Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng d trong các trường hợp sau:
a) (d) đi qua A(1;2;3) và B(3; 5; 7)

b) (d) qua C(-2; 0; 2) và D(1; -2; 3)
2. Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc ( nếu có) của đường thẳng d trong các trường hợp sau:
a) (d) qua M(-1; 3; 1) và vng góc với mặt phẳng(P): 2x – y + 3z + 1 = 0
b) (d) qua N(0; 2; 3 ) và vng góc với mặt phẳng(Q): x + y - z = 0
3. Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc ( nếu có) của đường thẳng d trong các trường hợp sau:
a) (d) qua K(-2; -1; 3) và song song đường thẳng
4
1
3
x t
y t
z t
=


∆ = −


= +

b) (d) qua K(0; 3; -2) và song song đường thẳng
3
2
1 5
x t
y
z t
= −



∆ =


= − +

4. Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng d là giao tuyến của 2 mặt phẳng :
a) (P): x + 2y – 2z + 1= 0 và (Q): x – y + z – 4 = 0
b) (P): 3x - y – z + 2 = 0 và (Q): x + 2z + 1 = 0
5. Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua điểm M(2; -1; 3) và vng
góc với hai đường thẳng:
1 2
:
2 3 1
x y z+ −
∆ = =
−
và
3 1
':
3 4 2
x y z− +
∆ = =
−
6. (TN năm 2007) Trong khơng gian Oxyz, cho M(-1; -1; 0) và mp(P): x + y – 2z – 4 = 0.Viết phương trình
tham số của đường thẳng d qua M và vng góc với (P). Tìm toạ độ giao điểm của d và mp(P)
7. (TN năm 2008)Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(3; -2; -2) và mp(P) : 2x – 2y + z – 1
= 0. Viết phương trình của đường thẳng đi qua A và vng góc với mp(P)
8. (TN năm 2009) Trong khơng gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x +2y + 2z + 18 = 0. Viết phương trình
tham số của d đi qua T và vng góc với (P). Tìm tọa độ giao điểm của d và (P)
9. (ĐH- Khối A- 2005)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d:

x 1 y 3 z 3
1 2 1
− + −
= =
−
và mp(P): 2x + y – 2z + 9 = 0. Tìm tọa độ điểm I thuộc d sao cho khoảng cách từ I đến mp (P) bằng 2.
II. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
Cho
∆
qua M(x
0
; y
0
; z
0
) và có vectơ chỉ phương
( )
; ;u a b c=
r


∆
’ qua M’(x’
0
; y’
0
; z’
0
) và có vectơ chỉ phương
( )

' '; '; 'u a b c=
ur

có PTTS là:
0 0
0 0
0 0
' ' '
; ' ' ' '
' ' '
x x at x x a t
y y bt y y b t
z z ct z z c t
= + = +
 
 
∆ = + ∆ = +
 
 
= + = +
 
*) Nếu thấy
'u ku=
r ur
thì lấy tọa độ điểm
M ∈∆
thế vào phương trình đường thẳng
∆
’. Xảy ra 2
khả năng:

TH1:
'M ∈∆
thì hai đường thẳng trên trùng nhau
TH2:
'M ∉∆
thì 2 đường thẳng trên song song
*) Nếu thấy
'u ku≠
r ur
thì giải hệ phương trình gồm hai phương trình của 2 đường thẳng
0 0
0 0
0 0
' ' '
' ' '
' ' '
x at x a t
y bt y b t
z ct z c t
+ = +


+ = +


+ = +

TH3: hệ có duy nhất nghiệm thì hai đường thẳng trên cắt nhau
TH4: hệ vơ nghiệm thì hai đường thẳng trên chéo nhau
*) Nếu aa’+ bb’ + cc’ = 0 thì hai đường thẳng trên vng góc.

TRƯỜNG THPT ĐƠNG DƯƠNG – THỦ ĐỨC – TP HCM
8
10. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng sau:
a)
'
2 4 ; ' 1 4 '
3 3 3 3 '
x t x t
y t y t
z t z t
= = −
 
 
∆ = − ∆ = +
 
 
= − − = − +
 
b)
9
3
5 ; ':
18 10 2
3
x t
x y z
y t
z t
=


+

∆ = ∆ = =

− −

= − −

c)
1 7 3 6 1 2
: ; ':
2 1 4 3 2 1
x y z x y z
d d
− − − − + +
= = = =
−
d)
1
2 3
: ; ': 2
1 2 3
2 3
x t
x y z
d d y t
z t
= +

+ +


= = = − +


= +

11. Cho hai đường thẳng d và d’ có phương trình:
1 1 3 1 3
: ; ':
3 2 2 1 1 2
x y z x y z
d d
+ − − − +
= = = =
−
a) Tìm tọa độ giao điểm của d và d’
b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa cả hai đường thẳng đó.
12. Cho 2 đường thẳng
1 3 '
4 2 ; ' 3 2 '
3 2
x x t
d y t d y t
z t z
= = −
 
 
= − + = +
 
 

= + = −
 
a) Chứng minh d và d’ chéo nhau
b) Viết phương trình mặt phẳng(P) chứa d và song song d’. Viết phương trình mặt phẳng (Q)
chứa d’ và song song d. Từ đó suy ra vị trí tương đối giữa (P) và (Q).
III. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GI ỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẰNG
Cho mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 và đường thẳng d:
0
0
0
x x at
y y bt
z z ct
= +


= +


= +

Xét hệ phương trình
( )
( )
( )
( )
0
0
0
1

2
3
0 4
x x at
y y bt
z z ct
Ax By Cz D
= +


= +


= +


+ + + =

Thay (1), (2), (3) vào (4), ta có phương trình : A(x
0
+ at) + B(y
0
+ bt) + C(z
0
+ ct) + D = 0 (*)
TH1: (*) vô nghiệm thì d và (P) không có giao điểm hay d và (P) song song
TH2: (*) có 1 nghiệm t duy nhất thì d và (P0 có 1 giao điểm hay d và (P) cắt nhau tại 1 điểm
TH3: (*) có vô số nghiệm thì d và (P) có vô số giao điểm hay d nằm trong mặt phẳng (P)
Chú ý:
1. Trong trường hợp d // (P) hoặc

( )
d P⊂
thì VTCP của d và VTPT của (P) vuông góc
2. Khi d // (P) thì khoảng cách giữa d và (P) chính là khoảng cách từ một điểm trên d đến mặt
phẳng (P)
13. Tìm số giao điểm của đường thẳng (d) và mặt phẳng (P):
TRƯỜNG THPT ĐÔNG DƯƠNG – THỦ ĐỨC – TP HCM
9
a)
( )
12 4
: 9 3 ; :3 5 2 0
1
x t
d y t P x y z
z t
= +


= + + − − =


= +

b)
( )
1
: 2 ; : 3 1 0
1 2
x t

d y t P x y z
z t
= +


= − + + + =


= +

c)
( )
1
: 1 2 ; : 4 0
2 3
x t
d y t P x y z
z t
= +


= + + + − =


= −

d)
( )
1 3
: 1 2 ; : 6 2 3 1 0

3 5
x t
d y t P x y z
z t
= +


= − + − − + =


= −

CÁC CHUYÊN ĐỀ
CHUYÊN ĐỀ 1: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Phương trình tổng quát của mặt phẳng :
Ax + By +Cz + D = 0 với
0
222
>++ CBA
, VTPT của (P)
( ; ; )n A B C=
r
2. Phương trình mặt phẳng đi qua một điểm M
0
(x
0
; y
0
; z

