THIẾT KẾ CHƯƠNG TRÌNH GIẢNG DẠY TOÁN TỔ HỢP CHO CẤP PHỔ THÔNG CƠ SỞ

THIẾT KẾ CHƢƠNG TRÌNH GIẢNG DẠY TOÁN TỔ HỢP
CHO CẤP PHỔ THÔNG CƠ SỞ
(Với đối tƣợng dành cho học sinh lớp 8, 9)
PGS. TSKH. Bùi Tá Long
Đại học Quốc gia Tp.HCM
Tóm tắt
Trong bài viết này trình bày một số suy nghĩ của tác giả về dạy và học toán tổ hợp. Đối tượng
được hướng tới là các thầy cô giảng dạy toán tại các trường phổ thông trung học cơ sở. Phần
lý thuyết không đi sâu vào chứng minh công thức, một nội dung đều được minh chứng bằng
ví dụ dạng bài tập. Các thầy cô có thể tham khảo để ra thêm các bài tập tương tự. Trong quá
trình biên soạn, tác giả đã tham khảo một số tài liệu trong và ngoài nước, đặc biệt là các đề thi
học sinh giỏi dành cho phổ thông trung học cơ sở của Nga. Mọi góp ý, chia sẻ có thể gửi trực
tiếp cho tác giả theo địa chỉ e-mail:

1

Lịch sử ra đời của lý thuyết tổ hợp

Những công trình đầu tiên liên quan tới tổ hợp và lý thuyết xác suất được
các nhà toán học như: Cardano, Pascal, Ferma và một số người khác đưa ra từ thế
kỷ 16, 17, dựa trên thực tiễn từ các trò chơi. Giai đoạn phát triển tiếp theo thuộc
về Iakov Bernulli (1654—1705). Định lý do Bernulli chứng minh được mang tên
―qui luật số lớn‖, là định lý đầu tiên mang tính lý thuyết, đã khái quát được thực
tiễn. Những nhà toán học tiếp theo đã có công xây dựng ngành khoa học này là
Moivre, Laplace, Gauss, Poisson,… Giai đoạn thịnh vượng của sự phát triển này
gắn với các công trình nghiên cứu của Chebusev (1982 – 1894) và học trò của ông
là Makarov (1856 – 1922), Lyapunov (1857 – 1918). Vào giai đoạn này, lý thuyết
xác suất đã trở thành một ngành khoa học độc lập. Giai đoạn tiếp theo trong lý thuyết xác suất được phát triển bởi các nhà toán học Nga và Liên Xô: Kolmogorov,
Gnedenko,…
2

Vị trí của tổ hợp trong chƣơng trình giáo dục

Hiện nay, chương trình giảng dạy toán tổ hợp, lý thuyết xác suất và thống kê
đã bắt đầu từ chương trình toán học phổ thông. Theo các chương trình đã được Bộ
Giáo dục và đào tạo thông qua, toán tổ hợp, lý thuyết xác suất và thống kê đã được
đưa vào chương trình cấp phổ thông cơ sở (đại số lớp 9, 10).
Trước hết, cần khẳng định rằng định hướng này của Bộ đòi hỏi phát triển các
kiểu tư duy chuyên biệt – xác suất thống kê, vốn rất cần thiết đối với thế hệ hiện tại.
Trong lĩnh vực văn hóa xã hội cũng như các lĩnh vực chuyên môn về khoa học tự
nhiên đề cần tới tư duy tổ hợp. Xã hội hiện đại đặt ra cho các thành viên của nó
những yêu cầu khá cao như : phải biết phân tích các yếu tố ngẫu nhiên, đánh giá các
1


