BÀI tập về tìm GTNN GTLN của hàm số

BÀI TẬP VỀ TÌM GTNN,GTLN CỦA HÀM SỐ
y = sin 4 x + cos 4 x + m sin x cos x
Bài 1: Cho hàm số
. Tìm m sao cho GTLN của hàm số bằng 2.
Bài 2: Tìm các kích thước của hình chữ nhật có diện tích lớn nhất nội tiếp đường tròn bán kính R cho trước.
Bài 3: Trong các khối trụ nội tiếp hình cầu bán kính R, hãy xác định khối trụ có thể tích lớn nhất.
 π π
 − 4 ; 2 
2 x − cos 4 x + m = 0
Bài 4: xác định m để phương trình
có nghiệm trên đoạn
2
8m cos x + m + 9 ≥ 6m sin x
Bài 5: Xác định m để BPT
có nghiệm là mọi x thuộc R.
t = x 4 − 6ax 2 + a 2
Bài 6: Tùy theo a, tìm GTLN và GTNN của hàm số
trên đoạn [-2;1].
y = sin 6 x + cos 6 x + m sin x cos x
Bài 7: Tùy theo m, tìm GTLN, GTNN của hàm số
y = x 2 − 5 x + 4 + mx
Bài 8: Tìm m để GTNN của hàm số
lớn hơn 1.
ax + b
y= 2
x +1
Bài 9: Xác định a và b sao cho hàm số
đạt GTLN là 4 và GTNN là -1.
2
x + mx + m − 1
y=

x+2
Bài 10: Cho
. Tìm m để hàm số đạt cực trị và tam giác tạo thành từ các điểm cực trị và
gốc tọa độ có diện tích nhỏ nhất.
x2 + y 2 = R2
Bài 11: Cho đường tròn (C)
. Hãy tìm các điểm H trên (C) sao cho tiếp tuyến tại đó cắt hai trục
tọa độ tại A và B có độ dài cạnh AB nhỏ nhất.
x2
+ y2 = 1
x ≥ 0, y ≥ 0
4
Bài 12: Cho cung (C) thuộc đường elip có phương trình
với
. Tìm M thuộc (C) sao
cho tiếp tuyến tại đó tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích nhỏ nhất.
Bài 13: Tìm hình thang cân có diện tích nhỏ nhất ngoại tiếp đường tròn bán kính R cho trước.
Bài 14: Trong một mặt cầu bán kính R, hãy nội tiếp hình trụ có diện tích xung quanh lớn nhất.
Bài 15: Xác định m để các phương trình sau có nghiệm
Bài 16:. Trong các hình chữ nhật có chu vi là 40 cm, hãy xác định hình chữ nhật có diên tích lớn nhất.
Bài 17: Tính độ dài các cạnh của hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất trong các hình chữ nhật có cùng diện tích
là 48cm2
a) Tìm Max,Min của
y = sin x(1 + cos x )
BT1
Tìm Max,Min của

BT2 (ĐHSP1 2001)
Tìm Max,Min của

BT3

b)Tìm Max,Min của
1 + sin 6 x + cos 6 x
y=
1 + sin 4 x + cos 4 x

y = sin x + 3 sin 2 x

BT4
Tìm Max,Min của
y=

3 cos 4 x + 4 sin 2 x
y=
3 sin 4 x + 2 cos 2 x

BT5
Tìm Max,Min của

1
1
+
4 + sin x 4 − cos x


y=
với

1 + sin 2 x

1 + tgx
− ( a + 1)
+a
1 − sin 2 x
1 − tgx

 π
x ∈ 0; 
 4

BT6
a)Tìm Max,Min của

S=

y = sin 3 x + cos 3 x

BT14 (ĐHNT 2001)
Cho x,y > 0 , x+y=1
Tìm Min của

y = sin x + cos 2 x + sin x

BT7
Tìm Max,Min của

Cho 1 ≤ a Tìm Min của
y = a + cos x + a + sin x

nghiệm x1, x2 Tìm Max,Min của

S = x13 + x 23

−π π 
x∈
;
 4 4 

BT18 (ĐHQG TPHCM 1999)
Cho
f ( x) = cos 2 2 x + 2.(sin x + cos x) 3 − 3 sin 2 x + m