0
) và có VTPT của (P)
( ; ; )n A B C=
r
A(x –x
0
) + B(y-y
0
) +C(z-z
0
) = 0, khai triển đưa pt về dạng: Ax + By +Cz + D = 0
3. Mặt phẳng (P) qua A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) có phương trình dạng:
1
x y z
a b c
+ + =
, với
a, b, c khác 0
B. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng
( )
α
đi qua 1 điểm M
0
(x
0
; y
0
; z
0

) và song song với 1 mặt
phẳng
( )
β
cho trước
Phương pháp giải:
Cách 1:
1. Tìm VTPT của
( )
β
là
( )
; ;n A B C
β
=
uur
2. VTPT của mặt phẳng
( )
α
là
( )
; ;n n A B C
α β
= =
uur uur
3. Phương trình mặt phẳng
( )
α
: A(x –x
0

) + B(y-y
0
) +C(z-z
0
) = 0,
Cách 2:
1. Giả sử mặt phẳng
( )
β
có phương trình : Ax + By + Cz + D = 0
2. Mặt phẳng
( )
α
//
( )
β
nên phương trình
( )
α
có dạng: Ax + By + Cz + D’ = 0 (*)
3. Vì
( )
α
qua 1 điểm M
0
(x
0
; y
0
; z

0
) nên thay tọa độ M
0
(x
0
; y
0
; z
0
) vào(*). Tìm D’
Bài tập :
1.1 Viết phương trình mặt phẳng
( )
α
a) qua A( 1; 2; -1) và song song mặt phẳng
( )
β
: 2x + 3y – 4z – 2 = 0
b) qua B(- 1; -2; 0) và song song mặt phẳng
( )
β
: x + y – z + 4 = 0
1. 2 Cho 4 điểm A(2; 3; 1), B(1; 1; -2), C(2; 1; 0), D(0; -1; 2). Viết phương trình mặt phẳng đi qua
D và song song mặt phẳng (ABC)
Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng
( )
α
đi qua 3 điểm M, N, P không thẳng hàng
Phương pháp giải
* Tìm tọa độ các vectơ:

;
uuur uuur
MN MP
* Vectơ pháp tuyến:
∧
r uuur uuur
n=MN MP
.
* Điểm thuộc mặt phẳng: M (hoặc N hoặc P).
* Viết phương trình mặt phẳng qua 1 điểm và có VTPT
r
n
2.1 Viết phương trình mặt phẳng
a) qua 3 điểm A(-2; 0; 1), B(0; 10; 3), C(2; 0; -1)
TRƯỜNG THPT ĐÔNG DƯƠNG – THỦ ĐỨC – TP HCM
10
b) qua 3 điểm M(1; 1; 1), N(4; 3; 2), P(5; 2; 1)
2.2 Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có B(-1; 0; 3), D(1; 2; 1), A’(2; -1; 1), C’(-2; 5; -3)
a) Viết phương trình mặt phẳng (A’BD) và (CB’D’), chứng minh 2 mặt phẳng này song song.
b) Viết phương trình 2 mặt phẳng (AA’C’C) và (BB’D’D).
2.3 Cho 4 điểm A(-1; 2; 0); B(-3; 0; 2), C(1; 2; 3), D(0; 3; -2). Viết phương trình mặt phẳng (ABC)
và suy ra 4 điểm A, B, C, D tạo thành 1 tứ diện.
Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng
( )
α
đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng
∆
Phương pháp giải
1. Tìm VTCP của
∆

là
u
∆
r
2. Vì
( )
α
⊥ ∆
nên
( )
α
có VTPT
n u
∆
=
r uur
3. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT
3.1. Viết phương trình mặt phẳng đi qua M(3; -2; 1) và vuông góc với đường thẳng
∆
1 2
3
3 2
x t
y t
z t
= +


= −



= +

3.2. Viết phương trình mặt phẳng đi qua N(0; 2; 3) và vuông góc với đường thẳng
∆
2 2 1
3 1 1
x y z− + −
= =
−
3.3. Cho đường thẳng d:
1 2
2
3
x t
y t
z t
= −


= +


= −

và mặt phẳng (P): 2x + y + z = 0
a) Tìm tọa độ giao điểm A của d và
( )
α
b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua A và vuông góc với d.

3.4. Viết phương trình mặt phẳng đi qua P(-1; 2; 1) và vuông góc với giao tuyến của 2 mặt
phẳng (P): 3x + 2y – 2z + 8 = 0 và (Q): 2x – y + 3z + 7 = 0
3.5. Cho mặt phẳng (P): 3x + 5y – z – 2 = 0 và đường thẳng d:
12 4
9 3
1
x t
y t
z t
= +


= +


= +

a) Tìm giao điểm M của (P) và d
b) Viết phương trình mặt phẳng chứa M và vuông góc với đường thẳng d
Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng
( )
α
chứa đường thẳng
∆
và vuông góc với mặt phẳng
( )
β
Phương pháp giải
1. Tìm VTPT của
( )

β
là
n
β
uur
2. Tìm VTCP của
∆
là
u
∆
uur
3. VTPT của mặt phẳng
( )
α
là:
n n u
α β
∆
= ∧
uur uur uur
4. Lấy một điểm M trên
∆
5. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 đi ểm và có 1 VTPT
4.1 Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng
1 1 1
:
1 2 3
x y z
d
− + −

= =
và vuông góc với mặt
phẳng (P): x – y + 3z + 2 = 0
4.2 Viết phương trình mp đi qua A(1; 2; 10) , B(2; 1; 3) và vuông góc với (P): x – 3y + 2z - 6 = 0
TRƯỜNG THPT ĐÔNG DƯƠNG – THỦ ĐỨC – TP HCM
11
4.3 Viết phương trình mp đi qua C(2; -1; 4) , D(3; 2; -1 ) và vuông góc với (Q): x + y + 2z + 1 = 0
4.4 Viết phương trình mp đi qua giao tuyến của 2 mp (P): 2x – y + 3z + 1 = 0, (Q): x + y – z + 5 = 0 và
vuông góc với mặt phẳng ( R): 3x – y + 1 = 0
Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng
( )
α
chứa đường thẳng
∆
và song song với
∆
’ (
∆
,
∆
’
chéo nhau)
Phương pháp giải
1. Tìm VTCP của
∆
và
∆
’ là
u
∆

uur
và
'
u
∆
uur
2. VTPT của mặt phẳng
( )
α
là:
'
n u u
α
∆ ∆
= ∧
uur uur uur
3. Lấy một điểm M trên
∆
4. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT
5.1 Cho hai đường thẳng
1 2
1
1
: ;
2 1 1
x t
x y z
d d y t
z t
= −


−

= = =

−

= −

a.
Chứng minh d
1
và d
2
chéo nhau
b.
Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d
1
và song song d
2
; (Q) chứa d
2
và song song d
1
5.2 Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d
1
:
4
3
7

2
2
x t
y t
z t
=



= − +


=


và song song đường thẳng d
2
:
1 3 5
2 2 1
x y z− − +
= =
−
5.3 Cho phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d:
2
2 3 4
x y z+
= =
và song song với d’:
1

2
1 2
x t
y t
z t
= +


= +


= +

5.4 Cho 2 đường thẳng chéo nhau:
2 2 2 '
1 ; ': '
1 1 '
x t x t
d y t d y t
z t z t
= − = +
 
 
= − + =
 
 
= − = +
 
. Viết phương trình các mặt phẳng (P),
(Q) song song với nhau và lần lượt chứa d, d’.

