Bài tập day them Hinh giai tich trong kg-2008
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (715.55 KB, 51 trang )
Giáo viên :Đỗ Thế Nhất THPT Kẻ Sặt -Bình Giang-Hải D ơng
Đ1 hệ toạ độ đề các vuông góc trong
không gian. toạ độ của véc tơ và của điểm
1. Hệ toạ độ Đề các vuông góc trong không gian
Trục:ox,oy,oz
Cho ba trục Ox Oy Oz Ox Gọi các véc tơ
i , j, k
r r r
là các véc tơ đơn vị tơng ứng trên các trục đó. Hệ trục nh vậy gọi là
hệ trục toạ độ đề các vuông góc trong không gian.
Trục Ox gọi là trục hoành
Trục Oy gọi là trục tung
Trục Oz gọi là trục cao
2. Toạ độ của véc tơ đối với hệ toạ độ
- Cho hệ toạ độ Oxyz và một véc tơ
v
r
tuỳ ý . vì ba véc tơ
i , j, k
r r r
không đồng phẳng nên ! (x ; y ; z) sao cho :
v xi yj zk
= + +
r r r
r
Bộ ba số (x ; y ; z) là toạ độ của véc tơ
v
r
và kí hiệu là :
v (x;y;z) hoặc v(x;y;z)
=
r r
Vậy :
v xi yj zk v(x;y;z)
= + +
r r r
r r
3. Định lí - các phép toán của toạ độ
Đối với hệ toạ độ Oxyz nếu
v(x;y;z) và v '(x';y';z ')
r r
thì ta có :
+ = + + +
=
=
=
= =
=
r r
r r
r
r uur
a) v v' (x x';y y';z z')
b)v v' (x x';y y';z z')
c) kv (kx;ky;kz), k R
x x '
d)v v' y y '
z z'
Chứng minh : ( Sgk)
4. Toạ độ của một điểm
Trong hệ trục toạ độ Oxyz cho điểm M bất kỳ. Toạ độ của véc tơ
OM
uuuur
là toạ độ điểm M
Từ đó ta có :
OM (x;y;z) M(x;y;z)=
uuuur
( )
( )
( )
;0;0
0; ;0
0; 0;
M Ox M x
M Oy M y
M Oz M z
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
0 ; ;0
0 0; ;
0 ;0;
M xy M x y
M yz M y z
M xz M x z
5. Định lí
Trong hệ trục toạ độ Oxyz cho hai điểm A(x ; y ; z) , B(x;y;z) khi đó :
AB (x' x ; y' y ; z' z)
=
uuur
6. Chia một đoạn thẳng theo một tỉ số cho trớc
Bài toán : Giả sử điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k (k
1)
MA kMB=
uuur uuur
. Hãy tìm toạ độ điểm M
Giải
Phân tích bài toán theo toạ độ và các tính chất đã học ta có :
A B A B A B
M M M
x kx y ky z kz
x ; y ; z
1 k 1 k 1 k
= = =
Giáo viên :Đỗ Thế Nhất THPT Kẻ Sặt -Bình Giang-Hải D ơng
Nếu M là trung điểm AB thì ta có toạ độ của M là trung bình cộng toạ độ hai điểm A và B:
Đ2 biểu thức toạ độ của tích vô hớng
tích có hớng của hai véc tơ và áp dụng
1. Định lí:
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai véc tơ
a (x;y;z) và b (x';y';z ')= =
r
r
(*) thì :
= + +
ur r
a.b xx' yy' zz '
(1)
Công thức (1) gọi là biểu thức toạ độ tích vô hớng của hai véc tơ
Ta có :
2 2 2 2
2 2 2
a x y z
a x y z
= + +
= + +
r
r
2. Khoảng cách giữa hai điểm
Cho A( x ; y ; z) : B(x ; y ; z) ta có
2 2 2
AB (x ' x) (y ' y) (z ' z)= + +
(2)
3. Góc giữa hai véc tơ
Cho hai véc tơ (*) gọi là góc giữa hai véc tơ ta có
2 2 2 2 2 2
a.b xx' yy' zz'
cos
a . b
x y z . x' y' z'
+ +
= =
+ + + +
r
r
r
r
Hệ quả:góc của hai đờng thẳng
Hệ quả:góc của hai mặt phẳng
. 0a b a b =
r r r r
4. Tích vô hớng của hai véc tơ và ứng dụng
a) Bài toán : Chứng minh rằng hai véc tơ (*) cùng phơng khi và chỉ khi cả ba định thức cấp 2 đều bằng không
ữ
y z z x x y
; ; (2)
y' z' z' x' x' y'
Chứng minh : sgk
b) Định nghĩa : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai véc tơ
a (x;y;z) và b (x';y';z ')= =
r
r
=
ữ
r
r
y z z x x y
[a.b] ; ;
y' z' z' x' x' y '
c) Tính chất :
=
=
r r
r
r r
r r r
r r r
r r
r r
i)a, b cùng phưong khi và chỉ khi[a.b] 0
ii)[a, b] a và [a, b] b
iii) [a.b] a . b .sin
d)Diện tích hình bình hành ABCD: =
uuur uuur
ABCD
S [AB.AC]
e) Diện tích tam giác
ABC
1
S [AB.AC]
2
=
uuur uuur
f) Điều kiện đồng phẳng của ba véc tơ
[a.b].c 0=
r
r r
g) Thể tích hình hộp
=
uuur uuuur uuuur
ABCD.A'B'C'D'
V [AB.AD].AA'
h)Thể tích hình chóp ABCD:
=
uuur uuuur uuur
ABCD
1
V [AB.AC].AD
6
Giáo viên :Đỗ Thế Nhất THPT Kẻ Sặt -Bình Giang-Hải D ơng
Bài tập về nhà số 1
Bài 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho
( ) ( )
2; 1;3 ; (4; 2;5); 3;1; 2 ; (5;3; 6)a b c d
r r r ur
a)Tính
( ) ( )
= + = +
ur r r r r r r r
2 3 ;x a b c y a b a b
b)
Tìm x,y,z sao cho d xa y b zc= + +
ur r r r
B i 2:
( ) ( )
2;5; 4 ; 3 2 ; 4; 3;0OA OB i j k C= = +
uuur uuur r r ur
a)CM:A,B,C là ba đỉnh của một tam giác
b)Tìm toạ độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là một hình bình hành.
c)Tìm toạ độ trong tâm của tam giác ABC.
d)Tính diện tích của hình bình hành ABCD ở trên.
B i 3: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 4 điểm A,B,C,D có toạ độ xác định bởi các hệ thức
A(2;4;-1),
( )
4 , 2;4;3 , 2 2OB i j k C OD i j k= + = = +
uuur r r ur uuur r r ur
a)CMR:
; ;AB AC AC AD AD AB
b)Tính thể tích tứ diện ABCD.
Bài 4: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 4 điểm A,B,C,D có toạ độ A(-4;4;0),B(2;0;4),C(1;2;-1);D(7;-2;3)
a)CMR:A,B,C,D đồng phẳng.
b)Tính diện tích tứ giác ABDC.
Bài 5:Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 3 điểm A,B,C:A(2;-1;3);B(-10;5;3);C(2m-1;2;n+2)
a)Tìm m,n để A,B,C thẳng hàng
b)Tìm trên oy điểm N để tam giác NAB cân tại N.
c)Với m=3/2,n=7 CMR:tam giác ABC không vuông khi đó tính diện tích tam giác ABC và độ dài đờng phân giác trong và
phân giác ngoài góc A.
Bài 6: Trong không gian với hệ toạ độ oxyz cho 4 điểm A(6;-2;3),B(0;1;6),C(2;0;-1),D(4;1;0)
a)CM:A,B,C,D là 4 đỉnh của một tứ diện.
b)Tính thể tích của tứ diện ABCD.
c)Tính đờng cao của tứ diện hạ từ đỉnh A.
d) Tính góc giữa hai đờng thẳng (AB) và (CD).
