Hệ thống bài tập trong tập số hữu tỉ Q

HỆ THỐNG BÀI TẬP TROG TẬP HỢP SỐ HỮU TỈ Q
A, Kiến thức cần nắm:
Trong toán học, số hữu tỉ là các số x có thể biểu diễn dưới dạng phân số (thương)
a/b, trong đó a và b là các số nguyên nhưng b 0. Tập hợp số hữu tỉ kí hiệu là . Mọi số
hữu tỉ đều có thể biểu diễn trên trục số
Một cách tổng quát:

Tập hợp số hữu tỉ là tập hợp đếm được.
Các số thực không phải là số hữu tỷ được gọi là các số vô tỷ.
Tuy nhiên, tập hợp các số hữu tỷ không hoàn toàn đồng nhất với tập hợp các phân số
p/q,vì mỗi số hữu tỷ có thể biểu diễn bằng nhiều phân số khác nhau. Chẳng hạn các phân
số 1/3,2/6,3/9... cùng biểu diễn một số hữu tỷ.
B, Các dạng toán trong tập hợp số hữu tỉ:
Dạng 1: SO SÁNH HAI SỐ HỮU TỈ
I, Phương pháp:
Có rất nhiếu cách so sánh hai số hữu tỉ:
1. Với hai số hữu tỉ bất kì x và y ta luôn có hoặc x = y hoặc x < y hoặc x > y.
Ví dụ:
-

Số hữu tỉ âm < 0 < số hữu tỉ dương.
Ví dụ:

-

2 4 5 1 2 3
= , > , <
3 6 6 6 5 5

−3
3

<0<
4
4

So sánh hai số hữu tỉ âm bằng cách so sánh hai giá trị tuyệt đối của chúng:
+ Nếu |-x| = |-y| thì -x = -y.
Ví dụ:

1


−
1
1
=
5
5
−
2
2
1
=
=
10
10
5
−
1
−
2

=
>
=
5
10
+ Nếu |-x| < |-y| thì -x > -y
Ví dụ:

 −2 2
 7 =7
2 5
−2 −5

=> < =>
>

7
7
7
7
−
5
5

=
 7
7
+ Nếu |-x| > |-y| thì -x < -y
Ví dụ:

 −2 2
 5 =5
2 1
−2 −1

=> > =>
<

5
5
5
5
−
1
1

=
 5
5
2. So sánh hai số hữu tỉ bằng cách so sánh với số hữu tỉ thứ ba : cho hai số hữu tỉ a/b
và c/d và một số hữu tỉ e:
Ta có:

a
>e

a
c
b
=

>
>

b
d
c 
d
Lưu ý: Tương tự cho các trường hợp <, >, =,... Chọn số e nằm trong khoảng giá trị
giữa hai số hữu tỉ đã cho.
Ví dụ: Ta có: So sánh

2


5 4
>

5 4 2
3 3
=> > >

3 3 3
2 < 4

3 3
3. So sánh hai số hữu tỉ bằng cách quy đồng mẫu hoặc quy đồng tử:
a. Quy đồng mẫu: Các bước quy đồng mẫu hai phân số
 Bước 1: Tìm mẫu chung hai phân số (thường là BCNN của các mẫu).
 Bước 2: Tìm thừa số phụ( bằng cách chia mẫu chung cho từng mẫu).

 Bước 3: Nhân tử và mẫu của mỗi phân số với thừa số phụ tương ứng.
Sau đó so sánh hai phân số cùng mẫu số: phân số nào có tử lớn hơn thì lớn
hơn, phân số nào có tử bé hơn thì bé hơn.
Ta có: Hai phân số

c
a
và
b
d

Mẫu chung hai phân số là: b.d

 a a.d
=

 b b.d
Quy đồng mẫu ta được: 
 c = c.b

 d d .b
-

Nếu a.d > c.b thì phân số

a.d c.b
a c
>
=> >
b.d b.d

b d

-

Nếu a.d < c.b thì phân số

a.d c.b
a c
<
=> <
b.d b.d
b d

Ví dụ: So sánh hai phân số

2
4
và
7
5

Ta có: Mẫu chung của hai phân số là 5.7 = 35

4 4.5 20
=
=
7 7.5 35
2 2.7 14
=
=

5 5.7 35

3


Ta thấy:

20 14
4 2
>
=> >
35 35
7 5

b. Quy đồng tử:
Bước 1: Tìm tử chung hai phân số (thường là BCNN của các tử).
Bước 2: Tìm thừa số phụ( bằng cách chia tử chung cho từng tử).
Bước 3: Nhân tử và mẫu của mỗi phân số với thừa số phụ tương ứng.
Sau đó so sánh hai phân số cùng tử số: phân số nào có mẫu lớn hơn thì bé
hơn, phân số nào có mẫu bé hơn thì lớn hơn.
Ta có: Hai phân số

c
a
và
b
d

Tử chung hai phân số là: b.d

 a a.c
=

 b b.c
Quy đồng tử ta được: 
 c = c.a

 d d .a
-

Nếu b.c > a.d thì phân số

a.c c.a
a c
<
=> <
b.c d .a
b d

-

Nếu b.c < a.d thì phân số

a.c c.a
a c
>
=> >
b.c d .a
b d

Ví dụ: So sánh hai phân số

2
3
và
7
5

Ta có: Tử chung của hai phân số là 3.2 = 6

3 3.2 6
=
=
7 7.2 14
2 2.3 6
=
=
5 5.3 15
Ta thấy:

6
6
3 2
>
=> >
14 15
7 5

4. So sánh hai số hữu tỉ với số 0 hoặc số 1.
4

Cho hai số hữu tỉ

c
a
và
, ta có:
b
d
a
 b < 1
a
c
a c
=> < 1 < => <

b
d
b d
 c >1
 d

Tương tự với số 0:

a
 b < 0
a
c
a c

=> < 0 < => <

b
d
b d
c > 0
 d
Lưu ý: tương tự cho các trường hợp còn lại: <, >, =,...
5. Trường hợp đặc biệt:
a, Cho b > 0, nếu a < b thì

a a +1
a a +1
<
, nếu a > b thì >
.
b b +1
b b +1

Ví dụ: +, Cho b = 3, a = 2, ta có: 2 < 3

2

≈ 0.67

2 3
2 2 +1
3
=> 0.75 > 0.67 => < => <


3 4
3 3 +1
 2 + 1 = 3 = 0.75
 3 + 1 4
+, Cho a = 4, b = 3, ta có: 4 > 3

 4
 3 ≈ 1.33
4 5
4 4 +1
=> 1.33 > 1.25 => > => >

3 4
3 3+1
 4 + 1 = 5 = 1.25
 3 + 1 4
b, Cho b, d >0, nếu

a a+c c
a c
< thì <
< .
b d
b b+d d

Ví dụ: Cho hai số hữu tỉ

2
3
và

4
5

5


2
 5 = 0.4
2 3
=> <
Ta có: 
5 4
 3 = 0.75
 4

Và:

2+3 5
= ≈ 0.56
5+4 9
=> 0.4 < 0.56 < 0.75
2 5 3
2 2+3 3
=> < < => <
<
5 9 4
5 5+ 4 4

II, Bài tập:
Bài 1: So sánh các số hữu tỉ sau:

a)

3
15
&
4
14

b)

−18
1
&
173
2013

c)

−7
−3
&
22
8

d)

2
4
&

−7
−9

Bài 2: Sắp xếp các số sau theo thứ tự từ bé đến lớn:

−3
;
10

−4
;
9

−6
;
7

3
;
4

4
.
5

Bài 3: So sánh các số hữu tỉ sau:

a) −

15

19
& 17
21

b)

−13
19
&
19
−23

Bài 4: So sánh các số hữu tỉ sau:

−1941
−2011
&
1031
2001
37
47
c)
&
59
69
−97
−194
e)
&
201

399
−289
−298
g)
&
403
401
a)

−1930
−1996
&
1945
2011
−25
−27
d)
&
124
100
−189
−187
f)
&
398
394
b)

6

Bài 5: So sánh các số hữu tỉ bằng cách nhân chéo:

a)

18
−2
&
−91
7

b)

−23
−18
&
114
97

Bài 6: a) Viết 3 số hữu tỉ có mẫu khác nhau, lớn hơn
b) Tìm các số hữu tỉ có dạng
nhỏ hơn

4
−1
và nhỏ hơn .
4
5

4

−9
biết rằng giá trị của số đó lớn hơn
và
11
7

9
.
15

Bài 7: a) Số nào lớn hơn trong hai số hữu tỉ sau:

−23
−25
&
;
49
47

−317
−371
&
;
633
734

−25
−19
&
35

30

b) Sắp xếp các số hữu tỉ sau theo thứ tự từ nhỏ đến lớn:

−19
;
30

−5
; 0;
9

−25
;
47

124
;
2011

−

24
;
35

−

23
.