5.5 Cho 4 điểm A(-1; 2; 0); B(-3; 0; 2), C(1; 2; 3), D(0; 3; -2). Viết phương trình mặt phẳng chứa AD
và song song với BC.
Dạng 6: Viết phương trình mặt phẳng
( )
α
chứa đường thẳng
∆
và 1 điểm M
Phương pháp giải
1. Tìm VTCP của
∆
là
u
∆
uur
, lấy 1 điể m N trên
∆
. Tính tọa độ
MN
uuuur
2. VTPT của mặt phẳng
( )
α
là:
n u MN
α
∆
= ∧
uur uur uuuur
3. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT

6.1 Viết phương trình mặt phẳng đi qua A(1; 2; 1) và chứa đường thẳng d:
1
3
3 4
x y
z
−
= = +
6.2 Viết phương trình mặt phẳng đi qua B(2; 3; 1) và chứa đường thẳng d:
5 2
3 1 1
x y z+ −
= =
−
6.3 Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm C(2; 1; -1) và giao tuyến của 2 mp (P): x – y + z – 4 = 0,
(Q): 3x – y + z – 1 = 0
Dạng 7: Viết phương trình mặt phẳng
( )
α
chứa 2 đường thẳng cắt nhau
∆
và
∆
’
Phương pháp giải
1. Tìm VTCP của
∆
và
∆
’ là

u
∆
uur
và
'
u
∆
uur
2. VTPT của mặt phẳng
( )
α
là:
'
n u u
α
∆ ∆
= ∧
uur uur uur
TRƯỜNG THPT ĐÔNG DƯƠNG – THỦ ĐỨC – TP HCM
12
3. Lấy một điểm M trên
∆
4. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT
7.1 Cho 2 đường thẳng
1 2
1 4
: 1 2 ; :
1 2 5
3
x t

x y z
d y t d
z t
=

− −

= − − = =


= −

a)
Chứng minh d
1
, d
2
cắt nhau.
b)
Viết phương trình mặt phẳng chứa d
1
và d
2
7.2 Cho 2 đường thẳng
1 2
1 6 5 2 6
: ; :
1 2 5 4 1 7
x y z x y z
d d

− + − − −
= = = =
− −
a) Chứng minh d
1
, d
2
cắt nhau
b) Viết phương trình mặt phẳng chứa 2 đường thẳng đó.
7.3 Cho 2 đường thẳng d
1
:
2
1 3 '
1 2 ; : 1 '
3 2 3 2 '
x t x t
y t d y t
z t z t
= − + =
 
 
= + = +
 
 
= − = − +
 
a) Chứng minh d
1
, d

2
cùng thuộc một mặt phẳng
b) Viết phương trình mặt phẳng đó
Dạng 8: Viết phương trình mặt phẳng
( )
α
chứa 2 song song
∆
và
∆
’
Phương pháp giải
1. Tìm VTCP của
∆
và
∆
’ là
u
∆
uur
và
'
u
∆
uur
, lấy
, 'M N∈∆ ∈∆
2. VTPT của mặt phẳng
( )
α

là:
n u MN
α
∆
= ∧
uur uur uuuur
3.Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT
8.1 Cho 2 đường thẳng
5 2 3 2 '
: 1 , ': 3 '
5 1 '
x t x t
d y t d y t
z t z t
= + = +
 
 
= − = − −
 
 
= − = −
 
. Chứng tỏ d // d’ và viết phương trình mặt phẳng
chứa 2 đường thẳng đó.
8.2 Cho hai đường thẳng
1 2
1 2 1 4 2
: ; :
3 1 2 3 1 2
x y z x y z

d d
− + + − −
= = = =
−
a) Chứng minh d
1
, d
2
song song
b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d
1
, d
2
c) Mặt phẳng (Oxz) cắt hai đường thẳng d
1
, d
2
lần lượt tại A, B. Tính diện tích tam giác OAB.
8.3 Cho 2 đường thẳng
1 2
1 4 3
: 8 4 ; :
1 4 3
3 3
x t
x y z
d y t d
z t
=


− + +

= − − = =

− −

= − −

a) Chứng minh d
1
, d
2
song song
b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d
1
, d
2
Dạng 9: Viết phương trình mặt phẳng
( )
α
tiếp xúc với mặt cầu (S)
Phương pháp giải
1. Tìm tọa độ tâm I và tính bán kính của mặt cầu (S)
2. Nếu mặt phẳng
( )
α
tiếp xúc với mặt cầu (S) tại M
∈
(S) thì mặt phẳng
( )

α
đi qua điểm
M và có VTPT là
MI
uuur
3.Khi bài toán không cho tiếp điểm thì ta phải sử dụng các dữ kiện của bài toán tìm
đượcVTPT của mặt phẳng và viết phương trình mặt phẳng có dạng: Ax + By + Cz + D = 0 ( D
chưa biết)
Sử dụng điều kiện tiếp xúc:
( )
( )
,d I R
α
=
để tìm D.
9.1 Viết phương trình mp tiếp xúc với mặt cầu (S): x
2
+ y
2
+ z
2
– 6x – 2y + 4z + 5 = 0 tại M(4; 3; 0)
TRƯỜNG THPT ĐÔNG DƯƠNG – THỦ ĐỨC – TP HCM
13
9.2 Viết phương trình mp tiếp xúc với mặt cầu (S): x
2
+ y
2
+ z
2

+2x – y - 6z + 1 = 0 tại M(-1; 0; 0)
9.3 Cho mặt cầu (S) có đường kính là AB biết A(6; 2; -5), B(-4; 0; 7)
a) Tìm tọa độ tâm I và tính bán kính của mặt cầu (S)
b) Viết phương trình mặt cầu (S)
c) Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu (S) tại A
9.4 Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S): x
2
+ y
2
+ z
2
– 2x – 4y – 6z – 2 = 0 và song
song mặt phẳng (P): 4x + 3y – 12z + 1 = 0
9.5 Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S): x
2
+ y
2
+ z
2
+ 2x – y - 6z + 1 = 0 và song
song mặt phẳng (P): 2x + 2y +z – 1 = 0
9.6 Cho mặt cầu (S): x
2
+ y
2
+ z
2
- 2x + 2y + 4z - 3 = 0 và 2 đường thẳng
( ) ( )
1 2

