PHÂN TÍCH ỨNG xử TĨNH tấm SANDWICH có lõi tổ ONG STATIC ANALYSIS OF SANDWICH PLATES WITH HONEYCOMB CORES

Kỷ yếu hội nghị khoa học và công nghệ toàn quốc về cơ khí - Lần thứ IV

PHÂN TÍCH ỨNG XỬ TĨNH TẤM SANDWICH CÓ LÕI TỔ ONG
STATIC ANALYSIS OF SANDWICH PLATES WITH HONEYCOMB CORES
Nguyễn Trung Kiên
Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật TPHCM

TÓM TẮT
Bài báo trình bày một phương pháp phân tích ứng xử tấm sandwich lõi tổ ong. Các đặc
tính tương đương lõi tổ ong được tính toán dựa trên một phương pháp đồng nhất hóa vật liệu
composite có tính tuần hoàn trong đó phần mềm Abaqus được sử dụng để mô hình ô thể tích
đơn vị đặc trưng của lõi. Lý thuyết tấm mỏng được sử dụng để phân tích các đáp ứng tấm
sandwich lõi tổ ong.
Từ khóa: kết cấu lõi tổ ong, phân tích tĩnh, đồng nhất hóa.
ABSTRACT
This paper presents an approach for static analysis of sandwich plates with honeycomb
cores. The equivalent properties of honeycomb core is estimated by a homogenization method
for periodic composite materials in which Abaqus software is used to model the localization
elastic problem on a representative volume element of the core. The classical plate theory is
then used to investigate bending responses of honeycomb sandwich plates.
Keywords: Honeycomb structures, Static analysis, Homogenization.
1. GIỚI THIỆU
Kết cấu sandwich là một loại kết cấu hỗn hợp bao gồm lớp lõi liên kết với hai lớp bề
mặt nhằm tạo ra một loại kết cấu có trọng lượng nhẹ, độ cứng lớn và có nhiều tính năng vượt
trội so với các vật liệu kết cấu truyền thống khác. Loại kết cấu này đã được nghiên cứu và
phát triển mạnh mẽ trong lĩnh vực hàng không, cơ khí, xây dựng,... Các lớp bề mặt và lõi của
kết cấu sandwich có thể là nhôm, thép, bê tông, gỗ….,. Lõi có thể được cấu tạo dạng rỗng với
các dạng hình học khác nhau, trong đó kết cấu dạng tổ ong thông thường được sử dụng. Kết
cấu tấm sandwich lõi tổ ong là dạng kết cấu tấm không đồng nhất với lõi là một loại vật liệu
trực hướng được phân bố có tính tuần hoàn theo hai phương. Việc nghiên cứu ứng xử của loại
kết cấu này khó khăn ở việc xác định các đặc tính tương đương của lõi. Do đó, một vấn đề

quan trọng đặt ra từ các bài toán thiết kế là phát triển các phương pháp đánh giá các đặc tính
của kết cấu tổ ong. Một số nghiên cứu đã được thực hiện trong chủ đề này nhằm xác định các
hằng số đàn hồi tương đương ([1-10]). Lược qua tình hình nghiên cứu có thể thấy rằng hầu
hết các nghiên cứu đã phát triển các mô hình với lời giải giải tích, tuy nhiên cách tiếp cận này
đòi hỏi các giả thiết khi thiết lập và tương đối phức tạp. Phương pháp này mang lại phương
thức đánh giá tường minh các mô đun đàn hồi và, do đó, dễ áp dụng trong thực tiễn. Một số ít
tác giả sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn [11-13] phân tích các đặc tính đàn hồi kết cấu
tấm sandwich lõi tổ ong. Hiện nay với sự phát triển của công nghệ máy tính, việc sử dụng
phương pháp số mang lại hiệu quả lớn, do đó cần thiết phát triển một mô hình số tính toán các
hằng số đàn hồi tương đương lõi tổ ong trong đó phương pháp đồng nhất hóa vật liệu
composite là một phương pháp hữu hiệu ([14-17]).
Mục tiêu của bài báo này là đề xuất một mô hình số cho phép tính toán các hằng số đàn
hồi tương đương của lõi tổ ong và từ đó phân tích các đáp ứng tĩnh tấm sandwich lõi tổ ong.
Cơ sở lý thuyết được dựa trên phương pháp đồng nhất hóa vật liệu không đồng nhất có tính
898