khả năng, đưa ra các giả thiết, dự báo sự phát triển tình huống và cuối cùng là đưa ra
quyết định trong các tình huống có tính chất xác suất, các tình huống không xác
định. Không thể bỏ qua thực tế là từ hàng chục năm trước ở nhiều nước phát triển,
nghiên cứu toán học tổ hợp, thống kê, xác suất đã được đưa vào trong chương trình
toán học phổ thông.
Thật khó chấp thuận việc nghiên cứu lý thuyết xác suất được (dự kiến ?) bắt
đầu vào học kỳ hai của lớp 9, bởi lẽ các học sinh lớp 9 hầu như không có động cơ để
nghiên cứu các nội dung không nằm trong chương trình thi.
Tuy vậy cũng cần lưu ý, trong những năm gần đây đã xuất hiện những dấu
hiệu tích cực đưa nội dung mới này vào chương trình giáo dục phổ thông cơ sở.
Nhiều nội dung thích hợp đã được đưa vào quy chuẩn và đã được phê duyệt của
chương trình giáo dục trung học cơ sở và trung học phổ thông. Các phần mục này đã
được đưa vào các chương trình, sách giáo khoa; đã làm tăng đáng kể sự chú ý đến
chúng trong các trang sách, không ít giáo viên đã biểu lộ sự quan tâm đến việc giảng
dạy các đề tài mới; phương pháp giảng dạy toán học tổ hợp, xác suất, thống kê đã
được chú ý hơn trong quá trình đào tạo giáo viên và nâng cao trình độ chuyên môn

của họ.
Nhưng không nên lạc quan ngay, nghĩ rằng mọi khó khăn đã ở đằng sau. Các
cuộc thăm dò ý kiến học sinh hàng năm cho thấy rằng mặc dù số lượng học sinh
nghiên cứu các phần mục này đang tăng lên từ năm này sang năm khác nhưng hiện
nay con số này cũng chỉ chiếm khoảng 30 – 40%. Tiêu chuẩn Quốc gia về giáo dục
phổ thông ban đầu không dự tính việc rèn luyện tư duy toán tổ hợp và xác suất
thống kê ở lứa học sinh nhỏ tuổi. Các sách giáo khoa toán lớp 5 và 6 hiện có hoàn
toàn không đề cập gì đến tư liệu liên quan đến xác suất, thống kê, toán học tổ hợp,
ngoại trừ một số lớp chọn. Các sách giáo khoa đại số lớp 7 đến lớp 8 chưa đưa nội
dung tổ hợp và nội dung này chỉ được đưa vào chương trình cuối năm lớp 9, nhưng
ít được giáo viên và học sinh quan tâm. Điều này có nghĩa vấn đề ở đây là rất ít sự
quan tâm mảng toán tổ hợp này cho giáo dục ở bậc phổ thông cơ sở.
Trong toán học và các ứng dụng , thường gặp phải các dạng khác nhau về tập
hợp và tập con, thiết lập mối liên kết giữa các phần tử của tập hợp và tập con, xác
định số tập hợp hoặc tập con của chúng có các tính chất cho trước. Những bài toán
này được xem xét khi xác định các tuyến giao thông theo cách thuận tiện nhất bên
trong một thành phố, khi bố trí mạng điện thoại tự động, hoạt động của các cảng
biển, khi biểu thị các liên kết bên trong của những phân tử phức tạp, của mã di
truyền, cũng như trong ngôn ngữ học, trong hệ thống điều khiển tự động, tất cả đều
đến từ ứng dụng rộng lới của lý thuyết xác suất, toán thống kê toán.
Toán tổ hợp - là một ngành toán học nghiên cứu các tổ hợp, hoán vị của các
2


phần tử. Trong một thời gian dài, mảng khoa học này nằm ngoài hướng phát triển
cơ bản của toán học và các ứng dụng của nó. Trong thời gian khoảng hai thế kỷ
rưỡi, ngành giải tích đã đóng vai trò chủ yếu trong việc nghiên cứu bản chất tự
nhiên. Hiện trạng này đã thay đổi sau khi các máy tính và máy tính cá nhân ra đời.
Nhờ chúng người ta có thể thực hiện việc sắp xếp, phân loại mà trước đây cần hàng
trăm đến hàng ngàn năm. Ở thời buổi sơ khai của toán học rời rạc, vai trò của lĩnh