2
1
: 1 ; :
1 1 1
x t
x y z
y t
z t
=

−

∆ = − ∆ = =

− −

=

a) Chứng minh
( ) ( )
1 2
;∆ ∆
chéo nhau
b) Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S), biết rằng (P) song song với 2 đường
thẳng
( ) ( )
1 2
;∆ ∆
9.7 Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S): x
2

+ y
2
+ z
2
– 10x + 2y +26z - 113= 0 và
song song với 2 đường thẳng
( ) ( )
1 2
7 3
5 1 13
: 1 2 ; :
2 3 2
8
x t
x y z
y t
z
= − +

+ − +

∆ = − − ∆ = =

−

=

9.8 Viết phương trình mặt phẳng (P) vuông góc đường thẳng
2 5 4 5
:

20 8 4
x y z
d
− −
= =
và tiếp xúc với mặt
cầu (S): x
2
+ y
2
+ z
2
+ 2x – 6y + 4z – 15= 0
9.9 Cho 4 điểm A(2; 4; -1), B(1; 4; -1), C(2; 4; 3), D(2; 2; -1)
a) Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua 4 điểm A, B, C, D
b) Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) và song song mặt phẳng (ABD)
CHUYÊN ĐỀ 2: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG PHẲNG
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN :
1. Đường thẳng d đi qua điểm M
0
(x
0
; y
0
; z
0
), nhận
( )
; ;u a b c=
r

làm VTCP có phương trình
tham số là:
0
0
0
;
x x at
y y bt t
z z ct
= +


= + ∈


= +

¡
Khi a, b, c khác 0 thì ta có phương trình chính tắc của d là:
0 0 0
x x y y z z
a b c
− − −
= =
2. Nếu đường thẳng d là giao tuyến của hai mp (P) và (P’) lần lượt có phương trình :
Ax + By +Cz + D = 0 A’x + B’y +C’z + D’ = 0
Thì đường thẳng d có VTCP:
'
; ;
' ' ' ' ' '

P P
B C C A A B
u n n
B C C A A B
 
= ∧ =
 ÷
 
r uur uur
Muốn tìm một điểm thuộc d thì ta cho x = x
0
(thường cho x = 0), giải hệ phương trình tìm y, z
B. CÁC DẠNG TOÁN:
Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng d đi qua một điểm M
0
(x
0
; y
0
; z
0
) và có VTCP
Phương pháp giải:
1. Tìm VTCP
( )
; ;u a b c=
r
2. Viết phương trình đường thẳng d ở dạng tham số hoặc chính tắc
TRƯỜNG THPT ĐÔNG DƯƠNG – THỦ ĐỨC – TP HCM
14

Chú ý: Cách tìm VTCP
- Nếu đường thẳng d qua A, B thì VTCP
u AB=
r uuur
- Nếu đường thẳng
( )
d P⊥
thì d có VTCP
P
u n=
r uur
(
P
n
uur
là VTPT của (P))
- Nếu
//d ∆
thì d và
∆
có cùng VTCP
- Nếu
;d a d b⊥ ⊥
thì d có VTCP
u u u
a
b
= ∧
r uur r
- Nếu

; //( )d d P⊥ ∆
thì d có VTCP
P
u u n
∆
= ∧
r uur r
1. Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng d trong các trường hợp
sau:
a) d đi qua 2 điểm A(1; 2; 3) và B(3; 5; 7)
b) d đi qua A(1; 0; -1) và vuông góc với mặt phẳng (P): 2x – y + z + 9 = 0
c) d đi qua M( -2; 6; 3) và song song với đường thẳng
1 5
2 2
1
x t
y t
z t
= +


= − +


= − −

2. Viết phương trình đường thẳng d trong các trường hợp sau:
a) d qua A(1; 2; 3) và vuông góc với 2 đường thẳng
23 10 1 1
: ; ':

8 4 1 1 1 2
x y z x y z+ + + −
∆ = = ∆ = =
−
b) d qua A(1; -2; 3) và vuông góc đường thẳng
1 3
: 3 2
2
x t
y t
z t
= − +


∆ = − +


= −

và song song với mặt phẳng
(P): 2x + y + 3z – 5 = 0
3. Viết phương trình đường thẳng d trong các trường hợp sau:
a) d qua A(0; 1; 1) và vuông góc với 2 đường thẳng
1 2
1
1 2
: ; : 2
8 1
3
x

x y
d z d y t
z t
= −

− +

= = = +


= +

b) d đi qua A(1; 1; -2) , d vuông góc với đường thẳng
1 1 2
:
2 1 3
x y z+ − −
∆ = =
và song song
với mặt phẳng (P): x – y – z – 1 = 0
c) d đi qua điểm M(1; 4; -2) và song song với 2 mặt phẳng có ph trình (P): 6x + 2y + 2z + 3
= 0, (Q): 3x – 5y – 2z – 1 = 0
d) d đi qua trọng tâm của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác, biết
A(1; 3; 2), B(1; 2; 1), C(-1; 1; 3)
4. Cho điểm A(2; 3; 5) và mặt phẳng (P): 2x + 3y + z – 17 = 0
a) Viết phương trình đường thẳng d qua A, vuông góc mặt phẳng (P)
b) Tìm giao điểm của d với truc Oz
Dạng 2.1: Viết phương trình đường thẳng
∆
đi

qua điểm A, cắt và vuông góc với đường thẳng d
Phương pháp giải:
1. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và
vuông góc với d
2. Tìm giao điểm B của d và mặt phẳng (P)
3. Đường thẳng cần tìm là đường thẳng qua A, B.
5. Viết phương trình đường thẳng
∆
, biết:
a)
∆
qua điểm A(3; 2; 1), cắt và vuông góc với đường thẳng
3
:
2 4 1
x y z
d
+
= =
TRƯỜNG THPT ĐÔNG DƯƠNG – THỦ ĐỨC – TP HCM
15
d
A
B
d
d'
B
A
b)
∆

qua điểm A(0; 1; -1), cắt và vuông góc với đường thẳng
3 1 3
:
4 1 4
x y z
d
+ − −
= =
− −
c)
∆
qua điểm M(2; -1; 0), cắt và vuông góc với đường thẳng
: 1 3
1 2
x t
d y t
z t
=


= − −


= − −

Dạng 2.2: Viết phương trình đường thẳng
∆
đi
qua điểm A, vuông góc với đường thẳng d, cắt
đường thẳng d’

Phương pháp giải:
1. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và
vuông góc với d
2. Tìm giao điểm B của d’ và mặt phẳng (P)
3. Đường thẳng cần tìm là đường thẳng qua A, B.
6. Viết phương trình đường thẳng đi qua M(0; 1; 1), vuông góc với đường thẳng
1
:
1
x t
d y t
z
= −


=


= −

và
cắt đường thẳng
1 1
':
2 7 9
x y z
d
− −
= =
−

7. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A(0; 1; 1), vuông góc với đường thẳng
1 2
:
3 1 1
x y z
d
− +
= =
và cắt đường thẳng
1
': 2
3
x
d y t
z t
= −


