ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN tử hữu hạn (h FEM, p FEM) CHO PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG của kết cấu dàn PHẲNG

Kỷ yếu hội nghị khoa học và công nghệ toàn quốc về cơ khí - Lần thứ IV

ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN (h-FEM, p-FEM) CHO
PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG CỦA KẾT CẤU DÀN PHẲNG
A REFINED FINITE ELEMENT METHOD (h-FEM, p-FEM) APPLIED TO FREE
VIBRATION ANALYSIS OF STRUSS STRUCTURES
Đỗ Văn Hiến
Khoa Cơ khí Chế tạo máy,
Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật TPHCM

TÓM TẮT
Trong bài báo này, hai phiên bản làm mịn h-FEM và p-FEM sẽ được áp dụng trong
phân tích dao động cho bài toán dàn phẳng. Khác với phương pháp phần tử hữu hạn chuẩn,
mỗi phần tử thanh sẽ có nhiều hơn hai nút và các nút này sẽ được chọn làm nút làm giàu. Độ
chính xác và hiệu quả của phương pháp sẽ được so sánh với các kết quả đã được công bố
trong các công trình nghiên cứu trước đó (so sánh với phương pháp CEM và GFEM) qua các
ví dụ số. Kết quả nghiên cứu này cũng chỉ ra rằng p-FEM cho kết quả hội tụ tốt hơn h-FEM.
Từ khóa: dàn, phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp phần tử composite, dao
động tự do
ABSTRACT
In this paper, an application of h-version and p-version Finite Element Method (FEM)
to free vibration analysis of plane trusses is presented. The h-FEM and p-FEM are developed
by enriching the standard Finite Element Method. The frequencies obtained by this method
convege with previous publishes such as CEM and GFEM. This research shows that p-FEM
gives a better result than h-FEM.
Keywords: Truss, FEM, p-FEM, h-FEM,CEM, GFEM, adaptive GFEM, free vbiration.
1. GIỚI THIỆU
Kết cấu kỹ thuật ngày càng cao hơn, mảnh hơn, nhẹ hơn và rẻ hơn. Máy móc, xe hơi và
máy bay được chế tạo với vật liệu nhẹ hơn và đáp ứng yêu cầu kỹ thuật cao hơn. Ảnh hưởng
động học ngày càng được chú ý và, trong hầu hết các trường hợp, phân tích dao động của kết
cấu rất cần thiết. Có một vài phương pháp phân tích dao động có thể được tìm thấy trong các

công trình nghiên cứu trước đó. Phương pháp đầu tiên kể đến là phương pháp giải tích, với
phương pháp này chỉ giải quyết được một số bài toán đơn giản [1]. Tuy nhiên, với các kết cấu
phức tạp, phương pháp này không giải quyết được. Để giải quyết các bài toán này, các nhà
nghiên cứu dùng các phương pháp số khác nhau để giải quyết. Trong thực tế, đa số các bài
toán kỹ thuật được giải bằng phương pháp phần tử hữu hạn [2]. Một số nhà nghiên cứu đã sử
dụng các phương pháp số khác nhau để nâng cao kết quả phân tích dao động cho kết dàn như:
phương pháp phần tử kết hợp (CEM – Composite Element Method) [3-4], phương pháp thích
nghi suy rộng phần tử hữu hạn (adaptive GFEM – adaptive Generalized Finite Element
Method) [5]. CEM được đề xuất bởi Zeng, phương pháp này là sự kết hợp linh hoạt giữa
phương pháp phần tử hữu hạn với độ chính xác cao của lời giải lý thuyết. Nghĩa là, lời giải
giải tích từ lý thuyết sẽ được thêm vào hàm dạng của FEM. GFEM được đề xuất bởi Babuska
và đồng nghiệp [6-7], sử dụng hàm cơ sở PUM (Partion of Unity Method) bảo đảm chính xác
xấp xỉ giữa địa phương và toàn cục.