Bài 7:Trong không gian với hệ toạ độ oxyz cho ba điểm A(2;0;0),B(0;2;0),C(0;0;2)
a)CMR:Tam giác ABC đều và tính diện tích tam giác ABC.
b)Tìm điểm S trên trục ox sao cho hình chóp S.ABC đều.
Bài 8:Trong không gian với hệ trục oxyz cho A(1;3;1),B(-4;3;3)
đờng thẳng AB cắt mp(oyz) tại điểm M
a)Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số nào?
b)Tìm toạ độ điểm M .
c)Tìm điểm C thuộc mp(Oxy) sao cho A,B,C thẳng hàng.
Bài 9:Trong không gian với hệ toạ độ oxyz cho hình hộp ABCD.ABCD biết A(1;-1;2),
C(3;-1;1),B(3;5;-6),D(1;4;-6).
a)Tìm toạ độ các đỉnh còn lại của hình hộp.
b)Tính thể tích của hình hộp.
Bài 10: Trong không gian với hệ toạ độ oxyz cho hình hộp ABCD.ABCD biết A(1;0;1),
B(2;1;2),C(4;5;-5),D(1;-1;1).
a)Tìm toạ độ các đỉnh còn lại của hình hộp.
b)Tính thể tích của hình hộp.
Đáp án:
Giáo viên :Đỗ Thế Nhất THPT Kẻ Sặt -Bình Giang-Hải D ơng
Đ3 phơng trình tổng quát của mặt phẳng
1. Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng
1.1.Định nghĩa: Véc tơ
n(n 0)
r
r r
đợc gọi là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (
) nếu nó nằm trên đờng thẳng
(
).
Kí hiệu :
n ( )
r
Giả sử M
0
() M ()
0
M M n
uuuuuur
r
Vậy một nặt phẳng đợc xác định khi biết một điểm thuộc nó và một véc tơ pháp tuyến của nó
1.2.Chú ý : Cho
a(x;y;z) và b(x';y ';z')
r
r
không cùng phơng và cùng //() thế thì
n [a.b]=
r
r r
là một véc tơ pháp tuyến của
mp()
- Hai véc tơ trên gọi là cặp véc tơ chỉ phơng của mp()
- Để các định véc tơ pháp tuyến của mp đi qua A, B, C ta xác định véc tơ pháp tuyến bằng cách
n [AB.AC]=
uuur uuur
r
2. Phơng trình tổng quát của mặt phẳng
Trong hệ toạ độ Oxyz
2.1.Định lí: Mỗi mặt phẳng là tập hợp tất cả các điểm có toạ độ thoả mãn phơng trình dạng
Ax + By + Cz + D = 0 (1)
với A
2
+ B
2
+ C
2
0, và ngợc lại tất cả những điểm có toạ độ thoả mãn (1) là một mặt phẳng
Chắng minh : sgk
2.2. Định nghĩa. Phơng trình dạng
Ax + By + Cz + D = 0 (1) ( A
2
+ B
2
+ C
2
0) đợc gọi là phơng trình tổng quát của mặt phẳng
2.3 Chú ý :
* Nếu M
0
(x ; y ; x) () và
n(A;B;C) ( )
r
thì phơng trình của () là :
A(x - x) + B(y - y) + C(z - z) = 0
*Nếu () có phơng trình (1) thì nó có véc tơ pháp tuyến là :
n(A;B;C)
r
3. Các trờng hợp riêng của phơng trình tổng quát
3.1) D = 0 () đi qua gốc toạ độ
3.2) Một trong ba hệ số A, B, C bằng không thì mặt phẳng chứa hoặc song song với trục tơng ứng
3.3) Nếu hai trong ba hệ số bằng không thì mặt phẳng vuông góc với trục còn lại
3.4 Phơng trình đoạn chắn
x y z
1
a b c
+ + =
4. Các ví dụ :
Ví dụ 1:
Lập phơng trình mặt phẳng đi qua M(1; -2 ; 3) và // 2x - 3y + z + 5 = 0
Đáp số : 2x - 3y + z -11 = 0
Ví dụ 2: Viết phơng trình mặt phẳng đi qua ba điểm A(1 ; -2 ; 3), B(2 ; 0 ; 1), C(-1 ; 1 ; -2)
Giải
Bớc 1. Ba điểm A, B, C không thẳng hàng
Bớc 2: Mặt phẳng (ABC) có véc tơ pháp tuyến là :
n [AB.AC] ( 4;9;7)= =
uuur uuur
r
Bớc 3: Phơng trình có dạng
:-4x + 9y + 7z + 1 = 0
Ví dụ 3: Cho A(1 ; 2 ; -5) ; B(3 ; 1 ; 1) tìm tập hợp những điểm M sao cho |MA
2
- MB
2
| = 4
Giải
Gọi M(x ; y ; z) ta có
MA
2
= (x - 1)
2
+ (y - 2)
2
+ (z + 5)
2
MB
2
= (x - 3)
2
+ (y - 1)
2
+ (z - 1)
2
4x - 2y + 12z + 19 = 0
Bài 2: Lập phơng trình mặt phẳng đi qua
Giáo viên :Đỗ Thế Nhất THPT Kẻ Sặt -Bình Giang-Hải D ơng
M(x ; y ; z) và lần lợt song song với các mặt
Đáp số : //Oxy là z = z ; //Oyz là x = x và //Ozx là y = y
Ví dụ 4Bài 3: Lập phơng trình của mặt phẳng trong các trờng hợp sau :
a) Đđi qua A(1 ; 3 ; -2) và vuông góc với Oy
Véc tơ pháp tuyến là (0 ; 1 ; 0) nên phơng trình có dạng : y = 3
b) Đáp số : x - 6y + 4z + 25 = 0
c) Đáp số : 2x - y + 3z + 7 = 0
Bài 4: Mặt phẳng trng trục của M
1
M
2:
Đáp số x - 2y + 2z + 3 = 0
Đ4 vị trí tơng đối của hai mặt phẳng chùm mặt phẳng
1. Một số qui ớc, kí hiệu
Cho hai bộ số (A
1
,A
2
A
n
) và (A
1
,A
2
A
n
). Hai bộ số đợc gọi là tỉ lệ với nhau nếu :
A
1
= tA
1
; A
2
= tA
2
. . .A
n
= tA
n
và kí hiệu : A
1
:A
2
:: A
n
= A
1
: A
2
::A
n
Kí hiệu khác :
1 2 n
' ' '
1 2 n
A A A
...
A A A
= = =
2.Vị trí tơng đối của hai mặt phẳng
Trong hệ trục toạ độ Oxyz cho hai mặt phẳng
() : Ax + By + Cz + D = 0
() : Ax + By + Cz + D = 0
Khi đó
a) () cắt () A : B : C A : B : C
b) () // () A : B : C = A : B : C và
A : B : C : D A : B : C : D
c) () () A : B : C : D =A : B : C : D
VD:
Bài 1.(SGK TR 87) Xét vị trí tơng đối của các cặp mặt phẳng
Đáp số :
a) Cắt nhau
b) cắt nhau
c) Cắt nhau
d) Song song
e) Trùng nhau
Bài 2: <sgk tr87> Xác định các giá trị l và m để các cặp mặt phẳng song song
a) để hai mặt phẳng song song với nhau điều kiện cần và đủ là :
m 4
2 l 2 3
m 2 4 7 l 1
=
= =
=
b) Đáp số : l=1/2 ; m = 4
3. Chùm mặt phẳng
Trong hệ trục toạ độ Oxyz cho hai mặt phẳng cắt nhau lần lợt có phơng trình
() : Ax + By + Cz + D = 0 (1)
() : Ax + By + Cz + D = 0 (1)
a) Định lí: Mỗi mặt phẳng qua giao tuyến của (
) và (
) đều có ph ơng trình dạng
m(Ax + By + Cz + D) + n(Ax + By + Cz + D)=0 (2)
(m
2
+ n
2
0) và ngợc lại
b) Định nghĩa . Tập hợp các mặt phẳng qua giao tuyến của hai mặt phẳng trên gọi là một chùm mặt phẳng.