= +


= +

8. Viết phương trình đường thẳng đi qua A(-4; -5; 3), vuông góc với đường thẳng
1
2
: 4 3
6 5
x t

d y t
z t
=


= − +


= −

và cắt đường thẳng
2
1 3 '
: 3 2 '
2 '
x t
d y t
z t
= −


= − +


= −

Dạng 3.1: Viết phương trình đường thẳng d qua M, cắt 2 đường thẳng a,
b
Phương pháp giải:
Lý luận: Gọi (P) là mặt phẳng chứa a, M và (Q) là mặt phẳng chứa b, M

Đường thẳng d cần tìm là giao tuyến của (P) và (Q)
1. Tìm VTCP của a, b là
;
a b
u u
uur uur
. Lấy
;A a B b∈ ∈
, tính
;AM BM
uuuur uuuur
2. Tính VTPT của (P) và (Q):
;
P a Q b
n AM u n BM u= ∧ = ∧
uur uuuur uur uur uuuur uur
3. Viết phương trình đường thẳng d có VTCP là
d P Q
u n n= ∧
uur uur uur
và qua M
9. Viết phương trình đường thẳng qua M(1; -1; 1) và cắt 2 đt
1 2
:
3
x t
a y t
z t
= +



=


= −

và
2 3
:
1 2 1
x y z
b
+ −
= =
−
TRƯỜNG THPT ĐÔNG DƯƠNG – THỦ ĐỨC – TP HCM
16
Q
d
P
M
B
A
10. Viết phương trình đường thẳng qua M(2; 3; 1) và cắt 2 đường thẳng
1
: 1
4
x t
a y t
z

= − +


= −


= −

và
1 3 '
: '
2 '
x t
b y t
z t
= +


= −


= +

11. Viết phương trình đường thẳng qua M(-4; 5; 3) và cắt 2 đường thẳng
1 3 2
:
3 2 1
x y z
d
+ + −

= =
− −

và
2 1 1
':
2 3 5
x y z
d
− + −
= =
−
Dạng 3.2: Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với
mặt phẳng (
α
), cắt 2 đường thẳng a, b
Phương pháp giải:
Lý luận: Gọi (P) là mặt phẳng chứa a, vuông góc với(
α
),
(Q) là mặt phẳng chứa b, vuông góc với(
α
)
Đường thẳng d cần tìm là giao tuyến của (P) và (Q)
1. Tìm VTCP của a, b là
;
a b
u u
uur uur
. Lấy

;A a B b∈ ∈
. Tìm
VTPT của
( )
α
:
n
α
uur
2. Mặt phẳng (P) có VTPT
P
a
n u n
α
= ∧
r uur uur
và qua A. Viết
phương trình mặt phẳng (P)
3. Mặt phẳng (Q) có VTPT
Q
b
n u n
α
= ∧
r uur uur
và qua B. Viết
phương trình mặt phẳng (Q)
4. Lấy M thuộc giao tuyến của (P) và (Q)
5. Viết phương trình đường thẳng d có VTCP là
n

α
uur
và qua M
12. Viết phương trình đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (Oxz) và cắt 2 đường thẳng :
: 4
3
x t
a y t
z t
=


= − +


= −

và
2 3 4
:
2 1 5
x y z
b
− + −
= =
− −
13. Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P): x + y + z +2 = 0 và cắt hai
đường thẳng
2 1 2 '
: 1 ; 3

2 1 '
x t x t
a y t b y
z t z t
= + = −
 
 
= − =
 
 
= = +
 
14. Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P): x + y + z – 1 = 0 và cắt hai
đường thẳng
2
3
1 1 7
: ;
2 1 1 3
x t
x y z
a b y
z t

= − +


− +

= = = −


−

= −



15. Viết phương trình đường thẳng d song song với
3
: 1
5
x t
y t
z t
=


∆ = −


= +

và cắt hai đường thẳng
1
1 2 2
:
1 4 3
x y z
d
− + −

= =
,
2
1 2 1
:
5 9 1
x y z
d
− − −
= =
TRƯỜNG THPT ĐÔNG DƯƠNG – THỦ ĐỨC – TP HCM
17
P
d
Q
a
b
16. Viết phương trình đường thẳng d song song với
1 3 2
:
3 2 1
x y z+ + −
∆ = =
− −
và cắt hai đường
thẳng
1
2 2 1
:
3 4 1

x y z
d
− + −
= =
,
2
7 3 9
:
1 2 1
x y z
d
− − −
= =
−
17. A 2007 Cho 2 đường thẳng
1 2
1 2
1 2
: ; : 1
2 1 1
3
x t
x y z
d d y t
z
= − +

− +

= = = +


−

=

a)
Chứng minh d
1
, d
2
chéo nhau
b)
Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P): 7x + y – 4z = 0 và cắt cả 2
đường thẳng d
1
, d
2
Dạng 4:
Viết phương trình đường thẳng
∆
đi qua A
∈
(P), nằm trong (P) và vuông góc với đường thẳng d
Phương pháp giải:
1. Tìm VTCP của d :
d
u
uur
và VTPT của (P):
P

n
uur
2. Đường thẳng
∆
có VTCP là
d P
u u n
∆
= ∧
uur uur uur
3. Viết phương trình đường thẳng
∆
qua A và có
VTCP vừa tìm được ở trên.
18. Viết phương trình đường thẳng
∆
đi qua điểm A(1;1;0), nằm trong mặt phẳng (P): 3x – 2y –
1 = 0 và vuông góc với đường thẳng
11 16
:
1 2 1
x y z
d
+ −
= =
−
19. Cho mặt phẳng (P): 2x + 5y + z + 17 = 0 và đường thẳng
1
11
5

2
: 27
5
7 15
x t
y t
z t

= − −



∆ = +


= +



a) Tìm giao điểm A của (P) và
∆
.
b) Viết phương trình đường thẳng d qua A, vuông góc với
∆
và nằm trong mặt phẳng (P)
20. Cho mặt phẳng (P): x + y + z -1= 0 và đường thẳng
6 12 3
:
3 5 1
x y z

d
+ + +
= =
−
a) Tìm giao điểm A của (P) và d.
b) Viết phương trình đường thẳng d qua A, vuông góc với d và nằm trong mặt phẳng (P)
21. Cho mặt phẳng (P):2x + y -2z + 9 = 0 và đường thẳng
1 3 3
:
1 2 1
x y z
d
− + −
= =
−
a) Tìm giao điểm A của (P) và d.
b) Viết phương trình đường thẳng d qua A, vuông góc với d và nằm trong mặt phẳng (P)
TRƯỜNG THPT ĐÔNG DƯƠNG – THỦ ĐỨC – TP HCM
18
P
d
A
a
(P)
M
(P)
(Q)
M
N
Dạng 5: Viết phương trình hình chiếu vuông góc

của đường thẳng d lên 1 mặt phẳng (P)
Phương pháp giải:
1. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d và
vuông góc (P) ( đã có cách giải)
2. Gọi d’ là hình chiếu của d lên (P) thì d’ là
giao tuyến của (P) và (Q) ( đã có cách giải)
22. Viết phương trình hình chiếu vuông góc
của đường thẳng d:
1 1 2
2 1 3
x y z+ − +
= =

lên mặt phẳng (P): x + y + z + 5 = 0.
23. Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d:
1 3 4
2 1 2
x y z− + −
= =
−

lên mặt phẳng (P): x + y + z -1 = 0.
24. Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d:
2 2
1 2 1
x y z+ −
= =
−

a) lên mặt phẳng Oxy. b) lên mặt phẳng (Oxz) c) lên mặt phẳng (Oyz)

25. Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d:
2 2 1
3 4 1
x y z− + −
= =

lên mặt phẳng (P): x + 2y +3 z + 4 = 0.
26. Cho mặt phẳng (P): 2x + 5y + z + 17 = 0 và đường thẳng
1
11
5
2
: 27
5
7 15
x t
y t
z t

= − −



∆ = +


= +




.
Viết phương trình hình chiếu của
∆
lên (P)
CHUYÊN ĐỀ 3: KHOẢNG CÁCH – HÌNH CHIẾU - ĐỐI XỨNG
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1.Khoảng cách từ một điểm M(x
0
; y
0
; z
0
) và mp (P) :Ax + By +Cz + D = 0
0 0 0
2 2 2
( ,( ))
Ax By Cz D
d M P
A B C
+ + +
=
+ +
2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song
song:
Cho đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song, ta có:
( )
( )
( )
, ,( ) ,d a P d M P M a
= ∀ ∈

3.Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) song song, ta có:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
, , , ( )
, , ( )
d P Q d M P M Q
d N Q N P
= ∀ ∈
= ∀ ∈
B. CÁC DẠNG TOÁN:
Dạng 1: HÌNH CHIẾU - ĐỐI XỨNG
Dạng 1.1: Tìm điểm H là hình chiếu của A lên 1 mặt phẳng (P), tìm A’ đối xứng với A qua (P)
TRƯỜNG THPT ĐÔNG DƯƠNG – THỦ ĐỨC – TP HCM
19
P
d
Q
d'
Phương pháp:
Bước 1: Gọi H là hình chiếu của A lên mặt phẳng((P). Suy ra
( )
AH P⊥
Do đó đường thẳng AH qua A và có VTCP là VTPT của (P)
=> Viết phương trình AH

Bước 2: Tìm tọa độ
( )
H P AH= ∩
Bước 3: A’ đối xứng với A qua (P) thì H là trung điểm AA’ nên
'
'
'
2
2
2
A H A
A H A
A H A
x x x
y y y
z z z
= −


= −


= −

1.Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M(1; -1; 2) trên mặt phẳng (P): 2x – y + 2z +
11= 0
2.Cho điểm M(1; 4; 2) và mặt phẳng (P): x + y + z – 1 = 0
a) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng (P)
b) Tìm tọa độ M’ đối xứng với M qua (P)
c) Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P)

3.Cho điểm M(2; 1; 0) và mặt phẳng (P): x + 3y – z – 27 = 0. Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M
qua (P)
4.Cho mặt phẳng (P): x + 3y – z + 2 = 0 và điểm A(2; -3; 1). Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với A qua
(P)
5.Cho mặt phẳng (P): 4x + y +2z + 1 = 0 và điểm M(4; 2; 1). Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M
qua (P)
6.Cho 2 điểm A(1; 2; 1), B(2; 1; 3) và mặt phẳng (P): x – 3y + 2z – 6 = 0
a) Tìm tọa độ điểm K đối xứng với A qua mặt phẳng (P)
b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A, B và vuông góc với mặt phẳng (P)
7.Cho điểm A(1; 2; -1) và đường thẳng
1 2
:
1 3 3
x y z
d
− +
= =
, mặt phẳng (P): 2x + y – z + 1 = 0
a) Tìm tọa độ điểm B đối xứng với điểm A qua mặt phẳng (P)
b) Viết phương trình đường thẳng d’ đối xứng với d qua (P)
Dạng 1.2: Tìm điểm H là hình chiếu của A lên 1 đường thẳng d, tìm A’ đối xứng với A qua d
Phương pháp
Bước 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và vuông góc
đường thẳng d
Bước 2: Tìm tọa độ
( )
H P d= ∩
, H chính là hình chiếu của A lên d
Bước 3: A’ đối xứng với A qua d thì H là trung điểm AA’ nên
'

'
'
2
2
2
A H A
A H A
A H A
x x x
y y y
z z z
= −


= −


= −

8.Cho điểm A(1; 0; 0) và đường thẳng
2
: 1 2
x t
y t
z t
= +


∆ = +



=

a) Tìm tọa độ H là hình chiếu vuông góc của A trên đường thẳng
∆
b) Tìm tọa độ A’ đối xứng với A qua
∆
9. Cho điểm M(2; -1; 1) và đường thẳng
1 1
:
2 1 2
x y z− +
∆ = =
−
a) Tìm tọa độ H là hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng
∆
TRƯỜNG THPT ĐÔNG DƯƠNG – THỦ ĐỨC – TP HCM
20
P
A
A'
H
P
d
A
A'
H
b) Tìm tọa độ M’ đối xứng với M qua
∆
10. Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với điểm A(1; -2; -5) qua đường thẳng

1 2
: 1
2
x t
y t
z t
= +


∆ = − −


=

11. Cho điểm M(1; 2; -1) và đường thẳng
1 2 2
:
3 2 3
x y z+ − −
∆ = =
−
. Tìm M’ đối xứng với M qua
∆
12. Cho mặt phẳng (P): 4x + y + 2z + 1 = 0 và (Q): 2x - 2y + z + 3 = 0
a) Viết phương trình tham số của đường thẳng d là giao tuyến của (P) và (Q)
b) Tìm N’ đối xứng với điểm N(0; 2; 4) qua đường thẳng d.
13. Cho mặt phẳng (P): 2x – y – 2z + 1 = 0 và đường thẳng
1 2
: 2
3

x t
d y t
z t
= +


= −


=

a) Tìm tọa độ M thuộc đường thẳng d sao cho khoảng cách từ M đến (P) bằng 1
b) Tìm tọa độ K đối xứng với điểm I(2; -1; 3) qua đường thẳng d
Dạng 2: KHOẢNG CÁCH
Dạng 2.1: Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, từ đường thẳng song song mặt phẳng, giữa
hai mặt phẳng song song.
Phương pháp: Áp dụng công thức cơ bản ở trên
14. Tính khoảng cách từ đường thẳng
3 2
: 1 3
1 2
x t
y t
z t
= − +


∆ = − +



= − +

và mặt phẳng
( )
α
: 2x- 2y + z + 3 = 0
15. Cho mp
( )
α
: 3x – 2y – z + 5 = 0 và đường thẳng
1 7 3
:
2 1 4
x y z− − −
∆ = =
c) Chứng tỏ
( )
/ /
α
∆
d) Tính khoảng cách giữa
∆
và
( )
α
Đáp số:
9
14
16. Trong không gian Oxyz, cho điểm A(-2; 4; 3) và mp (P): 2x – 3y + 6z + 19 = 0
Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (Q) đi qua điểm A và song song với mặt phẳng (P).