884


Kỷ yếu hội nghị khoa học và công nghệ toàn quốc về cơ khí - Lần thứ IV
Trong bài báo này, tác giả sẽ trình bày cơ sở lý thuyết phương pháp phần tử hữu hạn sử
dụng hai phương pháp làm mịn h-FEM và p-FEM cho bài toán dàn phẳng. Tính hiệu quả và
độ hội tụ của cách tiếp cận này sẽ được kiểm chứng qua các ví dụ số.
Bài báo này gồm các phần sau: Phần 2 trình bày về cơ sở lý thuyết và xây dựng công
thức dao động cho bài toán dàn phẳng. Một số ứng dụng sẽ được giới thiệu trong phần 3. Cuối
cùng, chúng tôi kết thúc bài báo với phần kết luận.
2. PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN CHO BÀI TOÁN DÀN
Xét phần tử thanh chịu biến dạng dọc trục. Theo tư tưởng chủ đạo của phương pháp
phần tử hữu hạn (PPPTHH), hàm chuyển vị u e của phần tử sẽ được nội suy qua véctơ chuyển
vị nút {q e } .

ue ( x ) = [ N ( x )]{qe}

(1)

Hay
n

ue ( x ) = ∑ N i ( x )ui

(2)

i =1

Ở đây, N i ( x ) là các hàm dạng bậc n-1; ui là chuyển vị dọc trục của nút thứ i thuộc

phần tử và nó là bậc tự do q i của véctơ chuyển vị nút phần tử {q e } .

Đối với h-FEM, tác giả sử dụng hàm nội suy tuyến tính. Còn p-FEM tác giả sử dụng
hàm nội suy bậc hai và ba trong phân tích dao động của dàn. Đối với PPPTHH chuẩn, bài
toán dàn mỗi phần tử có 2 nút và số bậc tự do cho mỗi nút 2 (bài toán dàn phẳng) và 3 (cho
bài toán dàn không gian). Khi áp dụng h-FEM và p-FEM thì mỗi phần tử thanh có nhiều hơn
2 nút và số bậc tự do mỗi nút cũng khác nhau. Cụ thể, đối với bài toán dàn phẳng các nút biên
ở mỗi phần tử hình 1 sẽ có 2 bậc tự do (các nút q 1 và q 2 ), các nút bên trong chỉ có một bậc tự
do (các nút c 1 , c 2 ,...),. Do đó, theo cách tiếp cận này cần phải thay đổi vị trí các nút trên phần
tử và ma trận xoay.

Hình 1: Các nút trong phần tử thanh
Tương tự như PPPTHH chuẩn, chúng ta cũng xây dựng ma trận độ cứng phần tử k e và
ma trận khối lượng me .

k e = ∫ BT DBdV

(3)

V

me = ∫ ρ R T RdV

(4)

V

Xây dựng ma trận chuyển cho phần tử dựa vào mối quan hệ giữa véctơ chuyển vị phần
tử địa phương và toàn cục.

ue = Teu g

(5)

Ở đây, u e = [ q1 c1 c2  q2 ] và u g = ui vi u j v j c1 c2  là các véctơ chuyển vị của
phần tử trong hệ tọa độ địa phương và toàn cục.
T

T

885


Kỷ yếu hội nghị khoa học và công nghệ toàn quốc về cơ khí - Lần thứ IV
Tương tự, ma trận độ cứng và khối lượng
K e = T eT k e T e

(6)

M e = T eT me T e

(7)

Đối với trường hợp phẳng, ma trận xoay T e được xây dựng như sau:

lij
0

0
Te = 

0

 0

mij
0
0


0
0
0


0

0
0


0
0

0
lij

0
mij











0 
0 0  1 

0 0  0 

0
1

0


0
0
1


0
0
0

(8)

Hình 2: Tọa độ phần tử dàn trong trường hợp 2D
Ở đây, lij , mij là các cosin chỉ phương của trục phần tử trong hệ tọa độ tổng và L là
chiều dài của phần tử ij được tính bởi L =

lij cos
=
=
γ

x j − xi
L

(x

− xi ) + ( y j − yi ) .
2

j

,=
mij sin
=
γ

2

y j − yi
L

(9)

3. VÍ DỤ SỐ
3.1. Dao động tự do của dàn phẳng gồm bảy thanh
Dao động tự do của dàn phẳng tạo thành từ bảy thanh sẽ được phân tích để minh họa
cho ứng dụng của phương pháp phần tử hữu hạn dùng 2 phương pháp làm mịn h và p. Bài
toán này đã được đề xuất đầu tiên bởi Zeng [3] dùng để kiểm tra phương pháp phần tử kết hợp
(CEM). Thông số hình học và điều kiện biên của bài toán được trình bày như Hình 2. Tất cả
các thanh có cùng diện tích mặt cắt ngang A = 0.001 m2, khối lượng riêng ρ = 8000 kg m-3 và
mô đun đàn hồi của vật liệu E = 2.1 × 1011 Nm-2.

