Giải pháp giúp học sinh hoc tốt Đại số tổ hợp

CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc
MÔ TẢ SÁNG KIẾN
Mã số : ........................................................
1. Tên sáng kiến: “Giải pháp giúp học sinh học tốt Đại số tổ hợp”.
2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giảng dạy môn toán.
3. Mô tả bản chất của sáng kiến:
3.1. Tình trạng giải pháp đã biết:
Đại số tổ hợp là một trong những nội dung toán học hay và quan trọng của chương trình
toán học THPT, nội dung này luôn có mặt trong các đề thi Đại học các năm và gần đây nhất là đề thi
Tốt nghiệp THQG. Thế nhưng nhiều học sinh không mấy “mặn mồi” với nội dung này.
Qua thực tế giảng dạy tôi nhận thấy học sinh thường nhằm lẫn giữa kí hiệu với khái niệm
được định nghĩa, đặc biệt học sinh hay nhằm lẫn giữa chỉnh hợp với tổ hợp, giữa quy tắc cộng và
quy tắc nhân. Và từ những điều đó các em thường lúng túng trong việc tìm lời giải của bài toán. Thế
là những học sinh yếu, trung bình thì thụ động ngồi đợi bạn giải xong chép vào, còn những học sinh
khá hơn thì rập khuôn trong lời giải, có em lại không tự tin vào lời giải riêng của mình, tiết học trở
nên căng thẳng, nặng nề… làm cho các em không thích học toán tổ hợp.
Do đó, việc tìm ra “giải pháp” giúp học sinh khắc phục được những nhược điểm nêu trên
và làm cho tiết học trở nên sinh động, hào hứng, phát huy được tính chủ động sáng tạo của học sinh,
làm cho các em có niềm tin vào bản thân, khơi dậy hứng thú học tập của các em xua tan bầu không
khí “căng thẳng” của tiết học là vấn đề cần thiết. Điều này cũng góp phần đạt được kết quả cao khi
giải bài toán tổ hợp nói riêng và đạt kết quả cao trong học toán nói chung. Và ở đây tôi chủ yếu
nghiên cứu toán tổ hợp của Đại số và Giải tích 11.
3.2. Nội dung đề nghị công nhận là sáng kiến:
- Mục đích của giải pháp:
Giúp cho học sinh biết nắm vững và hiểu rõ kiến thức của toán tổ hợp hơn, và biết vận dụng
kiến thức vào giải toán, giúp các em linh hoạt hơn khi lựa chọn phương pháp giải bởi các bài toán

1

giải bằng nhiều cách, giúp cho học sinh mạnh dạn và tự tin hơn khi giải toán. Từ đó làm cho học
sinh thích học toán tổ hợp hơn góp phần nâng cao kết quả học tập.
- Nội dung giải pháp:
* Điểm mới của sáng kiến :
 SKKN này giúp giáo viên khơi gợi hứng thú học tập của học sinh thông qua
một số bài toán thực tế trong cuộc sống thường ngày.
 SKKN này giúp học sinh nắm vững và biết vận dụng kiến thức vào giải toán
bằng cách so sánh các khái niệm.
 SKKN này hệ thống các phương pháp giải cho từng dạng toán tổ hợp từ cơ
bản đến nâng cao và nêu một vài sai lầm của học sinh thường mắc phải khi giải toán tổ hợp.
* Cách thức thực hiện:
+ Tìm hiểu khó khăn của học sinh khi học toán tổ hợp của lớp trực tiếp giảng dạy và
một số học sinh lớp khác.
+ Trao đổi với đồng nghiệp.
+ Nghiên cứu một số tài liệu về toán tổ hợp.
* Các bước thực hiện của giải pháp:
a. Tạo cho học sinh hứng thú học toán tổ hợp.
Khi làm bất cứ việc gì dù có khó khăn bao nhiêu đi nữa nhưng nếu “yêu thích” có “đam mê”
thì chúng ta sẽ làm được, trong học tập cũng vậy. Nên để tạo cho học sinh hứng thú học toán tổ hợp.
Tôi lồng vào bài học các bài toán thực tế bằng các câu hỏi có vấn đề. Từ đó kích thích sự tò mò,
muốn khám phá, muốn giải quyết vấn đề của học sinh. Nhờ đó các em tiếp thu bài một cách chủ
động, hào hứng và dễ dàng hơn tạo cho các em có được niềm tin, niềm vui trong học tập và điều này
cũng làm cho tiết học nhẹ nhàng, sinh động hơn.
Do đó, để hình thành quy tắc cộng và quy tắc nhân cho học sinh. Giáo viên có thể yêu cầu
học sinh trả lời một vài câu hỏi mà học sinh thường gặp trong cuộc sống. Chẳng hạn như: “ Một
quán nước có 5 loại sinh tố và 6 loại nước ngọt. Bạn A muốn chọn một loại thức uống . Hỏi bạn A