vực cổ xưa nhất của toán học rời rạc là toán học tổ hợp cũng đã được thay đổi. Từ
lĩnh vực mà phần lớn chỉ những người biên soạn những bài toán thú vị quan tâm đến
và phát hiện ra những ứng dụng cơ bản trong việc mã hóa và giải mã các văn tự cổ,
nó đã được chuyển thành lĩnh vực nằm trong trục đường chính của sự phát triển
khoa học. Các tạp chí về toán tổ hợp đã bắt đầu được xuất bản, sách được in ấn cho
ngành khoa học này. Các hướng của tổ hợp đã được phản ánh cả trong chương trình
toán học phổ thông. Theo nguyện vọng của các giáo viên và học sinh vào những
năm 80 – 90, các vấn đề này đã được xem xét ở các giờ học tự chọn ở các lớp trên
của bậc trung học. Ngày nay, tiêu chuẩn giáo dục về toán học bao gồm cả cơ sở của
toán tổ hợp, phương pháp giải các bài toán tổ hợp (vét cạn, cây phương án, quy tắc
nhân). Quan trọng là đã hình thành nên tư duy logic và trừu tượng ở học sinh, sự
thành thạo toán học ở những học sinh đã tốt nghiệp. Người ta ghi nhận thấy rằng,
khi trực giác được phát triển ở học sinh trong các giờ học về toán tổ hợp sẽ có ích
khi làm việc trong các lĩnh vực khác nhau.
Chương trình nghiên cứu và dạy tổ hợp có thể lôi cuốn sự chú ý không chỉ
của học sinh lớp 9, mà còn lôi cuốn những học sinh khác, quan tâm nhiều hơn đến
tổ hợp và ứng dụng của nó, và muốn tìm hiểu cơ bản hơn và sâu hơn về các phương
pháp và khái niệm của nó (hoặc là tự học, hoặc là với sự hướng dẫn của giáo viên).
Trong bài viết này tác giả mong muốn chia sẻ một số ý tưởng trong chương
trình về nội dung tổ hợp toán học trung học phổ thông cơ sở. Tài liệu này hướng tới
các thầy cô giáo giảng dạy môn toán tại các trường trung học phổ thông cơ sở.
3

Các mục tiêu và nhiệm vụ
Các mục tiêu và nhiệm vụ nghiên cứu tổ hợp ở trường phổ thông cơ sở:
- Hình thành kiểu tư duy chuyên biệt – kiểu toán học tổ hợp;
- Hình thành ở học sinh các dạng hoạt động liên quan đến việc phân loại và
tính toán số cấu hình của phần tử thỏa mãn những điều kiện cho trước;
- Nâng cao trí tuệ của học sinh;
- Làm quen ngành khoa học này như một nhánh của toán học.

Nội dung khóa học (30t)
Chƣơng I. Lịch sử phát triển toán tổ hợp (15t)
1. Tổ hợp thời cổ xưa (3t)
3


2. Lý thuyết trò chơi (6t)
3. Đồ thị đơn giản (3t)
4. Các vấn đề của tổ hợp (3t)
Chƣơng II. Tổ hợp điển hình (15t)
1.
2.
3.
4.
5.
4

Hoán vị (3t)
Chỉnh hợp (3t)
Tổ hợp (3t)
Phương pháp giải (6t)
Kiểm tra (1t)

Các kiến thức, kỹ năng và kinh nghiệm cần thiết.

 Học sinh cần hiểu:
-

Tổ hợp chuyên nghiên cứu về vấn đề gì ?
Điều gì dẫn tới sự xuất hiện của tổ hợp ?