Hình 3: Dàn phẳng gồm bảy thanh
886


Kỷ yếu hội nghị khoa học và công nghệ toàn quốc về cơ khí - Lần thứ IV
Sử dụng bảy phần tử thanh C0 cho phân tích phần tử hữu hạn chuẩn để đại diện cho hình

học của dàn. Tần số dao động tự do thu được sau khi phân tích được trình bày trong bảng 1.
Kết quả phân tích cũng chỉ ra rằng, cả hai cách tiếp cận h-FEM và p-FEM hội tụ với lời giải
được giải bằng CEM và GFEM.
Bảng 1: Tần số dao động tự do của dàn gồm bảy thanh
FEM
(ndof=6)

CEM[3,8]
(ndof=13)

GFEM[5,8]
(ndof=41)

h-FEM

h-FEM

p-FEM

p-FEM

ω (rad/s)

(ndof=20)

(ndof=69)

(ndof=13)

(ndof=20)

ω (rad/s)

ω (rad/s)

ω (rad/s)

ω (rad/s)

ω (rad/s)

ω (rad/s)

01

1683.5214

1648.52

1651.728

1648.139

1648.063

1647.785

02

1776.2784

1741.66

1647.785

1740.840

1744.798

1741.196

1741.210

1740.840

03

3341.3752

3119.12

3111.326

3136.623

3113.594

3117.085

3111.403

04

5174.3538

4600.60

4561.819

4634.777

4568.371

4597.860

4562.601

05

5678.1845

4870.58

4823.253

4921.266

4832.014

4869.001

4825.087

06

8315.4006

7380.83

7379.482

7719.317

7409.903

7430.303

7429.357

07

8047.93

7499.144

7850.122

7530.508

8100.925

7502.200

08

8272.61

8047.936

8418.729

8081.071

8273.784

8100.906

09

11167.57

9922.385

10730.657 9995.462

11364.162

10086.189

10

12051.90

10477.443

11457.831 10565.54

12324.403

10687.263

Mode

ndof: bậc tự do sau khi khử điều kiện biên

Các dạng mode của mô hình dàn gồm bảy thanh như hình 4. Ở các mode thấp thì
PPPTHH chuẩn và p-FEM tương đối giống nhau, khác so với h-FEM. Ở các mode cao hơn thì
sự khác nhau về dạng mode của FEM, h-FEM và p-FEM là rõ ràng.

Mode 01

Mode 02

Mode 03

Mode 06

Hình 4: Các dạng mode
3.2. Dàn phẳng gồm 15 thanh
Dao động tự do của dàn phẳng tạo thành từ 15 thanh sẽ được phân tích để minh họa cho

ứng dụng của phương pháp phần tử hữu hạn dùng 2 phương pháp làm mịn h và p. Bài toán
này đã được đề xuất đầu tiên bởi Zeng [3] dùng để kiểm tra phương pháp phần tử kết hợp
(CEM). Thông số hình học và điều kiện biên của bài toán được trình bày như Hình 5. Tất cả
các thanh có cùng diện tích mặt cắt ngang A = 0.001 m2, khối lượng riêng ρ = 8000 kg m-3 và
mô đun đàn hồi của vật liệu E = 2.1 × 1011 Nm-2.

Hình 5: Dàn phẳng gồm 15 thanh
887


Kỷ yếu hội nghị khoa học và công nghệ toàn quốc về cơ khí - Lần thứ IV
Sử dụng 15 phần tử thanh C0 cho phân tích phần tử hữu hạn chuẩn để đại diện cho hình
học của dàn. Tần số dao động tự do thu được sau khi phân tích được trình bày trong bảng
Bảng 2: Tần số dao động tự do của dàn gồm 15 thanh

ω (rad/s)

CEM[5] Adap. GFEM[5] h-FEM
(ndof=74)
(ndof=104)
(ndof=44)
ω (rad/s)
ω (rad/s)
ω (rad/s)