Tìm khoảng cách giữa 2 mặt phẳng (P) và (Q).
17. Cho mp
( )
α
:2x – 2y + z + 3 = 0 và đường thẳng
3 2
3 1 1
:
2
x y z+ + +
∆ = =
a) Chứng tỏ
( )
/ /
α
∆
b) Tính khoảng cách giữa
∆
và
( )
α
18. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng : x + 2y + 2z + 11 = 0 và x + 2y + 2z + 2 = 0 Đs: 3
19. (Khối A – năm 2005)Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d:
1 3 3
1 2 1
x y z− + −
= =
−
và
mặt phẳng (P): 2x + y – 2z + 9 = 0. Tìm I thuộc d sao cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P)

bằng 2.
Đáp số: I(3; -7; 1), I(-3; 5; 7)
20. Trong không gian Oxyz, cho 4 điểm A(-2; 6; 3), B(1; 0; 6), C(0; 2; -1), D(1; 4;0). Tính chiều cao
AH của tứ diện ABCD
21. Cho 4 điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(-2; 1; -1).Tính độ dài đường cao của hình chóp
A.BCD
Dạng 2.2: Tính khoảng cách từ một điểm đến 1 đường thẳng:
TRƯỜNG THPT ĐÔNG DƯƠNG – THỦ ĐỨC – TP HCM
21
Phương pháp: tính khoảng cách từ điểm A(x
A
; y
A
; z
A
) đến đường thẳng
0
:
0
0
x x at
d y y bt
z z ct

= +


= +



= +


Bước 1:Viết phương trình mp(P) chứa A và vuông góc với d
Bước 2: Tìm giao điểm H của d và (P)
Bước 3: Tính d(A,d) = AH
Chú ý: nếu có 2 đường thẳng d, d’ song song thì khoảng cách
của 2 đường thẳng chính là khoảng cách từ một điểm
tùy ý trên d đến d’.
22. Tính khoảng cách từ A (1; 0; 1) đến đường thẳng
2 2 1
1
:
x y z−
∆ = =
23. Cho điểm M(2;0;1) và đường thẳng
1
: 2
2
x t
d y t
z t





= +
=
= +

.Tính khoảng cách từ M đến d
24. Tính khoảng cách từ M (1; 2; 1) đến đường thẳng d
2
2 1 1
:
1 2
x y z+ − +
= =
−
Đáp số:
5 5
3
25. (Khối B – năm 2003)Trong không gian Oxyz, cho A(2; 0; 0), B90; 0; 8) và điểm C sao cho
(0;6;0)AC =
uuuur
. Tính khoảng cách từ trung điểm I của BC đến đường thẳng OA.
26. Cho điểm M(2; 1; 4) và đường thẳng
2 3
: 2 3
3
x t
y t
z t





= −
∆ = − +

=
và mặt phẳng (P): 2x + y – 2z + 8 = 0
a) Tìm điểm H trên
∆
sao cho MH có độ dài nhỏ nhất. Tính MH
b) Tìm điểm I trên (P) sao cho MI có độ dài nhỏ nhất. Tính độ dài đó.
27. Cho 2 đường thẳng
1 3 4 2 1 1
: ; ':
2 1 2 4 2 4
x y z x y z− + − + − +
∆ = = ∆ = =
− − −
a) Xét vị trí tương đối của 2 đường thẳng
; '∆ ∆
b) Tính khoảng cách của 2 đường thẳng
; '∆ ∆
Dạng 2.3: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
Khoảng cách giữa hai đường thẳng a và b chéo
nhau bằng khoảng cách giữa đường thẳng a với
mp(P) đi qua b và song song với a ( đã học ở
chương trình 11).
Phương pháp:
Bước 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua b và
song song với a.
Bước 2: lấy M trên a, và ta tính
( ) ( )
( , ) ,( ) ,( )d a b d a P d M P= =
28. Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(1; 0; -3), B(2; 0: -4), C(2; 1; 0) và D(4; 5 ;
-4). Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng AB và CD

29. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
1 2
: 1
1
x t
y t
z





= +
∆ = − −
=
và
2
': 2
3
x t
y t
z t





= −
∆ = − +
= +

TRƯỜNG THPT ĐÔNG DƯƠNG – THỦ ĐỨC – TP HCM
22
d
A
H
b
A
H
M
Dạng 2: Xác định tâm và bán kính của đường tròn (C) là giao tuyến của mặt cầu (S) và mặt
phẳng (P)
Phương pháp giải:
- Tìm tâm I và bán kính R của mặt cầu (S)
- Gọi H là tâm đường tròn (C), suy ra H là hình chiếu của I lên (P)
( đã có cách giải)
- Bán kính của đường tròn (C) là
2 2
r R IH= −
( ta có thể tính IH = d(I, (P))
30. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
2 2 2 '
: 1 ; ': '
1 1 '
x t x t
d y t d y t
z t z t
= − = +
 
 
= − + =

 
 
= − = +
 
31. (Khối D – năm 2004). Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’.
Biết A(a; 0; 0), B( -a; 0; 0), C(0; 1; 0), B’(-a; 0; b), a > 0, b > 0. Tính khoảng cách giữa B’C và AC’
theo a, b. Đáp số:
( )
' , '
2 2
ab
d B C AC
a b
=
+
32. (Khối A – năm 2006). Trong không gian Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có A(0;
0; 0), B(1; 0; 0), D(0; 1; 0), A’(0; 0; 1). Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB, CD. Tính khoảng
cách giữa A’C và MN. Đáp số:
1
2 2
CHUYÊN ĐỀ 4: MẶT CẦU
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Phương trình mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R:
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
x a y b z c R
− + − + − =
2. Phương trình x
2

+y
2
+z
2
– 2ax – 2by – 2cz + d = 0 là phương trình mặt cầu
⇔
a
2
+ b
2
+ c
2
– d >0. Lúc
đó, mặt cầu có tâm I(a; b; c) và bán kính R=
2 2 2
a b c d+ + −
B. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Viết phương trình mặt cầu
Phương pháp giải:
Cách 1: Xác định tọa độ tâm I(a; b; c) và tính bán kính R
Thế vào phương trình :
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
x a y b z c R
− + − + − =
Chú ý:
d) Mặt cầu có tâm I và qua A thì R = IA =
( ) ( ) ( )
2 2 2

A I A I A I
x x y y z z− + − + −
e) Mặt cầu có đường kính AB thì R =
1
2
AB
và tâm I là trung điểm AB
f) Mặt cầu tâm I tiếp xúc mặt phẳng (P) thì R = d(I, (P))
Cách 2: Gọi phương trình mặt cầu có dạng:x
2
+y
2
+z
2
– 2ax – 2by – 2cz + d = 0 (*)
Từ điều kiện bài toán, ta lập hệ phương trình gồm 4 ẩn a, b, c, d.
Giải hệ phương trình ta tìm a, b, c, d rồi thế vào (*)
TRƯỜNG THPT ĐÔNG DƯƠNG – THỦ ĐỨC – TP HCM
23
R
r
I
H
1. Viết phương trình mặt cầu đi qua 3 điểm A(1; 2; -4), B(1; -3; 1), C(2; 2; 3) và có tâm nằm trên
mặt phẳng (Oxy) . Đs: x
2
+y
2
+z
2