Các giai đoạn phát triển của tổ hợp;
Các vấn đề cơ bản của tổ hợp là gì ?
Hiểu được các giải thuật;
Đưa ra định nghĩa về phép hoán vị;
Rút ra công thức tính toán số : chỉnh hợp, hoán vị và tổ hợp ;

 Học sinh phải biết :
- Phân biệt được tập hợp và các tập con;
- Rút ra các công thức của tổ hợp điển hình ;
- Giải được các bài toán đơn giản bằng cách sử dụng các công thức này.
 Khả năng thành thạo khi nghiên cứu khóa học.
Về mặt nhận thức:
- Biết cách tổ chức hoạt động tìm hiểu của mình một cách độc lập và hợp lý
(từ đặt mục tiêu đến thu nhận và đánh giá kết quả).
- Tham gia vào việc tổ chức và thực hiện các công trình nghiên cứu học tập.
Tự thiết lập các thuật toán của hoạt động tìm hiểu để giải các bài toán có
tính chất tìm tòi và sáng tạo.
- Soạn thảo ra các văn bản riêng bằng cách sử dụng các phương tiện khác
nhau.
Về mặt thông tin :
- Tìm tòi thông tin cần thiết về chủ đề cho trước trong các nguồn thông tin
đa dạng.
- Trích ra những thông tin cần thiết từ các văn bản, bảng biểu, đồ thị.
- Tách các thông tin chính khỏi các thông tin thứ yếu.
- Diễn đạt nội dung thông tin phù hợp với mục tiêu đã định (ngắn gọn, đầy
đủ và chọn lọc).
- Biện giải chi tiết kết luận, dẫn giải luận chứng (chứng cứ), ví dụ.
4

Về mặt giao tiếp :
- Thành thạo kỹ năng tổ chức và tham gia vào các hoạt động tập thể ; tiếp
nhận các ý kiến khác biệt, xác định một cách khách quan phần đóng góp
của mình trong kết quả chung.
- Đánh giá hành vi của mình trong nhóm, thực hiện các yêu cầu trong các
hoạt động thực tế chung.
- Biết bảo vệ quan điểm của mình.
- Phát huy tính sẵn sàng trong hoạt động hợp tác.
5

Các khái niệm đƣợc hình thành trong quá trình nghiên cứu:
- Lý thuyết đồ thị
- Toán học tổ hợp
- Chỉnh hợp
- Chỉnh hợp có lặp
- Chỉnh hợp không lặp
- Hoán vị
- Hoán vị không lặp
- Hoán vị có lặp
- Tổ hợp
- Tổ hợp có lặp
- Tổ hợp không lặp

6

Các hình thức và phƣơng pháp học tập
1. Sử dụng bài giảng của giáo viên (nếu học sinh không biết tài liệu) đi kèm với
bản ghi chép của học sinh về các luận điểm cơ bản. Ghi chép trước kế hoạch
gặp gỡ của giáo viên.
2. Khi làm quen với tài liệu, như đã biết, phải lập bản ghi tóm tắt, biết thu thập

tài liệu theo chủ đề từ những nguồn tài liệu đã được ấn hành (theo chỉ dẫn của
giáo viên)
3. Bài làm độc lập, biết tóm tắt các điểm chính khi nghiên cứu tài liệu mới.
4. Để củng cố các kiến thức mới phải sử dụng các hình thức học tập sau :
- Làm các bài tập về nhà với nhiều dạng khác nhau
- Bàn luận các thuật ngữ mới (hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp)
5. Khi ôn lại tài liệu cần áp dụng cách học nhóm có cùng mối quan tâm
6. Kiểm tra (bài tập kiểm tra được ra khác nhau)

Khóa học được triển khai như sau. Quan một vài giờ học, học sinh được làm
quen với các khái niệm của tổ hợp ở mức diễn đạt và minh họa, các khái niệm này
sẽ được củng cố ở mỗi giờ học khi giải các bài toán. Vào cuối mỗi buổi học, giáo
viên sẽ giao một vài bài tập về nhà, một phần trong số đó có cách giải giống với các
bài toán trên lớp, chỉ một hoặc hai bài đòi hỏi sự hiểu biết tài liệu viện dẫn. Tóm lại
có sự khác biệt giữa các học sinh. Sau khi trình bày tất cả các tư liệu, giáo viên sẽ
dành từ hai tới sáu tiết để giải các bài toán theo toàn bộ đề tài, sau đó ra các bài tập
về nhà khác nhau (theo các nhóm). Tiết kiểm tra sẽ kết thúc đề tài, ở đó mỗi học
5