49

Bài 8: So sánh A và B nếu:

1
3
5
7
− 2− 3− 4
&
2011 11 11 11
2006 2007 2008 2009
b) A =
−
+
−
&
2007 2008 2009 2010
a) A = −

1
7
5
3
− 2− 3− 4
2011 11 11 11
1
1
B=
−

2006.2007 2008.2009

B=−

Dạng 2: CỘNG - TRỪ - NHÂN - CHIA SỐ HỮU TỈ
I, Phương pháp:
1. Cộng trừ số hữu tỉ:
a, Để cộng trừ hai số hữ tỉ x, y ta viết chúng dưới dạng:

x=

a
b
, y = (a, b, m ∈ Z , m ≠ 0)
m
m

Ta có:
7


a b a+b
+ =
m m
m
a  b  a−b
x − y = x + (− y ) = +  − ÷ =
m  m
m
x+ y =

Ví dụ: Cộng - trừ các số hữu tỉ sau:

2 3 2.8 3.3 16 9 25
a) + =
+
=
+
=
3 8 3.8 8.3 24 24 24
3 1 3.7 1.5 21 5 16
b) − =
−
= − =
5 7 5.7 7.5 35 35 35
b, Các tính chất và quy tắc trong cộng trừ số hữu tỉ:
 Phép cộng số hữu tỉ cũng có tính chất của phép cộng phân số: giao hoán, kết hợp,
cộng với số 0, cộng với số đối.
 Quy tắc chuyển vế: Khi chuyển một số hạng từ vế này sang vế kia của một đẳng
thức ta phải đổi dấu số hạng đó.
 Quy tắc dấu ngoặc: Khi bỏ dấu ngoặc có dấu "-" đằng trước, ta phải đổi dấu tất cả
các số hạng trong dấu ngoặc: Dấu "+" thành dấu "-", dấu "-" thành dấu "+". Khi bỏ dấu
ngoặc có dấu "+" đằng trước thì dấu các số hạng trong ngoặc vẫn giữ nguyên.
 Trong Q cũng có những tổng, ta có thể đổi chỗ các số hạng, đặt dấu ngoặc để
nhóm các số hạng một cách tùy ý như tổng trong Z.
Ví dụ: Cộng - trừ các số hữu tỉ sau:

11 17 5 4 17
− − + +
124 18 7 9 14

11  17 5   17 4 
=
+  − ÷−  − ÷
124  14 7   18 9 
a)

11  17 10   17 8 
+  − ÷−  − ÷
124  14 14   18 18 
11 7 9
11 1 1
=
+ − =
+ −
124 14 18 124 2 2
11
11
=
+0 =
124
124
=

6
8


1
2
3

1
1
1
b) 1 − + 2 − + 3 − + 4 − − 3 − − 2 − − 1
2
3
4
4
3
2
 1 1  2 1  3 1
= (− 1 + 1) + (− 2 + 2) + (− 3 + 3) + 4 −  + ÷ −  + ÷ −  + ÷
 2 2  3 3  4 4
= 4 − 1− 1− 1 = 1
2. Nhân chia số hữu tỉ:
a, Cho hai số hữu tỉ x và y :

c
a
và y = , (a , b, c, d ∈ Z , b ≠ 0, d ≠ 0)
b
d

Với x =
Ta có:

a c a.c
x. y = . =
b d b.d
a c a d a.d

x: y = : = . =
b d b c b.c
Ví dụ: Nhân - chia các số hữu tỉ sau:

2 5
2.5 10
. =
=
7 13 7.13 91
4 11 4 3
4.3 12
b) : = . =
=
7 3 7 11 7.11 77
a)

b, Tính chất:
 Phép nhân số hữu tỉ cũng có tính chất như phép nhân phân số: giao hoán, kết hợp,
nhân với số 1, ngoài ra còn có tính chất phép nhân phân phối phép cộng.
 Thương của phép chia số hữu tỉ x cho số hữu tỉ y ( y ≠ 0) gọi là tỉ số của x và y kí
x
hiệu là x:y hay
y
 Với x ∈ Q thì:

 x neu x ≥ 0
x =
− x neu x < 0

 Ngoài ra còn có các trường hợp đặc biệt sau:

9


* x < m <=> −m < x < m
 x >m
* x > m <=> 
x < −m
x = 0
* x. y = 0 <=> 
y = 0
* x ≤ y <=> xz ≤ yz voi z > 0
x ≤ y <=> xz ≤ yz voi z < 0
Ví dụ: Thực hiện các phép tính sau:

 1   15  38 15 38 1 1 1
a )  − ÷.  − ÷. =
. = . =
 6   19  45 114 45 3 3 9
b)
=

18  1   21  18   1   4  
.  − ÷:  − ÷ = .   − ÷.  − ÷÷
39  2   4  39   2   21  

18 2
6 2 12
. = . =
39 21 39 7 273

II, Bài tập:
Bài 1: Thực hiện phép tính:

1 1
a) +
3 4
e)

−16 5
−
42 8

b)

−2 7
+
5 21

1  −5 
f ) −1 −  ÷
9  12 

3  −5 
c) +  ÷
8  6 
−9  −35 
g) − 
÷
12  42 

d)

15  −1 
− ÷
12  4 

h) 0.75 − 2

1
3

Bài 2: Thực hiện phép tính:

 3
a ) 1, 25.  −3 ÷
 8
1 11
e) − 2 .2
7 12

−9 17
.
34 4

c)

