bài tập môn phương pháp tính

Môn học:

Phương pháp tính

BÀI TẬP CHƯƠNG I:

Người soạn:

Hoàng Thị Thanh Giang

SỐ XẤP XỈ VÀ SAI SỐ

Bài 1.1: Đo trọng lượng của 1dm3 nước ở 0oC nhận được p  999.847  0.001( g ) .
Hãy xác định sai số tuyệt đối, tương đối và nêu ý nghĩa rút ra từ phép đo trên.
Bài 1.2: Cho e  2.718281828... . Cần quy tròn số e với bao nhiêu chữ số thập phân
để sai số không vượt quá 0.0003.
Bài 1.3: a/ Cho a  0.5833,  a  0.4.103 . Tính  a .
b/ Cho b  20035.  b  105. Tính  b .
Bài 1.4: Hãy xác định các chữ số đáng tin, đáng nghi trong a1 , a2 với:

a1  0.53822, a  0.0005,
1

a2  24.5314,  a  103.
2

Bài 1.5: Quy tròn một số thập phân thành số thập phân có k chữ số sau dấu phẩy thì sai
số tuyệt đối giới hạn là bao nhiêu? Từ đó suy ra kết quả với k = 4, k = 5.
Bài 1.6: Cho a  34.12565  a  0.2 .102 . Làm tròn a đến 3 chữ số lẻ thập phân.
Hãy xác định sai số tuyệt đối (giới hạn) và sai số tương đối (giới hạn) của số làm tròn.
Bài 1.7: Vào thế kỉ thứ 3, ở Trung Hoa có tìm ra số  3.1556. Tính   , sau đó tính

diện tích S , sai số  S của hình tròn bán kính r  8  0.04 (cm) . Biết:

S   r 2 ,   3.1556  
  3.141592653589...

Bài 1.8: Hãy xác định giá trị của hàm số u tại x  0.85, y  1.364 , sai số tuyệt đối giới
hạn  u và sai số tương đối giới hạn  u biết mọi chữ số có nghĩa của x, y là những chữ
số đáng tin với:
a/ u  ln( x  y 2 )
b/
Bài 1.9:

5x 3
u
y
Giả sử đại lượng vật lí E được tính theo các đại lượng biến thiên độc lập

2 r2
. Hãy chỉ ra một cách đo r , s, u với độ chính xác như
r , s, u theo công thức E 
s. u 3
thế nào để sai số tương đối giới hạn  E không vượt quá 0.5.103 .
Bài 1.10: Biết số e luôn viết được dưới dạng:

Rn
1 1
1
với mọi n và 1  Rn  3 .
   
1! 2!

n! (n  1)!
Tính gần đúng e sao cho sai số tuyệt đối không vượt quá 104 .
Bài 1.11: Tính tổng S sau đây với 3 chữ số lẻ thập phân đáng tin:
1 1 1 1 1 1 1
S       .
11 12 13 14 15 16 17
e  1


BÀI TẬP CHƯƠNG II:

TÍNH GẦN ĐÚNG NGHIỆM THỰC CỦA MỘT PHƯƠNG TRÌNH

Bài 2.1: Tìm những khoảng phân li nghiệm (ứng với các nghiệm khác nhau) của các
phương trình sau:
a/ x 4  4 x  1  0
b/ log10 x  3x  5  0
Bài 2.2:
Cần chia đôi ít nhất mấy lần để nghiệm gần đúng của phương trình
2
x .log0.5 ( x  1)  1 với khoảng phân li ban đầu (-0.8 ; -0.5) có độ chính xác không vượt
quá 10-2 .
Bài 2.3:
Dùng phương pháp chia đôi, tìm nghiệm gần đúng của phương trình
3
2
x  3x  3  0 với độ chính xác 0.4 .10-2 trong khoảng (-3; -2.5).
Bài 2.4: Hãy tìm khoảng phân li (a, b) chứa nghiệm lớn nhất và biến đổi phương trình

x3  x  729  0 về dạng x   ( x) sao cho hàm  ( x) thỏa mãn 3 điều kiện của định lí

về phương pháp lặp. Chứng minh.
Bài 2.5: Dùng phương pháp lặp, tìm nghiệm gần đúng với độ chính xác 10 -3 của phương
trình x3  x  1  0 trong khoảng phân li (1 ; 2).
Bài 2.6: Tính đến x4 là nghiệm gần đúng của phương trình x3  2 x  2  0 trong
khoảng phân li (1; 2) bằng phương pháp tiếp tuyến (phương pháp Niu-tơn). Đánh giá sai
số.
Bài 2.7: Tính đến x3 là nghiệm gần đúng của phương trình x 4  3x  1  0 trong
khoảng phân li (1; 1.5) bằng phương pháp dây cung. Từ đó suy ra nghiệm chính xác nằm
trong đoạn nào?
Bài 2.8*: Dùng phương pháp tiếp tuyến ( phương pháp Niu-tơn) tính gần đúng nghiệm
của phương trình 2lg x 

x
 1  0 với sai số tuyệt đối không quá 10-5.
2

BÀI TẬP CHƯƠNG III: TÍNH GẦN ĐÚNG NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Bài 3.1:
Giải gần đúng hệ phương trình sau bằng phương pháp Gao-xơ ( Gauss), các
phép tính lấy đến 4 chữ số lẻ sau dấu phẩy:
a/