Kỷ yếu hội nghị khoa học và công nghệ toàn quốc về cơ khí - Lần thứ IV
tuần hoàn theo hai phương trong mặt phẳng. Các mô hình tính toán thiết lập trên ô thể tích
đơn vị đặc trưng sẽ được phân tích dựa trên phần mềm Abaqus. Các kết quả số nhận được sẽ
được so sánh với các mô hình giải tích đã được phát triển.
2. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Xem xét tấm sandwich lõi tổ ong như Hình 1. Tấm có chiều dày h với lõi tổ ong có
chiều dày hc được hình thành từ ô đơn vị hình lục giác phân bố có tính tuần hoàn theo các
phương trong mặt phẳng tấm. Tấm sandwich lõi dạng kết cấu tổ ong ứng xử như một kết cấu
có tính tuần hoàn theo các hướng x 1 và x 2 nên có thể tách ra một ô thể tích đơn vị Y
( 2l1 × 2l2 × hc ) với các biên hông ∂Y l , các biên trên và dưới ∂Y±. Ô đơn vị thể tích Y có các
biến dạng màng đồng nhất E, các trường biến dạng và ứng suất ε(x) và σ(x) bên trong Y. Việc
tính toán các hằng số đàn hồi tương đương lõi tổ ong đòi hỏi biết trường lời giải bài toán đàn
hồi trên ô thể tích đơn vị. Ứng xử của kết cấu có tính chu kỳ này có thể được miêu tả bằng các

phương trình sau:
σ (=
x ) .∇ 0,=
σ (x) C (x) ε (x)

per

ε ( x )= E + e u ( x )

per
s per
e u ( x ) = grad u ( x )
 per
u ( x ) # ∂Yl , σ ( x ) .n -# ∂Yl


(

(

)

(1)

)

trong đó # để chỉ đại lượng có tính tuần hoàn, u per ( x ) là trường chuyển vị có tính tuần

hoàn trên biên, e ( u per ( x ) ) là các biến dạng ứng với u per ( x ) .

a) Dạng hình học tấm sandwich lõi tổ ong

b) Lõi tổ ong

2l2

2t

x2

x1

l

30°

h

2l1

c) Hình học ô tổ ong

d) Kích thước ô thể tích đơn vị đặc trưng

Hình 1: Hình học và ô thể tích đơn vị đặc trưng lõi tổ ong
Do chiều cao lõi lớn hơn nhiều so với kích thước ô tổ ong nên, để đơn giản trong tính
toán, chúng ta giả thiết ô thể tích đơn vị của lõi tổ ong ứng xử như bài toán biến dạng phẳng,
do đó chúng ta chỉ khảo sát trong mặt phẳng và ma trận độ cứng đàn hồi tương đương cần tìm
có dạng như sau:
899

Kỷ yếu hội nghị khoa học và công nghệ toàn quốc về cơ khí - Lần thứ IV
C

hom

C11hom

= C12hom
 0


C12hom
C22hom
0

0 

0 
C66hom 

(2)

Một khi trường lời giải của bài toán đàn hồi (1) nhận được thì các hằng số độ cứng tương
đương có thể suy ra từ nguyên lý cân bằng năng lượng biến dạng vi mô – vĩ mô như sau:

1
1
=

EChom E Min ε ( x ) C ( x ) ε ( x )
ε∈KA
2
2

=
W (E)

(3)
Y

trong đó ký hiệu KA dùng để chỉ trường khả dĩ động (trường biến dạng khả dĩ động là
trường biến dạng thỏa mãn điều kiện tương thích và điều kiện biên chuyển vị cưỡng bức),
toán tử
dùng để chỉ trung bình thể tích của đại lượng bên trong:
f (x)

y

=

1
SY

∫ f ( x )dx

(4)

Y

trong đó SY là diện tích mặt trung bình ô đơn vị Y . Có thể thấy rằng các hằng số