Phơng trình (2) gọi là phơng trình của chùm mặt phẳng
c) Ví dụ:
VD1: Lập phơng trình mặt phẳng qua giao tuyến của hai mặt phẳng
Giáo viên :Đỗ Thế Nhất THPT Kẻ Sặt -Bình Giang-Hải D ơng
2x - y + z + 1 = 0 và x + 3y - z + 2 = 0 và đi qua điểm M(1 ; 2 ;1)
Giải
Phơng trình chùm có dạng :
m(2x - y + z + 1) +n(x + 3y - z + 2) = 0
(2m+n)x +(3n-m)y + (m-n)z + m + 2n = 0
Điểm M(1 ; 2 ;1) chùm nên ta có
(2m+n).1 +(3n-m).2 + (m-n).1 + m + 2n = 0
m + 4n = 0 chọn m = 4, n = -1 thay lại ta có
7x - 7y + 5z + 2 = 0
VD2: Lập phơng trình mặt phẳng qua giao tuyến của hai mặt phẳng
2x - y + z + 1 = 0 và x + 3y - z + 2 = 0 và
a)song song với trục ox
b)vuông góc với mặt phẳng :x+2y-z+3=0
VD3 Hai mặt phẳng cho bởi pt
2x - my + 3z - 6 + m = 0 ;(m + 3)x - 2y + (5m + 1) - 10 = 0
a) Hai mặt phẳng song song : Không m
b) Hai mặt phẳng trùng nhau m = 1
c) Hai mặt phẳng cắt nhau m 1
Giáo viên :Đỗ Thế Nhất THPT Kẻ Sặt -Bình Giang-Hải D ơng
Bài tập về nhà số 2
Bài 1 Lập phơng trình tổng quát của mặt phẳng (P) đi qua điểm M(2,3,2) và cặp VTCP là
)1,2,3( );2,1,2(
ba
Bài 2: Lập phơng trình của mặt phẳng (P) đi qua M(1,1,1) và
1) Song song với các trục 0x và 0y.
2) Song song với các trục 0x,0z.
3) Song song với các trục 0y, 0z.
Bài 3: Lập phơng trình của mặt phẳng đi qua 2 điểm M(1,-1,1) và B(2,1,1) và :
1) Cùng phơng với trục 0x.
2) Cùng phơng với trục 0y.
3) Cùng phơng với trục 0z.
Bài 4: Xác định toạ độ của véc tơ
n
vuông góc với hai véc tơ
)1,2,3( );3,1,6( ba
.
Bài 5: Tìm một VTPT của mặt phẳng (P) ,biết (P) có cặp VTCP là
)4,2,3( );2,7,2( ba
Bài 6: Lập phơng trình tổng quát của mặt phẳng (P) biết :
1) (P) đi qua điểm A(-1,3,-2) và nhận
);4,3,2(n
làm VTPT.
2) (P) đi qua điểm M(-1,3,-2) và song song với (Q): x+2y+z+4=0.
Bài7: Lập phơng trình tổng quát của các mặt phẳng đi qua I(2,6,-3) và song song với các mặt phẳng toạ
độ.
B ài 8: (ĐHL-99) :Trong không gian 0xyz cho điểm A(-1,2,3) và hai mặt phẳng (P): x-2=0 ,
(Q) : y-z-1=0 .Viết phơng trình mặt phẳng (R) đi qua điểm A và vuông góc với hai mặt phẳng (P),(Q).
Bài9: Xét vị trí tơng đối của các cặp mặt phẳng sau:
1) (P
1
): y-z+4=0, và
( ) ( )
Rtt
ttz
tty
tx
P
=
=
+=
21
21
21
1
2
,,
45
41
23
:
2)(P
1
): 9x+10y-7z+9=0
( ) ( )
Rtt
ttz
tty
ttx
P
++=
+=
++=
21
21
21
21
2
,,
43
27
321
:
Bài 10:Lập phơng trình mặt phẳng đi qua điểm M(2,1,-1) và qua hai giao tuyến của hai mặt phẳng (P
1
) và
(P
2
) có phơng trình :
Giáo viên :Đỗ Thế Nhất THPT Kẻ Sặt -Bình Giang-Hải D ơng
(P
1
): x-y+z-4=0 và (P
2
) 3x-y+z-1=0
Bài 11: Lập phơng trình mặt phẳng qua giao tuyến của (P
1
): y+2z-4=0 và (P
2
) : x+y-z-3=0 và song song
với mặt phẳng (Q):x+y+z-2=0.
Bài 12: Lập phơng trình của mặt phẳng qua hai giao tuyến của hai mặt phẳng (P
1
): 3x-y+z-2=0 và (P
2
):
x+4y-5=0 và vuông góc với mặt phẳng (Q):2x-z+7=0.
Đáp số:
Đ5 phơng trình của đờng thẳng
1.Véctơ pháp tuyến cuả đờng thẳng
2. Véctơ chỉ phơng cuả đờng thẳng
3. Phơng trình tổng quát của đờng thẳng
Trong Kg với hệ trục toạ độ Oxyz cho hai mặt phẳng : () () = d
Khi đo M (x ; y ; z) d toạ độ của nó thoả mãn :
Ax By Cz D 0
A'x B ' y C' z D' 0
+ + + =
+ + + =
(1)
trong đó : A : B : C A: B : C
- Hệ (1) goi là phơng trình tổng quát của đờng thẳng
Chú ý:
1)
'
,
d
u n n
=
uur uur uur
2)Cách chọn điểm M(x
0
;y
0
;z
0
)
d
3)Đk để hệ (1) là pttq của mặt phẳng
4. Phơng trình tham số của đờng thẳng
Đờng thẳng hoàn toán xác định khi biết một điểm thuộc nó và một véc tơ chỉ phơng của nó
Cho điểm M(x
0
; y
0
; z
0
) d và véc tơ chỉ phơng
v(a ;b;c)
r
khi đó mọi điểm M(x ; y ; z) thoả mãn
0
2 2 2
0
0
x x at
y y bt (a b c 0)
z z ct
= +
= + + +
= +
(2)
Hệ phơng trình (2) gọi là phơng trình tham số của đờng thẳng
Chú ý:1.
2.
3.
Vd:
4. Phơng trình chính tắc của đờng thẳng
0 0 0
x x y y z z
a b c
= =
(3)
Phơng trình (3) gọi là phơng trình chính tắc của đờng thẳng
Vd:
Tìm véctơ chỉ phơng của các đờng thẳng sau
Giáo viên :Đỗ Thế Nhất THPT Kẻ Sặt -Bình Giang-Hải D ơng
1)
3
1
4
2
3
1
:)(
+
=
+
=
zyx
d
2)
( )
=+
=++
0642
0104
:
zyx
zyx
d
5. Chuyển đổi các dạng phơng trình đờng thẳng
Đ6 vị trí tơng đối của đờng thẳng
và mặt phẳng
1. Vị trí tơng đối của hai đờng thẳng
Cho hai đờng thẳng d và d có phơng trình
d: x = x
0
+ at ; y = y
0
+ bt ; z = z
0
+ ct
d: x = x
0
+ at ; y = y
0
+ bt ; z = z
0
+ ct
Từ đó ta có :
r
r
uuuuuuur
0 0 0
0 0 0
0 0 0 0 0 0
v(a;b;c) ;M (x ;y ;z )
v'(a ';b ';c') ;M ' (x ' ;y ' ;z ' )
M M ' (x' x ;y ' y ;z' z )
Ta có các kết luận :
a) d // d
, ' 0
, ' 0
v v
v MM
=
r ur r
r uuuuur r
b) Hai đờng thẳng trung nhau
, ' 0
, ' 0
v v
v MM
=
=
r ur r
r uuuuur r
c) Hai đờng d và d cắt nhau
, ' 0
, ' . ' 0
v v
v v MM
=
r ur r
r ur uuuuur r
d) Hai đờng thẳng chéo nhau
, ' . ' 0v v MM
r ur uuuuur r
e) Hai đờng thẳng đồng phẳng
, ' . ' 0v v MM
=
r ur uuuuur r
Chú ý:sơ đồ sét vị trí t ơng đối của hai đ ờng thẳng.