 3.2 x1  2.7 x2  7.0 x3  4.8

 1.9 x 1 4.3x2  5.5 x3  5.0
8.4 x  6.5 x  3.0 x  1.6
1
2
3



b/

 2.75 x  1.78 y 1.11 z 13.62

 3.28 x  0.71 y 1.15 z 17.98
1.15 x  2.70 y  3.58 z  39.72



BÀI TẬP CHƯƠNG IV: ĐA THỨC NỘI SUY VÀ PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG BÉ NHẤT

Bài 4.1:
liệu sau:

Xây dựng đa thức nội suy Lagrăng của hàm số y  f ( x) ứng với bảng số

x
0
0.5
1
1.5
y
1
0.75
2
4.75
Tính gần đúng f (1.2) . ( câu này thuộc nội dung chương V)
Bài 4.2:

Cho hàm y  f ( x) thỏa mãn bảng số liệu :
0.3
0.4
0.6
0.7
xi

yi

-9.3214

-6.5200

0

4.1267

0.8
7.9132

a/
Tìm đa thức nội suy Niu-tơn ( Newton) tiến ứng với bảng trên.
b/
Tìm đa thức nội suy Niu-tơn ( Newton) lùi ứng với bảng trên.
c/
Tìm hàm y  a  bx gần với hàm f ( x) nhất bằng phương pháp bình phương bé
nhất ( a, b là các hằng số). Khi x  0.55 thì dự đoán f ( x) bằng bao nhiêu?
Bài 4.3:
Cho hàm y  f ( x)  sin x với bảng giá trị :
x

1.0
1.1
1.2
1.3
y
0.84147
0.89121
0.93204
0.96356
Tìm đa thức nội suy theo biến y: x  Qn ( y) ứng với bảng trên. Tính gần đúng
arcsin 0.9.
b/ Tìm đa thức nội suy Niu-tơn ( Newton) tiến y  Pn ( x) ứng với bảng trên.
c/ Tìm đa thức nội suy Niu-tơn ( Newton) lùi y  Rn ( x) ứng với bảng trên. Tính gần
đúng sin 1.35
Bài 4.4:
Cho bảng các giá trị:
a/

x
y

0.78
2.50

1.56
1.20

2.34
1.12

3.12
2.25

3.81
4.28

Hãy tìm công thức thực nghiệm có dạng y  a  bx  cx 2 với a, b, c là các hằng số.
BÀI TẬP CHƯƠNG V:

TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

Bài 5.1:
Tính gần đúng giá trị đạo hàm y(2.2), y(2.4), y(2.5) của hàm y  f ( x)
thỏa mãn bảng sau:
x
y

2.2
1.772

2.3
2.635

2.4
2.000

2.55
1.094

Bài 5.2:
Tính gần đúng tích phân sau bằng công thức Sim-sơn, chia đoạn [0.5;1.5]
thành 8 đoạn bằng nhau:
1.5

I

sin x
dx
x
0.5



1

Bài 5.3:



Tính gần đúng tích phân I  x.e  x dx bằng công thức hình thang với đoạn
0

[0;1] thành 4 đoạn bằng nhau. Đánh giá sai số.
x

Bài 5.4:



Cho hàm số f ( x)  t.ln tdt . Tính gần đúng giá trị f (2) với độ chính xác
1

  10 .
3

1

Bài 5.5:

Cho tích phân I 

dx

 1  x . Hãy chia đoạn [0; 1] thành 10 đoạn con bằng nhau
0

rồi tính gần đúng I và cho đánh giá sai số bằng:
a) Công thức hình thang
b) Công thức Sim-sơn
Bài 5.6: Dưới tác động của một lực thay đổi F hướng dọc theo trục x, một chất điểm
chuyển động dọc theo trục x từ x=0 đến x=1.2. Cho biết bảng giá trị của môđun của lực
F:
x
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0

1.2
F(x)
2.53
3.00
3.41
4.09
4.87
5.11
5.50
a/

Tính gần đúng bằng công thức hình thang tổng quát công A của lực F biết:
1.2

A

 F ( x)dx
0

b/

Tính gần đúng bằng công thức Sim-sơn tổng quát công A của lực F .

BÀI TẬP CHƯƠNG VI:

GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG

Bài 6.1:

Cho bài toán Cô-si ( Cauchy):

y  y 2  x 2 , y(1)  1 .
Hãy tìm nghiệm gần đúng bằng phương pháp Ơle trên [1, 2], chọn bước h = 0.1.
Bài 6.2:
Cho hệ phương trình vi phân cấp 1:

 y  ( z  y ) x

 z  ( z  y ) x
Với điều kiện ban đầu y(0)  z (0)  1. Hãy tìm nghiệm gần đúng bằng phương pháp
Ơle trên [0; 0.6], chọn bước h = 0.1. Các kết quả phép tính để 4 chữ số lẻ thập phân.
Bài 6.3:
Giải gần đúng phương trình vi phân cấp 2 sau bằng phương pháp Ơle:


y  y 

y
, 0  x  1 với y(0)  1 và y(0)  2 . Chọn h = 0.1.
x 1

Bài 6.4: Giải gần đúng phương trình vi phân sau dùng phương pháp khai triển chuỗi
Taylor đến đạo hàm cấp 3:

x
 
 y  3y 
y

 y (0)  2
