CH NG MINH các CÔNG TH c rút RA t PH NG PHÁP NG CHÉO áp d NG CHO m t s bài TOÁN c TH

CHỨNG MINH CÁC CÔNG THỨC RÚT RA
TỪ PHƯƠNG PHÁP ĐƯỜNG CHÉO ÁP DỤNG CHO MỘT SỐ
DẠNG BÀI TOÁN HÓA HỌC THƯỜNG GẶP
NGUYỄN THỊ HỒNG HẠNH
Trường THPT Lưu Nhân Chú, huyện Đại Từ, tỉnh Thái Nguyên
DẠNG 1: BÀI TOÁN PHA CHẾ DUNG DỊCH
1. Công thức đường chéo áp dụng cho nồng độ phần trăm của dung dịch
Cho dạng bài toán như sau: “Trộn m1 gam dung dịch X1 nồng độ C1% với m2 gam dung
m1

.”
dịch X2 nồng độ C2% thu được dung dịch X nồng độ C %. Xác định tỉ lệ
m2

Ta xây dựng được đường chéo như sau (giả sử C1% < C % < C2%):
m1

C1 %

C 2% - C %
⇒

C%

m2

C2 %

m1 C2 % − C %
=
m2 C % − C1 %

C % - C1%

Chứng minh:
Từ công thức: C% = mchất tan .100%/mdung dịch ⇒ mchất tan = (mdung dịch.C%):100%
Khi trộn m1 gam dung dịch X1 nồng độ C1% với m2 gam dung dịch X2 nồng độ C2% thu
được dung dịch X có khối lượng chất tan (sau đây kí hiệu “ct” là “chất tan”) là:
mct X = mct X + mct X
1

2

⇔ m1.C1 % + m2 .C2 % = (m1 + m2 )C %
⇔ m1 (C % − C1 %) = m2 (C2 % − C %)
⇒

m1 C2 % − C %
=
m2 C % − C1 %

Ta được điều cần chứng minh.
Lưu ý: 2 dung dịch đem trộn phải chứa cùng một loại chất tan.
- Nếu gặp trường hợp pha loãng dung dịch X vào nước ta coi H 2O là dung dịch X có nồng độ
0% và áp dụng công thức đường chéo như trên


- Nếu gặp trường hợp hòa tan chất rắn/lỏng/khí A vào dung dịch X để được dung dịch mới
đồng nhất chứa cùng loại chất tan thì phải quy đổi chất A thành một dung dịch có nồng độ %
tương ứng. Ví dụ:
+ Hòa tan V lít hơi HCl vào m gam dung dịch HCl C% thu được dung dịch HCl C % : Coi khí

HCl là dung dịch HCl nồng độ 100% và áp dụng đường chéo.
+ Hòa tan m1 gam P2O5 vào m2 gam dung dịch H3PO4 C% thu được dung dịch H3PO4 C % :
Xét phản ứng xảy ra khi hòa tan P2O5 vào dung dịch H3PO4:
P2O5 + 3H2O → 2H3PO4
1 mol

2 mol

142 g

2.98 g

Ta coi P2O5 là dung dịch H3PO4 có nồng độ phần trăm là:
C1% =

mct .100% 2 M H3 PO4 .100% 2.98.100%
=
=
≈ 138, 03% và áp dụng đường chéo xác định tỉ lệ
mdd
M P2O5
142

m1 : m2 như trên.
2. Công thức đường chéo áp dụng cho nồng độ mol/l của dung dịch
Cho dạng bài toán như sau: “Trộn V1 lít dung dịch X1 nồng độ C1(M) với V2 lít dung dịch
X2 nồng độ C2(M) thu được dung dịch X nồng độ C (M). Xác định tỉ lệ

V1
. (Cho rằng sau khi

V2

trộn thể tích của dung dịch thu được bằng tổng thể tích của 2 dung dịch ban đầu)”
Ta xây dựng được đường chéo như sau (giả sử C1 < C < C2):
V1