Giáo viên :Đỗ Thế Nhất THPT Kẻ Sặt -Bình Giang-Hải D ơng
Vd1:Xác định vị trí tơng đối của hai đờng thẳng d
1
và d
2
trong các trờng hợp sau.
( ) ( )
( )
{
( )
( ) ( )
( ) ( )
1 2
1 2
1 2
1 2
1
2 5 7
) : 2 3 , :
1 3 4
3 4
1 1 2
1 0
) : , :
4 1 0
1 1 4
1
1 2 4
) : , :
2 1 3
2 3
1 2 2
) : 2 , : 3 2
3 3 1 3
x t
x y z
a d y t d
z t
x y z
x y
b d d
y z
x t
x y z
c d y t d
z t
x t x u
d d y t d y u
z t z u
= +
= + = =
= +
+ =
= =
+ + =
= +
+
= = =
= +
= + = +
= + = +
= + = +
Đs:a)trùng nhau b)song song c)cắt nhau d)chéo nhau
2.Giao điểm của hai đờng thẳng
( )
1 2
; ;M x y z d d=
Khi tọa độ của M thỏa mãn hệ pt
Vd2:Tìm giao điểm của hai đờng thẳng d
1
và d
2
trong các trờng hợp sau.
( )
{
( )
{
( ) ( )
1 2
1 2
2 1 0 3 3 0
) : , :
1 0 2 1 0
1
1 2 4
) : , :
2 1 3
2 3
x y x y z
a d d
x y z x y
x t
x y z
b d y t d
z t
+ + = + + =
+ = + =
= +
+
= = =
= +
Đs:a)
1 3
;0;
2 2
ữ
b)(1;-2;4)
3. Vị trí ttơng đối của đờng thẳng và mặt phẳng
Trong không gian cho đờng thẳng d và mp()
d: x = x
0
+ at ; y = y
0
+ bt ; z = z
0
+ ct (): Ax + By + Cz + D = 0
( ) ( )
( ) ( )
. 0
) //( )
. 0
) ( )
) ( ) . 0
) ( ) , 0
d
d
d
d
u n
a d
M d M
u n
b d
M d M
c d cat u n
d d u n
=
=
=
uur uur
uur uur
uur uur
uur uur r
Vd3:Xét vị trí tơng đối của (d)và mp()
( ) ( )
( )
{
( )
( ) ( )
6
) : : 3 2 12 0
1 3 3
2 1 0
) : : 2 4 0
1 0
1
) : : 2 3 0
2 3
x y z
a d va p x y z
x y
b d va p x y z
x y z
x t
c d y t va p x y z
z t
= = + + =
+ + =
+ =
+ =
= +
= + =
= +
Vd4:Cho mp(P) và đờng thẳng (d) có phơng trình.
(P):2x+my+z-5=0 và
{
3 2 4 0
( ) :
2 7 0
x y z
d
x y z
+ + =
+ =
a)Tìm m để (d)//(P)
b)tìm m để (d) cắt (P)
Đs:a)m=1 b)m khác 1
4.Tìm giao điểm giữa đ ờng thẳng và mặt phẳng
Vd5: Tìm giao điểm giữa đờng thẳng và mặt phẳng
Giáo viên :Đỗ Thế Nhất THPT Kẻ Sặt -Bình Giang-Hải D ơng
( )
{
( )
( ) ( )
( ) ( )
2 1 0
) : : 2 2 0
1 0
1
) : : 2 5 0
2 3
: ) ; ; ) 2;1; 5
+ + =
+ + =
+ + =
= +
= + =
= +
x y
a d va p x y z
x y z
x t
b d y t va p x y z
z t
Kq a b
Bài tập về nhà số 3
Bài 1:Lập phơng trình đờng thẳng (d) trong các trờng hợp sau :
1) (d) đi qua điểm M(1,0,1) và nhận
)3,2,3(a
làm VTCP
2) (d) đi qua 2 điểm A(1,0,-1) và B(2,-1,3)
Bài 2: Trong không gian Oxyz lập phơng trình tổng quát của các giao tuyến của mặt phẳng
(P) : x-3y+2z-6=0 và các mặt phẳng toạ độ
Bài 3: Viết phơng trình chính tắc của đờng thẳng đi qua điểm M(2,3,-5) và song song với đờng thẳng (d) có phơng trình
( )
=++
=+
0323
0723
:
zyx
zyx
d
Bài 4: Cho mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A(3,0,0), B(0,6,0), C(0,0,9). Viết phơng trình tham số của đờng thẳng (d) đi qua
trọng tâm tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác đó
Bài 5:Cho đờng thẳng (d) có phơng trình :
( )
=+
=++
0642
0104
:
zyx
zyx
d
Hãy viết phơng trình tham số của đờng thẳng đó
Bài 6:Cho đờng thẳng (d) có phơng trình :
( )
=+
=++
0642
0104
:
zyx
zyx
d
Hãy viết phơng trình chính tắc của đờng thẳng đó
Giáo viên :Đỗ Thế Nhất THPT Kẻ Sặt -Bình Giang-Hải D ơng
Bài 7:Cho đờng thẳng (d) có phơng trình :
( )
R t,
21
22:
+=
+=
=
tz
ty
tx
d
Hãy viết phơng trình tổng quát của đờng thẳng đó
Bài 8:Lập phơng trình tham số, chính tắc và tổng quát của đờng thẳng (d) đi qua điểm A(2,1,3) và vuông góc với mặt phẳng
(P) trong các trờng hợp sau:
(P): x+2y+3z-4=0
Bài 9:Lập phơng trình tham số, chính tắc và tổng quát của đờng thẳng (d) đi qua điểm A(1,2,3) và song song với đờng thẳng
(d
1
) cho bởi :
1)
( )
1
2 2
: 3 t
3
x t
d y t R
z t
= +
=
= +
. 2)
( )
{
1
1 0
:
4 1 0
x y
d
x z
+ =
+ + =
Bài 10:Lập phơng trình tham số, chính tắc và tổng quát của đờng thẳng (d) đi qua điểm A(1,2,3) và vuông góc với 2 đờng
thẳng :
( )
=+
=+
032
022
:
1
zx
yx
d
,
( )
=+
=++
0642
0104
:
2
zyx
zyx
d
Bài 11: Xét vị trí tơng đối của đờng thẳng (d) và mặt phẳng (P) ,biết:
1)
( )
R t,
2
3
1
:
+=
=
+=
tz
ty
tx
d
(P): x-y+z+3=0 2)
( )
R t,
1
9
412
:
+=
+=
+=
tz
ty
tx
d
(P): y+4z+17=0
3)
( )
05
010632
:
=+++
=++
zyx
zyx
d
(P): y+4z+17=0 4)
( )
01
03
:
=
=++
y
zyx
d
(P): x+y-2=0
Bài 12: (ĐHNN_TH-98): Cho mặt phẳng (P) và đờng thẳng (d) có phơng trình
(P) :2x+y+z=0 và
( )
3
2
12
1
:
+
==
zyx
d
.Tìm toạ độ giao điểm A của (d) và (P) .