Tìm Max,Min của
y = 1 + 2. cos x + 1 + 2. sin x
12
12 x − 6mx + m − 4 + 2 = 0
m

1− y

BT17 (ĐH Cảnh Sát 2000)
Tìm Max,Min của
y = 5 cos x − cos 5 x

y = sin m x. cos n x

2

y

y = sin 4 x + cos 4 x + sin x. cos x + 1

Với

2

1− x

+

BT16 (HVQY 2000)
Tìm Max,Min của

BT9

BT10 Giả sử

x

y = sin 6 x + cos 6 x + a. sin x. cos x

cos x + sin x

BT8 (ĐHBK 1996)
Cho
và 2 ≤ m ,
n∈Z
π
0≤x≤
2

BT11

S=

BT15 (ĐH Thương mại 2000)
Tìm Max,Min của

sin 6 x. cos x + cos 6 x sin x

Tìm Max,Min của

x
y
+
y +1 x +1

BT13 (ĐHNT 1999)
Cho x,y ≥ 0 , x+y=1
Tìm Max,Min của
S = 3x + 9 y

c)Tìm Max,Min của
1
1
1
y = 1 + cos x + cos 2 x + cos 3x + cos 4 x
2
3
4

y=

x 2 − ( x − 4 y) 2
S=
x2 − 4y2

Với x2 + y2 > 0
BT12 (HVQHQT 1999)
Cho x,y ≥ 0 , x+y=1
Tìm Max,Min của

b)Tìm Max,Min của
1
1
y = 1 + cos x + cos 2 x + cos 3x
2
3

d)Tìm Max,Min của

Tìm Max,Min của

có

Tìm Max,Min của f(x) . Từ đó tìm m để
2
f ( x ) ≤ 36.∀x
BTBS
Tìm GTNN

y = x3 + 3 x 2 − 72 x + 90 x ∈ [ −5;5]


Tìm GTNN

thoả mãn

1 1 1
y = x+ y+ z+ + +
x y z

m.x − x − 3 ≤ m + 1

HD: Côsi
3

3
1
Dat t = 3 xyz ∈ (0; ]
2
xyz

Tìm GTLN, GTNN của hàm số
2x
4x
y = sin
+ cos
=1
2

1+ x
1 + x2

0≤ x≤

π
4

Tìm GTLN của hàm số
x
 π π
y = + sin 2 x, x ∈  − ; 
2
 2 2
Tìm GTLN, GTNN của hàm số
4
y = 2sin x − sin 3 x tren [ 0;π ]
3
Tìm GTLN, GTNN của hàm số
y=

ln 2 x
x

BT5(ĐHQG TPHCM 1997)
Tìm m để
( x 2 + 1) 2 + m ≤ x x 2 + 2 + 4
đúng với mọi x thuộc [0;1]
BT7(ĐHGT 1997)
Tìm m để

(1 + 2 x ).( 3 − x) ≥ m + (2 x 2 − 5 x − 3)

Tìm GTLN, GTNN của hàm số
y = x + cos 2 x

3 + x + 6 − x − (3 + x)(6 − x) = m

BT4
Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm

3
x + y + x ≤ , voi x, y , z > 0
2

P ≥ 3 3 xyz +

b)

tren 1; e3 

2)- SỬ DỤNG GTLN, GTNN CỦA HÀM
SỐ TRONG PHƯƠNG TRÌNH, BPT
,HPT, HBPT
BT1
GPT:
1
x 5 + (1 − x) 5 =
16
BT2(ĐH Thuỷ Sản 1998)
Tìm m để phương trình sau có nghiệm