2

có mấy cách chọn? ” hay “ Bạn A có 3 áo sơmi khác nhau và 2 quần tây khác nhau. Hỏi bạn A có
bao nhiêu cách chọn một bộ đồ ? ”…
Câu hỏi quá quen nên học sinh hào hứng, tích cực trả lời. Giáo viên nhận xét câu trả lời và
giới thiệu quy tắc cộng và quy tắc nhân. Sau đó hướng dẫn học sinh sử dụng 2 quy tắc trên trả lời các
câu hỏi như sau:
Câu hỏi 1:
- Chọn thức uống là sinh tố có 5 cách chọn
- Chọn thức uống là nước ngọt có 6 cách chọn.
Nên theo quy tắc cộng có 5 + 6 = 11 cách chon một loại thức uống.
Câu hỏi 2: Chọn một bộ đồ gồm 2 bước:
Bước 1 : Chọn áo có 3 cách chọn.
Bước 2 : Chọn quần có 2 cách chọn.
Vậy bạn A có 3 × 2 = 6 cách chọn một bộ quần áo.
Tuỳ từng đặc điểm của mỗi lớp mà giáo viên có thể lồng ghép, dẵn dắt học sinh vào bài học
một cách tự nhiên, khơi dậy được niềm đam mê học tập ở các em, kích thích các em khám phá kiến
thức. Chẳng hạn, để nêu khái niệm Hoán vị giáo viên có thể đặt câu hỏi cho lớp như sau: “ Có bao
nhiêu cách xếp thời khoá biểu cho buổi học 5 tiết gồm: Toán, Lí, Hoá, Văn, Sinh? ”.
Vấn đề đặt ra gần gủi với học sinh nên các em phấn khởi trả lời. Thật nhẹ nhàng giáo viên
đưa khái niệm Hoán vị vào bài học. Khi học sinh đã hiểu rõ khái niệm Hoán vị, giáo viên hướng dẫn
học sinh trả lời các câu hỏi trên ngắn gọn hơn là xếp 5 môn học cho một buổi học có P5 = 5! = 120
cách.
Lúc này, các em thấy được sử dụng kiến thức Hoán vị có thể giải đáp nhanh gọn câu hỏi và
học sinh thấy được ứng dụng của Toán học vào đời sống. Khi đó, giáo viên có thể cho học sinh làm
thêm một vài ví dụ về bài toán Hoán vị.
Tiếp theo để đưa khái niệm “Chỉnh hợp” vào bài học giáo viên có thể hỏi lớp: “Cô có 3 món
quà. Cô có bao nhiêu cách phát 3 món quà này cho 2 bạn A và B?”

3

Lớp hào hứng trả lời, vậy là khái niệm “Chỉnh hợp” được đưa vào bài học một cách tự
nhiên. Sau đó, giáo viên hướng dẫn học sinh sử dụng kiến thức “ Chỉnh hợp” trình bày ngắn gọn lời
giải bài toán như sau:
Mỗi cách chọn 2 món quà từ 3 món quà để phát cho 2 bạn A và B là một “chỉnh hợp” chập
3!