C , C22hom , C12hom , C66hom có thể rút ra bằng việc chọn hợp lý trường biến dạng phẳng đồng nhất
và năng lượng biến dạng trung bình trên ô Y , và từ đó các mô đun đàn hồi đồng nhất hóa
E1hom , E2hom ,ν 12hom , G12hom sẽ nhận được. Bốn trường hợp sau được xem xét.
hom
11

1 0 
TRƯỜNG HỢP 1: E = 
 dẫn đến:
0 0 

C11hom
1
= Min ε ( x ) C ( x ) ε ( x )
ε
∈
KA
2
2

(5)
Y

0 0 
 dẫn đến:
0
1




TRƯỜNG HỢP 2: E = 

C22hom
1
= Min ε ( x ) C ( x ) ε ( x )
ε∈KA
2
2

(6)
Y

1 0 
 dẫn đến:
0 1 

TRƯỜNG HỢP 3: E = 

1 hom
C11 + C22hom + 2C12hom )
(
2
1
= Min ε ( x ) C ( x ) ε ( x )
ε∈KA
2

(7)

Y

0 1 
 dẫn đến:
1 0 

TRƯỜNG HỢP 4: E = 

2C66hom = Min
ε∈KA

1
ε (x) C (x) ε (x)
2
900

(8)
Y


Kỷ yếu hội nghị khoa học và công nghệ toàn quốc về cơ khí - Lần thứ IV
3. KẾT QUẢ SỐ VÀ THẢO LUẬN
3.1. Độ cứng đàn hồi đồng nhất hóa lõi tổ ong
Một số ví dụ số sẽ được thực hiện trong phần này nhằm kiểm tra lại tính chính xác của
mô hình đã phát triển. Để thực hiện điều này, kết quả nhận được từ mô hình hiện tại sẽ được
so sánh với các mô hình giải tích Gibson và cộng sự [1] và Masters và Evans [2]. Vật liệu
hình thành kết cấu lõi được giả thiết đẳng hướng, đàn hồi tuyến tính với các thông số vật liệu
sau ([2]): Es = 1, ν s = 0.3, l = h, t = 0.1, θ = 30o (Hình 2). Các mô hình hiện tại được mô phỏng
dựa trên phần mềm Abaqus trong đó phần tử biến dạng phẳng CPE4R được sử dụng. Sự phân
bố ứng suất và dạng biến dạng của trường hợp 4 được thể hiện trên Hình 3.

Hình 2: Kích thước ô tổ ong.

Hình 3: Hình dạng biến dạng và sự phân bố ứng suất Von-Mises cho trường hợp

=
E11 0,=
E22 0,=
E12 1 ( l / t = 10 )

Bảng 1: So sánh các mô đun đàn hồi đồng nhất hóa của lõi tổ ong với l / t = 10
Mô hình
E1
E2
G 12
ν 12
ν 21
Present

0.0189

0.0189

0.8632

0.8632

0.0051

Gibson và cộng sự [1]

0.0185

0.0185

1

1

0.0046

Master và Evans [2]

0.0165

0.0165

0.8571

0.8571

0.0044

901


Kỷ yếu hội nghị khoa học và công nghệ toàn quốc về cơ khí - Lần thứ IV
Các kết quả nhận được từ mô hình hiện tại (Present) được tổng hợp trong Bảng 1 cho 5
hằng số E1 , E2 ,ν 12 ,ν 21 , G12 và được so sánh với kết quả của các nghiên cứu Gibson và cộng sự
[1] và Masters và Evans [2]. Cũng cần chú ý rằng mô hình của [1] sẽ có khó khăn trong tính