2 − x + 2 + x − (2 − x)( 2 + x) = m
BT3(ĐH Y TPHCM 1997)
Tìm m để phương trình sau có nghiệm
a)
x + 9 − x = − x 2 + 9x + m

đúng

−1 
∀x ∈  ;3
2 

BT8
Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm phân
biệt
( x 2 − 2 x + 2) 3 − 4 x 2 − 2 x + 2 = 2 x 2 − 4 x + m

BT9
Tìm a dể BPT sau đúng với mọi x thuộc R
3 cos 4 x − 5 cos 3x − 36 sin 2 x − 15. cos x + 36 + 24a − 12a 2 > 0
BT10
a) Tìm m để

(4 + x )( 6 − x) ≤ x 2 − 2 x + m

đúng với mọi x thuộc [-4;6]
b)Tìm m để
− 4 (4 − x)( 2 + x ) ≤ x 2 − 2 x + m − 18
đúng với mọi x thuộc [-2;4]

BT11(ĐHQG TPHCM 1998)
Tìm a để phương trình có nghiệm duy nhất
3x 2 − 1
= 2 x − 1 + ax
2x −1
BT12 (ĐH QGTPHCM 1997-1998)
a) Tìm m dể phương trình sau có nghiệm
4(sin 4 x + cos 4 x) − 4(sin 6 x + cos 6 x) − sin 2 4 x = m
b) Tìm m dể phương trình sau có nghiệm


cos 4 x + 6. sin x. cos x = m
c) Tìm m dể phương trình sau có nghiệm

BT1
CMR

− 2 ≤ x + 12 − 3 x 2 ≤ 1

sin x + cos x = m . cos 4 x
4

4

2

2

BT13 (ĐH Cần Thơ 1997)
Tìm m dể phương trình sau có

nghiệm

3 cos 6 2 x + sin 4 x + cos 4 x − m = 2 cos 2 x. 1 + 3 cos 2 2 x
BT14(ĐHGT 1999)
a)Tìm m để
m. cos 2 x − 4 sin x. cos x + m − 2 = 0
Có nghiệm

b)Tìm m để

 π
x ∈  0; 
 4

sin x. cos 2 x. sin 3x = m

Có đúng 2 nghiệm

π π 
x∈ ; 
4 2

BT15
Tìm m để phương trình sau có nghiệm
x+m
x + 6 . x − 9 + x − 6. x − 9 =
6
BT16
Tìm a để bất phương trình sau đúng với mọi x
thuộc R

a.9 x + 4(a − 1)3 x + a > 1
BT17
Tìm a để bất phương trình sau có nghiệm
log 2

(

)

x 2 + 1 < log 2 (a.x + a )

BT18
Tìm a để hệ bất phương trình sau có nghiệm
3 x 2 + 2 x − 1 < 0
 2
 x + 3.mx + 1 < 0
3)- SỬ DỤNG GTLN, GTNN CHỨNG
MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Với mọi x thuộc TXĐ
BT2
a)Tìm m để
có 2 nghiệm
2
m x +8 = x+2
phân biệt
b)Cho a + b + c = 12 CMR

a 2 + 8 + b 2 + 8 + c 2 + 8 ≥ 6. 6
BT3

CMR
1
1
1
2
sin x + sin 2 x + sin 3 x + sin 4 x ≥
2
3
4
3
với

 π 3π 
x∈ ; 
5 5 

BT4
CMR
17 ≤ cos 2 a + 4 cos a + 6 + cos 2 a − 2 cos a + 3 ≤ 2 + 11

BT5
CMR

2
sin 2 x <
3x − x 3

với

 π

x ∈  0; 
 2

BT6
CMR
2( x 3 + y 3 + z 3 ) − ( x 2 y + y 2 z + z 2 x) ≤ 3
với

∀x, y, z ∈ [ 0,1]

BT7
CMR
1
1 
 1
cot gA + cot gB + cot gC + 3 3 ≤ 2
+
+

 sin A sin A sin C 
∀∆ABC