2
2 của 3. Nên có A 3 = 3 − 2 ! = 6 cách phát.
(
)

Qua đây giúp các em thấy được rằng kiến thức này thật cần thiết để giúp các em giải quyết
được những bài toán thực tế thật nhanh, chính xác.
Cuối cùng để đưa khái niệm “ Tổ hợp” vào bài học thì giáo viên có thể hỏi lớp “Tổ 1 của
lớp 11A9 có 3 nam và 7 nữ. Vậy có bao nhiêu cách để tổ trưởng lập 1 nhóm trực nhật gồm 3 người?
Bài toán đặt ra đúng với thực tế của lớp nên các em trao đổi sôi nổi, hào hứng trả lời. Tuy
chưa có đáp án đúng nhưng các em thật sự quan tâm đến vấn đề đặt ra. Thế là khái niệm “Tổ hợp”
được đưa vào bài học. Sau đó, giáo viên hướng dẫn học sinh trả lời câu hỏi bằng kiến thức “Tổ hợp”
như sau: Mỗi cách chọn 3 học sinh từ 10 học sinh là một tổ hợp chập 3 của 10 phần tử. Nên có
3
C10
= 120 cách.

b. Giúp học sinh nắm vững kiến thức và biết cách vận dụng kiến thức để giải
toán bằng cách hướng dẫn học sinh phân biệt các khái niệm tổ hợp:
b. 1. Quy tắc cộng và quy tắc nhân.
Bước 1: Nêu hai quy tắc cộng và quy tắc nhân.
Qui tắc cộng “ Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động. Nếu hành
động này có n cách thực hiện, hành động kia có m cách thực hiệnkhông trùng với bất kì cách nào
của hành động thứ nhât thì công việc đó có n + m cách thực hiện ” .

Qui tắc nhân ““ Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp. Nếu có m
cách thực hiện hành động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện hành động thứ hai
thì có m.n cách hoàn thành công việc.”
Bước 2: Giải thích rõ ràng 2 cụm từ “ một trong hai hành động ” và “ hai hành động liên
tiếp ”như sau:

4


“ Nếu thực hiện hành động thứ nhất hoàn thành công việc mà không cần thực hiện hành
động thứ hai thì ta sử dụng quy tắc cộng để đếm số cách hoàn thành công việc”
“Để hoàn thành công việc ta phải thực hiện liên tiếp hai hành động không được bỏ qua hành
động nào cả thì ta sử dụng quy tắc nhân để đếm số cách thực hiện công việc”
b. 2. Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp.
Bước 1: Phân tích và so sánh các khái niệm.
“Tổ hợp” là không kể đến “thứ tự” của các phần tử được chọn ra nghĩa là việc thay đổi vị trí
của các phần tử không tạo ra cách mới. Còn “ Chỉnh hợp” thì ngược lại, nó kể đến “thứ tự” của các
phần tử được chọn ra, việc thay đổi “thứ tự” của các phần tử sẽ sinh ra cách mới, “ chỉnh hợp ” chính
là “ tổ hợp’’ rồi “ hoán vị ”. “Mỗi hoán vị của n phần tử ” cũng chính là “ chỉnh hợp chập n của n
phần tử đó”
Khi đó ta có thể lập bảng tổng hợp sau:
Cần nhớ

Hoán vị

Công thức

Pn = n!

Bản chất

Đổi chỗ các phần Đổi chỗ các phần

Đổi chỗ các phần tử

tử ảnh hưởng đến tử ảnh hưởng đến

không ảnh hưởng đến

kết quả

Chỉnh hợp
A nk =

n!
( n − k) !

Có bao nhiêu cách
chọn 3 học sinh từ
4 học sinh để xếp
các hạng I, II, III.

Đáp án

A 34 =

bạn là số các hoán

Ckn =

kết quả.