toán các hằng số độ cứng Cij vì ν 12 = 1/ ν 21 , trong khi đó đánh giá của [2] không gặp vấn đề
này. Bảng 1 cho thấy rằng các mô đun Young giữa các mô hình tương đồng với nhau, hệ số
Poisson nhận được từ mô hình hiện tại phù hợp với nghiên cứu của [2], trong khi đó có sự
khác biệt so với mô hình của [1]. Mặt khác sự không tương thích giữa các mô hình về mô đun
trượt G12 cũng được tìm thấy. Để đánh giá hiệu ứng của tỉ số chiều dài cạnh và chiều dày của
ô tổ ong đến các mô đun đàn hồi của lõi, Hình 4, 5 và 6 biểu diễn sự biến thiên của mô đun
Young E1 , hệ số Poisson ν 12 và mô đun trượt G12 theo tỉ số l / t . Kết quả được so sánh với
các kết quả nhận được từ lời giải của [1] và [2]. Các biểu đồ cho thấy rằng, lời giải từ mô hình
đề xuất tương đồng với mô hình của [2] cho tất cả các mô đun đàn hồi. Đường cong cao nhất
ứng với lời giải của [1], trong khi đường cong thấp nhất là lời giải của [2]. Hình 4 và 6 cho
thấy rằng mô đun Young E1 và mô đun trượt G12 giảm khi tỉ số l / t tăng, bên cạnh đó Hình 5
cho thấy diễn biến ngược lại khi hệ số Poisson ν 12 tăng với sự gia tăng của l / t . Các quy luật
biến thiên này là hợp lý vì mật độ thể tích vật liệu lõi giảm khi l / t tăng.
0.35
Gibson et al. [1]
Masters and Evans [2]
Present

0.3
0.25

1

Ehom

0.2
0.15
0.1
0.05
0

4

6

8

10

12
l/t

14

16

18

20

Hình 4: Sự biến thiên của mô đun đàn hồi đồng nhất hóa E1hom theo l / t
1.1
1
0.9
0.8
12

vhom

Gibson et al. [1]
Masters and Evans [2]

Present

0.7
0.6
0.5
0.4
4

6

8

10

12
l/t

14

16

18

20

Hình 5: Sự biến thiên của hệ số Poisson ν 12hom theo l / t
902


Kỷ yếu hội nghị khoa học và công nghệ toàn quốc về cơ khí - Lần thứ IV

0.08
Gibson et al. [1]
Masters and Evans [2]
Present

0.07
0.06

Ghom
12

0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0
4

6

8

10

12
l/t

14

16

18

20

Hình 6: Sự biến thiên của mô đun trượt G12hom theo l / t
3.2. Phân tích độ võng tấm sandwich lõi tổ ong
xét tấm sandwich lõi tổ ong tựa đơn chịu tải trọng hình sin
πx
πy
trong đó các đặc tính tương đương lõi được tính toán từ mô hình số
q ( x, y ) = q0 sin sin
a
b
đề xuất và từ mô hình Masters và Evans [2]. Các đặc tính hình học và vật liệu của lõi như ví
dụ trước. Giả thiết hai lớp bề mặt cùng được làm bằng loại vật liệu đẳng hướng với
a b
100u3  ,  h3 E2
2 2
. Lý
=
=
E 1GPa
, ν 0.3 . Sử dụng các tham số không thứ nguyên sau u3 =
q0 a 4
thuyết tấm mỏng Love-Kirchhoff được sử dụng để tính toán các đáp ứng của tấm.
Xem

2.92

Masters and Evans (1996)
Present

Nondimensional deflection

2.915
2.91
2.905
2.9
2.895
2.89
2.885
2.88
4

6

8

10

12
l/t

14

Hình 7: Hiệu ứng tỉ số chiều dài và chiều dày cạnh

16

18

20

l
đến chuyển vị ngang lớn nhất u3
t

tấm vuông sandwich lõi tổ ong dưới tác dụng tải trọng hình sin

Hình 7 biểu diễn sự thay đổi của chuyển vị ngang tại tâm tấm không thứ nguyên theo tỉ
số l/t. Có thể thấy rằng khi l/t tăng thì độ võng tăng và giá trị tính toán từ mô hình Master và
Evans [2] lớn hơn giá trị nhận được từ phương pháp đề xuất.
4. KẾT LUẬN
Bài báo đã đề xuất một phương pháp phân tích ứng xử tấm sandwich lõi tổ ong trong đó
các đặc tính đàn hồi lõi tổ ong được tính toán dựa trên phương pháp đồng nhất hóa vật liệu
hỗn hợp có tính tuần hoàn. Lý thuyết tấm mỏng Love-Kirchhoff được sử dụng để phân tích
903