C1

C2 - C
⇒

C

V2

C2

V1 C2 − C
=
V2 C − C1

C - C1

Chứng minh:
Từ công thức: CM = n/V ⇒ n=V.CM (n: số mol chất tan trong V lít dung dịch nồng độ
C(M))
Khi trộn V1 lít dung dịch X1 nồng độ C1(M) với V2 lít dung dịch X2 nồng độ C2(M) thu
được dung dịch X có tổng số mol chất tan là:
n X = n X1 + n X 2

⇔ V1.C1 + V2 .C2 = (V1 + V2 )C
⇔ V1 (C − C1 ) = V2 (C2 − C )
⇒

V1 C2 − C
=
V2 C − C1

Ta được điều cần chứng minh.
Lưu ý: Tương tự bài toán pha chế dung dịch liên quan đến nồng độ phần trăm, bài toán pha
chế dung dịch với nồng độ mol/l yêu cầu các dung dịch đem trộn phải cùng loại hoặc quy đổi
được về cùng loại (trường hợp nếu pha loãng dung dịch chứa chất tan X bằng nước cất thì
H2O được coi là dung dịch chất tan có nồng độ 0 mol/l).
3. Công thức đường chéo áp dụng cho khối lượng riêng (d) của dung dịch
Cho dạng bài toán như sau: “Trộn V1 ml dung dịch X1 (có khối lượng riêng d1 g/ml) với
V2 ml dung dịch X2 (có khối lượng riêng d2 g/ml)) thu được dung dịch X (có khối lượng riêng
V1
d g/ml). Xác định tỉ lệ V . (Cho rằng sau khi trộn thể tích của dung dịch thu được bằng tổng
2

thể tích của 2 dung dịch ban đầu)”
Ta xây dựng được đường chéo như sau (giả sử d1 < d < d2):
V1

d1

d2 - d
⇒

d

V2

d2

V1 d 2 − d
=
V2 d − d1

d - d1

Chứng minh:
Từ công thức: d = mdd/Vdd ⇒ mdd=d.Vdd (mdd: khối lượng của dung dịch có thể tích V ml
và khối lượng riêng d g/ml)
Khi trộn V1 ml dung dịch X1 (có khối lượng riêng d1 g/ml) với V2 ml dung dịch X2 (có
khối lượng riêng d2 g/ml) thu được dung dịch X có khối lượng là:
mddX = mddX1 + mddX 2
⇔ V1.d1 + V2 .d 2 = (V1 + V2 )d
⇔ V1 (d − d1 ) = V2 (d 2 − d )
⇒

V1 d 2 − d
=
V2 d − d1

Ta được điều cần chứng minh.


Lưu ý: Công thức đường chéo trên có thể áp dụng cho trường hợp trộn 2 dung dịch chứa cùng

chất tan hay pha loãng một dung dịch chất tan vào nước (với khối lượng riêng của nước là 1
g/ml).
DẠNG 2: BÀI TOÁN TÍNH LƯỢNG CHẤT, TỈ LỆ LƯỢNG CHẤT,… TRONG HỖN
HỢP
1. Công thức đường chéo áp dụng cho khối lượng mol trung bình của hỗn hợp 2 chất
Cho dạng bài toán như sau: “Hỗn hợp (rắn/lỏng/khí) gồm 2 chất A (khối lượng mol M A)
và B (khối lượng mol MB) có khối lượng mol trung bình là M . Xác định tỉ lệ số mol của A và
B trong hỗn hợp trên.”
Ta xây dựng được đường chéo như sau (giả sử MA < M < MB):
nA

MA

MB - M
⇒

M

nB

MB

nA M B − M
=
nB M − M A

M - MA

Chứng minh:
Từ công thức: m = n.M (m: khối lượng của chất có khối lượng mol M và số mol n)

Với hỗn hợp 2 chất A và B có khối lượng mol trung bình M có tổng khối lượng là:
mhh = mA + mB
⇔ nA .M A + nB .M B = (n A + nB ) M
⇔ nA ( M − M A ) = nB (M B − M )
⇒

nA M B − M
=
nB M − M A

Ta được điều cần chứng minh.
2. Công thức đường chéo áp dụng cho số nguyên tử cacbon trung bình của hỗn hợp 2
chất hữu cơ
Cho dạng bài toán như sau: “Hỗn hợp X gồm 2 chất hữu cơ A (chứa C A nguyên tử
cacbon) và B (chứa CB nguyên tử cacbon) có số nguyên tử cacbon trung bình là C . Xác định
tỉ lệ số mol của A và B trong hỗn hợp trên.”
Ta xây dựng được đường chéo như sau (giả sử CA < C < CB):
nA