sinh trong nhóm có cùng mức lĩnh hội tài liệu với nhau sẽ nhận được bài tập riêng.
Nhất định phải kiểm soát việc giải bài tập về nhà.
Trọng tâm chính không phải là diễn giải tài liệu lý thuyết (chúng dành cho phần
lớn học sinh tham gia khóa học tự chọn, rất khó để hiểu thấu và nắm vững), mà là
hình thành các kỹ năng giải các bài toán tổ hợp ở mức đơn giản nhất và phát triển tư
duy logic. Trong khóa học này không cần thiết trình bày cách chứng minh chặt chẽ
các công thức được viện dẫn. Ở đây, « sự lập luận y như thật » và sự tương tự là đủ
thuyết phục và sẽ dễ được tiếp thu hơn. Các bài chứng minh nghiêm ngặt (nếu
chúng cần thiết) tốt nhất là để dành làm bài tập riêng đối với những học sinh giỏi.
Cách tiếp nhận phương pháp luận cơ bản là sử dụng các bài toán để làm rõ bản chất

toán học trong các tình huống được xét. Việc sử dụng các bài toán với tình tiết khác
nhau cho phép thu hút sự chú ý của học sinh vào điểm chung trên quan điểm toán
học trong các bài toán này.
7

Các hình thức và phƣơng pháp kiểm tra

Các bài tập kiểm tra dùng để làm rõ :
-

Kiến thức về các định nghĩa và công thức của học sinh ;
Kỹ năng rút ra kết luận, tìm kiếm phương pháp giải cần thiết ;
Kỹ năng làm việc với sách tra cứu ;
Kỹ năng giải các bài toán khác lạ ;

Do đó các dạng kiểm tra kiến thức sau đây được áp dụng :
-

Tìm ra tư liệu cần nghiên cứu trong văn bản cho trước ;
Chọn lựa các ví dụ theo trí nhớ ;
Xác định tổ hợp điển hình (hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp) ;
Giải các bài toán có dạng khác nhau ;
Phân tích mức độ phức tạp khác nhau ;
Các bài kiểm tra

8

Các phƣơng pháp ghi chép các công việc
- Soạn thảo đề cương
- Làm bản tóm tắt ;

- Lập các bảng biểu ;
- Phân loại các bài toán tổ hợp.

9

Kết quả cần phải đạt đƣợc

Sau khi tham gia khóa học các học sinh cần phải đạt được kết quả sau:
- Tìm được số phương án chọn lựa của một số lượng phần tử nào đó từ một
tập hợp cho trước;
- Xác định số phương pháp phân chia tập hợp có số phần tử giống nhau
hoặc khác nhau thành một số nhóm cho trước ;
- Sử dụng các sơ đồ kết hợp đơn giản nhất để tính toán xác suất của các sự
6


kiện trong các mô hình điển hình;
- Vận dụng các ý tưởng kết hợp cơ bản để mô hình hóa các quá trình và hiện
tượng thực tế;
Tiếp theo là phần lý thuyết cùng bài tập mẫu theo một số dạng sau :
10 Tóm tắt lý thuyết về tổ hợp
10.1 Quy tắc nhân:
Nếu có m cách chọn đối tượng a và sau đó, với mỗi cách chọn a như vậy, có n cách
chọn đối tượng b thì sẽ có tất cả m.n cách chọn đối tượng (a, b).
Tổng quát hóa: Nếu có m1 cách chọn đối tượng a1 và sau đó với mỗi cách chọn đối
tượng a1 như thế, có m2 cách chọn đối tượng a2, sau đó với mỗi cách chọn đối
tượng a1 và a2 như thế, có m3 cách chọn đối tượng a3, … cuối cùng, với mỗi cách
chọn a1, a2, a3, …an-1 như vậy, có mn cách chọn đối tượng an thì sẽ có tất cả:
m1.m2.m3…..mn cách chọn đối tượng : (a1, a2, a3, …, an). Ta nói có n cách chọn có
quan hệ phụ thuộc nhau.

