Tai lieu he phuong trinh

Tài liệu ÔN THI ĐẠI HỌC NĂM 2015
Đề : Facebook – Lời giải : Nguyễn Thế Duy

ebooktoan.com
2
2

x  xy  2y  2x  y  1  0
Bài 1. Giải hệ phương trình :  2
x  y2  1  1  x  y



 Lời giải. Điều kiện : x 2  y 2  1  0
Phương trình một đã cho được viết lại thành :

x  1  x  1 y  2y
2

2



x, y  





 0  x  1  y x  1  2y  0

Thực ra ở bước trên chúng ta có thể giải theo kiểu xét đenta nhưng sẽ dễ dàng phán đoán được
dạng phương trình đẳng cấp xuất hiện ở phương trình một.
 Với y  x  1 thế xuống phương trình hai ta được :





2

x 2  x  1  1  1  x  x  1  x  0 or x 
 Với x  2y  1 thế xuống phương trình hai ta được :

2y  1

2

1
2

 y 2  1  1  2y  1  y  y  1 or y  1

Kết hợp với điều kiện suy ra hệ phương trình ban đầu có nghiệm :









x, y    0;1 ,  21 ; 21  ,  3;1 , 1; 1
2
2

x  2xy  y  x  5y  2  0
Bài 2. Giải hệ phương trình : 
3x  2y  1  xy  3x  13  0


 Lời giải. Điều kiện : 3x  2y  1  0



x, y  

Ở bước xử lý phương trình một. Ta sẽ cho bất kỳ một giá trị của x ví dụ như :

1
4
 y  or x  n  y  n  1
3
3
Tức là khi cho mỗi giá trị của biến x thì có thể biễu diễn biến y theo một đa thức bậc nhất. Như ở
trên ta thấy rõ đó là : y  x  1 vậy thì ở đây phương trình một đã có nhân tử chung này. Do đó nếu
x  0  y  1 or x  1  y  2 or x 

thực hiện phép chia đa thức ( lớp 9 ) chúng ta có :

y  x  1
x 2  2xy  y 2  x  5y  2  0  x  1  y x  3y  2  0  
x  2  3y
 Với y  x  1 thay vào phương trình hai ta có hệ phương trình sau :








y  x  1
x  5
y  x  1






3x  2y  1  xy  3x  13  0
x  1  x 2  2x  13  0
y  6





 Với x  2  3y thay vào phương trình hai ta có hệ phương trình sau :



x  2  3y
x  2  3y

 ptvn

3x  2y  1  xy  3x  13  0
6  11y  3y 2  11y  19  0





   

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x, y  5, 6 


3
3

x  y  3xy  1
Bài 3. Giải hệ phương trình : 
x 2  y 1  2


 Lời giải. Điều kiện : x  2 ; y  1

Phương trình một tương đương với :

x  y 





3









 1  3xy x  y  1  0  x  y  1 x 2  xy  y 2  x  y  1  0

Với y  1  x thế vào phương trình hai thì :

x  2

x  22  x   0  x  2

x 2  2x  2 


x, y  



Với x 2  xy  y 2  x  y  1  0 vô nghiệm vì :

1
x  xy  y  x  y  1  x  y
2
2



2



2

  

2

2

1
1 1 
1
3
 x    y     0
2
2 2 

2
4

 



Do đó nghiệm của hệ phương trình là : x, y  2, 1 ; 2, 3 





3
2
2

3x  4  y x  3xy  y  4y  0
Bài 4. Giải hệ phương trình : 
4 x  y  4x 2  5x  y


 Lời giải. Điều kiện : x  y  0

Xử lý phương trình một chúng ta có :



 

 





x, y  





3x x 2  y  4 x 2  y  y x 2  y  0  x 2  y 3x  y  4  0




2
2


y  x
y  x
Với y  x ta có hệ phương trình : 

2
2
4 x  y  4x 2  5x  y

4 x  x  5x  5x





y  3x  4
y  3x  4
Với y  3x  4 ta có hệ phương trình : 


2
4 x  y  4x  5x  y
2 x  1  x  1


2



Kết luận hệ phương trình đã cho có nghiệm :





2



5


89
 5  89

x ; y  0; 0 , 1;1 , 
;
,
10
100




2x x 2  3  y y 2  3  3xy x  y

Bài 5. Giải hệ phương trình : 
2
x2  2  4 2  y


 Lời giải. Điều kiện : x, y 

    







 













3



4  1;1  3 3 4 



x, y  

Phương trình một của hệ phương trình có dạng hàm số như sau :



2x 3  6x  y 3  3y  3x 2y  3xy 2  x  y
Với thế xuống phương trình hai chúng ta có :

x

 

Vậy x, y 



2

2



2









3



  

 3 x  y  x



3

 

 3 x  y  2x



 4 2  2x  x 2  2x  2 x 2  2x  2  0  x   3  1

 