+ 4x – 2y – 21 = 0
2. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng d
2 1 1
3 2 2
x y z− − −
= =
−
và tiếp xúc với hai
mặt phẳng (P): x + 2y -2z – 2 = 0, (Q): x + 2y – 2z + 4 = 0
Đs:
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 3 3 1x y z+ + − + − =
3. (Khối D- 04)Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua 3 điểm A(2; 0; 1), B(1; 0;0), C(1; 1; 1) và có
tâm thuộc mặt phẳng (P): x + y + z – 2 = 0 Đs:
( ) ( )
2 2
2
1 1 1x y z− + + − =
4. Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD, A(3; 2; 6), B(3; -1; 0), C(0; -7; 3), D(-2; 1;
-1) . Đs: x
2
+y
2
+z
2
+ 2x +3y – 8z – 28 = 0
5. Viết phương trình mặt cầu có tâm I(2; 3; -1) và cắt đường thẳng d:
2
11

2
14 2
x t
y t
z t
=



= − +


= − −


tại hai điểm A,
B thỏa mãn AB = 40. Đs:
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 3 1 625x y z− + − + + =
6. Viết phương trình mặt cầu có tâm I(1; 4; 7) và cắt đường thẳng d:
7 7 4
2 1 2
x y z+ + −
= =
−
tại 2
điểm A, B sao cho AB = 16. Đs:
( ) ( ) ( )
2 2 2

1 4 7 289x y z− + − + − =

7. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng d:
1 2
2
x t
y t
z t
= −


= − +


= +

và cách mặt phẳng (P): 2x
– y – 2z – 2 = 0 một khoảng bằng 2. Mặt cầu (S) cắt (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán
kính bằng 3.
Đs:
2 2 2
1 2 13
13
6 3 6
x y z
     
+ + + + − =
 ÷  ÷  ÷
     
;

2 2 2
11 14 1
13
6 3 6
x y z
     
+ + + + − =
 ÷  ÷  ÷
     
8. Cho điểm I(1; 2; -2) và mặt phẳng (P): 2x + 2y + z + 5 = 0. Viết phương trình mặt cầu (S), tâm I
sao cho giao tuyến của (S) và mặt phẳng (P) là đường tròn có chu vi là
8
π
.
Đs:
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 2 2 25x y z− + − + + =
9. Cho mặt cầu (S): x
2
+y
2
+z
2
– 4x + 6y + 6z + 17 = 0 và mặt phẳng (P): x – 2y + 2z + 1 = 0
a) Chứng minh (P) cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn (C)
b) Xác định tâm và bán kính của đường tròn (C)
10. Cho mặt cầu (S): x
2
+y

2
+z
2
- 2x – 4z – 4 = 0 và 3 điểm A(3; 1; 0), B(2;2;4), C(-1; 2; 1) nằm trên mặt
cầu.
a) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua 2 điểm A, B, C.
b) Tìm tâm và tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
11. Cho tứ diện ABCD, A(3; 6; -2), B(6; 0; 1), C(-1; 2; 0), D(0; 4; 1)
a) Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD. Xác định tâm và tính bán kính mặt
cầu (S).
b) Xác định tâm và tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
12. ( Khối D- 2008) Cho 4 điểm A(3; 3; 0), B(3; 0; 3), C(0; 3; 3), D(3; 3; 3)
a) Viết phương trình mặt cầu qua 4 điểm A, B, C, D.
b) Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
13. ( Khối B – 2007)
Cho mặt cầu (S): x
2
+ y
2
+ z
2
– 2x + 4y + 2z – 3 = 0 và mặt phẳng (P): 2x – y + 2z – 14 = 0
a) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và cắt (S) theo một đường tròn có bán kính
bằng 3
b) Tìm tọa độ điểm M thuộc (S) sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) là lớn nhất.
14. Cho mặt cầu (S): x
2
+ y
2

+ z
2
– 2x + 2y – 2 = 0 và mặt phẳng (P): 2x – 2y + z + 6 = 0
TRƯỜNG THPT ĐÔNG DƯƠNG – THỦ ĐỨC – TP HCM
24
Tìm điểm A , B thuộc (S) sao cho khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P) có giá trị lớn nhất và
khoảng cách từ B đến mặt phẳng (P) có giá trị nhỏ nhất.
15. Cho mặt cầu (S): x
2
+ y
2


+ z
2
– 6x + 4y – 2z+ 5 = 0 và mặt phẳng (P): x + 2y + 2z + 11 = 0
a) Chứng minh mặt phẳng (P) khong cắt mặt cầu (S)
b) Tìm M thuộc mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ đó đến mặt phẳng (P) nhỏ nhất.
CHUYÊN ĐỀ 5: ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI
TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
I. Quy trình giải bài toán hình học bằng phương pháp tọa độ:
Bước 1:
- Chọn hệ trục tọa độ vuông góc trong không gian Oxyz (ưu tiên cho hai trục Ox, Oy)
- Chuyển các giả thiết, kết luận bài toán từ ngôn ngữ hình học sang ngôn ngữ tọa độ.
Bước 2: Thực hiện các bước biến đổi tọa độ theo các yêu cầu của bài toán
Bước 3: Chuyển kết luận từ ngôn ngữ tọa độ sang ngôn ngữ hình học.
II. Các dạng toán:
1. Chứng minh tính vuông góc
- Đường thẳng vuông góc với đường thẳng:

' ' . ' 0
d d d d
d d u u u u⊥ ⇔ ⊥ ⇔ =
uur uur uur uur
- Đường thẳng vuông góc mặt phẳng :
( )
0
d
d u n
α
α
⊥ ⇔ ∧ =
uur uur r
- Mặt phẳng vuông góc mặt phẳng :
( ) ( )
. 0n n n n
α β α β
α β
⊥ ⇔ ⊥ ⇔ =
uur uur uur uur
2. Chứng minh tính song song
3. Tính khoảng cách
4. Tính góc, diện tích, thể tích
Bài tập:
1. Giải bài toán sau bằng phương pháp tọa độ:
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng 1.
a) Chứng minh (AB’D’) // (BC’D)
b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng trên.
2. Giải bài toán sau bằng phương pháp tọa độ
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng 1. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng

(A’BD)
3. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Gọi G là giao điểm của AC’ với mặt
phẳng (CB’D’). Chứng minh AC’ vuông góc với mặt phẳng (CB’D’) và tính độ dài GA theo a.
4. Cho hình chóp S.ABC có đường cao SA = h, đáy là tam giác ABC vuông tại C, AC = b, BC = a.
Gọi M là trung điểm AC và N là điểm sao cho
1
3
SN SB=
uuur uur
a) Tính độ dài MN
b) Tìm sự liên hệ giữa a, b, h để MN vuông góc với SB
5. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm BB’,
CD, A’D’.
a) Chứng minh (AB’D’) // (BC’D). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng đó.
b) Tính khoảng cách và góc giữa hai đường thẳng MPvà C’N
6. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA = OB = OC = a. Ký
hiệu K, M, N lần lượt là trung điểm cạnh AB, BC, AC. Gọi E là điểm đối xứng của O qua K và I
là giao điểm của CE và (OMN)
TRƯỜNG THPT ĐÔNG DƯƠNG – THỦ ĐỨC – TP HCM
25