Có thể diễn đạt quy tắc nhân như sau: Nếu một phép chọn được thực hiện qua n
bước liên tiếp: bước 1 có m1 cách, bước 2 có m2 cách , …, bước n có mn cách thì
phép chọn được thực hiện theo: m1.m2.m3…..mn cách khác nhau.
10.2 Hoán vị không lặp:
Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử. Một cách sắp xếp n phần tử này thành
một dãy (không kín gồm n phần tử đó) gọi là một hoán vị của tập hợp A.
Trong hoán vị có nêu rõ phần tử nào ở vị trí thứ nhất, phần tử nào ở vị trí thứ hai,
…, phần tử nào ở vị trí thứ n của dãy. Đối với một tập hợp hữu hạn có thể có nhiều
cách sắp xếp các phần tử thành một dãy, các dãy này sai khác nhau chỉ một vị trí,
do đó có nhiều hoán vị một tập hợp A.
Cách tính số hoán vị:
Số các hoán vị của một tập hợp gồm n phần tử bằng n!; kí hiệu : P n là số các hoán
vị của một tập hợp A gồm n phần tử. Ta có Pn = 1.2.3…..(n-1)n = n!
10.3 Hoán vị lặp:
Định nghĩa: Cho s phần tử khác nhau: a1; a2; a3; …; as. Một chỉnh hợp có lặp chập
m của s phần tử đã cho, trong đó có k1 phần tử a1, k2 phần tử a2, …, ks phần tử as;
được gọi là một hoán vị có lặp cấp m (bằng k1 + k2 + … + ks) và kiểu (k1; k2; …;
ks) của s phần tử a1; a2; a3; …as.
Cách tính số hoán vị lặp:
Số các hoán vị có lặp cấp m; kiểu (k1; k2; …; ks) của s phần tử bằng:
Cm (k1; k2; …; ks) =
10.4 Chỉnh hợp không lặp:
Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử. Giả sử k là một số tự nhiên thỏa mãn:
1
. Ta sắp k phần tử của tập hợp A thành dãy hở. Một cách sắp xếp k
7


phần tử của tập hợp A có n phần tử thành một dãy được gọi là một chỉnh hợp chập
k của tập A.

Cách tính số chỉnh hợp chập k của n phần tử:
Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử là:
= n.(n - 1)(n - 2)…..(n - k + 1) =
10.5 Chỉnh hợp lặp:
Định nghĩa:
Cho tập hợp A gồm n phần tử. Lấy từ A ra một phần tử bất kì, kí hiệu là a1 rồi trả
phần tử này về A. Lại rút ra từ A một phần tử bất kì, kí hiệu là a2 (a2 có thể chính là
a1) rồi trả phần tử này về A. Tiếp tục quá trình này k lần (k là bất kì), ta được một
dãy gồm k phần tử (a1; a2; a3; …ak); (các phần tử này có thể trùng nhau). Một dãy
như vậy được gọi là một chỉnh hợp có lập chập k của n phần tử. Tập hợp tất cả các
chỉnh hợp có lặp chập k của n phần tử của tập hợp A chính là tập hợp các bộ k (a 1;
a2; a3; …; ak) với ai Є A; (i = 1; 2; …; k). Đó chính là tập tích DESCARTES : Ak
= A.A.A…..A (k lần).
10.6 Tổ hợp không lặp:
Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử, k là số tự nhiên thỏa mãn: 1 ≤ k ≤ n.
Mỗi tập hợp con gồm k phần tử của tập hợp A được gọi là một tổ hợp chập k của
tập hợp A gồm n phần tử.
Cách tính số các tổ hợp chập k của n phần tử:
Số các tổ hợp chập k của một tập hợp gồm n phần tử là:

=
10.7 Tổ hợp lặp:
Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm m phần tử khác nhau, A = {a1; a2; …; am}, n là
một số tự nhiên bất kì. Một tổ hợp có lặp chập n của m phần tử đã cho là một tập
hợp chứa n phần tử, trong đó mỗi phần tử là một trong m phần tử đã cho a 1; a2; …;
am.
Cách tính tổ hợp có lặp: Số các tổ hợp có lặp chập n của m phần tử, kí hiệu:

=

=

11 Ví dụ và bài tập
11.1 Đồ thị đơn giản
Bài 1. Một học sinh nói với bạn rằng: ‖Trong lớp tôi có 35 người và mỗi người
chơi với đúng 11 người khác‖. Người bạn trả lời:‖Không thể như thế được‖. Vì
sao?
Gợi ý . Giả sử cứ hai người là bạn của nhau thì ta nối bằng một sợi dây. Vậy mõi
trong số 35 người sẽ cầm 11 đầu dây. Từ đó suy ra có tất cả 11.35 = 385 đầu dây,
8


mà mỗi dây có 2 đầu nên vô lý.
Bài 2. Một lớp có 30 người, liệu có xảy ra trường hợp sao cho 9 người có 3 bạn, 11
người có 4 bạn và 10 người còn lại có 5 bạn?
Gợi ý. Cứ hai người là bạn của nhau ta nối bằng một sợi dây. Như vậy thì sẽ có 9
bạn cầm 3 đầu dây, 11 bạn cầm 4 đầu dây và 10 bạn cầm 5 đầu dây, điều này vô lý.
Số đầu giây sẽ là : 9  3 + 11  4 + 10  5 = 27 + 44 + 50 = 121 - là một số lẻ - vô
lý bởi số đầu giây phải là một số chẵn.
11.2 Qui tắc nhân
Bài 3. Trong đội bóng có 11 người và cần chọn một đội trưởng, một đội phó. Hỏi
có bao nhiêu cách chọn?
Gợi ý. Đáp án: 1011 = 110 (cách)
Bài 4. Xét các hình chữ nhật với các cạnh nguyên gồm 2 loại: chu vi bằng 1996 và
chu vi bằng 1998. Hỏi loại nào có số lượng hình chữ nhật lớn hơn?
Gợi ý. Nếu hình chữ nhật co chu vi bằng 1996 thì tổng độ dài 2 cạnh là 998, tức là
cạnh nhỏ chỉ thuộc khoảng từ 1 đến 499 nên có tất cả 499 hình chữ nhật loại này.
Tương tự, nếu hình chữ nhật có chu vi bằng 1998 có tổng độ dài 2 cạnh là 999 và
cạnh nhỏ cũng thuộc khoảng từ 1 đến 499 nên loại này cũng có 499 hình chữ nhật .
11.3 Hoán vị

Bài 5. Trên sàn nhảy có n nam và n nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chia cặp nhảy?
Gợi ý. n!
Bài 6. Hỏi có bao nhiêu số có 3 chữ số mà trong cách viết chỉ có 3 chữ số (1,2,3)?
Gợi ý. 3! = 6
Bài 7. Một đoàn tàu có 17 toa, hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp 17 người phục vụ đi
theo các toa?
Gợi ý. Đây là bài toán hoán vị: 17!.
11.4 Hoán vị lặp
Bài 8. Hỏi có bao nhiêu số có 7 chữ số, trong mỗi số đó chữ số 2 được lặp lại 3 lần
và chữ số 7 lặp lại 4 lần ?
9


Gợi ý. Gọi số lượng các số có 7 chữ số thỏa yêu cầu đề bài là C7(3 ;4). Ta có :
C7(3 ;4)  3 ! 4 ! = 7 !. Vậy C7(3 ;4) = 7 !/3 ! 4 ! = 35 số.
11.5 Chỉnh hợp
Bài 9. Cho 4 chữ số 1 ; 3 ; 5 ; 7. Hỏi có bao nhiêu số gồm 3 chữ số khác nhau lấy
từ 4 số đã cho ?
Gợi ý. Giả sử abc là một số thỏa yêu cầu bài toán ; ta có : 4 cách chọn a, 3 cách
chọn b (sau khi đã chọn a còn lại 3 chữ số), 2 cách chọn c (sau khi đã chọn a và b
còn lại 2 chữ số). Vậy có tổng cộng 4.3.2 = 24 số
Bài 10. Hỏi có bao nhiêu phương pháp chọn 4 người cho 4 chức vụ khác nhau nếu
tổng cộng có 9 người?
Gợi ý : A49 = 9  8  7 6 = 3024.
11.6 Chỉnh hợp lặp
Bài 11. Một số được gọi là dễ thương nếu trong cách viết chỉ gồm những chữ số lẻ.
Hỏi có bao nhiêu số dễ thương có 4 chữ số?
Gợi ý : 54 = 625
Bài 12. Một số điện thoại gồm 8 chữ số, mà số đầu bên trái luôn luôn là số 3. Hỏi
có bao nhiêu số điện thoại chỉ gồm toàn chữ số lẻ ?