4  1
.  −3 ÷
21  9 

10
 −4   3 
g )  ÷.  −6 ÷ h) ( −3, 25 ) .2
13
 17   8 

b)
f)

−20  −4 
. ÷
41  5 

d)

−6 21
.
7 2

Bài 3: Thực hiện phép tính:

10


6 
 1 
a )  −3 ÷:  −1 ÷
 7   49 
 3
d ) ( −3,5 ) :  −2 ÷

 5
2  4 5
g ) :  −5 ÷.2
15  5  12

2  3
b)2 :  −3 ÷
3  4
1 6  −7 
e) − 3 . :  ÷
7 35  12 

1  5
c)1 :  −5 ÷
3  7
18  5   3 
f ) .  −1 ÷:  −6 ÷
39  8   4 

 −1   −15  38
h)  ÷. 
÷:
 6   19  45

Bài 4: Thực hiện phép tính (tính nhanh nếu có thể):

a) −

1  1  7 
− − ÷

24  4  8  

 5 7   1  2 1 
b)  − ÷−  −  − ÷
 7 5   2  7 10  
 −1   3   1  1  2  4 7
c)  ÷−  − ÷+  ÷+ −  − ÷+ −
 2   5   9  71  7  35 18
1 2  1 6 
7 3

d )  3 − + ÷−  5 − − ÷−  6 − + ÷
4 3 
3 5 
4 2

1 2 
1
3 5 
2 1

e)  5 + − ÷−  2 − − 2 + ÷−  8 + − ÷
5 9 
23
35 6  
7 18 

1 3  3 1 2 1 1
f ) − −  − ÷+ − − +
3 4  5  64 9 36 15

Bài 5: Thực hiện phép tính

2
1 3
 1 5
a ) − 4.  + ÷
b)  − + ÷.11 − 7
3
2 4
 3 6
 5  3  13  3
 2  3  16  3
c)  − ÷. +  − ÷.
d )  − ÷. +  − ÷.
 9  11  28  11
 3  11  9  11
Bài 6: Thực hiện phép tính:

11


1 1 1 1
a)1 .2 + 1 .
2 3 3 2
1 2
1 2
2
c) .
−4 .
+

9 145 3 145 145

 7 1 1 1 2 1
b)  − 2 ÷ : 2 − : 2 + 2 : 2
 12  7 18 7 9 7
7  3  2  8   5   − 10
8
d ) :  − 1 ÷ − :  8 − ÷ −  − ÷. 
+2 ÷
80  4  9  3   24   3
15 

Bài 7: Tìm x, biết:

2
3
1
1
−x=−
b) x − =
15
10
15 10
−3
5
3
1 7
c) − x =
d) − x = − +
8

12
5
4 10
5
3  1
5 1
 −1 
e) − − x = − −  − ÷ f ) x −  − ÷ = − +
8
20  6 
6 8
 4 
1  9
g )8, 25 − x = 3 +  − ÷
6  10 
a) −

Bài 8: Tìm x, biết:

a)

8
20
:x=−
15
21

d )(−5, 75) : x =

14

23

4
 4
b) x :  − ÷ = 2
5
 21 
1
 2x 
e)  − 1 ÷: ( −5) =
4
 5


1
 2
c ) x :  −4 ÷ = −4
5
 7
1
1
f )2 x − 9 = 20
4
4

Bài 9: Tìm x, biết:

2
4
a) − x =

3
15
14
42
c) − x = −
25
35

21
−7
x=
13
36
22
8
d) x = −
15
25
b)

Bài 10: Tím số nguyên x, biết:

3 4
3 6
a) − 4 .2 ≤ x ≤ −2 :1
5 23
5 15
1 1 1
21 1 3
b) − 4 .  − ÷ ≤ x ≤ −  − − ÷

3 2 6
33 2 4
12


Dạng 3: LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ
I, Phương pháp
1. Lũy thừa với số mũ tự nhiên:
Lũy thừa bậc n của một số hữu tỉ, kí hiệu là xn,, là tích của n thừa số x (n là số tự nhiên
n
x.x.2
x......
43x ( x ∈ Q, n ∈ N , n > 1)
lớn hơn 1): x = 14
n

( x ≠ 0)

Quy ước: x1 = x, x0 = 1

a
Khi viết số hữu tỉ x dưới dạng (a, b ∈ Z , b ≠ 0) , ta có:
b

n

an
a
 ÷ = n
b

b

2. Tích và thương của hai lũy thừa cùng cơ số:
xm : xn = xm-n

( x ≠ 0, m ≥ n )
3. Lũy thừa của lũy thừa:
(xm)n = xm.n
4. Lũy thừa của một tích - Lũy thừa của một thương:

(x.y)m = xm.ym

( y ≠ 0)
* Tóm tắt công thức về lũy thừa:

x, y ∈ Q; x =

a
c
,y=
b
d
m

a
 Nhân hai lũy thừa cùng cơ số: x .x =  ÷
b
m

n

n

m+ n

a a
. ÷ =  ÷
b b

Ví dụ:

13


7

2
 ÷
5

7 +5

5

12

 2  2
. ÷ =  ÷
5 5

m

a
 Chia hai lũy thừa cùng cơ số: x : x =  ÷
b
m

n

 2
= ÷
5

m −n

n

a a
: ÷ =  ÷
b b

( m ≥ n)

Ví dụ:
13

13−10

10

 13   13 
 13 
:
=
 ÷  ÷  ÷
 14   14 
 14 
(x.y)m = xm.ym

 Lũy thừa của một tích:
Ví dụ:

23

23

 12 6 
 12 
.
=

÷
 ÷
 5 7
 5
 Lũy thừa của một thương:
Ví dụ:

23

6
. ÷
7

(x:y)m = xm:ym
7

7

 17 15   17 
 : ÷ = ÷
 23 33   23 
 Lũy thừa của một lũy thừa:
Ví dụ:

3

 13 
= ÷
 14 

7

 15 
: ÷
 33 

(xm)n = xm.n
6

3.6
18
  1 3 
1 
1 
= ÷ = ÷

÷÷

÷
7
7 
7 
  
1
x−m = m
 Lũy thừa với số mũ âm:
x

Ví dụ:
−1

1
2
1
=
=
1.
=2
 ÷

1
2
1
 
2
* Quy ước: x1 = x, x0 = 1.
II, Bài tập:
Dạng 1: Sử dụng định nghĩa của lũy thừa với số mũ tự nhiên:
Bài 1: Tính:

14


3

3

2
a)  ÷
3

2

 2
b)  − ÷
 3

 3
c)  −1 ÷
 4

d )( −0.1) 4

Bài 2: Điền số thích hợp vào chỗ trống:

27  3 
= − ÷
343  7 

a)16 = 2

b) −

d )0, 0001 = ( 0,1)

e)243 =

c )0, 25 =

5

f )−

2

64
=
343

3

81
dưới dạng một lũy thừa.
625

Bài 3: Viết số hữu tỉ

Dạng 2: Đưa lũy thừa về dạng lũy thừa cùng cơ số:
Bài 1: Tính:
2

 1
a)  − ÷
 3

 1
. − ÷
 3

b)(−2) 2 .(−2)3

c)a 5 .a 7

Bài 2: Tính:
n +1

2

a ) (2 )

(2 )

 5
− ÷
7
c) 
n
 5
− ÷
 7

814
b) 12
4

2

Bài 3: Tìm x, biết:
2

5

 2
 2
a )  − ÷ .x =  − ÷
 3
 3

(n ≥ 1)

3

1
 1
b )  − ÷ .x =
81
 3

Dạng 3: Đưa lũy thừa về dạng các lũy thừa cùng số mũ:
Bài 1: Tính:
7

 1
a)  − ÷ .37
b)(0,125)3 .512
 3
Bài 2: So sánh 224 và 316 .

902
c) 2
15

7904
d) 4
79

Bài 3: Tính giá trị biểu thức:

15

( 0.8)
b)
6
( 0.4 )
5

4510.510
a)
7510

810 + 410
d ) 4 11
8 +4

215.94
c) 3 3
6 .8

Bài 4: Tính:
0

4

 3
a)  − ÷
 4

 2
b)  −2 ÷

 3

c) ( 2,5 )

5

2

e)2 .4

4

3

2
i)  ÷ 92
3

d )253 : 5 2

3

1
f )  ÷ .55
5

3

3

4

1
g )  ÷ .103
5
2

1 1
k )  ÷ . ÷
2 4

1203
l) 3
40

 2
h)  − ÷ : 2 4
 3
3904
m)
1304

n)273 : 93

Bài 5: Thực hiện phép tính:
0

2

 6 1

a )3 −  − ÷ +  ÷ : 2
 7 2

b) ( −2 ) + 2 2 + ( −1) 20 + ( −2) 0
3

0

( ) − ( ( −5) ) + ( ( −2) )

c) ( 3)

2 2

2 2

2 1

d )2 4 + 8. ( −2 ) :  − 2 −2.4 + ( −2) 2
2


3 2

0

2 1
1

e)2 + 3.  ÷ − 2−2.4 ( −2 ) :  .8

2
2

3

BÀI TẬP LUYÊN THÊM
Bài 1:Tính
3

a )(0, 25) .32

b)( −0,125) .80
3

4

82.45
c) 20
2

8111.317
d ) 10 15
27 .9

Bài 2: Tìm x, biết rằng:

a ) ( x + 1) = 27

b) x 2 + x = 0

d )(2 x + 3) 2 = 36

e)5 x + 2 = 625
f )( x − 1) x + 2 = ( x − 1) x + 4
1 2 3 4 5 30 31
h) . . . . .... . = 2 x
4 6 8 10 12 62 64

0

g )(2 x − 1)3 = −8

c)(2 x + 1) 2 = 25

Bài 3: Cho x thuộc tập hợp số hữu tỉ Q và x khác 0. Hãy viết x12 dưới dạng:
9
a) Tích của hai lũy thừa trong đó có một lũy thừa x ?
4
b) Lũy thừa của x ?