Bài tập phân Có bao nhiêu cách
xếp 4 bạn thành
biệt
một hàng ngang.
Số cách sắp xếp 4

Tổ hợp

4!
= 24
( 4 − 3) !

n!
k! ( n − k ) !

kêt quả.
Có bao nhiêu cách 3
học sinh từ 4 học sinh
để quét lớp.
C34 =

4!
=4
3! ( 4 − 3) !

vị của 4 phần tử.
Nên có P4 = 4!
Bước 2: Sử dụng câu hỏi phân loại:

Để giúp học sinh biết khi nào dùng hoán vi, chỉnh hợp, tổ hợp và khi nào kết hợp hoán
vị, chỉnh hợp, tổ hợp (thường áp dụng với bài toán kết hợp) vào giải toán. Tôi dùng câu hỏi phân loại
như sau:
5


Câu hỏi phân loại

Hoán vị

Chỉnh hợp

Tổ hợp

1/ Có sắp xếp thứ

Có

Có

Không

tự hay không?
2/ Nếu sắp xếp thì Tất cả( n phần tử)

Chỉ k phần tử trong n

sắp xếp bao nhiêu

phần tử.

phần tử?
Với câu hỏi đầu cho ta được tổ hợp, với câu hỏi 2 ta nhận được hoán vị và chỉnh hợp.
c. Hướng dẫn học sinh giải các dạng toán tổ hợp thường gặp.
Dạng 1: Sắp xếp các số không có chữ số 0.
- Đối với dạng toán này tuỳ theo yêu cầu bài toán mà ta áp dụng “hoán vị”, “chỉnh hợp”
hay “tổ hợp.
Ví dụ : Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có bao nhiêu số tự nhiên
a) Có 5 chữ số và các chữ số đôi một khác nhau.
b) Có 3 chữ số và các chữ số đôi một khác nhau.
c) Có bao nhiêu tập hợp gồm 3 chữ số đôi một khác nhau được tạo thành từ
những số đã cho.
Giải :
a)

Số các số tự nhiên cần tìm là số các hoán vị của 5 số đã cho.

Nên có P5 = 5! = 120 (số).
b) Số các số tự nhiên cần tìm là số các tổ hợp chập 3 của 5 số đã cho.
5!

3
Nên có A 5 = 5 − 3 ! = 60 (số).
(
)

c) Số các tập hợp cần tìm là số các tổ hợp chập 3 của 5 số đã cho.
5!

3

Nên có C5 = 3! 5 − 3 ! = 20 ( tập hợp).
(
)

Dạng 2: Sắp xếp các số có chữ số 0.
6


- Đối với dạng này ta có thể áp dụng “quy tắc nhân” để chọn từ từ hoặc áp dung “chỉnh
hợp”. Và cần lưu ý một điều là “các số có chữ số đầu tiên phải khác chữ số 0”
Ví dụ : Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số đôi một
khác nhau.
Giải :
Cách 1: Sử dụng quy tắc nhân:
Gọi số cần tìm là n = abcde
Chọn a: có 5 cách( vì a#0).
Chọn b : có 5 cách ( bỏ đi chữ số a)
Chọn c: có 4 cách ( bỏ đi chữ số a, b).
Chọn d : có 3 cách chọn ( bỏ đi chữ số a, b, c).
Chọn e : có 2 cách ( bỏ đi chữ số a, b, c, d).
Nên theo quy tắc nhân có 5 × 5 × 4 × 3 × 2 = 600 (số)
Ngoài ra ta có thể giải gọn bằng bảng sau:

Số cách chọn

a

b

5

5

c
4

d

e

3

2

Vậy theo quy tắc nhân có 5 × 5 × 4 × 3 × 2 = 600 (số).
Cách 2: Sử dụng chỉnh hợp.
Vì a # 0 nên chọn a có : 5 cách ( trừ số 0).
5!

4
Chọn bcde có A 5 = 5 − 4 ! = 120 cách.
(
)

Vậy số phải tìm có 5.A 54 = 600 (số).
Dạng 3: Sắp xếp các số có điều kiện kèm theo.
Ví dụ : Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có bao nhiêu số :
a) Số chẵn có 3 chữ số và các chữ số đôi một khác nhau.
b) Số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau và chữ số hàng đơn vị là 5.
7

Giải:
Gọi số cần tìm là n = abc .
a) Vì n chẵn Vì n chẵn ⇒ c chẵn ⇒ c ∈ { 2,4} nên chọn c : có 2 cách
Chọn ab : có A 24 cách
2
Theo quy tắc nhân có 2.A 4 = 24 số.

b) Chọn c =5 có : 1 cách chọn.
Chọn ab : có A 24 cách
2
Theo quy tắc nhân có 1.A 4 = 12 (số).

