Bất đẳng thức 3 biến đối xứng nhỏ hơn hoặc bằng 8

Bất đẳng thức 3 biến đối xứng nhỏ hơn hoặc bằng 8
1. Bất đẳng thức đối xứng 3 biến trên
1.1. Cơ sở lý thuyết
Chúng ta đã biết hàm số bậc nhất đạt giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất tại biên. Hàm
số bậc 2 hệ số a dương đạt giá trị lớn nhất tại biên và hệ số a âm thì đạt giá trị
nhỏ nhất tạ biên. Dựa vào đặc điểm này ta sẽ quan tâm việc đi tìm đặc điểm biên
của biến trong bài toán nhiều biến số . Cụ thể là hàm
số
đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất khi và chỉ khi có 1
biến bằng 0 hoặc 2 biến bàng nhau.
Trước hết ta xét 2 bài toán cơ bản sau
Bài toán 1. Cho các số thực không âm
thõa mãn

Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Lời giải. Xét phương trình

Ta cần tìm r để phương trình (1) có 3 nghiệm không âm. Đặt

có 3 nghiệm khi và chỉ khi
và
Vì
khi và chỉ khi
(1) có 3 nghiệm không âm

. Nên phương trình


Hay

Từ đó ta có giá trị lớn nhất của là

khi và chỉ khi

. Dấu đẳng thức xảy ra

và các hoán vị
và

. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

và các hoán vị
Nhận xét. Lời giải bài toán 1 không có gì mới lạ nếu như ta nhìn xoáng qua. Xong
nếu để ý dấu đẳng thức xảy ra và khai thác ta sẽ có cách nhìn tổng quát về cả một
dạng toán như tiêu đề bài viết.
Bài toán 2.(tổng quát của bài toán 1) Cho các số thực không âm
thõa mãn

Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của biểu thức

theo

Gợi ý: Tương tự lời giải bài toán 1 ta có kết quả

Bây giờ ta đi vào trọng tâm của bài viết. Tìm đặc điểm, mối quan hệ của các
biến khi hàm số đạt giá trị lớn nhất , nhỏ nhất
Định lý . Mỗi bộ số thực không âm
luôn tồn tại 1 trong 2 bộ
và
thỏa mãn đông thời 3 điều kiện
i)

ii)
iii)
Chứng minh. Ta chứng minh trong trường hợp tồn tại giá trị lớn
nhất
. (trường hợp còn lại chứng minh tương tự)
Xét phương trình

Đặt

Để ý:

.
Nên

có 2 nghiệm kép

. Từ đó ta chọn bộ

là

(Sự tồn tại một trong 2 bộ là sự tồn tại
,
và các biến phải thuộc
bạn đọc
tự chứng minh, điều đó cũng được thể hiện rõ trong yêu cầu bài toán chứng minh
bất đẳng thức hay tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất)
Nhận xét : Định lý vẫn đúng trong trường hợp

Hệ quả . Đa thức đối xứng 3 biến

là hàm bậc 1 hoặc
bậc 2 theo
thì đạt giá trị nhỏ nhất (hệ số a âm)hoặc lớn nhất (hệ số a
dương )khi và chỉ khi 1 trong 3 biến bằng 0 hoặc 2 biến bằng nhau
Chú : trong trường hợp bậc lớn hơn 2 thì ta thay bởi điều kiện
là hàm lồi
hay lõm điều này được sử dụng trong thi HSG QG


Chứng minh: Hàm bậc 1 thì giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất đạt được tại biên. Hàm
bậc hệ số a dương đạt giá trị lớn nhất tại biên, hệ số a âm đạt giá trị nhỏ nhất tại
biên. Từ định lý ta suy ra khi
tại biên khi và chỉ khi 2 biến bằng nhau hoặc
một biến bằng 0 (Trong trường hợp a,b,c là ác số thực thì chỉ xảy ra khi 2 biến
bằng nhau)
1.2. Một số đẳng thức thường sử dụng
Với 3 biến
. Đặt
,
,
. Ta có các đẳng thức
sau
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.

9.
10.
11.
12.

1.3. Bài tập vận dụng
Bài 1. Cho các số thực dương

Lời giải.
Chuẩn hóa

. Chứng minh rằng

. Đặt

Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành

,

. Ta có


Với
là hàm số bậc nhất có hệ số a dương nên đạt giá trị lớn nhất khi
. Áp dụng bổ đề 1ta có
khi và chỉ khi có 2 trong 3 số
bằng nhau. Giả
sử
. Bất đẳng thức ban đầu cần chứng minh trở thành

Việc biến đổi sau khi xét 2 biến bằng nhau một cách khéo léo ta cần để ý đến nhân
tử
khi đẳng thức xảy ra tại 3 biến bằng nhau
Bài 2. Cho các số thực dương
. Chứng minh rằng

Lời giải:
Chuẩn hóa

. Đặt

Biểu diễn bất đẳng thức đã theo các biến mới

,

. Ta có
ta được

Với
là hàm số bậc nhất có hệ số a dương nên đạt giá trị lớn nhất khi
. Áp dụng hệ quả ta có
khi và chỉ khi có 2 trong 3 số
bằng nhau. Giả
sử
. Bất đẳng thức ban đầu cần chứng minh trở thành

Bài 3.[ Rusia MO-2005] Cho các số thực không âm

thõa mãn

Chứng minh rằng

Nhận xét.
i) Đây là bất đẳng thức 3 biến đối xứng. Nếu ta qui đồng mãu thì sẽ đưa về đa thức
đối xứng bậc 9 đối với
và bậc 3 đối với
ii) Điều kiện bài toán không cho ta
Tuy nhiên ta có thể xử lý bài toán bằng cách đổi biến để được như ý muốn dùng hệ
quả như sau :


Đặt
. Bài toán đã cho trở thành .Cho
. Chứng minh rằng
. Đến đây ta đã được đủ điều kiện sử dụng
bổ đề 2 và chỉ cần xét 2 trường hợp khi có 2 biến bằng nhau hoặc 1 biến bằng 0.
Cụ thể là việc làm quá đơn giản.
Bài 4. [Iran 96] Cho các số thực dương

. Chứng minh rằng
.

Hướng dẫn: Sử dụng các đẳng thức ở trên ta được
dụng được hệ quả
Bài 5. Cho

bậc 2 có hệ số a âm. Nên áp

. Chứng minh rằng
.

Bài 6. Cho các số thực dương

Chứng minh rằng

Bài 7. [Vietnam TST]. Cho các số thực

Bài 8. Cho các số thực không âm

. Chứng minh rằng

thõa mãn

Chứng minh rằng

Câu hỏi mở thú vị.
Nếu như các biến a,b,c bị ràng buộc bởi các điều kiện khác nhau: Chẳng hạn
abc=1, ab+bc+ca+abc=4,….thì bạn sẽ xử lý thế nào?