Gợi ý : Giả sử 3abcdxyz là một số điện thoại thỏa yêu cầu bài toán. Ta thấy mỗi
chữ số a, b, c, d, x, y, z ta luôn có 5 sự lựa chọn (1, 3, 5, 7, 9). Vậy có 5.5.5.5.5 =
55 số điện thoại thỏa yêu cầu bài toán.
11.7 Tổ hợp
Bài 13. Giải vô địch gồm 18 đội thi đấu theo thể thức vòng tròn một lượt (2 đội
khác nhau gặp nhau đúng 1 lần). Hỏi có bao nhiêu trận?
2
Gợi ý. C18 

18  17
 153
2

Bài 14 . Trên mặt phẳng cho 10 điểm sao cho không có 3 điểm nào thẳng hàng.
Hỏi có bao nhiêu tam giác được tạo thành từ 3 điểm bất kỳ?
3
Gợi ý. C10 

10  9  8
 120
1 2  3
10


Bài 15. Hỏi có bao nhiêu số có 6 chữ số mà mỗi số tiếp theo luôn nhỏ hơn số đứng
trước ?
Gợi ý. Đây là bài toán tổ hợp: mỗi số như vậy thì tương ứng với việc chọn 6 số từ 9
8 7 6 5 4 3 2 1. Đáp số là C610
11.8 Tổ hợp lặp
Ví dụ : Cho A = {a ; b ; c}, (a, b, c đôi một khác nhau) thì tổ hợp chập 2 có lặp của

3 phần tử a, b, c là {a ; a}, {a ; b}, {a ; c}, {b ; b}, {b, c} ; {c, c}.
11.9 Toán tổng hợp (nâng cao)
Bài 16 . Mỗi biển số ô tô gồm 3 chữ cái và 3 con số sắp xếp theo thứ tự 1 chữ cái 3 con số - 2 chữ cái. Hỏi có bao nhiêu biển số ô tô khác nhau?
Gợi ý : Bài toán thuộc dạng qui tắc đếm và chỉnh hợp lặp : 103.303
Bài 17. Biết rằng trong một nhóm cứ chọn 2 người thì có đúng 5 người quen
chung. Chứng minh rằng số cặp quen nhau chia hết cho 3.
Gợi ý. Gọi p là số cặp quen nhau, t là số bộ 3 đôi một quen nhau. Theo giả thiết,
mỗi cặp quen nhau có đúng 5 người quen chung, nghĩa là mỗi trong p cặp quen
nhau sẽ tham gia vào 5 bộ 3 đôi một quen nhau. Mặt khác, trong mỗi bộ 3 từ t bộ
có đúng 3 cặp quen nhau. Từ đó suy ra 5p = 3t, mặt khác (3,5) = 1 nên p chia hết
cho 3.
Bài 18. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp 5 nam và 5 nữ vào một bàn 10 chỗ sao cho
nam nữ xen kẽ ?
Gợi ý. Bài toán thuộc dạng qui tắc đếm và chỉnh hợp lặp 2 (5!)2= 28800.
Bài 19. A có 7 cây kẹo sôcôla, B có 9 cây kẹo chanh. Hỏi có bao nhiêu phương
pháp trao đổi với nhau 5 cây kẹo?
Gợi ý. Bài toán thuộc dạng qui tắc đếm và tổ hợp : C57.C59

11