Bài 13: (ĐH Khối A-2002): Trong không gian 0xyz ,cho mặt phẳng (P) và đờng thẳng (d
m
) có phơng trình : (P) :2x-y+2=0 ,
( )
024)12(
01)1()12(
:
=++++
=+++
mzmmx
mymxm
d
m
xác định m để (d
m
)//(P)
Bài 14: Xác định vị trí tơng đối của hai đờng thẳng (d
1
) và (d
2
) có phơng trình :
1)
( )
R
tz
ty
tx
d
+=
+=
+=
t
46
32
23
:
1
,
( )
=+
=+
015
0194
:
2
zx
yx
d
2)
( )
R
tz
ty
tx
d
+=
+=
+=
t
33
2
21
:
1
,
( )
13
23
2
:
2
+=
+=
+=
uz
uy
ux
d
Giáo viên :Đỗ Thế Nhất THPT Kẻ Sặt -Bình Giang-Hải D ơng
3)
( )
01
012
:
1
=++
=++
zyx
yx
d
,
( )
012
033
:
2
=+
=++
yx
zyx
d
Bài 15: Trong không gian 0xyz ,cho hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) có phơng trình cho bởi :
( )
5
1
25
:
1
=
=
+=
tz
ty
tx
d
,
( ) ( )
R
tz
ty
tx
d
=
=
+=
1
1
1
1
2
tt,
1
3
23
:
Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) song song với nhau .
Bài 16: Cho hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) có phơng trình cho bởi :
( )
4
9
1
5
3
7
:
1
=
=
+
zyx
d
,
( )
2
4 18
:
3 1 4
x y z
d
+ +
= =
Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) song song với nhau .
Bài 17: Trong không gian 0xyz ,cho hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) có phơng trình cho bởi :
( )
R t
46
2
23
:
1
+=
+=
+=
tz
ty
tx
d
,
( )
015
0194
:
2
=+
=+
zx
yx
d
Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) cắt nhau và tìm tọa độ giao điểm .
Bài 18: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 2 đờng thẳng
1
( ) :
1 1 2
x y z
d = =
2
1 2
( ) :
1
x t
d y t
z t
=
=
= +
Xét vị trí tơng đối của 2 đờng thẳng trên
Tìm toạ độ các điểm M thuộc d
1
, N thuộc d
2
sao cho MN song song với mặt phẳng (P) x-y+z=0 và
2
=
MN
Đs:
Giáo viên :Đỗ Thế Nhất THPT Kẻ Sặt -Bình Giang-Hải D ơng
Giáo viên :Đỗ Thế Nhất THPT Kẻ Sặt -Bình Giang-Hải D ơng
Đ7 Góc và khoảng cách
1)khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng .
( )
0 0 0
2 2 2
Ax +By +Cz +D
d M,(P) =
A +B +C
Vd1:Tính khoảng cách từ điểm M(3,-2,5) đến mặt phẳng (P): 12x+4y-3z+3=0
2)Khoảng cách giữa đờng thẳng (d) và mp(P) biết (d)//(P).
Vd2;
( )
R t,
2
3
1
:
+=
=
+=
tz
ty
tx
d
(P): x-y-2z+3=0
3)Khoảng cách giữa hai mp // (P
1
) và (P
2
).
Vd3:Tính khoảng cách giữa hai mp (P
1
):3x+6y-2z+5=0 và (P
2
):3x+6y-2z+21=0
4)Khoảng cách từ một điểm tới một đờng thẳng.
( )
1 1 1 1 1 1
1 1 1
u ,MM u ,M M MM ,u
d M,d = = =
u u u
uur uuuuur uur uuuuur uuuuur uur
uur uur uur
Vd4:Tính khoảng cách từ điểm A(2;-1;3) đến đờng thẳng (d) biết
a)
( )
R t,
2
3
1
:
+=
=
+=
tz
ty
tx
d
b)
( )
{
3 3 0
:
2 1 0
x y z
d
x y
+ + =
+ =
5) Khoảng cách giữa hai đờng thẳng song song
Vd5:Tính khoảng cách giữa hai đờng thẳng song song
( )
4
9
1
5
3
7
:
1
=
=
+
zyx
d
,
( )
2
4 18
:
3 1 4
x y z
d
+ +
= =
6) Khoảng cách giữa hai đờng thẳng chéo nhau.
( )
1 2 1 2 1 2 2 1
1 2
1 2 1 2
u ,u .M M u ,u .M M
d d ,d = =
u ,u u ,u
uur uur uuuuuur uur uur uuuuuur
uur uur uur uur
Vd6:
( ) ( )
1 2
1 2 2
: 2 , : 3 2
3 3 1 3
x t x u
d y t d y u
z t z u
= + = +
= + = +
= + = +
7)Góc giữa hai đờng thẳng
Vd7: Tính góc giữa hai đờng thẳng
1
( ) :
1 1 2
x y z
d = =
2
1 2
( ) :
1
x t
d y t
z t
=
=
= +
8)Góc giữa đờng thẳng và mặt phẳng.
.
sin
.
d p
d
p
u n
u n
=
r r
r uur
Vd8:Tính góc giữa đờng thẳng (d)và mặt phẳng(P) biết
( )
1
: 3 , t R
2
x t
d y t
z t
= +
=
=
(P): x-y+z+3=0
9)Góc giữa hai mặt phẳng
Giáo viên :Đỗ Thế Nhất THPT Kẻ Sặt -Bình Giang-Hải D ơng
1 2
1 2
.
cos
.
n n
u n
=
ur uur
ur uur
Vd9: Tính góc giữa hai mặt phẳng (P
1
): x-y+z-4=0 và (P
2
) 3x-y+z-1=0
Giáo viên :Đỗ Thế Nhất THPT Kẻ Sặt -Bình Giang-Hải D ơng
Bài tập về nhà số 4
Bài 1:Tính khoảng cách từ điểm M(2,2,1) đến mặt phẳng (P) trong các trờng hợp sau:
1) (P): 2x+y-3z+3=0
2) (P):12x-4x+3y-15=0
Bài 2:Trong không gian với hệ toạ độ trực chuẩn Oxyz , cho tứ diện có 4 đỉnh A(5;1;3) ,B(1;6;2) ,C(5;0;4) ,D(4;0;6)
1) Lập phơng trình tổng quát mặt phẳng (ABC).
2) Tính chiều dài đờng cao hạ từ đỉnh D của tứ diện, từ đó suy ra thể tích của tứ diện .
Bài 3: hãy tính số đo góc tạo bởi đờng thẳng (d) và mặt phẳng (P) cho bởi :
( )
R t,
22
2
21
:
+=
+=
+=
tz
ty
tx
d
(P): x-2y+2z+3=0.
Bài 4:Xác định số đo góc giữa 2 đờng thẳng (d
1
),(d
2
) có phơng trình :
1)
( )
015z-x
019-y4x
:)(d&
46
32
23
:
21
=+
=+
+=
+=
+=
tz
ty
tx
d
2)
( )
33
2
12
:
1
+=
+=
+=
tz
ty
tx
d
,
( )
31
23
2
:
2
+=
+=
+=
uz
uy
ux
d
3)
( )
01
012
:
1
=+
=++
zyx
yx
d
( )
012
033
:
2
=+
=++
yx
zyx
d
Bài 5:Cho hai mặt phẳng ,(P
1
):2x-2y+z-5=0 và (P
2
):3x-4y-2=0.Đờng thẳng (d):
{
2 3 0
2 3 2 0
x y z
x y z
+ =
+ =
Tìm điểm M trên (d) sao cho d(M,(P
1
))=2d(M,(P
2
)).
Bài 6:Cho đờng thẳng
( )
3
2
12
1
:
+
==
zyx
d
và: (P) :2x+2y+z-6=0
Tìm điểm M trên đờng thẳng (d) sao cho d(M,(P))=2.