Kỷ yếu hội nghị khoa học và công nghệ toàn quốc về cơ khí - Lần thứ IV
đáp ứng tĩnh của tấm. Phần mềm Abaqus đã được sử dụng nhằm mô phỏng bài toán đồng nhất
hóa thiết lập trên ô thể tích đơn vị đặc trưng. Các kết quả số được so sánh với các nghiên cứu
trước cho thấy phương pháp đề xuất là đáng tin cậy, đơn giản và có tính ứng dụng cao trong
phân tích ứng xử tấm sandwich lõi tổ ong.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Gibson, L. J., Ashby, M. F., Schajer G. S., Robertson C. I., The Mechanics of TwoDimensional Cellular Materials, Proceedings of the Royal Society, A 382 (1982).
[2] Masters, I. G., Evans, K. E., Models for the Elastic Deformation of Honeycomb,
Composite Structures, 35 (1996), 403-422.
[3] Abd-el-Sayed, F., Burgess, I.W., Jones, R., A Theoretical Approach to the Deformation

of Honeycomb-Based Composite Materials, Composite, 209-214 (1979).
[4] Becker, W., Closed Form Analysis of the Thickness Effect of Regular Honeycomb Core
Material, Composite Structures, 48 (2000), 67-70.
[5] Liu, Q., Zhao, Y., Effect of Soft Honeycomb Core on Flexural Vibration of Sandwich
Panel using Low Order and High Order Shear Deformation Models, Journal of Sandwich
Structures and Materials, 9 (2007), 95-108.
[6] ShiM G., TongM P., Equivalent Transverse Shear Stiffness of Honeycomb Cores,
International Journal of Solids and Structures, 32 (1995), 1383-1393.
[7] Grediac, M., A Finite Element Study of the Transverse Shear in Honeycomb Cores,
International Journal of Solids and Structures, 30 (1993), 1777-1788.
[8] Zhang, J., Ashby, M. F., The Out-of-Plane Properties of Honeycomb Core Material,
Composite Structures, 48 (2000), 475-489.
[9] Nast, E., On Honeycomb-Type Core Moduli, AIAA/ASME/AHS Adaptive Structures
Forum, Apr. 7-10, Collection of Technical Papers, Pt. 2 (A97-24112 05-39) (1997)
[10] Burlayenko, V.N., Sadowski, T., Effective elastic properties of foam-filled honeycomb
cores of sandwich panels, Composites Structures, 92 (2010), 2890-2900.
[11] Li, Y.M., Hoang, M.P., Abbes, B., Abbes, F., Guo, Y.Q., Analytical homogenization for
stretch and bending of honeycomb sandwich plates with skin and height effects,
Composites Structures, 120 (2015), 406-416.
[12] Catapano, A., Montemurro, M., A multi-scale approach for the optimum design of
sandwich plates with honeycomb core. Part I: homogenisation of core properties,
Composites Structures, 118 (2014), 664-676.
[13] Catapano, A., Montemurro, M., A multi-scale approach for the optimum design of
sandwich plates with honeycomb core. Part II: the optimisation strategy, Composites
Structures, 118 (2014), 667-690.
[14] Michel J. C., Moulinec H., Suquet P., Effective properties of composite materials with
periodic microstructure: a computational approach, Computer Methods in Applied
Mechanics and Engineering, 172 (1999), 109-143.
[15] Moulinec H., Suquet P., A fast numerical method for computing the linear and nonlinear
properties of composites, Comptes Rendus de l’Académie des Sciences, 318 (1994),

1417–1423.
[16] Nguyen T. K., Sab K., Bonnet G., Green’s operator for a periodic medium with tractionfree boundary conditions and computations of the effective properties of thin plates,
International Journal of Solids and Structures, 45 (2008), 6518–6534.
[17] Nguyen T. K., Sab K., Bonnet G., Bounds for the effective properties of heterogeneous
plates, European Journal of Mechanics A/Solids, 28 (2009), 1051–1063.

904