CA

CB - C


⇒

C

nB

CB

nA CB − C
=
nB C − C A

C - CA

Chứng minh:
Xét 1 hợp chất hữu cơ G có số mol n và chứa C nguyên tử cacbon trong phân tử thì số mol
nguyên tử C chứa trong G là: nC = n.C
Với hỗn hợp 2 chất A và B có số nguyên tử cacbon trung bình C thì tổng số mol nguyên
tử cacbon trong hỗn hợp này là:
nChh = nC A + nCB
⇔ nA .C A + nB .C B = (n A + nB )C
⇔ nA (C − C A ) = nB (C B − C )
⇒

nA CB − C
=
nB C − C A

Ta được điều cần chứng minh.
Lưu ý: Tương tư, ta cũng có thể áp dụng đường chéo cho hỗn hợp 2 chất khi biết số nguyên
tử H , O, N ,... , số nhóm chức trung bình, số liên kết π với cách chứng minh và áp dụng như
trên.
*CHỨNG MINH TỔNG QUÁT:
Xét một hỗn hợp X tạo bởi hai thành phần hóa học A và B thỏa mãn trong X các đại lượng
thông số U, x, y có mối liên hệ như sau:
Ua = xa.ya

Ub = xb.yb
Ux = x .yx

(yx = ya + yb)

Và ta có: Ux = Ua + Ub
Từ các mối liên hệ trên ta được:
xa.ya + xb.yb = x .(ya + yb)
⇔ ya.(xa - x ) = yb.( x - xb)
⇔

ya x − xb
=
yb xa − x

Sơ đồ đường chéo:


ya

xa

( x - xb)
ya x − xb
=
yb xa − x

x

yb

xb

(xa - x )

DẠNG 3: BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH THỂ TÍCH/ TỈ LỆ THỂ TÍCH CỦA CÁC DUNG
DỊCH THAM GIA PHẢN ỨNG AXIT BAZƠ
Cho dạng bài toán như sau: “Trộn V a lít dung dịch axit X chứa ion H + có nồng độ Ca (M)
với Vb lít dung dịch bazơ Y chứa ion OH - có nồng độ Cb (M). Sau phản ứng hoàn toàn thu
được dung dịch Z có môi trường axit với nồng độ H+ là C. Xác định tỉ lệ Va:Vb”
Ta xây dựng được đường chéo như sau:
Va

Ca

Cb + C
⇒

C
Vb

Cb

Va Cb + C
=
Vb Ca − C

Ca – C

Chứng minh:

Áp dụng công thức: n = CM.V. Ta có:
+ Số mol của ion H+ trong dung dịch X là: nH

+

X

= Ca .Va (mol)

+ Số mol của ion OH- trong dung dịch Y là: nOH = Cb .Vb (mol)
−

Y

Phản ứng axit bazơ: H+ + OH- → H2O
Dung dịch thu được sau khi trộn có tổng thể tích (V a + Vb) có môi trường axit chứng tỏ
sau khi các phản ứng xảy ra hoàn toàn, H+ còn dư. Ta có:
nH + = nH +
Z

(dư)

= nH − nOH
+

X

−

Y

⇔ (Va + Vb).C = Va.Ca – Vb.Cb
⇔ Va (Ca – C) = Vb (C+Cb)
⇔

Va Cb + C
=
Vb Ca − C

Ta được điều cần chứng minh.
Lưu ý: Nếu gặp trường hợp sau khi trộn 2 dung dịch axit, bazơ ta thu được dung dịch có môi
trường bazơ thì đường chéo áp dụng cho trường hợp bazơ dư như sau:
Va

Ca

Cb - C


⇒

C = [OH-dư]
Vb

Cb

Cách chứng minh tương tự như trên.

Ca + C

Va Cb − C
=
Vb Ca + C