- Đối với dạng toán này cần nhắc học sinh lưu ý : Để lập số lẻ, chẵn, chia hết cho 5... thì ta
chọn chữ số tận cùng trước, kế tiếp chọn chữ số đầu tiên ( nếu có chữ số 0) rồi mới chọn các chữ số
còn lại. Trong trường hợp lập số chẵn từ một tập hợp số nào đó có chữ số 0 thì phải chia 2 trường
hợp :
Trường hợp 1 : Chữ số tận cùng bằng 0.
Trường hợp 2 : Chữ số tận cùng khác 0.
Ví dụ : Từ bảy chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số với
các chữ số đôi một khác nhau.
Giải :
- Gọi số cần tìm là n = abcde
Vì n chẵn ⇒ e chẵn ⇒ e ∈ { 0,2,4,6}
- Có 2 trường hợp:
Trường hợp 1:
+ Nếu e = 0 thì có 1 cách chọn e.
+ Chọn 4 chữ số trong 6 chữ số còn lại (bỏ 1 số 0 đã chọn) rồi xếp vào 4 vị trí a, b, c, d
4

có A 6 cách.

Theo quy tắc nhân có 1.A 64 = 360 số.
8


Trường hợp 2:
+ Nếu e ≠ 0 thì e ∈ { 2, 4,6} nên có 3 cách chọn chữ số e.
+ Chọn a có 5 cách chọn (vì a ≠ 0,a ≠ e )
+ Chọn 3 chữ số trong 5 chữ còn lại để xếp vào 3 vị trí bcb có A 35 cách
3
Vậy theo quy tắc nhân có 3.5.A 5 = 900 số.

Tổng cộng 2 trường hợp ta có : 360 + 900 = 1260 số.
Dạng 5: Sắp xếp vị trí theo hàng.
- Đối với dạng này ta sử dụng hoán vị để giải.
Ví dụ : Có bao nhiêu cách sắp 10 học sinh thành một hàng dọc?
Giải :
Mỗi cách sắp xếp 10 học sinh thành một hàng dọc là 1 hoán vị của 10 phần tử. Nên có
P10 = 10! cách xếp.

Và ở đây cũng cần lưu ý học sinh là xếp theo hàng ngang làm tương tự.
Dạng 6: Sắp xếp vị trí theo vòng tròn.
- Để xếp n phần tử theo vòng tròn ta làm như sau:
Bước 1: Ta lấy cố định 1 phần tử đầu tiên.
Bước 2: Kế tiếp xếp n-1 phần tử còn lại vào n-1 vị trí còn lại giống như sắp xếp theo hàng
có Pn −1 cách xếp.
Ví dụ : Có bao nhiêu cách xếp 10 người ngồi quanh một bàn tròn?
Giải :
- Lấy cố đinh người đầu tiên.

- Như vậy còn 9 người sắp xếp vào 9 vị trí còn lại có P9 cách xếp.
Vậy số cách sắp xếp 10 người quanh bàn tròn là P9 = 9! cách.
Dạng 7 : Đếm số các tổ hợp, các chỉnh hợp.
9