Bài 7: Cho hai mặt phẳng
( )
1
P
,
( )
2
P
tính góc tạo bởi hai mặt phẳng (P
1
)và (P
2
) biết
a) (P
1
):x+y-2z+5=0 và (P
2
):2x-y+z+2=0
b) (P
1
):2x-y+2z-2=0 và (P
2
):x-y+2=0
Bài 8:Cho điểm A(2;-1;3) .Tính khoảng cách từ điểm A đến đờng thẳng (d) biết
Giáo viên :Đỗ Thế Nhất THPT Kẻ Sặt -Bình Giang-Hải D ơng
a)
( )
1 3
: 3 4 , t R
2 12
x t
d y t
z t
= +
=
= +
b)
( )
1 3 2
:
2 1 2
x y z
d
+ +
= =
c)
( )
{
3 3 0
:
2 1 0
x y z
d
x y
+ + =
+ =
Bài 9:Cho hai mặt phẳng, (P
1
):2x-2y+z-3=0 và (P
2
):2x-2y+z+5=0 .Lập phơng trình mặt phẳng (Q) song song và cách đều hai
mặt phẳng (P
1
) và (P
2
).
Bài 10:Cho mặt phẳng (P):x+2y+mz+3m-2=0 , (d):
( )
1 1 2
:
2 1 2
x y z
d
+ +
= =
và điểm A(2;1;-1)
Tìm m sao cho d(A,d)=d(A,(P)).
Đs:
Giáo viên :Đỗ Thế Nhất THPT Kẻ Sặt -Bình Giang-Hải D ơng
Đ8 Mặt cầu
1)Phơng trình mặt cầu
a.Đn mặt cầu:
b.Phơng trình chính tắc của mặt cầu
S(I;R) với tâm I(a;b;c), bán kính R có dạng: Ptct:
( ) ( ) ( )
2
222
Rczbyax
=++
(S)
Chú ý:
Mặt cầu (S) qua 2 điểm A, B
tâm I nằm trên mặt phẳng trung trực của AB.
(S):x
2
+y
2
+z
2
=R
2
là mặt cầu có tâm trùng với gốc toạ độ
Vd1:Xác định tâm và bán kính của mặt cầu (S) trong các trờng hợp sau
( )
( )
( )
2 2 2
2 2 2
2 2 2
1. :
2 4 2 3 0
2. : 4 6 3 0
3. : 1 0
S
x y z x y z
S x y z y z
S x y z x y z
+ + + + =
+ + + =
+ + + + =
Vd2:Lập phơng trình mặt cầu đờng kính AB biết A(1;2;3) ,B(3;4;-1)
c b.Phơng trình dạng khai triển.
Vd3:Cho pt:x
2
+y
2
+z
2
+2mx+4my-2(m-1)z+2m +3 =0 (*)
a)Tìm m để pt(*) là pt mặt cầu S(I;R).
b)Tìm m để mặt cầu S(I;R) có R=
2 2
Đs:
Vd4: Cho pt:x
2
+y
2
+z
2
- 2mx+4 ( m
2
-1) y+2 z - m
2
+3=0 (*)
a) Tìm m để pt(*) là pt mặt cầu S(I;R).
b)Tìm những điểm cố định của mặt cầu S(I:R).
2)Vị trí tơng đối của một điểm và mặt cầu
Vd5:
3)Vị trí tơng đối của mặt phẳng và mặt cầu
Vị trí tơng đối của mặt cầu với mặt phẳng
Cho mặt cầu
( ) ( ) ( )
2
222
Rczbyax
=++
(S)
Mặt phẳng Ax + By + Cz + D = 0 (P)
( ) ( ) ( )( )
RP,IdPS
>=
(P) tiếp xúc với (S)
( )( )
RP,Id
=
, khi đó (P) gọi là mặt phẳng tiếp diện của mặt cầu (S) và
( ) ( )
P S M =
thì M đợc gọi là tiếp điểm và IM(P)
( ) ( ) ( ) ( )
( )
'; ,S P C I r d I P R = <
, khi đó
222
'IIRr
=
(II=d(I,(P)))
Chú ý:+Cách tìm tiếp điểm M.
+Cách tìm tâm và bán kính của đờng tròn
( )
';C I r
.
Vd 6 : cho mặt cầu:
4zyx
222
=++
(S) và mặt phẳng
2zx
=+
(P)
Chứng minh rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S).
Giáo viên :Đỗ Thế Nhất THPT Kẻ Sặt -Bình Giang-Hải D ơng
ph ơng trình đ ờng tròn
Vd 7 1 : Cho mặt cầu (S):Gọi T là giao tuyến của mặt cầu
( ) ( ) ( )
1001z2y3x
222
=+++
với mặt phẳng(P): 2x 2y
z + 9 = 0.
a)CMR:mp(P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đờng tròn C(I;r).
b) Xác định toạ độ tâm và bán kính của đờng tròn C(I;r).T?
Vd2: cho mặt cầu:
4zyx
222
=++
(S) và mặt phẳng
2zx
=+
(P)
Chứng minh rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S). Xác định toạ độ tâm và tính bán kính của đ ờng tròn (C) là
giao tuyến gi a (P) và (S).
Vd 3 :lập phơng trình mp tiếp diện của mc(s) biết nó // với (P)
Vd 4 : lập phơng trình mp tiếp diện của mc(s) biết nó vuông góc với (d)
Vd 8 5 : lập phơng trình mp tiếp diên tại điểm M(2;3;4) thuộc mc(S).
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 3 1 9x y z + + =
Vd 9 6 : Cho mc (S):(x-1)
2
+(y+1)
2
+(z-1)
2
=9
Và mp(P):2x+2y+z-m
2
-3m=0.Tìm m để (P) tiếp xúc với (S) với m tìm đợc hãy xác định tọa độ tiếp điểm.
4)Vị trí tơng đối của đờng thẳng và mặt cầu
Cho mặt cầu (S) và đờng thẳng (d)
( ) ( ) ( )
,S d d I d R = >
( d ) tiếp xúc với (S)
( )
,d I d R =
, khi đó (d) gọi là tiếp tuyến của mặt cầu (S) và
( ) ( )
d S M =
thì
M gọi là tiếp điểm và IM (d)
( ) ( ) { } ( )
, ,S d A B d I d R = <
Chú ý:
+Cách tìm tiếp điểmM.
+Cách tìm toạ độ A,B(viết ptts(d)).
Vd 10 :Xét vị trí tơng đối giữacủa đờng thẳng (d) và mặt cầu (S):
2 2 2
2 4 6 67 0x y z x y z+ + =
trong các tr-
ờng hợp sau và nếu (d). cắt mặt cầu (S) thì tìm toạ độ giao điểm.
( )
{
( ) ( )
( )
3 2 8 0
) :
2 3 0
2
) : 3 2
1
2 1 4
) :
3 1 3
x y z
a d
x y
x u
b d y u u R
z u
x y z
c d
+ =
+ =
=
= +
=
+ +
= =
5)vị trí tơng đối của hai mặt cầu.
Cho S
1
(I
1
;R
1
) và S
2
(I
2
;R
2
)
+(S
1
) và (S
2
) nằm ngoài nhau khi và chỉ khi I
1
I
2
>R
1
+R
2
+(S
1
) và (S
2
) tiếp xúc ngoài khi và chỉ khi I
1
I
2
=R
1
+R
2
+(S
1
) cắt (S
2
) khi và chỉ khi R
1
-R
2
<I
1
I
2
<R
1
+R
2
+(S
1
) và (S
2
) tiếp xúc trong khi và chỉ khi I
1
I
2
=R
1
-R
2
+(S
1
) và (S
2
) lồng vào nhau khi và chỉ khi I
1
I
2
<R
1
-R
2
Vd 11 : Trong không gian với hệ toạ độ trực chuẩn Oxyz, cho mặt cầu (S
1
) và (S
2
) lần lợt có phơng trình nh
sau:
( )
( )
2 2 2
1
2 2 2
2
: 2 2 4 3 0
: 4 2 11 0
S x y z x y z
S x y z x z
+ + + =
+ + + =
Xét vị trí tơng đối của hai mặt cầu trên.