3  1;2 3  2 ,  3  1; 2 3  2 là nghiệm của hệ phương trình 

3
3
2

x  y  3x  6x  3y  4
Bài 6. Giải hệ phương trình :  2
x  y 2  6x  y  10  5  y  4x  y



x, y  



2


 Lời giải. Điều kiện : 4x  y  0 ; y  5





Phương trình một đã cho trở thành : x  1

3





 3 x  1  y 3  3y  y  1  x

Với y  1  x thay vào phương trình hai ta suy ra :

 



2x 2  9x  8  6  x  3x  1  2x 2  9x  5  1  6  x 





x 5



 x  5 2x  1 

6x 1





3 x 5





3x  1  4  0



1
3
 0  x  5  2x  1 


0
3x  1  4
6x 1
3x  1  4 






  



Kết luận hệ phương trình ban đầu có nghiệm duy nhất x, y  5, 4 
3
3
2

x  y  6x  15x  3y  14  0
Bài 6. Giải hệ phương trình : 
x  y  4x  4y  4


 Lời giải. Điều kiện : x, y  0

Chúng ta có :



x, y  

 

  

x 3  y 3  6x 2  15x  3y  14  0  x 3  6x 2  12x  8  3 x  2  y



 x 2





3

  

 3 x  2  y

3

 

2 y  y  4 2 y  4 y  4

  1  1  2  y  y   4  2  y  y  2

y   1  1   2  y  y   4  2  y  y  2

2y  y

4

4

 

 3 y

 3 y  x  2  y  x  2  y  0

Với x  2  y  0 , khi đó phương trình hai trở thành :
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có :


 2 y 

3

2

2

2

2

2

2

4

4

2  y  y  4 2  y  4 y  4 . Dấu = có được khi và chỉ khi y  1
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x  y  1 
Do đó suy ra :









x 3  y 3  3 y  1 x  y  2

2
Bài 8. Giải hệ phương trình : 
x y
 x 1  y 1 

8
 Lời giải. Điều kiện : x, y   1

x, y  

Tương tự các câu trên , phương trình một tương đương với :

x  y   8  6  3xy x  y   3 y  1x  y   0
  x  y   8  3  x y  xy  xy  y  x  y  2   0
  x  y   8  3  x  y  2  xy  y  1  0
  x  y  2   x  xy  y  2x  y  1  0
3

3

2

2

2

3

2

Do đó phương trình hai trở thành :

2



 



2 x  1  2 3  x  x 2  2x  1  2 x  1  x  1  2 3  x  x  3  x 2  2x  3
x  1


1
1
2
 x 2  2x  3  1 

  0  x  2x  3  0  
2 x 1 x 1 2 3x  3x 
x  3






  

 



Đối chiếu với điều kiện nên hệ phương trình đã cho có hai nghiệm : x ; y  1; 3 ; 3; 1 


Chú ý. Ở các bài toán 5,6,7 ở phương trình một đều xuất hiện dạng hàm số đặc trưng

nên khi f g x    f g y   chúng ta sẽ có :

g x   g y  . Hoặc có thể sử dụng kiến thức lớp 8 đó là : “ 7 hằng đẳng thức đáng nhớ “ mà ngày

f t  t 3  3t là hàm số đồng biến trên

xưa được in ở bìa cuối của quyển vở học sinh bằng cách đặt ẩn phụ ta có dạng :







a 3  3a  b 3  3b  a  b a 2  ab  b 2  3  0
Ta sẽ có được : a  b bởi lẽ phương trình còn lại là một bình phương thiếu thì luôn dương. Nói
chung xoay quanh một bài toán thì có nhiều cách để giải quyết. Hãy chọn cho bản thân mình những
gì đẹp và tinh tế nhất. Dưới đây sẽ là một số bài toán nhỏ có dáng dấp dạng của các bài toán ở trên
đó là : phân tích nhân tử nhưng nó có kết hợp thêm một số phương pháp giải hệ phương trình.

Bài toán 1. Giải hệ phương trình :

Bài toán 2. Giải hệ phương trình :

Bài toán 3. Giải hệ phương trình :

Bài toán 4. Giải hệ phương trình :

Bài toán 5. Giải hệ phương trình :


 x  y 3 y 7 x  4
2
2

 2 y  1  y xy  2 x  1  x xy

 x  y 2x  y 2  5x  y  3  3y 2


2
x  y  x  y 2  2x  y  7


3
2
2

x  3x  3y  3x  4y  1
 3
y  3xy  x  6  6y 2  12y  1


x 3  4x 2  y 3  5y 2  3 2x  y   9

 2
x  1  x 2   y 2  6y  8  1



x x 2  2xy  1  2y  x  2 y


3 2 x  y  2  2y  5
2y  1  1

























 

 

=== HẾT ===







x, y  
x, y  
x, y  

x, y  
x, y  