- Đối với dạng toán này tôi hướng dẫn học sinh 2 phương pháp đếm cơ bản: “đếm trực
tiếp” và “đếm gián tiếp”.
“ Phương pháp đếm trực tiếp” là phương pháp đi thẳng vào bài toán đặt ra nói nôm na là
“hỏi gì, đếm này” và công cụ chủ yếu để hỗ trợ cho phương pháp này là quy tắc cộng và quy tắc
nhân.
Ví dụ : Lớp 11A9 có 45 học sinh, cần chọn 1 ban chấp hành đoàn của lớp gồm 1 bí thư, 1 phó
bí thư, 2 uỷ viên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
Giải :
Bước 1: Chọn 2 học sinh từ 45 học sinh để làm 1 làm bí thư, 1 làm phó bí thư có A 245 = 1980
cách chọn.
Bước 2: Chọn 2 học sinh trong 43 học sinh còn lại làm uỷ viên, cách chọn này “không có thứ
tự” nên số cách chọn là C243 = 903 cách chọn.
Vậy số cách chọn ban chấp hành lớp là : 1980.903 = 1787940 cách chọn.
Đứng trước một bài toán phức tạp ta không đếm ngay được thì ta hướng dẫn học sinh phận
chia bài toán đưa bài toán phức tạp thành các bài toán đơn giản dễ đếm hơn.Tuy nhiên để phân chia
đúng thì ngoài việc học sinh phải nắm vững quy tắc cộng và quy tắc nhân còn phải đảm bảo chia đủ
các trường hợp và các trường hợp độc lập với nhau. Nên thường trong quá trình phân chia học sinh
thường vi phạm tính “đầy đủ” hoặc “độc lập” dẫn đến giải sai.
Ví dụ : Đội thanh nhiên xung kích của một trường phổ thông có 12 học sinh gồm 5 học
sinh lớp A, 4 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C. Tính số cách chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ sao
cho 4 học sinh này thuộc không quá 2 trong 3 lớp trên.
Lời giải sai 1 :
4
+ Trường hợp 1 : Chọn 4 học sinh lớp A hoặc lớp B có C9 cách.

+ Trường hợp 2 : Chọn 4 học sinh lớp A hoặc lớp C có C84 cách.
4
+ Trường hợp 3 : Chọn 4 học sinh lớp B hoặc lớp C có C7 cách.

Vậy có C84 + C84 + C47 = 231 cách

10


Lời giải “sai” do đã tính lặp lại trường hợp chỉ chọn 4 học sinh lớp A và trường hợp chỉ
chọn 4 học sinh lớp B.
Lời giải sai 2 :
1 3
1 3
+ Trường hợp 1 : Chọn 1 học sinh lớp A và 3 học sinh lớp B hoặc C có C5C4 + C5C3 = 25
2 2
2 2
+ Trường hợp 2: Chọn 2 học sinh lớp A và 2 học sinh lớp B hoặc C có C5 C4 + C5 C3 = 90
3 1
3 1
+ Trường hợp 3 : Chọn 3 học sinh lớp A và 1 học sinh lớp B hoặc C có C5C4 + C5C3 = 70

+ Trường hợp 4 : Chọn 1 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C có C14 C33 = 4
+ Trường hợp 5 : Chọn 2 học sinh lớp B và 2 học sinh lớp C có C24 C23 = 18
+ Trường hợp 6 : Chọn 3 học sinh lớp B và 1 học sinh lớp C có C34 C13 = 12
1 3
1 3
+ Trường hợp 7 : Chọn 1 học sinh lớp A và 3 học sinh lớp B hoặc C có C5C4 + C5C3 = 25

Theo quy tắc cộng có 25 + 90 + 70 + 4 + 18 + 12 + 25 = 219 cách.
Lời giải “sai” do chia thiếu trường hợp chọn 4 học sinh toàn lớp A hoặc toàn là lớp B.
Lời giải đúng :
+ Trường hợp 1 : Chọn 4 học sinh cùng một lớp có C54 + C44 = 6
1 3
2 2
3 1
+ Trường hợp 2 : Chọn 4 học sinh chỉ có lớp A và lớp B có C5C4 + C5 C4 + C5C4 = 120

+ Trường hợp 3 : Chọn 4 học sinh chỉ có lớp A và lớp C có C15C33 + C52 C32 + C35C13 = 65
+ Trường hợp 4 : Chọn 4 học sinh chỉ có lớp B và lớp C có C14 C33 + C24 C32 + C34 C13 = 34
Theo quy tắc cộng có : 6 + 120 + 65 + 34 = 225 cách.
“ Phương pháp đếm gián tiếp” là “đếm những cái không cần đếm để biết những cái cần
đếm” . Phương pháp thường áp dụng cho các bài toán tìm số cách chọn thoả “ tính chất P nào đó” có
quá nhiều trường hợp, mà số cách chọn “không thoả tính chất P” lại ít trường hợp hơn và làm như
sau :
“ Số cách chọn thoả P = Số cách chọn tuỳ ý – Số cách chọn không thoả P”
Nên ở đây ta có thể giải bài toán có lời giải sai trên bằng cách “đếm gián tiếp” như sau :
11