16


c) Thương của hai lũy thừa trong đó số biij chia là

x15?

Bài 4: Tìm số nguyên dương n, biết rằng:

a )32 < 2 n < 128

b)2.16 ≥ 2 n > 4

c)9.27 ≤ 3n ≤ 243

Bài 5: Cho biểu thức sau:

P =
(x +
4)

6)
( x+
5) ( x −

5)
( x+
6 )( x +

Hãy tính giá trị của P khi x = 7.
Bài 6: So sánh:

a) 9920 và 999910 b) 321 và 231

c) 230 + 330 + 430 và 3.2410.

Bài 7: Chứng minh đẳng thức:

1 + 2 +22 + 23 + . . . + 299 + 2100 = 2101 - 1.
Bài 8: Tìm một số có 5 chữ số, là bình phương của một số tự nhiên và được viết

bằng các chữ số: 0; 1; 2; 2; 2.
Bài 9: Chứng minh rằng: Nếu a = x3y, b = x2y2, c = xy3 thì với bất kì số
hữu tỉ x và y nào ta cũng có: ax + b2 - 2x4y4 = 0.
Dạng 4: GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ
I, Phương pháp:
Dạng 1:

A ( x ) = B với B ≥ 0

Ta có công thức giải như sau:

 A( x) = B
A ( x ) = B; ( B ≥ 0) => 
 A ( x) = −B

Ví dụ: Tìm giá trị của x:

 2x + 3 = 7
2 x + 3 = 7 <=> 
 2 x + 3 = −7
 x=2
<=> 
 x = −5

A( x) = B ( x)
Dạng 2:
Ta có công thức giải như sau:

 A( x) = B ( x)
1. A ( x ) = B ( x ) ; ( B ( x ) ≥ 0 ) => 

 A ( x ) = −B ( x )

2. A ( x ) = B ( x ) ; ( B ( x ) < 0 ) => x không có giá trị nào.
17


Ví dụ: Tìm giá trị của x:

Dạng 3:

 5x − 1 = 2 x
5 x − 2 x = 1
5 x − 1 = 2 x (2 x ≥ 0) => 
<=> 
 5 x − 1 = −2 x
5 x + 2 x = 1
1

x
=

3x = 1
3
<=> 
<=> 
7 x = 1
x = 1

7
A( x) + B ( x) = 0

Ta có công thức giải như sau:

 A ( x ) = 0
A ( x ) + B ( x ) = 0 => 
 B ( x ) = 0

Ví dụ: Tìm giá trị của x:

Dạng 4:

 4 x − 3 = 0
4 x − 3 = 0
4 x − 3 + 5 x + 1 = 0 => 
<=> 
 5 x + 1 = 0
 5x + 1 = 0
3

x
=

4 x − 3 = 0
4
<=> 
<=> 
 5x + 1 = 0
x = − 1

5

A( x) = B ( x)

Ta có công thức giải như sau:

 A( x) = B ( x)
A ( x ) = B ( x ) => 
 A ( x ) = −B ( x )

Ví dụ: Tìm giá trị của x:

18


Dạng 5:

 5 x − 2 = 2 x − 10
5 x − 2 = 2 x − 10 <=> 
5 x − 2 = −2 x + 10
5 x − 2 x = −10 + 2
<=> 
 5 x + 2 x = 10 + 2
3 x = −8
<=> 
 7 x = 12
8