Giáo viên :Đỗ Thế Nhất THPT Kẻ Sặt -Bình Giang-Hải D ơng
Giáo viên :Đỗ Thế Nhất THPT Kẻ Sặt -Bình Giang-Hải D ơng
Bài tập về nhà số 5
Bài 1: Trong các phơng trình sau đây ,phơng trình nào là phơng trình của mặt cầu ,khi đó chỉ rõ toạ độ tâm và bán
kính của nó ,biết:
1)
( )
02642:
222
=++++
zyxzyxS
2)
( )
09242:
222
=++++
zyxzyxS
3)
( )
03936333:
222
=++++
zyxzyxS
4)
( )
07524:
222
=++
zyxzyxS
5)
( )
022:
222
=+++
yxzyxS
Bài 2: Cho họ mặt cong (S
m
) có phơng trình :
( )
04624:
2222
=++++
mmzmymxzyxS
m
1) Tìm điều kiện của m để (S
m
) là một họ mặt cầu .
2) CMR tâm của (S
m
) luôn nằm trên một đờng thẳng cố định.
Bài 3: Cho họ mặt cong (S
m
) có phơng trình :
( )
05824:
22222
=+++
mymmxzyxS
m
1) Tìm điều kiện của m để (S
m
) là một họ mặt cầu .
2) Tìm quĩ tích tâm của họ (S
m
) khi m thay đổi.
3) Tìm điểm cố định M mà (S
m
) luôn đi qua.
Bài 4: Cho họ mặt cong (S
m
) có phơng trình :
( )
03cos2sin2:
222
=++
mymxzyxS
m
1) Tìm điều kiện của m để (S
m
) là một họ mặt cầu .
2) CMR tâm của (S
m
) luôn chạy trên một đờng tròn (C) cố định trong mặt phẳng 0xy khi m thay đổi.
Bài 5: Cho mặt cầu
( )
034:
222
=++
zyxzyxS
.xét vị trí tơng đối của điểm A đối với mặt cầu (S) trong các
trờng hợp sau:
1) điểm A(1,3,2). 2)điểm A(3,1,-4). 3)điểm A(-3,5,1).
Bài 6: Trong không gian với hệ toạ đô trực chuẩn 0xyz, cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) có phơng trình :
( )
022:
222
=++ xzyxS
,(P):x+z-1=0.
1) Tính bán kính và toạ độ tâm của mặt cầu (S).
2) Tính bán kính và toạ độ tâm của đờng tròn giao của (S) và (P).
Bài 7: Cho hai mặt cầu:
( )
0722:
222
1
=++
yxzyxS
,
( )
02:
222
2
=++
xzyxS
CMR hai mặt cầu (S
1
) và (S
2
) lồng vào nhaukhông cắt nhau.
Bài 8: Cho hai mặt cầu:
( )
9:
222
1
=++
zyxS
,
( )
06222:
222
2
=++
zyxzyxS
CMR hai mặt cầu (S
1
) và (S
2
) cắt nhau
Bài 9: Cho mặt cầu:
( )
2 2 2
: 4 2 2 10 0S x y z x y z+ + + =
và (P) :2x+2y+z-6=0
Xét vị trí tơng đối của mp(P) và mặt cầu (S).
Bài 10: Cho mặt cầu:
( )
2 2 2
: 4 2 2 3 0S x y z x y z+ + + + =
và
( )
1 3 2
:
2 1 2
x y z
d
+ +
= =
Xét vị trí tơng đối của đờng thẳng (d) và mặt cầu (S) v tìm các giao điểm của đ ờng thẳng (d) và mặt cầu (S) nếu có.
Đs:
Giáo viên :Đỗ Thế Nhất THPT Kẻ Sặt -Bình Giang-Hải D ơng
Chuyên đề 1:Lập phơng trình mặt phẳng
Chú ý:
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
{
( )
( )
+ + + =
+ + + =
r
r
0 0 0
0 0 0
1 1 1 1
2 2 2 2
1 1 1 1 2 2 2
đi qua M x ;y ;
1. P : P :A x-x +B y-y +C z-z =0
có véctơ pháp tuyến n ; ;
2. P : có vtpt n A;B;C P : Ax+By+Cz+m=0
A 0
3. P : Chứa đường thẳng (d): P có dạng
A 0
m A x+B y+C z+D +n A x+B y+C z
z
A B C
x B y C z D
x B y C z D
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
= +
r
r
r
2 2
2
+D 0 đk:m n 0
4. P // Q : Ax+By+Cz+D=0 P : Ax+By+Cz+m=0 đk:m D
5.( )//( ) thì vtcp u của đường thẳng d là một vtcp của mp(P).
6.(P) (Q) thì vtpt n của mp(Q) là một vtcp của mp(P).
7.(P)//(Q) thì vtpt n của m
P d
( )
( )
( ) ( ) ( )
r
uuur r uuur
r
p(Q) là một vtpt của mp(P).
8.( ) ( ) thì vtcp u của đường thẳng d là một vtpt của mp(P).
9.A,B P và AB 0 thì AB là một vtcp của mp(P).
10. P d thì vtcp u của đường thẳng d là một vtcp của mp(P
P d
( ) ( ) ( )
( )
=
uur uur uur uur r uur uur
1 2 1 2 1 2
).
11.(P) có hai vtcp u ,u và u ,u 0 thì u ,u là một vtpt của (P).
12. P là mặt phẳng tiếp diện của mặt cầu S I;R d I, P R
Vd1:Viết phơng trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB với A(2;1;4) và B(-2;-3;2)
Đs:Gọi (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB ta có :(P):2x+2y+z-+1=0
Vd2:Viết phơng trình mặt phẳng đi qua 3 điểm, A(1;3;5);B(2;0;-1);C(0;2;4).
Đs:(ABC):3x-7y+4z-2=0
Vd3: Viết phơng trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M (3;2;-1) và vuông góc với
( )
{
3 1 0
:
2 2 0
x y z
x y z
+ + =
+ + =
Đs:(P):2x-3y-7z-7=0
Vd4:Viết phơng trình mặt phẳng đi qua điểm M(4;5;-2) và song song (P) :2x+3y+z-2=0
Đs:2x+3y+z-21=0
Vd5:Viết phơng trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm A(1;2;-1) và song song với hai đờng thẳng (d
1
) và (d
2
) biết
( ) ( )
1 2
1 3 1 5
: ; :
2 1 4 3 1 2
x y z x y z
d d
= = = =
Đs:(Q):6x+8y-5z-27=0
Vd6:Viết phơng trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(-2;3;1) và vuông góc với hai mặt phẳng
(Q
1
):2x+y+2z-10=0 và (Q
2
):3x+2y+z+8=0
Đs:3x-4y-z+19=0
Vd7:Viết phơng trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(2;-1;4) ,(P)//(d) và (P)(Q) biết
( ) ( )
2 1 3
: ; : 2 3 5 0
1 1 2
x y z
d Q x y z
+
= = + =
Đs:(P):x+y-z+3=0
Vd8: Viết phơng trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và chứa đờng thẳng (d) biết
( ) ( )
( ) ( )
{
1 3 2
1. 4;3;5 à d :
2 1 3
1 0
2. 1;2;5 à d :
2 3 5 0
x y z
M v
x y z
M v
x y z
= =
+ + =
+ + =
Đs:1.(P):x+y-z-2=0 2. (P):6x+13y-15z+43=0
Vd9:Viết phơng trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A,B và vuông góc với mp(Q) biết A(1;0;1),B(2;1;2) và
(Q):x+2y+3z+3=0
Đs:(P):x-2y+z-2=0
Giáo viên :Đỗ Thế Nhất THPT Kẻ Sặt -Bình Giang-Hải D ơng
Vd10: Viết phơng trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A,B và song song với đờng thẳng (d) biết A(2;-1;3),B(1;2;4)
và
( )
{
3 0
:
2 3 0
x y z
d
x y z
+ =
+ + =
Đs:7x+2y+z-15=0
Vd11: Viết phơng trình mặt phẳng (P) chứa (d
1
) và vuông góc với (d
2
) biết
( ) ( )
{
1 2
2 2
2 0
: 1 ; :
2 3 1 0
1 1
x z
x y z
d y d
x y z
+
+ + =
= =
+ =
Chú ý:nếu (d
1
) không vuông góc với (d
2
) thì không tồn tại mp(P)
Đs:x-4y-3z-4=0
Vd12: Viết phơng trình mặt phẳng (P) chứa (d
1
) và song song với (Q) biết
( )
{
( )
1
2 5 0
: : 4 3 0
2 2 1 0
x y z
d Q x y
x y z
+ + =
+ =
+ =
Chú ý:nếu (d
1
) không song song với (Q) thì không tồn tại mp(P).