01

682.2723

679.7881

679.7863

680.062

679.825

679.789

679.786

02

1149.296

1139.2077

1139.2005

1140.320

1139.358

1139.237

1139.200

03

1612.350

1581.7924

1581.7713

1585.152

1582.246

1581.995

1581.772

04

2519.866

2408.9828

2408.9115

2421.083

2410.620

2410.634

2408.926

05

2715.759

2600.4840

2600.4054

2613.366

2602.228

2602.863

2600.420

06

2968.220

2813.7161

2813.6172

2830.688

2816.014

2816.731

2813.648

07

3573.361

3290.4756

3290.3082

3321.334

3294.658

3298.203

3290.438

08

4207.781

3807.6460

3807.4113

3852.129

3813.684

3822.053

3807.703

09

5134.736

4475.3514

4475.0017

4549.053

4485.368

4505.052

4475.956

10

5399.565

4702.0397

4701.6210

4784.691

4713.268

4743.970

4702.729

11

7163.278

6059.2289

6058.3767

6228.476

6082.245

6192.400

6062.957

12

7471.073

6330.2756

6329.2786

6525.764

6356.792

6499.753

6335.244

13

7586.0742

6443.7249

6442.6448

6670.976

6474.604

6637.304

6452.215

14

8462.5861

7380.3957

7380.3513

7720.113

7427.898

7435.062

7429.870

Mode

FEM
(ndof=14)

h-FEM

p-FEM

p-FEM

(ndof=119)

(ndof=29)

(ndof=44)

ω (rad/s)

ω (rad/s)

ω (rad/s)

ndof: bậc tự do sau khi khử điều kiện biên

Phương pháp phần tử hữu hạn phân tích dao động của dàn có thể được cải thiện bằng
cách áp dụng hai phương pháp làm mịn h-FEM và p-FEM. Kết quả phân tích cũng chỉ ra
rằng, cả hai cách tiếp cận này hội tụ với lời giải được giải bằng CEM và GFEM.
Tương tự như ví dụ 1, các dạng mode của cũng tương tự giống nhau ở các mode thấp
FEM, p-FEM và khác với h-FEM. Ở các mode cao hơn thì sự khác biệt rõ ràng.

Mode 01

Mode 03

Mode 11

Mode 13
Hình 6: Các dạng mode

KẾT LUẬN
Phân tích dao động tự do của dàn phẳng dùng h-FEM và p-FEM đã được trình bày trong
bài báo này. Kết quả phân tích cũng chỉ ra rằng hai cách tiếp cận trên hội tụ so với các
888


Kỷ yếu hội nghị khoa học và công nghệ toàn quốc về cơ khí - Lần thứ IV
phương pháp CEM và GFEM đồng thời p-FEM cho lời giải chính xác hơn h-FEM, CEM và
GFEM do chi phí tính toán lớn hơn. Do vậy có thể áp dụng p-FEM cho phân tích dao động tự
do của các kết cấu dàn phức tạp trong thực tế.
REFERENCES

Book:
[1] D.J. Inman, Engineering Vibration, Prentice-Hall, New Jersey, 1996.
[2] K. Bathe, Finite Element Procedures, Prentice-Hall, New Jersey, 1996.
Journal/Proceeding article:
[3] P. Zeng, Composite element method for vibration analysis of structures, Part I: principle
and C0 element (bar), Journal of Sound Vibration, 1998, Vol. 218 (4), p. 619–658.
[4] P. Zeng, Composite element method for vibration analysis of structures, Part II:C1
element (beam), Journal of Sound Vibration, 1998, Vol. 218 (4), p. 659–696.
[5] M. Arndt, R.D. Machado, An adaptive generalized finite element method applied to free
vibration analysis of straight bars and trusses, Journal of Sound Vibration, 2010, Vol.329,
p. 659–672.
[6] J.M. Melenk, I. Babuska, The partition of unity finite element method: basic theory and
applications, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 1996, Vol. 139,
p. 289–314.
[7]

C.A. Duarte, I. Babuska, J.T. Oden, Generalized finite element methods for threedimensional structural mechanics problems,Computers and Structures, 2000, Vol. 77, p.
215–232.
Report from a university:

[8] Marcos Arndt, O Método Dos Elementos Finitos Generalizados Aplicado à Análise De
Vibrações Livres De Estruturas Reticuladas, Curitiba, 2009
AUTHOR’S INFORMATION
Đỗ Văn Hiến. Khoa Cơ khí Chế tạo máy, Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật TPHCM
Email: Phone number: 0937572020

889