x
=
−


3
<=> 
 x = 12

7
A ( x ) ± B ( x ) = ±C ( C ≥ 0, C ∈ Q )

Ta tìm x biết: A(x) = 0 (1) giải (1) ta tìm được x1 = m
Và tìm x biết: B(x) = 0 (2) giải (2) ta tìm được x2 = n
Sau đó chia khoảng để phá dấu giá trị tuyệt đối:
Trường hợp 1: Nếu m > n => x1 > x2, ta có các khoảng sau được xét theo thứ tự
trước sau: x < x2 , x2 < x < x1, x1 < x.
 Nếu x < x2 ta lấy một giá trị x = t (t thuộc khoảng x < x 2) thay vào từng biểu
thức dưới dấu giá trị tuyệt đối xem biểu thức đó dương hay âm để làm căn cứ
khử dấu giá trị tuyệt đối để giải tiếp.
 Với x2 < x < x1 hoặc x1 < x, ta cũng làm tương tự như trên.
Trường hợp 2: Nếu m < n => x1 < x2 ta có các khoảng sau được xét theo thứ tự
trước sau: x < x1, x1 < x < x2, x2 < x.
 Nếu x < x1 ta lấy một giá trị x = t (t thuộc khoảng x < x 2) thay vào từng biểu
thức dưới dấu giá trị tuyệt đối xem biểu thức đó dương hay âm để làm căn cứ
khử dấu giá trị tuyệt đối để giải tiếp.
 Với x1 < x < x2 hoặc x2 < x, ta cũng làm tương tự như trên.
Chú ý:
 Nếu TH1 xảy ra thì không xét TH2 và ngược lại, vì không thể cùng một
lúc xảy ra hai trường hợp.
 Sau khi tìm được giá trị x trong mỗi khoảng cần đối chiếu với khoảng
đang xét xem x có thuộc khoảng đó không nếu x không thuộc thì giá trị x
đó bị loại.
 Nếu có 3, 4, 5,... biểu thức có dấu giá trị tuyệt đối chứa x thì cần sắp xếp
x1, x2, x3, x4, x5,...theo thứ tự rồi chia khoảng như trên để xét và giải. Số

khoảng bằng số biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối + 1.
Dạng 6: (Biểu thức tĩm x có số mũ)
Dạng:
19


 A ( x )  = m
A ( x ) = mn
n

II, Bài tập:
Bài 1: Tính:

1
5

a) x = 5, 6

b) x = 0

c) x = 3

d ) x = −2,1

e) x − 3,5 = 5

f) x+

5
1

h) − 2 − x =
6
3

i) x −

l ) − 2,5 + 3 x + 5 = −1,5

1 1
1
m) − − x =
5 5
5

g ) 4 x − −13,5 = 2
k ) 5 − 3x +

1
4

2 1
=
3 6

3 1
− =0
4 2

2 1 3
+ =

5 2 4

Bài 2: Tìm x, biết:

a) x − 2 = 2
d )6 −

1
2
−x =
2
5

g )4 − x −

b) x + 1 = 2
e) x +

c) x −

3 1 1
− =
5 2 2

f)

4 3
=
5 4

2
3
1
x −1 . x + = 0
3
4
2

1
1
=−
5
2

Bài 3: Tìm x, y, z, biết:

a) x +

19
1890
+ y+
+ z − 2004
5
1975

b) x +

9
4
7

+ y+ + z+ =0
2
3
2

c) x +

3
1
+ y− + x+ y+z =0
4
5

d) x +

3
2
1
+ y− + z+ =0
4
5
2

Bài 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:

a) A = x −

3
4

d ) D = 5. 1 − 4 x − 1

b) B = 1,5 + 2 − x
e) E = x 4 + 5

2

c)C = 2 x −

1
+ 107
3
2

f )F = x − 1 + y + 2

2

20


Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:

a) A = − x + 2
d )D = − x +

5
2

g )G = − 10, 2 − 3 x

b) B = 1 − 2 x − 3

c )C = x − 3 − 5 − x

e) E = 4 − 5 x − 2 − 3 y + 12

f ) F = 5,5 − 2 x − 1,5

h) H = 5 − 3. 2 x − 1

i) I =

1
2. x − 1 + 3

Bài 6: Chứng minh rằng: Nếu b là số dương và a là số đối của b thì:

a +b = a + b
Bài 7: Tính giá trị của biểu thức:

A= x+

1
3
1
− x+2 + x−
khi x =
2
4

2

Bài 8: Tìm x, y, biết:

x+

1
+ 3− y = 0
2

Bài 9: Tìm các số hữu tỉ x, biết:

a) x + 2 > 7

b) x − 1 < 3

c) x 2 − 2 x + 7 > −10

Bài 10: Tìm giá trị của x để biểu thức:
A=x2 - 2|x| Có giá trị âm.
Dạng 5: TỶ LỆ THỨC - TÍNH CHẤT DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
I, Phương pháp:
- Tỉ lệ thức là một đẳng thức giữa giữa hai tỉ số: a : b = c : d hoặc

a c
=
b d

Trong đó a, d gọi là ngoại tỉ; b, c gọi là trung tỉ.
Ví dụ:

12 24
=
hay 12 : 13 = 24 : 26
13 26

- Nếu có đẳng thức ad = bc thì ta có thể lập được 4 tỉ lệ thức:

a c a b b d c d
= ; = ; = ; =
b d c d a c a b
Ví dụ: Ta có đẳng thức: 12 . 5 = 10 . 6, ta có các tỉ lệ thức sau:

12 6 12 10 10 5 6
5
= ; = ; = ; =
10 5 6
5 12 6 12 10
- Tính chất:
21


a c e a+c+e
a −c−e c −a
= = =
=
=
= ....
b d f b + d + f b − d − f d −b
Ví dụ: Ta có đẳng thức sau:

2 4 8
= =
3 6 12
2 + 4 + 8 14 2
=
=
3 + 6 + 12 21 3
2 − 4 − 8 −10 2
=
=
3 − 6 − 12 −15 3
4−2 2
=
6−3 3
......
2 4 8
2+ 4 +8
2 − 4 −8 4 − 2
2
=> = = =
=
=
= ... =
3 6 12 3 + 6 + 12 3 − 6 − 12 6 − 3
3
a b c
= = thì ta nói a, b, c tỉ lệ với ba số 3, 4, 5.
- Nếu có:
3 4 5

3 9 36
=
Ví dụ: Ta có: =
, ta nói 3, 9, 36 tỉ lệ với ba số 5, 15, 60.
5 15 60
- Muốn tìm một thành phần chưa biết của tỉ lệ thức, ta lập tích theo đường chéo rồi chia
cho thành phần còn lại:
Từ tỉ lệ thức:

x a
m.a
= => x =
m b
b

...

Ví dụ: Ta có tỉ lệ thức sau:

x 2
2.15 30
= => x =
=
= 10
15 3
3
3
II, Bài tập:
Bài 1: Thay tỉ số các số bằng tỉ số của các số nguyên:

7 4
: ;
3 5

2,1: 5,3;

2
: 0,3;
5

0, 23 :1, 2

Bài 2: Các tỉ số sau đây có lập thành tỉ lệ thức không?

a)

15
30
&
21
42

b)0, 25 :1,75 &

1
7

c)0, 4 :1

2

3
&
5
5

Bài 3: Có thể lập được tỉ lệ thức từ các số sau đây không? Nếu có hãy lập các tỉ lệ
22


thức đó?

3; 9; 27; 81; 243.
Bài 4: Tìm x trông các tỉ lệ thức sau:

x
0,15
=
3,15 7, 2
41
x
d ) 10 =
9
7, 3
4
a)

b)

−2, 6 −12
=

x
42

c)

11
6, 32
=
10,5
x

e)25 : x = 4, 7 :12,1

Bài 5: Tìm x trong các tỉ lệ thức sau:

x −1 6
a)
=
x +5 7

x 2 24
x −2 x +4
b)
=
c)
=
6
25
x −1 x + 7
a c

a a+c
Bài 6: Chứng minh rằng tỉ lệ thức
= ( b, d ≠ 0 ) ta suy ra được: =
b b+d
b d
Bài 7: Tìm x, y biết rằng:

x 17
=
& x + y = −60
y
3
x
y
b)
=
& 2 x − y = 34
19 21
x2
y2
c)
=
& x 2 + y 2 = 100
9
10
a)

Bài 8: Tìm các số tự nhiên a & b để thỏa mãn:

5a + 7b 29

=
với (a,b) = 1.
6a + 5b 28

Bài 9: Tìm các số tự nhiên a, b, c, d nhỏ nhất sao cho:

a 3
= ;
b 5
Bài 10: Chứng minh rằng: Nếu
số đều có nghĩa.
Bài 11: Biết:

b 12
c 6
= ;
=
c 21
d 11
a c
5a + 3b 5c + 3d
=
= thì
5a − 3b 5c − 3d
b d

( Giả thiết các

tỉ

bz − cy cx − az ay − bx
=
=
a
b
c
23


a b c
= =
x y z

Chứng minh rằng:
Bài 12: Cho tỉ lệ thức:

a c
= . Chứng minh rằng:
b d

ab a 2 − b 2
= 2
cd c − d 2

2

và

a 2 + b2
 a+b 


÷ = 2
2
c+d  c +d

Bài 13: Tìm a, b biết rằng:

Bài 14: Tìm x, y, z biết:

1 + 2a 7 − 3a
3b
=
=
15
20
23 + 7 a

x y
= ;
2 3

y z
=
4 5

và

x2 - y2 = -16

Bài 15: Tìm x, y, z biết:

3x 3 y 3z
=
=
& 2x2 + 2 y2 − z 2 = 1
8 64 216
a c
= thì:
b d
7 a 2 + 5ac 7b 2 + 5bd
( Giả sử các tỉ số đều có nghĩa).
=
7 a 2 − 5ac 7b 2 − 5bd

Bài 16: Chứng minh rằng: Nếu

Bài 17: Cho a : b = c : d. Chứng minh rằng:

ab (a + b) 2
=
cd (c + d ) 2
Bài 18: Cho a, b, c, d khác 0, thỏa mãn: b2 = ac; c2 = bd
Chứng minh rằng:

a 3 + b3 + c 3 a
=
3
3
3
b +c +d

d

24