Đs:x-4y-4=0
Vd13:Viết phơng trình mặt phẳng (P) chứa đờng thẳng (d) và vuông góc với (Q) biết
( ) ( )
1 2
: ; : 2 5 0
2 1 3
x y z
d Q x y z
= = + + =
Đs:(P):5x-y-3z-3=0
Chú ý:nếu (d) không vuông góc với (Q) thì không tồn tại mp(P)
Vd14: Viết phơng trình mặt phẳng (P) chứa đờng thẳng (d) và / / với () biết
( ) ( )
( )
{
( )
2 3 1 2
1) : ; :
1 2 3 3 5 1
2 1 2
2 5 1 0
2) : ; :
2 0
3 5 1
X Y Z x y z
d
x y z
x y z
d
x y z
= = = =
+
+ + =
= =
+ + =
Đs:1.(P)17x-8y-11z-10=0 2.(P):x+10y-53z+25=0
Vd15:Viết phơng trình mặt phẳng (P) chứa hai đờng thẳng cắt nhau (d
1
) và (d
2
) biết
( ) ( )
1 2
1 1 3 1
: ; :
2 1 1 1 2 1
x y z x y z
d d
+ +
= = = =
Đs:(P):3x-y+5z-4=0
Vd16: Viết phơng trình mặt phẳng (P) chứa hai đờng thẳng song song (d
1
) và (d
2
) biết
( ) ( )
{
1 2
1 2
1 0
: ; :
2 1 0
4 4 2
x y z
x y
d d
y z
+ + =
= =
+ + =
Đs:(P):3x-y-8z-1=0
Vd17: Viết phơng trình mặt phẳng (P) chứa hai đờng thẳng (d
1
) và (d
2
) biết
( ) ( ) ( )
{
1 2
0
: 8 4 ; :
2 2 0
3 3
x u
x y z
d y u u R d
x y z
z u
=
+ =
=
+ =
=
Đs:(P):12x-3y+8z=0
Vd18:Viết phơng trình mặt phẳng () song song và cách đều hai mặt phẳng (P) và (Q) biết
( ) ( )
: 2 3 1 0 ; : 2 3 7 0P x y z Q x y z + = + + =
Đs: ():x-2y+3z+3=0
Vd19: Viết phơng trình mặt phẳng () song song (P) và (Q) và d((),(P))=2d((),(Q)) biết
( ) ( )
: 2 3 6 2 0 ; : 2 3 6 13 0P x y z Q x y z + = + + =
Đs: ():2x-3y+6z+8=0 v 2x-3y+6z+28=0
Vd20: Viết phơng trình các mặt phẳng (P),(P) // (Q) và d((P),(Q))=2 biết (Q):2x+3y-6z+12=0
Đs:2x+3y-6z+26=0 v 2x+3y-6z-2=0
Vd21:Cho hai điểm A(2;1;-1),B(3;-1;5) và mặt phẳng (Q):x-2y+2z-7=0.Lập phơng trình mặt phẳng (P) song song
và cách đều hai điểm A,B.
Giáo viên :Đỗ Thế Nhất THPT Kẻ Sặt -Bình Giang-Hải D ơng
s:2x-4y+4z-13=0
Vd22: Viết phơng trình các mặt phẳng (P) có véctơ pháp tuyến
( )
3;4; 12n =
r
và
d(A,(P))=2 biết A(2;2;1).
Đs:3x+4y-12z+24=0 v 3x+4y-12z-28=0
Vd23: Cho (Q):2x-3y-6z+12=0 và
( )
2 1 1
:
2 2 1
x y z
d
+
= =
.Viết phơng trình các mặt phẳng (P) biết (P)//(d),
(P)(Q) và d((P),d)=1.
Đs:
= =15x+14y-12z+5 17 14 0 và 15x+14y-12z-5 17 14 0
Vd24:Cho hai đờng thẳng
( ) ( )
1 2
1 1 3 1
: ; :
2 1 1 1 2 1
x y z x y z
d d
+ +
= = = =
.Viết phơng trình các mặt phẳng
(P) song song với hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) và d((P),d
1
)=1.
Đs:
3 5 35 4 0 và 3 5 35 4 0x y z x y z + = + + =
Vd25: Cho hai mặt phẳng ,(P
1
):2x-y-z+1=0 và (P
2
):x+y+2z-1=0 và điểm A(2;1;-1) .Viết phơng trình các mặt
phẳng (Q) vuông góc với hai mặt phẳng trên và d(A,(Q))=1.
Đs:
5 3 35 10 0 và 5 3 35 10 0x y z x y z+ = + + =
Vd26:Cho điểm M(4;1;-3) và hai mặt phẳng (P) và (Q) có phơng trình .
(P):2x-y+z-4=0 ; (Q):x+y-3z-1=0.Viết phơng trình các mặt phẳng () đi qua giao tuyến của (P) và (Q) đồng thời
khoảng cách từ M tới () bằng
13
Đs: ():3x-2z-5=0 hoặc ():x+4y-10z+1=0
Vd27:Viết phơng trình các mặt phẳng (P) chứa đờng thẳng (d):
1 2 1
2 1 1
x y z +
= =
và có khoảng cách đến điểm
A(1;1;0) bằng 1.
Đs:
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
1 2
: 2 2 3 2 2 9 5 2 0; : 2 2 3 2 2 9 5 2 0P x y z P x y z+ + + = + + =
Vd28:Cho hai đờng thẳng chéo nhau (d
1
) và (d
2
) có phơng trình
( ) ( )
1 2
1 2 2
: 2 , : 3 2
3 3 1 3
= + = +
= + = +
= + = +
x t x u
d y t d y u
z t z u
Lập phơng trình mặt phẳng song song và cách đều hai đờng thẳng (d
1
) và (d
2
).
Đs:x+y-z-2=0
Vd29: Lập phơng trình mp(R) cách (Q) một khoảng bằng 1 và thuộc phần nửa không gian giới hạn bởi (Q) và chứa
điểm A biết (Q):2x-6y+3z-1=0 và A(2;3;2).
Vd30:Lập phơng trình các mặt phẳng phân gíac của các góc tạo bởi hai mặt phẳng
(P):x-2y+2z-3=0 và (Q):3x-4y+1=0
Đs:2x-y-5z+9=0 và 7x-11y+5z-6=0
Vd31:Viết phơng trình mặt phẳng phân giác của góc tạo bởi hai mặt phẳng (P
1
),(P
2
) và góc đó chứa điểm M(1;2;1)
biết (P
1
):2x-2y-z+1=0 và (P
2
):3x-4z+6=0
Đs:19x-10y-17z+23=0
Vd32:Cho điểm A(1;2;-1) và
( )
3 0
d :
1 0
x y z
y z
+ + =
+ =
viết phơng trình mặt phẳng (P) chứa (d) và d(A,(P)) là lớn
nhất.
Đs:(P):x-2=0
Vd3 3 2 : Cho đờng thẳng (d):
{
2 0
2 0
x y
y z
+ =
+ =
và (P):x+2y-2z+2=0.Lập phơng trình mặt phẳng (Q) chứa (d) và tạo với
(P) một góc sao cho sin
5
6
=
.
Đs:(Q
1
):x+2y+z-4=0 và (Q
2
):x-y-2z+2=0
Vd3 4 3 : Lập phơng trình mặt phẳng (P) chứa đờng thẳng (d) và tạo với đờng thẳng () một góc bằng 60
0
biết