- Chọn tuỳ ý 4 học sinh trong 12 học sinh có C124 = 495 cách.
- Chọn 4 học sinh có mặt đủ cả 3 lớp, ta có 3 trường hợp :
2
+ Chọn 2 học sinh lớp A, 1 học sinh lớp B và 1 học sinh lớp C có C5 .4.3 = 120 cách.

+ Chọn 1 học sinh lớp A, 2 học sinh lớp B và 1 học sinh lớp C có 5.C24 .3 = 90 cách.
2
+ Chọn 1 học sinh lớp A, 1 học sinh lớp B và 2 học sinh lớp C có 5.4.C3 = 60 cách.

Vậy có 495 − (120 + 90 + 60) = 225 cách chon thoả yêu cầu bài toán.
- Do đó, việc áp dụng cách giải trên giúp cho học sinh phân chia đúng trường hợp hơn và lời
giải bài toán gọn hơn. Nên nhiều học sinh chọn cách đếm gián tiếp để giải. Tuy nhiên, khi làm cách
này sai sót dễ mắc phải là phát biểu mệnh đề “ không thoả tính chất P ” thiếu “chính xác”. Ví dụ ta
xét bài toán sau :
“Một thầy giáo có 12 cuốn sách đôi một khác nhau. Gồm 5 cuốn Văn, 4 cuốn Âm Nhạc, 3
cuốn Hoá. Thầy muốn chọn ra 6 cuốn tặng cho 6 học sinh sao cho tặng xong mỗi thể loại còn ít nhất
một cuốn. Hỏi có mấy cách chọn ? ”.
Tính chất P của bài toán là “ mỗi thể loại đều còn” và không thoả tính chất P là “ có ít nhất
một thể loại không còn ”. Nhưng nếu không phân tích kỹ thì dễ hiểu sai thành “ mỗi thể loại đều
không còn ”. Do đó, cần nhắc nhở học sinh phải “đảm bảo tính chính xác” của mệnh đề “không
thỏa tính chất P” khi sử dụng “phương pháp đếm gián tiếp”.
3.3 Khả năng áp dụng của giải pháp :
Sáng kiến này được nghiên cứu và áp dụng cho việc giảng dạy toán, chủ yếu là phần toán tổ
hợp của Đại Số và Giải tích 11. Đối tượng ở đây là học sinh yếu, trung bình, khá toán tổ hợp trong
các trường THPT.
3.4 Hiệu quả, lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng giải pháp :
Sáng kiến được áp dụng trong học kì I năm học 2015 – 2016 trên đối tượng là học sinh lớp
11A9. Qua thời gian áp dụng sáng kiến tôi nhận thích học toán tổ hợp hơn trước. Những học sinh
yếu thì không còn “thờ ơ” hay “thụ động” ngồi im đợi bạn giải xong chép vào, mà tham gia tích cực
việc tìm lời giải bài toán khi giáo viên yêu cầu. Sự tiến bộ của học sinh còn được thể hiện rõ qua
bảng so sánh điểm số của bài kiểm tra 1 tiết chương II : Tổ hợp – Xác suất của Đại số và Giải tích
11 của hai năm học 2014 -2015 và năm học 2015 – 2016 sau :
12


Lớp

Số học Điểm
sinh

6.5 ≤ điểm<8

5 ≤ điểm<6.5

3.5 ≤ điểm<5

điểm<3.5

≥8

11A6

44

6

4

15

7

11A9

45

28

11

2

2

3.5 Tài liệu kèm theo : Không có.

Bến Tre, ngày 15 tháng 3 năm 2016

13

12